专题2.4 一元二次方程根与系数的关系与根的判别式（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）基础知识专项突破讲练2025-2026学年九年级数学上册（北师大版 ）

专题2.4 一元二次方程根与系数的关系与根的判别式 目录 一.知识梳理与题型精析 1 知识点（一）一元二次方程根与系数的关系 1 【题型1】利用一元二次方程根与系数关系求值 1 【题型2】利用一元二次方程根与系数关系与一元二次方程的根综合求值 2 【题型3】利用一元二次方程根与系数关系与一次函数综合求值 2 【题型4】利用一元二次方程根与系数关系与几何综合求值 2 知识点（二）一元二次方程根与系数关系与根的判别式 3 【题型5】利用根的判别式判断一元二次方程根的情况 3 【题型6】利用根据一元二次方程根的情况求参数 4 【题型7】利用一元二次方程根与系数关系与根的判别式综合求值 4 【题型8】利用一元二次方程根与系数关系与根的判别式综合求值证明 4 二．同步练习 5 1. 基础夯实（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 5 2. 能力提升（选择题8题，填空题8题，解答题4题） 6 3. 直通中考（选择题8题，填空题8题，解答题4题） 8 一.知识梳理与题型精析 知识点（一）一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程根与系数的关系推导： 解：． 　　　∴，或． ∴； . 【题型1】利用一元二次方程根与系数关系求值 【例题1】（24-25九年级上·江西上饶·期末）若方程的两根为，，不解方程，求下列代数式的值． （1）______，______； （2）； 【变式1】（2025·广西梧州·三模）已知实数，是关于的一元二次方程的两个根，则代数式的值是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·山东烟台·期中）若是关于的方程的两实数根，则的值为 ． 【题型2】利用一元二次方程根与系数关系与一元二次方程的根综合求值 【例题2】（24-25八年级下·山东济宁·期末）若，是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 【变式1】（2025九年级上·全国·专题练习）已知和是方程的两个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·山东烟台·期末）已知a，b是方程的两个根，则的值为 【题型3】利用一元二次方程根与系数关系与一次函数综合求值 【例题3】（23-24九年级上·云南文山·阶段练习）关于x的一元二次方程有两个实数根m，n，那么一次函数的图象一定不经过的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】（2023·安徽合肥·二模）一元二次方程有两个实数根a，b，那么一次函数的图象一定不经过的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）若k，b是一元二次方程的两个实数根（），在一次函数中，随的增大而减小，则一次函数的图象一定经过第 象限． 【题型4】利用一元二次方程根与系数关系与几何综合求值 【例题4】（24-25八年级下·北京·期末）已知菱形边长为5，面积为24，其两条对角线的长分别是一元二次方程的两根，则这个一元二次方程为 ． 【变式1】（22-23九年级上·山西运城·阶段练习）如图，矩形的周长为12，面积为5，且和的长恰好是方程的两根，则m和n的值分别为（    ）． A．，5 B．12， C．6，5 D．，5 【变式2】（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中）在平行四边形中，的长分别等于一元二次方程两根之和与两根之积，则对角线长的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 知识点（二）一元二次方程根与系数关系与根的判别式 一元二次方程根的判别式：. ①当，原方程有两个不相等的实数根; ②当，原方程有两个相等的实数根; ③当，原方程没有实数根. 【题型5】利用根的判别式判断一元二次方程根的情况 【例题5】（2025·广东梅州·一模）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为，且为正数，求的值． 【变式1】（24-25八年级下·浙江·阶段练习）已知关于x的方程，下列说法中正确的是（    ） A．当时，方程有两个不相等的实根 B．当时，方程无解 C．当时，方程只有一个实根 D．当时，方程一定有两个不相等的实根 【变式2】（2025·上海金山·二模）利用根的判别式判断方程（为常数）的根的情况是 ． 【题型6】利用根据一元二次方程根的情况求参数 【例题6】（24-25八年级下·云南昆明·期末）已知，是关于x的一元二次方程的两实数根． （1）求m的取值范围； （2）已知等腰的底边，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 【变式1】（24-25九年级上·吉林·期中）若关于x的一元二次方程：没有实数根，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·安徽宣城·期末）关于x的一元二次方程方程有实数根，则m的取值范围是 ． 【题型7】利用一元二次方程根与系数关系与根的判别式综合求值 【例题7】（24-25八年级下·山东济宁·期末）已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值． 