求数列通项的各种方法 专项训练——2026届高三数学一轮复习

数列通项：法、累加法、累乘法、构造法专项训练 数列通项：法、累加法、累乘法、构造法专项训练 考点一 法求数列通项 1．（24-25高二下·浙江温州·期末）数列的前n项和，则（ ） A．140 B．120 C．40 D．50 【答案】C 【详解】由可得， 故选：C 2．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，， 在等比数列中，， 设公比为q， ，解得， ∴， 当时，，解得：， ∴是以2为首项，3为公比的等比数列， ∴. 故选：A. 3．（24-25高二下·广西桂林·期末）设数列的前项和为．若，，则（   ） A．61 B．121 C．125 D．364 【答案】D 【详解】因为，①， 所以当时，， 当时，②， ①-②得，， 所以， 又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以. 故选：D. 4．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）设是数列的前n项和，若，则（   ） A． B． C．513 D．2036 【答案】A 【详解】由题意得，则， 所以，则． 当时，由得，，解得， 所以， 所以是首项为，公比为2的等比数列， 则，所以， ∴. 故答案为：A. 5．（24-25高二下·江西南昌·期末）记数列的前项和为，且，则下列选项错误的是（   ） A． B．数列是公差为1的等差数列 C．数列是公比为4的等比数列 D．数列的前2025项和为 【答案】B 【详解】由，时，得，而满足上式， 因此数列的通项公式为， 对于A，，A正确； 对于B，，则，所以数列是公差为的等差数列，B错误； 对于C，，则，所以数列是公比为4的等比数列，C正确； 对于D，令，，数列前2025项和为 ，D正确. 故选：B. 6．（24-25高二下·陕西渭南·期末·多选）数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（    ） A．是递增数列 B． C．当时， D．当时，取得最大值 【答案】BC 【详解】时，， 时，， 综上，， 所以，数列是递减数列，故A错误； ，故B正确； 时，，故C正确； ，所以当或时，取得最大值，故D错误； 故选：BC. 7．（24-25高二下·江西新余·期末·多选）已知等比数列的前n项和为满足，数列满足，则下列说法正确的是（   ） A． B．设，则的最小值为12 C．若对任意的恒成立，则 D．设，若数列的前n项和为，则 【答案】ACD 【详解】对于选项A：因为， 所以当时，，当时，， 因为为等比数列，所以，即，解得， 此时符合，则，，即为等比数列，故A正确； 对于选项B：因为，， 所以，当且仅当，即时等号成立， 因为，所以不能取到，故B错误； 对于选项C：因为， 所以当时，，当时，，则， 因为符合上式，所以， 若对任意的恒成立，则对恒成立， 令，则， 当时，，当时，，当时，， 所以，则，故C正确； 对于选项D：由题意得，， 所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 8．（2025·宁夏银川·模拟预测）已知数列满足，则数列的通项公式为 . 【答案】 【详解】由题意， 当时，，两式相减得， ，解得， 在中，令，可得，故也满足， 综上所述，所求即为. 故答案为：. 9．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知数列满足，则 ． 【答案】 【详解】时，，与原式相减得 ，则， 经检验，时也成立， 故，即． 故答案为：. 10．（24-25高三下·山西大同·期末）已知数列的前n项和为，且，． (1)求的通项公式： (2)若，，求． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由，得， 两式相减得，则； （2）由（1）可知，则， 所以 . 11．（2025·四川成都·一模）记为数列的前项和，已知，且. (1)求，，； (2)在下列两个结论中，任选一个加以证明；（若两个都证明，以首选计分） ①是等比数列；②是等比数列. (3)记为数列的前项和，求. 【答案】(1)，， (2)证明见解析 (3)， 【详解】（1）（1）令，得.又，所以. . 令，得.又，所以. 故. （2）若选择①：由已知，得. 故，所以，. 故是首项和公比均为2的等比数列. 若选择②：由已知，.故当时，. 两式相减，得. 化简并整理，得（，且）. 又，，所以. 故是以1为首项，2为公比等比数列. （3）若选择①：由（2）知，，故. 若选择②：由（2）知，，故. 所以. 所以. 则. 两式错位相减，得. 所以， 12．（24-25高二下·甘肃张掖·期末）已知数列的前n项和满足. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以当时，，解得. 当时，，整理得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以. （2）由（1）得，，所以. 所以， ， 两式相减，得 ， 所以. 13．（24-25高二下·广东汕尾·期末）已知数列的前n项和为，且满足，，． (1)分别求出数列中的，，的值； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)，，． (2) 【详解】（1）（解法1）（1）当时，， 又∵，∴， 当时，∵，∴， ∵，∴， ∴，，． （解法2）：∵，，， ∴，解得， 又∵，∴，解得， 同理，解得， ，解得， 故，，． （2）（解法1）由（1）（解法一）知，，， 则，故时，有，① ∴，② 由①，②得，，即， 当n为偶数时，， 当n为奇数时，． 