专题03 求离心率的值或取值范围（2重难点题型）（题型专练）-2025-2026学年高二数学考试满分全攻略同步备考系列（苏教版2019选修一）

专题03 求离心率的值或取值范围 题型梳理 题型方法 题型一 求离心率的值 题型二 求离心率的取值范围 题型方法 【题型一】求离心率的值 【例1】（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）斜率为1的直线与双曲线交于两点，点是上的一点，满足，，的重心分别为，的外心为．记直线的斜率为．若，则双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C．3 D． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知椭圆的左焦点为，过原点且斜率为的直线与椭圆交于两点，若，则椭圆的离心率为 ． 【变式2】（23-24高二下·江苏南京·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A，． (1)求的离心率； (2)若射线交椭圆于点，且，求的值． 【变式3】（22-23高二上·江苏连云港·期中）双曲线：，已知是双曲线上一点，分别是双曲线的左右顶点，直线，的斜率之积为. (1)求双曲线的离心率； (2)若双曲线的焦距为，直线过点且与双曲线交于、两点，若，求直线的方程. 【题型二】求离心率的取值范围 【例2】（23-24高二下·江苏盐城·期末）若双曲线C：的渐近线与圆没有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（23-24高二上·江苏常州·期中）分别为双曲线左右焦点，为双曲线左支上的任意一点，若最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是 . 【变式2】（22-23高二·江苏）如图，椭圆的左、右焦点分别为，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，若直线上存在点，使得，求椭圆离心率的取值范围．    【变式3】（2020高三·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点为为上一点，点在椭圆上，且． (1)若椭圆的离心率为，短轴长为，求椭圆的方程； (2)若在轴上方存在两点，使四点共圆，求椭圆离心率的取值范围． 好题必刷 一、单选题 1．（2025·江苏徐州·模拟预测）双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 2．（24-25高二上·江苏徐州·期末）椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，若C上存在一点P，使得，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，过F₁的直线与双曲线的左支相交于A，B两点，且则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·江苏扬州·期末）设椭圆的半焦距为，直线过，两点，坐标原点到直线的距离等于，则椭圆的离心率为（   ） A．1 B． C． D． 6．（24-25高二上·江苏常州·期中）设双曲线：的右焦点为，双曲线上的两点关于原点对称，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25高三上·江苏扬州·期末）已知直线是双曲线的一条渐近线，则双曲线的离心率为 ． 8．（22-23高二上·江苏南京·阶段练习）已知直线l：x＋y＝0与双曲线无公共交点，则双曲线C离心率e的取值范围为 ． 9．（22-23高二上·江苏南京·期中）已知，为椭圆左、右焦点，过椭圆的右顶点点作垂直于轴的直线，若直线上存在点满足，则椭圆离心率的取值范围为 ． 10．（24-25高二上·江苏徐州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的一条渐近线平行，交另一条渐近线于点，若，则的离心率为 . 11．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别是是椭圆上两点，四边形为矩形，延长交椭圆C于点P，若，则椭圆C的离心率为 . 12．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知是椭圆的左､右焦点，过原点的直线与交于两点，当时，四边形面积为60，且的周长为30，则的离心率大小为 ． 三、解答题 13．（21-22高二·江苏）设椭圆的两个焦点分别为，，短轴的一个端点为P． (1)若为直角，求椭圆的离心率； (2)若为钝角，求椭圆离心率的取值范围． 14．（22-23高二上·江苏连云港·期末）已知，是椭圆C：的两个焦点，P为C上一点. (1)若为等腰直角三角形，求椭圆C的离心率； (2)如果存在点P，使得，且的面积等于9，求b的值和a的取值范围. 15．（23-24高三上·江苏·阶段练习）已知双曲线的两条渐近线分别为，. (1)求双曲线的离心率； (2)为坐标原点，过双曲线上一点作直线分别交直线，于，两点（，分别在第一、第四象限），且，求的面积. 16．（23-24高二上·江苏连云港·期中）设直线与椭圆C：相交于A，B两点，点M为线段AB的中点，且直线OM的斜率为（O为坐标原点）. (1)求C的离心率； (2)若点D的坐标为，且，求C的方程. 17．（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）设椭圆的左、右焦点分别为，以线段为直径的圆与直线相切，若直线l与椭圆交于P，Q两点，坐标原点为O． (1)求椭圆的离心率； (2)若，求椭圆的方程． 