专题强化练5 圆系方程、圆的切线系方程的应用 同步练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

专题强化练5　圆系方程、圆的切线系方程的应用 1.圆心在直线x-y-4=0上,且经过两圆x2+y2-4x-3=0,x2+y2-4y-3=0的交点的圆的方程为(　　) A.x2+y2-6x+2y-3=0　　B.x2+y2+6x+2y-3=0 C.x2+y2-6x-2y-3=0　　D.x2+y2+6x-2y-3=0 2.已知圆C1:x2+y2+2ax-4+a2=0和圆C2:x2+y2-2by-1+b2=0外切(其中a,b∈R),则a+b的最大值为(　　) A.4　　B.3　　C.8　　D.4 3.(多选题)设有一组圆Ck:(x-k+1)2+(y-3k)2=2k4,k∈N*.下列命题中是真命题的是(　　) A.存在一条定直线与所有的圆均相切 B.存在一条定直线与所有的圆均相交 C.存在一条定直线与所有的圆均不相交 D.所有的圆均不经过原点 4.(多选题)设直线系M:xcos θ+(y-2)sin θ=1(0≤θ<2π).下列四个命题中正确的是(　　) A.存在一个圆与所有直线均相交 B.存在一个圆与所有直线均不相交 C.存在一个圆与所有直线均相切 D.M中的直线所能围成的正三角形面积都相等 5.已知圆M:(x-1-cos θ)2+(y-2-sin θ)2=1,直线l:kx-y-k+2=0.有下面五个命题,其中正确命题的个数是(　　) ①对任意实数k与θ,直线l和圆M有公共点; ②对任意实数k与θ,直线l与圆M都相离; ③存在实数k与θ,使直线l和圆M相离; ④对任意实数k,必存在实数θ,使得直线l与圆M相切; ⑤对任意实数θ,必存在实数k,使得直线l与圆M相切. A.2　　B.3　　C.4　　D.5 6.(多选题)已知O为坐标原点,圆M:(x-cos θ)2+(y-sin θ)2=1,则下列结论正确的是(　　) A.圆M与圆x2+y2=4内切 B.直线xcos α+ysin α=0与圆M相离 C.圆M上到直线x+y=的距离等于1的点最多有两个 D.过直线x+y=3上任一点P作圆M的切线,切点分别为A,B,则四边形PAMB面积的最小值为 7.已知acos θ+a2sin θ-2=0,bcos θ+b2sin θ-2=0(a≠b),对任意a,b∈R,经过两点(a,a2),(b,b2)的直线与一定圆相切,则该圆的方程为　　　　　　　　.  8.已知圆M:x2+y2-4x+3=0,P(-1,t)为直线l:x=-1上一动点,过点P作圆M的两条切线,切点分别为A,B. (1)求|PA|,当t为何值时,|PA|最小?最小值为多少? (2)求直线AB的方程,并判断直线AB是否过定点,若过定点,求出定点的坐标;若不过定点,请说明理由. 答案1.A　设所求圆的方程为(x2+y2-4x-3)+λ(x2+y2-4y-3)=0,即(1+λ)x2+(1+λ)y2-4x-4λy-3-3λ=0, 其圆心为,因为圆心在直线x-y-4=0上, 所以--4=0,解得λ=-, 因此所求圆的方程为x2+y2-4x+y-3+1=0,即x2+y2-6x+2y-3=0. 2.B　圆C1的标准方程为(x+a)2+y2=4,则C1(-a,0),半径r1=2, 圆C2的标准方程为x2+(y-b)2=1,则C2(0,b),半径r2=1, 因为两圆外切,所以|C1C2|=r1+r2,即=3,所以a2+b2=9, 所以(a+b)2=a2+b2+2ab≤2(a2+b2)=18, 则-3≤a+b≤3, 所以a+b的最大值为3,当且仅当a=b时等号成立. 3.BD　根据题意得,圆Ck的圆心坐标为(k-1,3k),k∈N*,易知圆心在直线y=3(x+1)上,故存在直线y=3(x+1)与所有的圆都相交,所以B正确;以圆Ck与圆Ck+1为例,考虑两圆的位置关系:圆Ck的圆心为(k-1,3k),半径r=k2,圆Ck+1的圆心为(k+1-1,3(k+1)),即(k,3k+3),半径R=(k+1)2,两圆的圆心距d==,R-r=(k+1)2-k2=2k+,对任意的k∈N*,R-r>d,故Ck含于Ck+1之中,所以A错误;当k取无穷大时,可以认为所有直线都与圆相交,所以C错误;将(0,0)代入圆的方程,可得(-k+1)2+9k2=2k4,即10k2-2k+1=2k4,因为等式左边为奇数,右边为偶数,所以不存在k∈N*使此式成立,即所有的圆均不经过原点,所以D正确. 