综上所述，数列的通项公式为（或，）． （解法2）由（1）（解法一）知，，，则， 故时，有， 当n为奇数时，由，，，…，， 由以上各式可得，，…，， 可得，故． 当n为偶数时，由，，，…，， 以上各式两两相减，可得，，…，， 可得， 又∵，∴， 综上所述，数列的通项公式为（或，）． （解法3）由（1）知，，且，，，，， 归纳上述结果，猜想． 当时，，猜想成立， 假设当时，， 那么， 即时，猜想成立． 综上所述，对任意，上述猜想都成立， 即． （解法4）当时，， 又∵，∴， 当时，∵，∴， ∵，∴，即，符合， ∴时，有． ∴，，，…，， 又由（1）知，，， 故当n为奇数时，；当n为偶数时，． 故数列的通项公式为（或，）． 14．（2025·宁夏吴忠·二模）已知数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式． (2)记，证明：． (3)记（），证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）由，可得． 当时，，解得， 当时，，整理得（）， ∴数列是以2为首项、2为公比的等比数列， ∴. （2）∵， ∴． 又， ∴．结论得证. （3）由题意知， ，得证. 15．（24-25高二下·河北秦皇岛·期末）已知数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，得， 当时，， 又满足上式， 所以的通项公式为； （2）因①， 则当时， 当时，②， ①②两式相减可得： ， 由（1）可得， 则，其中. 又当时，， 则 考点二 累加法求数列通项 1．（24-25高二下·山东德州·期中）已知数列满足，若数列是公比为3的等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因数列是公比为3的等比数列，且， 则数列的首项为，， ， 故. 故选：D. 2．（24-25高二下·河北·期末）在数列中，，，则的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知得， 将上述个等式相加，整理得 又因为，所以 故选： 3．（24-25高二下·安徽·期中）已知数列满足，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为数列满足，，即， 当时，则有， 所以，，，， 上述等式全部相加得， 所以， 也满足，故对任意的，， 所以， 由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为，因为，，故， 所以的最小值为. 故选：B. 4．（24-25高二下·辽宁·期中）若数列满足（且），，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可得： ，累计可得：， 故选：D. 5．（24-25高三下·云南丽江·阶段练习）已知数列 满足 ，则 （     ） A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】因为 ， 所以当 时， ，则 ，故B正确. 故选：B. 6．（2025·江西·三模·多选）已知数列的前项和为，数列的前项积为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】因为，所以，解得，故A错误；当时， ， 则，且也符合，故B正确； ，故C正确； ，则，故D正确. 故选：BCD 7．（2025·山东泰安·模拟预测·多选）已知数列的前项的和，， 若，则下列说法正确的是（    ） A．为等差数列 B． C．能取得最小值 D．当时，取得最小值 【答案】BC 【详解】对于选项A，两边同除以， 得，故选项A错误； 对于选项B，由， 可得， 累加法得，代入， 得，又满足上式， 故，，故选项B正确； 对于选项C，令， 则， 由得， 由得， 所以当时取得最小值， 经验证时，能取得最小值，故选项C正确； 对于选项D，由，， 所以， 由得，由得， 由上可知的最小值在或时取得， 当时，， 当时，， 经验算时取得最小值，故选项D错误. 故选：BC 8．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）若数列满足（，且），，则 . 【答案】 【详解】因为（，且），， 所以； 经验证，时，，符合条件. 故答案为：. 9．（24-25高二下·广东广州·期末）已知数列的首项，且，则的通项公式为 ；若不等式（）恒成立，则的最小值为 ． 【答案】 3 【详解】，且，再由累加法得： ． 设，则，， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 所以，即，当且仅当时等号成立， 所以， 所以， 即，所以，又， 故不等式（）恒成立，则的最小值为3. 故答案为：，3 10．（24-25高二下·福建福州·期中）已知数列满足：，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，若，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）数列满足，， 所以当时，，…，，， 上述各式相加得， 又，所以， 又满足上式，故． （2）由（1）可知， 所以． 因为，所以． 11．（24-25高二下·广东广州·期末）已知数列的首项为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，求满足条件的最大整数． 【答案】(1) (2)8 【详解】（1）当时，， 将以上等式两边分别累加，可得， ， 当时，也符合上式．． （2）， ， ， ， ， 的最大值为8. 12．（2025·山东枣庄·二模）在数列中，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和的最大值. 