5.1 任意角与弧度制、三角函数的概念和诱导公式 讲义-2026届高三数学一轮专题复习

§5.1 任意角与弧度制、三角函数的概念和诱导公式 目录 知识点一：三角函数的概念 2 考法1：角及其表示 3 考法2：弧度制及其应用 5 考法3：三角函数定义的应用 9 知识点二：同角三角函数的基本关系式和诱导公式 11 考法4： 利用同角三角函数基本关系式和诱导公式化简、求值 12 【强化训练】 16 知识点一：三角函数的概念 1. 角的概念 (1) 定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． (2) 分类 1　 按旋转方向不同分为正角、负角、零角. 2　 按终边位置不同分为象限角和轴线角. (3) 象限角的集合 第一象限角的集合：. 第二象限角的集合：. 第三象限角的集合：. 第四象限角的集合：. (4) 终边相同的角 所有与角终边相同的角，连同角在内，构成的角的集合是或. 2. 弧度制的定义、弧长与扇形面积公式 (1) 定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 . (2) 角度与弧度的互换关系为 ，则 (3) 为扇形弧长，为圆心角，为扇形半径，则 1　 弧长公式：. 2　 扇形面积公式：. 3. 任意角的三角函数 设直角坐标系中任意角终边上异于原点的任一点的坐标为，它与原点的距离. (1) 任意角的三角函数的定义： (2) 三角函数在各象限的符号：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”，如图． 考法1：角及其表示 方法提炼 利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数赋值来求得所需的角． 【例1.1.】 若角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，角的终边在直线上，为第一象限角时，； 为第三象限角时，； 综上，角的取值集合是. 故选：D. 【例1.2.】 若α为第四象限角，则（    ） A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0 【答案】D 【详解】方法一：由α为第四象限角，可得， 所以 此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，所以 故选：D. 方法二：当时，，选项B错误； 当时，，选项A错误； 由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确； 故选：D. 【例1.3.】 已知角第二象限角，且，则角是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】A 【详解】因为角第二象限角，所以， 所以，所以角是第一象限角或第三象限角． 又因为，即，所以角是第一象限角， 故选：A． 【例1.4.】 已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，， 当时，， 所以. 故选：A 【例1.5.】 已知角的终边关于直线对称，且，则的一组取值可以是 ， ． 【答案】 （答案不唯一，符合，或，，即可） 【详解】因为角的终边关于直线对称， 所以，， 又， 所以或，， 所以，或，，， 取可得或 所以的一组取值可以是， 故答案为：，，（答案不唯一，符合，或，，即可） 考法2：弧度制及其应用 方法提炼 应用弧度制解决问题的方法 (1) 利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． (2) 求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题． (3) 在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 【例2.1.】 石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流派．苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中．图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环，如图（2），砖雕厚度为6cm，，，所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的表面积为（单位：）（   ）      A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 延长与交于点．由，，得，． 因为所对的圆心角为直角，所以，． 所以该梅花砖雕的侧面积， 扇环的面积为， 则该梅花砖雕的表面积． 故选：C． 【例2.2.】 中国古代数学专著《九章算术》的第一章“方田”中载有“半周半径相乘得积步”，其大意为：圆的半周长乘以其半径等于圆面积.南北朝时期杰出的数学家祖冲之曾用圆内接正多边形的面积“替代”圆的面积，并通过增加圆内接正多边形的边数n使得正多边形的面积更接近圆的面积，从而更为“精确”地估计圆周率π.据此，当n足够大时，可以得到π与n的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆的半径为，将内接正边形分成个小三角形， 由内接正边形的面积无限接近圆的面即可得：， 解得：. 故选：A. 【例2.3.】 某烘焙店制作了一个圆柱形状的蛋糕，顾客要求均分成24块，店家计划将蛋糕按左图方式切割．先将蛋糕均分成8块，再按照右图将每个角蛋糕近似的均分成三块，从弧的中点B出发，左右对称各切1刀，已知右图中，则的长度约为（   ） （其中，计算结果小数点请保留到） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设， 即 故选：B. 【例2.4.】 如图所示的“月牙形”阴影部分的边缘是两条不同曲线构成，其中一个是的外接圆的圆弧，另一个是以AB为直径的圆的一部分圆弧，已知，，则该月牙形即阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 如图所示，根据已知和图形知， 设以为外接圆的圆心为，直径由正弦定理得，即， 在圆中，根据圆心角和圆周角的关系，可知， 由扇形面积公式可得， 易知以直径的半圆的半径为，即，于是， 故选：A. 考法3：三角函数定义的应用 方法提炼 三角函数定义问题的常见类型及解题策略: (1) 已知角终边上一点，应先求点到原点的距离，再用三角函数的定义求角的三角函数值，即 (2) 若角终边上的点的坐标中含参数，且已知角的某个三角函数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值. (3) 三角函数值的符号及角的终边位置的判断:已知角的三角函数值 中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角终边的位置.特别要注意终边在坐标轴上的特殊情况. 【例3.1.】 若角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为角的终边过点，所以，所以. 故选：A 【例3.2.】 在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以为始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分析：逐个分析A、B、C、D四个选项，利用三角函数的三角函数线可得正确结论. 