4.ABC　易知点(0,2)到M中每条直线的距离d==1,即M中的每条直线都是圆x2+(y-2)2=1的切线,所以存在圆心为(0,2),半径大于1的圆与M中所有直线均相交,故A正确; 由上述分析知,存在圆心为(0,2),半径小于1的圆与M中所有直线均不相交,故B正确; 由上述分析知,存在圆心为(0,2),半径等于1的圆与M中所有直线均相切,故C正确; 因为M中的直线与以(0,2)为圆心,1为半径的圆相切,所以不妨取M中的直线AB,AC,BC,DE,它们围成正三角形ADE与正三角形ABC,如图,△ABC与△ADE的面积不相等,故D错误. 5.A　对于①②,由题可知圆M的圆心为M(1+cos θ,2+sin θ),半径r=1,直线l的方程可以写成y=k(x-1)+2,易知直线l过定点(1,2),记A(1,2),易知点A在圆M上,所以直线l与圆M相切或相交,故对任意实数k与θ,直线l和圆M有公共点,①正确,②错误. 对于③,由以上分析知不存在实数k与θ,使直线l和圆M相离,③错误. 对于④,当直线l与圆M相切时,点A恰好为直线l与圆M的切点,故直线AM与直线l垂直, 当k=0时,直线AM与x轴垂直,则1+cos θ=1,即cos θ=0,解得θ=k'π+(k'∈Z),故存在θ使得直线l与圆M相切; 当k≠0时,若直线AM与直线l垂直,则cos θ≠0, 直线AM的斜率kAM===tan θ, 所以kAM·k=-1,即tan θ=-, 对任意的k≠0,均存在实数θ,使得tan θ=-,从而使得直线AM与直线l垂直. 综上所述,对任意实数k,必存在实数θ,使得直线l与圆M相切,④正确. 对于⑤,点M(1+cos θ,2+sin θ)到直线l的距离d=,令θ=0,则当k=0时,d=0;当k≠0时,d=<1,故当θ=0时,d<1恒成立,即直线l与圆M必相交,故此时不存在实数k,使得直线l与圆M相切,⑤错误. 所以正确命题的个数为2. 6.ACD　圆M:(x-cos θ)2+(y-sin θ)2=1的圆心为M(cos θ,sin θ),半径r1=1,而圆x2+y2=4的圆心为O(0,0),半径r2=2,所以|OM|=1=r2-r1,故圆M与圆x2+y2=4内切,A正确;利用点到直线的距离公式,得圆心M(cos θ,sin θ)到直线xcos α+ysin α=0的距离d==|cos(θ-α)|≤1,故圆M和直线相切或相交,B错误;利用点到直线的距离公式,得圆心M(cos θ,sin θ)到直线x+y=的距离d'===,因为sin∈[-1,1],sin-1∈[-2,0],∈[0,2],且圆M的半径为1,所以圆M上到直线x+y=的距离等于1的点最多有两个,C正确;由题可得四边形PAMB的面积S=2S△PAM=|MA|·|PA|=|PA|=,当MP垂直于直线x+y=3时,|MP|有最小值,且|MP|===,因为sin∈[-1,1],sin-3∈[-4,-2],∈[2,4],所以|MP|min=2,则四边形PAMB面积的最小值为,D正确. 7.答案　x2+y2=4 解析　∵acos θ+a2sin θ-2=0,bcos θ+b2sin θ-2=0,a≠b, ∴(a,a2),(b,b2)都在直线xcos θ+ysin θ-2=0上, 故经过两点(a,a2),(b,b2)的直线的方程是xcos θ+ysin θ-2=0(切线系方程), 易知点(0,0)到该直线的距离d==2, 故所求圆的方程为x2+y2=4. 8.解析　(1)圆M:x2+y2-4x+3=0即(x-2)2+y2=1,其圆心为M(2,0),半径r=1,由题知|MA|=1,|PM|=, 则|PA|==, 易知当t=0时,|PA|最小,最小值为2. (2)结合(1)得以P为圆心,PA为半径的圆P的方程为(x+1)2+(y-t)2=t2+8, 显然线段AB为圆P和圆M的公共弦, 则直线AB的方程为(x+1)2-(x-2)2+(y-t)2-y2=t2+8-1,即3x-ty-5=0, 令得所以直线AB过定点. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$