【答案】(1)； (2)90. 【详解】（1）依题意，当时，，则 ，满足上式， 所以的通项公式为. （2）由（1）得，数列是递减等差数列， 由，得，则数列前10项均为非负数，从第11项起为负数， 而，因此数列前10项和与前9项和相等，都最大， 所以数列的前项和的最大值为. 13．（24-25高二下·北京·期中）在数列中，，． (1)求的通项公式； (2)若数列满足对任意，，且，，设其前项和为． （ⅰ）设数列的前项和为，求证：； （ⅱ）若对任意，恒成立，写出实数的最小值．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【详解】（1）因为，即， 所以，，…，将这个等式累加， 得， 又，所以， 因为也满足，所以． （2）（ⅰ）因为，所以为等差数列， 设公差为，又，，所以， 所以，则； 所以， 所以 ； （ⅱ）因为对任意，恒成立， 即对任意，恒成立， 所以对任意，恒成立， 令，则， 所以当时，当时， 所以， 所以，所以，则实数的最小值. 14．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知首项为1的正项数列满足． (1)求的通项公式； (2)令（），求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）令，，又由有， 则有 ， 所以． 又因为数列的各项均为正数，所以． （2）由 ， 知 ． 15．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）在数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以． （2）因为， 所以 ． 考点三 累乘法求数列通项 1．（24-25高二下·辽宁大连·期中）已知为数列的前项和，若，，则的值为（   ） A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】B 【详解】当时，， 由， 由，得， 两式相减得，， 所以， 故选：B 2．（23-24高二下·山西晋城·阶段练习）已知数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得， 所以，，，，（，）， 累乘可得，又，得. 设①， 则②， ①-②得， ， ， . 故选：C. 3．（24-25高二下·河南南阳·期中）在数列中，，则（    ） A． B． C．2025 D．5050 【答案】D 【详解】因为，所以， 当时，， 以上个式子左右两边分别相乘得， 即， 又，所以， 所以． 故选：D. 4．（2025·江西·模拟预测）设数列的前项和为，已知，则（    ） A．2024 B．2025 C． D． 【答案】B 【详解】由可得， 即，因此； 因此， 可得， 所以. 故选：B 5．（24-25高二下·辽宁·期中·多选）已知数列满足，，则（   ） A．， B．， C．，为完全立方数 D．，数列的前项和 【答案】ABD 【详解】由题意可得，， 所以当时，，…，，， 以上个式子左右两边分别相乘得， 即，将代入解得， 当时满足，所以数列的通项公式为， 因为对恒成立， 所以对恒成立，A说法正确； 易知数列是递增数列，且，，所以，，B说法正确； 因为，所以不存在使得为完全立方数，C说法错误； 下证，数列的前项和， 当时，成立， 假设当时，成立， 则当时， 成立， 所以，数列的前项和，D说法正确； 故选：ABD 6．（24-25高二下·辽宁·期中·多选）已知数列满足，，则（   ） A．是递减数列 B． C．当的前n项和取得最小值时， D．对任意，不等式，则 【答案】ACD 【详解】对于A，由题，， 又，由递推式可得，所以是递减数列，故A正确； 对于B，由上面可知，当时，， 将上式累乘得，， 整理得，又，所以，故B错误； 对于C，设，则，， ，，，，， 由指数函数与函数的增长速度可知，当时，， 所以当数列的前n项和取得最小值时，，故C正确； 对于D，当为偶数时，不等式转化为，又， 所以， 当为奇数时，不等式转化为，又， 所以， 综上，，故D正确. 故选：ACD. 7．（24-25高二下·四川广安·阶段练习）数列中，若,，则 . 【答案】 【详解】若，，则且， 所以， 所以. 故答案为：. 8．（2025·四川德阳·二模）数列中，满足，，则 ． 【答案】/ 【详解】因为，所以. 所以，，，…，（）. 各式相乘，可得：， 显然满足上式，则， 所以数列的前项和为， 所以. 故答案为：. 9．（24-25高三上·山东日照·开学考试）已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意知：当时，， ； 当时，满足； 综上所述：. （2）由（1）知：， . 10．（23-24高三上·贵州安顺·期末）记为数列的前n项和，已知，且，. (1)求的通项公式； (2)设，的前n项和为，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵，，∴， ∵，∴数列是首项为1，公差为的等差数列， 则， 即，， 两式作差得， 即，∴， 即，， ∵符合上式，∴. （2）， 所以，. ∵， ∴数列为递增数列，∴. 11．（23-24高二下·江西抚州·期末）已知数列的首项，且. (1)求数列的通项公式： (2)若数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见详解. 【详解】（1）因为， 所以， 即， 将上述个式子相乘得， 所以，当时，成立， 故. （2）由（1）得，所以， 所以， 即. 12．（24-25高二下·湖北荆州·开学考试）已知数列，其前项和为． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，当时， 所以， 即，所以， 即，所以， 累乘可得，又，所以， 当时也成立，所以； （2）由（1）可得， 所以 考点四 构造法求数列通项 1．