18．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）如图，都是椭圆的顶点，从上一点向轴作垂线，垂足为焦点，且．    (1)求的离心率； (2)若的面积比的面积大，求的方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 求离心率的值或取值范围 题型梳理 题型方法 题型一 求离心率的值 题型二 求离心率的取值范围 题型方法 【题型一】求离心率的值 【例1】（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）斜率为1的直线与双曲线交于两点，点是上的一点，满足，，的重心分别为，的外心为．记直线的斜率为．若，则双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】由题意，取的中点为，根据中点弦结论、三角形重心和外心的定义以及离心率公式进行求解即可. 【详解】取的中点为，因为的重心为，且在中线上， 所以，由中点弦有， 所以，所以，又因为， 所以，所以， 又由，得的外心为为的中点， 所以由中点弦有,所以，即， 由有，所以， 所以， 故选：A. 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知椭圆的左焦点为，过原点且斜率为的直线与椭圆交于两点，若，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】由对称性不妨设，则，由已知可得，解得，可得，进而可得，结合通径可得，求解即可. 【详解】由对称性不妨设，则， 所以，    由，可得，解得，所以， 所以，因为直线斜率为，所以， 所以，又由通径长可得，所认， 所以，所以，又，所以. 故答案为： 【变式2】（23-24高二下·江苏南京·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A，． (1)求的离心率； (2)若射线交椭圆于点，且，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先得到，即，从而得到，求出离心率； （2）变形得到椭圆方程为，直线为，两方程联立，求出，由弦长公式列出方程，求出，求出. 【详解】（1）令，依题意可得上顶点，左，右焦点分别为， 所以， 又， 所以，即，即， 所以， 所以离心率； （2）由（1）可得，则椭圆方程为， 直线的方程为， 联立，整理可得， 解得或， 则，即， 所以，所以， 解得，所以． 【变式3】（22-23高二上·江苏连云港·期中）双曲线：，已知是双曲线上一点，分别是双曲线的左右顶点，直线，的斜率之积为. (1)求双曲线的离心率； (2)若双曲线的焦距为，直线过点且与双曲线交于、两点，若，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由点在双曲线上得到，再由，的斜率之积为得到，从而得到，由此可求得双曲线的离心率； （2）先由条件求得双线曲方程，再联立直线与双曲线得到，又由得到，从而求得值，由此可得直线的方程. 【详解】（1）因为是双曲线E上一点， 可得，即为， 由题意可得，， 可得，即有. （2）由题意可得，，则双曲线的方程为， 易知直线斜率存在，设直线的方程为， 联立直线与双曲线的方程，可得， 设，则，，① 又，可得，② 由①②可得， ， 代入①可得，解得， 则直线l的方程为. 【题型二】求离心率的取值范围 【例2】（23-24高二下·江苏盐城·期末）若双曲线C：的渐近线与圆没有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离大于半径求得a和b的关系，进而利用求得a和c的关系，则双曲线的离心率可求． 【详解】双曲线渐近线为，且与圆没有公共点， 圆心到渐近线的距离大于半径，即，，，． 故选：B． 【举一反三】【变式1】（23-24高二上·江苏常州·期中）分别为双曲线左右焦点，为双曲线左支上的任意一点，若最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】由双曲线定义，变形后由基本不等式得最小值，从而得，再利用双曲线中的范围有，由此结合可得离心率的范围． 【详解】是左、右焦点，为双曲线左支上的任意一点， 所以，代入， 得， 当且仅当时取等号，即， 又点是双曲线左支上任意一点，所以， 即：. 故答案为：． 【变式2】（22-23高二·江苏）如图，椭圆的左、右焦点分别为，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，若直线上存在点，使得，求椭圆离心率的取值范围．    【答案】 【分析】直线上存在点，使得，则以点为圆心，为半径的圆总和线段有公共点，即点到直线的距离，由此列不等式求解即可. 【详解】由题意可知，， 则直线方程为，整理得， 若直线上存在点，使得， 则以点为圆心，为半径的圆总和线段有公共点， 即点到直线的距离， 所以，即， 又， 所以，整理得，即， 又由且可得， 解得. 【变式3】（2020高三·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点为为上一点，点在椭圆上，且． (1)若椭圆的离心率为，短轴长为，求椭圆的方程； (2)若在轴上方存在两点，使四点共圆，求椭圆离心率的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程. （2）先判断出圆的直径，求得点的横坐标，根据点，均在轴上方列不等式，化简求得离心率的取值范围. 