详解：由下图可得：有向线段为余弦线，有向线段为正弦线，有向线段为正切线. A选项：当点在上时，， ，故A选项错误； B选项：当点在上时，，， ，故B选项错误； C选项：当点在上时，，， ，故C选项正确； D选项：点在上且在第三象限，，故D选项错误. 综上，故选C. 【例3.3.】 已知角的终边过点，则 ． 【答案】 【详解】因为的终边过点， 根据三角函数的定义，可得，， 所以. 故答案为：． 【例3.4.】 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】由题意，从而， 因为，所以的取值范围是，的取值范围是， 当且仅当，即时，取得最大值，且最大值为. 故答案为：. 知识点二：同角三角函数的基本关系式和诱导公式 1. 同角三角函数的基本关系式 平方关系式：. 商数关系式：. 2. 诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 余弦 正切 · 诱导公式的记忆规律：“奇变偶不变，符号看象限”. 考法4： 利用同角三角函数基本关系式和诱导公式化简、求值 方法提炼 1. 同角三角函数基本关系式及变形公式的应用方法: (1) 利用可以实现角的正弦,余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化. (2) 关于的齐次式，往往转化为关于的式子求解. (3) 对于，，这三个式子，利用 ，可以知一求二.的符号判定，如图 2. 诱导公式的应用步骤：“负化正→大化小→小化锐→锐求值” 任意负角的三角函数任意正角的三角函数0～2π内的角的三角函数锐角三角函数． 【例4.1.】 已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得：，整理得， 且，可得， 即，可得， 因为，可得， 所以. 故选：D. 【例4.2.】 已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 化简得， 解得或（舍去，因为，且等号不能成立）． 故选：D． 【例4.3.】 已知是第一象限角，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以，所以，左右两侧平方得， 所以，又因为是第一象限角，所以， 则. 故选：D. 【例4.4.】 若，则 ． 【答案】 【详解】因为，则， 又因为，则， 且，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：. 【例4.5.】 若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 即，所以， 所以，得， 解得或， 因为，且， 所以，所以，所以. 故选：. 【例4.6.】 已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以. 故选：C 【例4.7.】 已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则 . 故选：A 【例4.8.】 （1）计算： （2）已知，且，，求． 【答案】（1） ；（2）/. 【详解】（1） . （2）由题可知，所以， 所以， 因为，所以， 又，所以，故， 所以， 两边平方后得，故， ． 故答案为： 【强化训练】 1. 已知集合，集合，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】依题意，， 而， 所以，. 故选：A 2. 在平面直角坐标系xOy中，设角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，，则（   ） A．-2 B． C． D．2 【答案】B 【详解】由题意可得，， 则，解得（舍去）. 故选：B 3. 出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图1）的璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，黄身外耧空雕饰“”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各项数据（图2）：，若，则璜身（即曲边四边形）面积近似为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】显然为等腰三角形，， 则，，又， 所以，于是， 所以璜身的面积近似为. 故选：C 4. 若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，解得， 于是， 故选：A． 5. 若，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 解得， 故选：B 6. 已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 故选：A. 7. 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则， 所以由， 得， 即， 即，得， 所以， 故选：C. 8. （多选）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与x轴正半轴交于点．已知点在圆O上，点T的坐标是，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．，则 D．若，则 【答案】AD 【详解】由于单位圆的半径为1，根据弧长公式有，所以A正确． 由于B是∠AOB的一边与单位圆的交点，是对应∠AOB的正弦值，即，所以是对应∠AOB的余弦值，即，所以B错误． 当时，，，所以C错误． 反过来，当，即时，一定成立，所以D正确． 故选：AD． 9. （多选）下列说法正确的有（   ） A．若角的终边过点，则角的集合是 B．若，则 C．若，则 D．若扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的半径是 【答案】ABC 【详解】因为角的终边过点，为第一象限角， 所以由三角函数的定义知，所以角的终边与终边相同， 所以角的集合是，故A选项正确； 因为，所以B选项正确； 因为，所以C选项正确； 设扇形的半径为，圆心角为，因为扇形所对的弧长为， 所以扇形周长为，故，所以D选项不正确． 故选：ABC 10. 如图，单位圆被点分为12等份，其中，角的始边与轴的非负半轴重合，若则角的终边与单位圆交于点 ．(从中选择，写出所有满足要求的点) 【答案】 【详解】由题可知相邻点的夹角为， ，与相差，即间隔一个点， 又正弦值要相等，即关于轴对称， 故符合的对称点有， 所以角的终边与单位圆交于点为. 故答案为. 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(1) 任意角的三角函数的定义： (2) 三角函数在各象限的符号：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”，如图． 考法1：角及其表示 方法提炼 利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数赋值来求得所需的角． 【例1.1.】 若角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是（ ） A． B． C． D． 