2.1.1两角和与差的余弦公式教案-2024-2025学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

2.1.1 两角和与差的余弦公式 姓名：买春雨 科目：数学 学段：高一 学校：景泰一中 学科网（北京）股份有限公司 2.1.1 两角和与差的余弦公式 教材：湖南教育出版社《普通高中教科书.数学.必修第二册§2.1.1节》 （新授课） 一、教材分析 本节课是高中数学必修第二册《第2章 三角恒等变换》的第1小节第一课时，三角恒等变换是以代数变换与同角三角函数式的变换的学习为基础，建立起一套包含两个角的和与差的三角函数公式就是本章的首要任务，作为本章的第一课，两角和与差的余弦公式是本节所有公式的出发点，教材首探究得出两角和与差的余弦公式，再在此基础上通过变换得出两角的和与差的其他公式.因此，两角和与差的余弦公式探究与证明既是本节的教学重点，也是难点.课程标准对本节课内容提出了具体要求，即通过引导学生探究与证明得出两角和与差的余弦公式，并了解它们的内在联系，通过公式的推导，培养学生大胆猜想、勇于置疑、严谨、求实的科学态度，锻炼学生的数学思维，运用它们进行简单的三角恒等变形和化简求值.也为后面的两角的和与差的其他公式推导打好基础.并运用其解决简单的化简问题. 2、 学情分析 学生已经学习了向量的相关知识，从而为本节课的学习提供了知识储备，教学中要引导学生用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，从而深化理解和掌握各公式的来龙去脉，并能运用公式进行恒等变形或化简求值. 三、教学目标 1．理解用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，体验和感受数学发现和创造的过程，体会向量和三角函数间的联系； 2．由两角差的余弦公式推出两角和的余弦公式，理解化归思想在三角变换中的作用； 3．掌握用两角和与差的余弦公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式的证明． 四、教学重、难点 重点：两角和与差的余弦公式的推导与应用； 难点：两角和与差的余弦公式的证明. 五、核心素养 培养学生数学抽象、逻辑推理与数学运算的核心素养. 六、教学流程 回顾旧知 → 情景引入 → 新知探索 → 典例剖析 → 练习巩固 → 归纳小结 七、教学过程 教学环节 教学内容 师生活动 设计意图 (一）回 顾旧 知 复习1 诱导公式 sin(α+2kπ)= （k∈Z） cos(α+2kπ)= （k∈Z） 复习2 利用诱导公式化简 cos(−β)= cos(−β)= 回顾旧知： 1. 终边相同的角的三角函数相同； 2. 两个角互为余角时，一个角正弦值等于另一个角的余弦值 回顾旧知，引出本节课课题，为本节课新知学习做铺垫． (二）情景引 入 问题1：cos 15°=? 思考1：cos(α-β)=？ 教师提出问题，引导学生思考． 激发学生学习兴趣． (三）新 知探 索 (三）新 知探 索 1. 两角差的余弦公式 当α−βϵ[0，π]时，如图，以点O为圆心做单位圆，以x轴非负半轴为始边作角α,β ,它们的终边分别与单位圆相交于点A， B. 问题2：小组讨论，完成以下问题： 1.利用三角函数写出点A， B坐标； 2.∠AOB如何利用已知角表示； 3.如何表示. O 思考2：在向量中角的范围是什么？那么这个公式适用于是任意角的情况吗？ 两角差的余弦公式：通过讨论归纳出两角差的余弦公式： （简记为） 2.两角和的余弦公式 问题3：如何由两角差的余弦公式推出两角和的余弦公式呢? 思考3: α+β和α-β之间有什么联系？ 两角和的余弦公式：归纳出两角和的余弦公式： 　（简记为） 注意：(1)公式中的是“任意角”； (2)公式结构特点：“余余正正，符号反”；结构简记“CC-SS”. 提示学生联系与角的余弦相关的知识点，明确以向量运算中的数量积与三角函数线作为研究途径.（怎样构造角？由于我们要求两角差的余弦，涉及三角函数问题，故可考虑运用单位圆中的向量知识和角的余弦线来证明.） 小组讨论交流，各抒己见，教师引导学生归纳. 引导学生利用两角差的余弦公式和诱导公式推导出两角和的余弦公式. 引导学生主动思考，利用旧知探究新知，提高学生探索发现的能力. 提问式教学，通过层层设问引导学生积极思考，逐步递进，让学生深入理解两角差的余弦公式． 由两角差的余弦公式推出两角和的余弦公式，理解化归思想在三角变换中的作用. (四） 典 例剖 析 例1.(1)求15º的余弦值; (2)求75º的余弦值. 例2. 求下列各式的值. (1)； (2)； . 变式： 例1引导总结：利用新知解决本节课一开始提出的问题.引导学生用两个特殊的和或差表示所求的角，然后套用公式进行计算. 例2引导总结：引导学生逆用公式求值，然后观察分析角，转换角后使用公式. 首尾呼应. 例1题让学生进一步强化公式的运用． 例2题让学生在熟练运用公式的基础上，逆向应用公式． (五）练 习巩 固 练习 求下列各式的值 给出练一练，学生在纸上写出答案． 练习2找三位学生上黑板练习，请其余学生纠正错误，指出所应用的知识点． 练习1强化公式的灵活运用. 练习2 进一步加强两角和与差的余弦公式的应用. (六）能 力提 升 已知.且角分别是第二、四象限的角，求的值. 引导总结：引导学生先用同角关系求出已知角的正余弦值，再利用所公式解决问题. 进一步让学生体会用余弦公式解决简单的含字母表达的三角运算题. (七）归 纳小 结 本节课我们学习了哪些内容？ （知识点、数学思想和数学方法） 学生思考讨论，归纳总结． 系统梳理整节课所学内容． (八）作 业布 置 思考4：你还能想到其他的推导方法吗？ 三角函数线 三角形全等 余弦定理 三角形面积 1.1.课本P70 练习1、2、3（必做）； 2.资料《2.1.1 两角和与差的余弦公式》（必做）； 《课时评价作业》相应小节（选做）. 学生课后完成． 巩固所学知识． 七、板书设计 2.1.1 两角和与差的余弦公式 1.两角差的余弦公式 2.两角和的余弦公式 注意： 多媒体课件区域 典例精解 (归纳总结方法) 八、课后反思 1 学科网（北京）股份有限公司 $$