【详解】（1）设椭圆的焦距为，由题意，可得， 解得，，， ∴椭圆的方程为. （2）方法一：设，，的中点为， ， ∵， 则的外接圆即为以为直径的圆的方程为： ， 整理得：， 由题意，焦点，原点均在该圆上， ∴， 消去可得， ∴， ∵点，均在轴上方， ∴ 即， ∴， ∵， ∴， 方法二：∵，，，四点共圆且， ∴为圆的直径 ∴圆心必为中点， 又圆心在弦的中垂线上， ∴圆心的横坐标为， ∴点的横坐标为， ∵点，均在轴上方， ∴ 即， ∴， ∵， ∴， 故的范围为． 好题必刷 一、单选题 1．（2025·江苏徐州·模拟预测）双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据双曲线的离心率公式计算即可. 【详解】由题可得， 故选：A 2．（24-25高二上·江苏徐州·期末）椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出、的值，即可得出该椭圆的离心率的值. 【详解】在椭圆中，，，， 故该椭圆的离心率为. 故选：D. 3．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，若C上存在一点P，使得，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆定义，结合椭圆的性质即可求解. 【详解】根据椭圆定义可得，又，故， 因此，故，故， 故选：D 4．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，过F₁的直线与双曲线的左支相交于A，B两点，且则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由双曲线的定义求得，，结合，利用列出方程求得，再由，求得的关系式，结合离心率的定义，即可求解. 【详解】因为，设，则， 又由双曲线的定义，得，， 所以，， 又因为，可得，即， 解得， 由，即，可得， 双曲线C的离心率为. 故选：C. 5．（24-25高二上·江苏扬州·期末）设椭圆的半焦距为，直线过，两点，坐标原点到直线的距离等于，则椭圆的离心率为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】确定方程，由点到直线距离等于，列出等式求解即可； 【详解】由题意易知直线方程为：，即， 原点到直线的距离为， ， 所以， 所以，即， 所以， 所以， 故选：B 6．（24-25高二上·江苏常州·期中）设双曲线：的右焦点为，双曲线上的两点关于原点对称，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性结合，得到四边形为矩形，设，，在直角中，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到，再根据，得到的范围，从而利用对勾函数的值域得到的范围，进而由即可得解. 【详解】如图所示： 设双曲线的左焦点，由双曲线的对称性可知，四边形为平行四边形， 又，则，所以平行四边形为矩形，故， 设，，则， 在中，，， 所以，则， 所以， 令，得， 又由，得， 因为对勾函数在上单调递增，所以， 所以 ，即， 则，故， 所以， 所以双曲线离心率的取值范围是， 故选：A 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用椭圆的对称性证得四边形为矩形，再利用椭圆的定义与勾股定理，结合条件得到关于的齐次不等式，从而得解. 二、填空题 7．（24-25高三上·江苏扬州·期末）已知直线是双曲线的一条渐近线，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出值，进而求出离心率即可. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为，所以，即， 因此双曲线方程为，所以双曲线的离心率. 故答案为： 8．（22-23高二上·江苏南京·阶段练习）已知直线l：x＋y＝0与双曲线无公共交点，则双曲线C离心率e的取值范围为 ． 【答案】 【分析】双曲线的一条渐近线方程为，由直线与双曲线无公共点，得，进而可得答案． 【详解】双曲线的一条渐近线方程为， 因为直线与双曲线无公共点， 所以，即， 所以， 又， 所以离心率的取值范围为， 故答案为： 9．（22-23高二上·江苏南京·期中）已知，为椭圆左、右焦点，过椭圆的右顶点点作垂直于轴的直线，若直线上存在点满足，则椭圆离心率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】过，点作圆，使得，进而得在优弧上运动，再根据几何关系得圆的圆心为，半径为，再根据直线与优弧有交点得，进而求得离心率的范围. 【详解】解：如图，过，点作圆，使得， 所以，由同弧所对圆周角为定角可知，即在优弧上运动， 所以，由可得，即， 所以，圆的圆心为，半径为， 又因为在直线上， 所以直线与优弧有交点，即， 所以，即椭圆离心率的取值范围为. 根据对称性，同理，圆心可以在轴下方时，方法相同，答案相同. 故答案为： 10．（24-25高二上·江苏徐州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的一条渐近线平行，交另一条渐近线于点，若，则的离心率为 . 【答案】 【分析】先求出点的坐标，再利用建立等式，最后通过双曲线的性质求出离心率. 【详解】对于双曲线，其渐近线方程为. 设，过的直线与一条渐近线平行，则该直线方程为. 与另一条渐近线联立，可得， ，，. 将代入，可得，所以. 已知，则. 因为，所以. 又因为双曲线的离心率，且， 把代入可得，即. 所以离心率. 故答案为：. 11．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别是是椭圆上两点，四边形为矩形，延长交椭圆C于点P，若，则椭圆C的离心率为 . 【答案】 【分析】设，则，，表示出，在中求出，再结合椭圆的定义可得，然后在中利用勾股定理列方程可求出离心率． 