【例1.2.】 若α为第四象限角，则（    ） A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0 【例1.3.】 已知角第二象限角，且，则角是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【例1.4.】 已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【例1.5.】 已知角的终边关于直线对称，且，则的一组取值可以是 ， ． 考法2：弧度制及其应用 方法提炼 应用弧度制解决问题的方法 (1) 利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． (2) 求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题． (3) 在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 【例2.1.】 石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流派．苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中．图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环，如图（2），砖雕厚度为6cm，，，所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的表面积为（单位：）（   ）      A． B． C． D． 【例2.2.】 中国古代数学专著《九章算术》的第一章“方田”中载有“半周半径相乘得积步”，其大意为：圆的半周长乘以其半径等于圆面积.南北朝时期杰出的数学家祖冲之曾用圆内接正多边形的面积“替代”圆的面积，并通过增加圆内接正多边形的边数n使得正多边形的面积更接近圆的面积，从而更为“精确”地估计圆周率π.据此，当n足够大时，可以得到π与n的关系为（    ） A． B． C． D． 【例2.3.】 某烘焙店制作了一个圆柱形状的蛋糕，顾客要求均分成24块，店家计划将蛋糕按左图方式切割．先将蛋糕均分成8块，再按照右图将每个角蛋糕近似的均分成三块，从弧的中点B出发，左右对称各切1刀，已知右图中，则的长度约为（   ） （其中，计算结果小数点请保留到） A． B． C． D． 【例2.4.】 如图所示的“月牙形”阴影部分的边缘是两条不同曲线构成，其中一个是的外接圆的圆弧，另一个是以AB为直径的圆的一部分圆弧，已知，，则该月牙形即阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 考法3：三角函数定义的应用 方法提炼 三角函数定义问题的常见类型及解题策略: (1) 已知角终边上一点，应先求点到原点的距离，再用三角函数的定义求角的三角函数值，即 (2) 若角终边上的点的坐标中含参数，且已知角的某个三角函数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值. (3) 三角函数值的符号及角的终边位置的判断:已知角的三角函数值 中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角终边的位置.特别要注意终边在坐标轴上的特殊情况. 【例3.1.】 若角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【例3.2.】 在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以为始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是 （ ） A． B． C． D． 【例3.3.】 已知角的终边过点，则 ． 【例3.4.】 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为 ． 知识点二：同角三角函数的基本关系式和诱导公式 1. 同角三角函数的基本关系式 平方关系式：. 商数关系式：. 2. 诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 余弦 正切 · 诱导公式的记忆规律：“奇变偶不变，符号看象限”. 考法4： 利用同角三角函数基本关系式和诱导公式化简、求值 方法提炼 1. 同角三角函数基本关系式及变形公式的应用方法: (1) 利用可以实现角的正弦,余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化. (2) 关于的齐次式，往往转化为关于的式子求解. (3) 对于，，这三个式子，利用 ，可以知一求二.的符号判定，如图 2. 诱导公式的应用步骤：“负化正→大化小→小化锐→锐求值” 任意负角的三角函数任意正角的三角函数0～2π内的角的三角函数锐角三角函数． 【例4.1.】 已知，则（    ） A． B． C． D． 【例4.2.】 已知，则（   ） A． B． C． D． 【例4.3.】 已知是第一象限角，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例4.4.】 若，则 ． 【例4.5.】 若，且，则（    ） A． B． C． D． 【例4.6.】 已知，则（   ） A． B． C． D． 【例4.7.】 已知，则（    ） A． B． C． D． 【例4.8.】 （1）计算： （2）已知，且，，求． 【强化训练】 1. 已知集合，集合，则（    ） A．， B．， C．， D．， 2. 在平面直角坐标系xOy中，设角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，，则（   ） A．-2 B． C． D．2 3. 出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图1）的璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，黄身外耧空雕饰“”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各项数据（图2）：，若，则璜身（即曲边四边形）面积近似为（    ） A． B． C． D． 4. 若，则（ ） A． B． C． D． 5. 若，则（    ） A．1 B． C．2 D． 6. 已知，则（    ） A． B． C． D． 7. 若，则（    ） A． B． C． D． 8. （多选）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与x轴正半轴交于点．已知点在圆O上，点T的坐标是，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．，则 D．若，则 9. （多选）下列说法正确的有（   ） A．若角的终边过点，则角的集合是 B．若，则 C．若，则 D．若扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的半径是 10. 如图，单位圆被点分为12等份，其中，角的始边与轴的非负半轴重合，若则角的终边与单位圆交于点 ．(从中选择，写出所有满足要求的点) ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$