（24-25高二下·四川凉山·期中）已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以． 因为，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以，所以， 故． 故选：C 2．（24-25高二下·广西防城港·阶段练习）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵，∴，即， ∴数列是首项为，公比为的等比数列， ∴，故， ∴. 故选：D. 3．（24-25高二下·山西晋中·阶段练习）若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵， ∴，即， ∴数列是以为首项，以为公比的等比数列， ∴， ∴. 故选：A. 4．（24-25高二下·浙江·期中）设数列的前项和为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为数列的前项和为，， 当时，，解得， 当时，由可得， 上述两个等式作差可得，整理可得， 等式两边同时除以可得， 所以，数列是首项为，公差为的等差数列， 故，所以， 故，，故，A错B对； 由题意可得， 所以，CD都错. 故选：B. 5．（2025·天津河北·二模）设数列的前n项和，若，则（    ） A．3059 B．2056 C．1033 D．520 【答案】C 【详解】由题设，则， 所以，则 又，则， 所以是首项、公比均为的等比数列，则， 所以，则. 故选：C 6．（24-25高二下·河南南阳·期中）已知数列中，，且，则 ． 【答案】 【详解】由，可得，即， 又， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，即，所以． 故答案为： 7．（2025·山东泰安·模拟预测）数列满足， 且，的前项和为，则满足不等式的的最大值是 . 【答案】5 【详解】，，且， 是以为首项, 为公比的等比数列.   ,  . , ，即， , , 的最大值是. 故答案为：5. 8．（2025·海南·模拟预测）已知首项为2数列的前项和为，且．若，则的最小值为 ． 【答案】6 【详解】由，得， 所以数列是首项为，公差为1的等差数列， 所以，即，故， 令，则， 所以数列是递增数列， 因为，， 所以当时，，即， 当时，，即， 所以的最小值为6． 故答案为：6 9．（2024·福建福州·模拟预测）已知数列中，，． (1)证明：数列为常数列； (2)求数列的前2024项和． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）依题意， ， 则化为， 而，则，因此， 所以数列为常数列. （2）由（1）知，，由，即是以6为周期的周期数列，令， 所以数列的前2024项和 . 10．（24-25高二下·辽宁大连·期中）已知数列满足， (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为． ①求； ②若，成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)① ；② 【详解】（1）由，得， 因此数列是以为首项，3为公差的等差数列，， 所以数列的通项公式. （2）①由（1）得，， ， 于是， 则， ， 所以. ②由，，得， 令，不妨设的第项取得最大值， 由，解得，即数列的最大值为， 所以，即的取值范围是. 11．（2025·云南昆明·模拟预测）设为数列的前n项和，当时，，已知，，． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）当时，， 即， 则，而，则， 于是时，，整理得， 又， 所以数列是首项和公比都是2的等比数列． （2）由（1）知，数列是首项和公比都是2的等比数列， 则，因此， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，， 所以数列的通项公式． （3）由（2）知，， ， 两式相减得，， 则． 12．（24-25高二下·河南郑州·期末）已知数列的前项和为，若，. (1)求； (2)记，数列的前项和，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为，① 所以当时，，且，所以. 当时，，② 由①②得，，整理得到， 所以，故， 故当时，，而也符合， 综上，当时，. （2）由（1）知，则，即， 所以. 又因为为递增数列，所以， 故. 13．（24-25高二下·河南南阳·期末）数列满足，.正项等比数列满足，. (1)证明数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【详解】（1）由题意得，，即，且， 所以是以2为首项，为公差的等差数列， ，. （2）设的公比为，，， 则，解得或（舍去）， ，. ，① ，② ①-②，得 ， 所以. 14．（24-25高二下·重庆·期末）已知数列的前项和为，满足，且. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，.求的前13项和. 【答案】(1) (2)7 【详解】（1）因，则， 所以数列是首项为的等差数列， 由于，得，则公差为，所以， 则的通项公式为. （2）解法一：由（1）知，，故， 所以，当时，， 又因为，代入化简可得（，）. 因为也符合上式，所以， 注意到， 所以的前13项和为. 解法二： 由（1）知，，故， 即， 又因为，所以数列是各项为的常数列，即， 所以， 注意到， 所以的前13项和为. 15．