【变式1】（24-25八年级下·安徽安庆·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则（） A．或1 B．1 C．3或 D． 【变式2】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）若，是关于的一元二次方程的两个根，且，则的值 ． 【题型8】利用一元二次方程根与系数关系与根的判别式综合求值证明 【例题8】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知：平行四边形的两边、的长是关于x的方程的两个实数根， （1）试说明：无论m取何值方程总有两个实数根． （2）若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？ 【变式1】（24-25九年级上·甘肃天水·期中）关于的一元二次方程． （1）证明：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）在中，斜边，、的长恰是方程的两个根，求的面积． 【变式2】（24-25九年级下·福建福州·期中）已知关于x的方程． （1）若方程有两个相等的实数根，求p的值． （2）若方程的两个实数根分别为与，若都为正整数，求证为偶数． 二．同步练习​ 1. 基础夯实（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 一、单选题 1．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）已知是一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2025 B． C．1 D． 2．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（   ） A．2或6 B．3或5 C．4 D．6 3．（24-25八年级下·福建福州·期末）设m，n是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 4．（24-25八年级下·山东烟台·期末）已知α，β是方程的两个实数根，则式子的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期末）如果关于的一元二次方程（均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．若一元二次方程（均为常数）为“邻根方程”，下列选项符合满足的数量关系的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）已知关于的一元二次方程，则下列判断中不正确的是（　　） A．若方程有一根为1，则 B．若异号，则方程必有解 C．若，则方程两根互为相反数 D．若，则方程有一根为0 二、填空题 7．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）若关于x的一元二次方程一根为，则另一根是 ． 8．（2025·内蒙古鄂尔多斯·三模）已知，是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 9．（24-25八年级下·山东威海·期末）已知实数，满足．则 ． 10．（2025·河北邯郸·三模）若，是方程的两个实数根，则的值为 ． 11．（2025·内蒙古鄂尔多斯·三模）已知关于x的一元二次方程有两个同正的实数根，则m的取值范围是 ． 12．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）设、是方程的两根，则 ． 三、解答题 13．（24-25八年级下·山东泰安·期末）关于x得一元二次方程． （1）若该方程有实数根，求m的取值范围； （2）若该方程有两个实数根、（）且，求m的值． 14．（24-25八年级下·安徽六安·期末）已知关于x的方程 （1）说明无论k取何实数值，该方程必有两个实数根； （2）若该方程的两根分别是，且，求k的值． 2. 能力提升（选择题8题，填空题8题，解答题4题） 一、单选题 1．（2025·湖北十堰·模拟预测）已知实数a，b满足，，若关于x的一元二次方程．的两个实数根分别为，，则的值为（  ） A． B． C． D． 2．（2025·河北邯郸·二模）已知是关于x的方程的一个解，该方程的另一个解为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河南焦作·期中）若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为，则该菱形的边长为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·福建三明·期中）阅读材料：如果是一元二次方程的两个实数根，则有．创新应用：如果是两个不相等的实数，且满足，那么代数式的值为（   ） A．2019 B．2023 C．2022 D．2024 5．（24-25九年级上·福建泉州·期中）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2002 B．2003 C．2004 D．2005 6．（2021·四川泸州·一模）关于x的一元二次方程有两个实数根则代数式的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 二、填空题 7．