【详解】 设，则由题意可得，，， 所以， 在中，， 因为，所以，解得， 所以，， 因为，所以， 所以，解得， 所以离心率． 故答案为：． 12．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知是椭圆的左､右焦点，过原点的直线与交于两点，当时，四边形面积为60，且的周长为30，则的离心率大小为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，结合椭圆的对称性可得四边形为矩形，结合勾股定理及椭圆定义建立关系求出即可得解. 【详解】令椭圆的半焦距为c，依题意，点关于原点对称，而是的中点，又， 则四边形为矩形，有，， 于是，由的周长为30， 得， 则，解得，所以的离心率. 故答案为： 三、解答题 13．（21-22高二·江苏）设椭圆的两个焦点分别为，，短轴的一个端点为P． (1)若为直角，求椭圆的离心率； (2)若为钝角，求椭圆离心率的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，从而可表示出，从而可求出离心率， （2）利用余弦定理可得的关系，进而可求出离心率的范围 【详解】（1）因为为直角， 所以为等到腰直角三角形， 所以， 所以， 所以离心率为 （2）因为为钝角， 所以, 所以， 所以, 所以 得，， 所以，即， 因为 所以离心率的范围为 14．（22-23高二上·江苏连云港·期末）已知，是椭圆C：的两个焦点，P为C上一点. (1)若为等腰直角三角形，求椭圆C的离心率； (2)如果存在点P，使得，且的面积等于9，求b的值和a的取值范围. 【答案】(1)或 (2)， 【分析】（1）根据或或进行分类讨论，通过求来求得椭圆的离心率. （2）根据已知条件列方程求得，判断出，结合求得的取值范围. 【详解】（1）为等腰直角三角形可知有三种情况． 当时，，，于是， 得；当时，同理求得； 当时，则P在椭圆短轴的端点，， ，解得， 所以椭圆的离心率为或. （2）设，由的面积等于9，得，① 由，得，② 再由P在椭圆上，得，③ 由②③及，得，又由①知，故， 由②③得，，从而，故， ，时存在满足条件的点P， 故，a的取值范围为 15．（23-24高三上·江苏·阶段练习）已知双曲线的两条渐近线分别为，. (1)求双曲线的离心率； (2)为坐标原点，过双曲线上一点作直线分别交直线，于，两点（，分别在第一、第四象限），且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据渐近线方程可得，再通过离心率公式求得离心率； （2）根据双曲线过点可得双曲线方程，由已知可设点，，再由，可得，，进而可得，设直线的倾斜角为，则，即可得，即可得的面积. 【详解】（1）因为双曲线的渐近线分别为，， 所以，， 所以双曲线的离心率为； （2）由（1）得， 则可设双曲线， 因为在双曲线上， 所以，则双曲线的方程为， 又点，分别在与上， 设，， 因为， 所以， 则，， 又，同理得， 设的倾斜角为，且，则， 所以. 【点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可. 16．（23-24高二上·江苏连云港·期中）设直线与椭圆C：相交于A，B两点，点M为线段AB的中点，且直线OM的斜率为（O为坐标原点）. (1)求C的离心率； (2)若点D的坐标为，且，求C的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直线与椭圆联立，由韦达定理求出直线的斜率，即可得出C的离心率； （2）由角度相等得出，结合（1）中，求出的值，即可求出C的方程. 【详解】（1）由题意，    设，， ，C的离心率为. 联立方程组并消去y，得. 所以判别式，， 因为点M为线段AB的中点，所以，. 因为直线OM的斜率为，所以， 所以， 所以椭圆的离心率为 （2）由题意及（1）得，    由，知. 所以，即. 整理得，. 所以，化简得. 又由（1）知，，联立方程组解得，，. 经检验，满足， 所以C的方程为：. 17．（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）设椭圆的左、右焦点分别为，以线段为直径的圆与直线相切，若直线l与椭圆交于P，Q两点，坐标原点为O． (1)求椭圆的离心率； (2)若，求椭圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）利用点到直线的距离公式求出，再根据，求出离心率； （2）根据（1）结论得到直线方程，设,联立方程，化为一元二次方程，根据根与系数关系求出，再利用,求出，得到椭圆标准方程. 【详解】（1）根据题意可得， ①，②， 由①②化简可得，，解得，或 又，所以. （2） 设，由，可知， 则直线方程可化为：，即，椭圆方程：， 联立，消去，得， 易知，则，， 所以 ， 由，则，则，解得，则， 故椭圆的方程.   . 18．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）如图，都是椭圆的顶点，从上一点向轴作垂线，垂足为焦点，且．    (1)求的离心率； (2)若的面积比的面积大，求的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，求出，，又，即可得到，，进而求出离心率； （2）由题意，，结合图形可得，解得，，得出椭圆方程. 【详解】（1）由题意可得， ，． 由，，解得，， 故椭圆的离心率为． （2）由题意， 又因为，， 所以， 化简得 又因为， 所以， 解得，， 所以椭圆. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是应用转化思想注意图形特征得出，再结合已知化简计算求解得出，即可 1 学科网（北京）股份有限公司 $$