（2025·山西·模拟预测）已知数列中，，. (1)求； (2)数列满足，设为数列的前项和，证明：. (3)设，证明：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）在数列中，由，得， 则，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 则，解得. （2）由（1）知， ， ， 两式相减得， 因为，所以. （3）由题. 假设数列中存在不同的三项，，（，）构成等差数列， 则，即， 两边同时乘以，得. 因为，，所以，， 则是2的倍数，除以2余1，等式不成立. 所以假设不成立，即数列中任意不同的三项都不能构成等差数列. 16．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列满足，，． (1)求的通项公式； (2)设的前n项和为，是否存在实数，，使得是等差数列，若存在，求，的值，若不存在，说明理由； (3)记，,求． 【答案】(1) (2)存在，， (3) 【详解】（1）因为，两边同除于，则， 所以，，，， 累加可得， 所以， 则当时，， 又当；当也适合上式， 故，则. （2）由（1）可知，，，所以 则的前n项和为 要使得是等差数列，所以 要使得为一个常数， 令，则对任意恒成立， 则，解得. 所以存在存在实数，，使得是等差数列，且. （3）由（1）知,， 则. 当时，， 则； 则， 则， 故. . 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数列通项：法、累加法、累乘法、构造法专项训练 数列通项：法、累加法、累乘法、构造法专项训练 考点一 法求数列通项 1．（24-25高二下·浙江温州·期末）数列的前n项和，则（ ） A．140 B．120 C．40 D．50 2．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·广西桂林·期末）设数列的前项和为．若，，则（   ） A．61 B．121 C．125 D．364 4．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）设是数列的前n项和，若，则（   ） A． B． C．513 D．2036 5．（24-25高二下·江西南昌·期末）记数列的前项和为，且，则下列选项错误的是（   ） A． B．数列是公差为1的等差数列 C．数列是公比为4的等比数列 D．数列的前2025项和为 6．（24-25高二下·陕西渭南·期末·多选）数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（    ） A．是递增数列 B． C．当时， D．当时，取得最大值 7．（24-25高二下·江西新余·期末·多选）已知等比数列的前n项和为满足，数列满足，则下列说法正确的是（   ） A． B．设，则的最小值为12 C．若对任意的恒成立，则 D．设，若数列的前n项和为，则 8．（2025·宁夏银川·模拟预测）已知数列满足，则数列的通项公式为 . 9．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知数列满足，则 ． 10．（24-25高三下·山西大同·期末）已知数列的前n项和为，且，． (1)求的通项公式： (2)若，，求． 11．（2025·四川成都·一模）记为数列的前项和，已知，且. (1)求，，； (2)在下列两个结论中，任选一个加以证明；（若两个都证明，以首选计分） ①是等比数列；②是等比数列. (3)记为数列的前项和，求. 12．（24-25高二下·甘肃张掖·期末）已知数列的前n项和满足. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 13．（24-25高二下·广东汕尾·期末）已知数列的前n项和为，且满足，，． (1)分别求出数列中的，，的值； (2)求数列的通项公式． 14．（2025·宁夏吴忠·二模）已知数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式． (2)记，证明：． (3)记（），证明：． 15．（24-25高二下·河北秦皇岛·期末）已知数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 考点二 累加法求数列通项 1．（24-25高二下·山东德州·期中）已知数列满足，若数列是公比为3的等比数列，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·河北·期末）在数列中，，，则的通项公式为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·安徽·期中）已知数列满足，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·辽宁·期中）若数列满足（且），，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三下·云南丽江·阶段练习）已知数列 满足 ，则 （     ） A．3 B．2 C． D． 6．（2025·江西·三模·多选）已知数列的前项和为，数列的前项积为，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025·山东泰安·模拟预测·多选）已知数列的前项的和，， 若，则下列说法正确的是（    ） A．为等差数列 B． C．能取得最小值 D．当时，取得最小值 8．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）若数列满足（，且），，则 . 9．（24-25高二下·广东广州·期末）已知数列的首项，且，则的通项公式为 ；若不等式（）恒成立，则的最小值为 ． 10．（24-25高二下·福建福州·期中）已知数列满足：，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，若，求证：． 