（24-25八年级下·江苏南通·期末）设m，n分别为方程的两个实数根，则 ． 8．（24-25九年级下·江苏苏州·自主招生）已知是一元二次方程的两个根，且，求整数 ． 9．（2025·福建龙岩·一模）关于的一元二次方程的两实根满足，则的值为 ． 10．（24-25八年级下·山东烟台·期中）若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为，则该菱形的边长为 ． 11．（2025·山东烟台·一模）已知关于的一元二次方程的两个实数根的差为，则的值为 ． 12．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）若关于的一元二次方程． （1）该方程根的情况是 （填“两个相等实根”、“两个不相等实根”或“无实根”）； （2）当时，相应的一元二次方程的两个根分别记为，则的值为 ． 三、解答题 13．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个相等的实数根，求的值； （2）若方程有一个根是，求另一个根． 14．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）当时，方程的两个根是，，求的值． 3. 直通中考（选择题8题，填空题8题，解答题4题） 一、单选题 1．（2025·广西·中考真题）已知是方程的两个实数根，则（   ） A． B． C．20 D．25 2．（2024·山东日照·中考真题）已知，实数是关于x的方程的两个根，若，则k的值为（    ） A．1 B． C． D． 3．（2021·湖北武汉·中考真题）已知，是方程的两根，则代数式的值是（    ） A．-25 B．-24 C．35 D．36 二、填空题 4．（2022·四川巴中·中考真题）、是关于的方程的两个实数根，且，则的值为 ． 5．（2021·湖北鄂州·中考真题）已知实数、满足，若关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，则 ． 三、解答题 6．（2021·北京·中考真题）已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值． 7．（2022·四川凉山·中考真题）阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝ 材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值． 解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n， ∴m＋n＝1，mn＝－1， 则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ． （2）类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值． （3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.4 一元二次方程根与系数的关系与根的判别式 目录 一.知识梳理与题型精析 1 知识点（一）一元二次方程根与系数的关系 1 【题型1】利用一元二次方程根与系数关系求值 1 【题型2】利用一元二次方程根与系数关系与一元二次方程的根综合求值 3 【题型3】利用一元二次方程根与系数关系与一次函数综合求值 4 【题型4】利用一元二次方程根与系数关系与几何综合求值 6 知识点（二）一元二次方程根与系数关系与根的判别式 7 【题型5】利用根的判别式判断一元二次方程根的情况 7 【题型6】利用根据一元二次方程根的情况求参数 9 【题型7】利用一元二次方程根与系数关系与根的判别式综合求值 11 【题型8】利用一元二次方程根与系数关系与根的判别式综合求值证明 13 二．同步练习 15 1. 基础夯实（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 15 2. 能力提升（选择题8题，填空题8题，解答题4题） 22 3. 直通中考（选择题8题，填空题8题，解答题4题） 32 一.知识梳理与题型精析 知识点（一）一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程根与系数的关系推导： 解：． 　　　∴，或． ∴； . 【题型1】利用一元二次方程根与系数关系求值 【例题1】（24-25九年级上·江西上饶·期末）若方程的两根为，，不解方程，求下列代数式的值． （1）______，______； （2）； 【答案】（1）2，；（2） 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键． （1）根据一元二次方程根与系数关系即可得到答案； （2）把原式变形为，把（1）中的结果整体代入即可得到答案； 解：（1）解：∵方程的两根为，， ∴，， 故答案为：2，； （2） 【变式1】（2025·广西梧州·三模）已知实数，是关于的一元二次方程的两个根，则代数式的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的根与系数的关系、已知式子的值，求代数式的值，解题关键是熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系． 先将方程整理为标准形式，利用根与系数的关系求出根的和与积，再将代数式变形后代入计算即可． 解：原方程 移项得， 依题得 、是方程的两个实数根， ，， ， 原式． 故选：． 