11．（24-25高二下·广东广州·期末）已知数列的首项为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，求满足条件的最大整数． 12．（2025·山东枣庄·二模）在数列中，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和的最大值. 13．（24-25高二下·北京·期中）在数列中，，． (1)求的通项公式； (2)若数列满足对任意，，且，，设其前项和为． （ⅰ）设数列的前项和为，求证：； （ⅱ）若对任意，恒成立，写出实数的最小值．（结论不要求证明） 14．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知首项为1的正项数列满足． (1)求的通项公式； (2)令（），求数列的前项和． 15．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）在数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 考点三 累乘法求数列通项 1．（24-25高二下·辽宁大连·期中）已知为数列的前项和，若，，则的值为（   ） A．23 B．24 C．25 D．26 2．（23-24高二下·山西晋城·阶段练习）已知数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·河南南阳·期中）在数列中，，则（    ） A． B． C．2025 D．5050 4．（2025·江西·模拟预测）设数列的前项和为，已知，则（    ） A．2024 B．2025 C． D． 5．（24-25高二下·辽宁·期中·多选）已知数列满足，，则（   ） A．， B．， C．，为完全立方数 D．，数列的前项和 6．（24-25高二下·辽宁·期中·多选）已知数列满足，，则（   ） A．是递减数列 B． C．当的前n项和取得最小值时， D．对任意，不等式，则 7．（24-25高二下·四川广安·阶段练习）数列中，若,，则 . 8．（2025·四川德阳·二模）数列中，满足，，则 ． 9．（24-25高三上·山东日照·开学考试）已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 10．（23-24高三上·贵州安顺·期末）记为数列的前n项和，已知，且，. (1)求的通项公式； (2)设，的前n项和为，求的最小值. 11．（23-24高二下·江西抚州·期末）已知数列的首项，且. (1)求数列的通项公式： (2)若数列的前项和为，证明：. 12．（24-25高二下·湖北荆州·开学考试）已知数列，其前项和为． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 考点四 构造法求数列通项 1．（24-25高二下·四川凉山·期中）已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·广西防城港·阶段练习）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·山西晋中·阶段练习）若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·浙江·期中）设数列的前项和为，，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·天津河北·二模）设数列的前n项和，若，则（    ） A．3059 B．2056 C．1033 D．520 6．（24-25高二下·河南南阳·期中）已知数列中，，且，则 ． 7．（2025·山东泰安·模拟预测）数列满足， 且，的前项和为，则满足不等式的的最大值是 . 8．（2025·海南·模拟预测）已知首项为2数列的前项和为，且．若，则的最小值为 ． 9．（2024·福建福州·模拟预测）已知数列中，，． (1)证明：数列为常数列； (2)求数列的前2024项和． 10．（24-25高二下·辽宁大连·期中）已知数列满足， (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为． ①求； ②若，成立，求的取值范围． 11．（2025·云南昆明·模拟预测）设为数列的前n项和，当时，，已知，，． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求． 12．（24-25高二下·河南郑州·期末）已知数列的前项和为，若，. (1)求； (2)记，数列的前项和，证明：. 13．（24-25高二下·河南南阳·期末）数列满足，.正项等比数列满足，. (1)证明数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 14．（24-25高二下·重庆·期末）已知数列的前项和为，满足，且. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，.求的前13项和. 15．（2025·山西·模拟预测）已知数列中，，. (1)求； (2)数列满足，设为数列的前项和，证明：. (3)设，证明：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列. 16．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列满足，，． (1)求的通项公式； (2)设的前n项和为，是否存在实数，，使得是等差数列，若存在，求，的值，若不存在，说明理由； (3)记，,求． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$