【变式2】（24-25九年级下·山东烟台·期中）若是关于的方程的两实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系，分式的求值，完全平方公式的变形应用，熟练掌握的两根满足是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数关系得到，，然后将变形后整体代入求解即可． 解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型2】利用一元二次方程根与系数关系与一元二次方程的根综合求值 【例题2】（24-25八年级下·山东济宁·期末）若，是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 【答案】4 【分析】根据题意，得，，变形代入，计算解答即可． 本题主要考查了根与系数的关系，方程根的定义，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 解：，是一元二次方程的两个根， 则，， ∴， ∴， 故答案为：4． 【变式1】（2025九年级上·全国·专题练习）已知和是方程的两个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，熟记相关结论：若一元二次方程的两个根为，则，，利用根与系数的关系得出，再利用，即可求解． 解：∵是方程的两个根， ∴， 又∵是方程的根， ∴， ∴， 故选 D． 【变式2】（24-25九年级下·山东烟台·期末）已知a，b是方程的两个根，则的值为 【答案】5 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．利用一元二次方程根与系数的关系以及解的定义，结合整体思想即可解决问题． 解：因为a，b是方程的两个根， 所以，， 则， 所以 故答案为： 【题型3】利用一元二次方程根与系数关系与一次函数综合求值 【例题3】（23-24九年级上·云南文山·阶段练习）关于x的一元二次方程有两个实数根m，n，那么一次函数的图象一定不经过的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系推断出和的值，从而得到一次函数不经过哪个象限． 解：∵m和n是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴一次函数的图象不经过第三象限． 故选：C． 【点拨】本题考查一元二次方程根与系数的关系和一次函数图象的性质，解题的关键是掌握一次函数的性质． 【变式1】（2023·安徽合肥·二模）一元二次方程有两个实数根a，b，那么一次函数的图象一定不经过的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据根与系数的关系即可求出与的值，然后根据一次函数的图象与性质即可求出答案． 解：由根与系数的关系可知：，， ∴一次函数解析式为：， 故一次函数的图象一定不经过第三象限． 故选：C． 【点拨】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一次函数的图象与性质． 【变式2】（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）若k，b是一元二次方程的两个实数根（），在一次函数中，随的增大而减小，则一次函数的图象一定经过第 象限． 【答案】一、二、四 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一次函数的性质，由一元二次方程根与系数的关系可得，由一次函数的性质可得，从而可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：∵k，b是一元二次方程的两个实数根（）， ∴， ∵， ∴， ∵在一次函数中，随的增大而减小， ∴， ∴， ∴一次函数的图象一定经过第一、二、四象限， 故答案为：一、二、四． 【题型4】利用一元二次方程根与系数关系与几何综合求值 【例题4】（24-25八年级下·北京·期末）已知菱形边长为5，面积为24，其两条对角线的长分别是一元二次方程的两根，则这个一元二次方程为 ． 【答案】 【分析】先根据菱形的性质，设出对角线长，利用菱形面积公式和勾股定理得到关于对角线长的两个等式，再结合根与系数的关系确定一元二次方程． 解：设菱形的两条对角线长分别为，． ∵菱形面积等于对角线乘积的一半，且面积为 ∴，即 又∵菱形对角线互相垂直平分，边长为，根据勾股定理，，化简得 由完全平方公式，把，代入，可得， ∴（因为对角线长为正，舍去负根） ∵，是一元二次方程的两根，根据韦达定理，两根之和，两根之积 ∴，即； ∴这个一元二次方程为 故答案为： ． 【点拨】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、完全平方公式以及根与系数的关系，熟练掌握菱形性质和根与系数的关系是解题的关键． 【变式1】（22-23九年级上·山西运城·阶段练习）如图，矩形的周长为12，面积为5，且和的长恰好是方程的两根，则m和n的值分别为（    ）． A．，5 B．12， C．6，5 D．，5 【答案】A 【分析】根据长方形的周长和面积即可得出长与宽的和以及长与宽的积，再结合一元二次方程跟与系数的关系即可求解． 解：∵矩形的周长为12，面积为5， ∴，， ∵和的长恰好是方程的两根， ∴，， ∴，， 故选：A． 【点拨】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程两根之和为，两根之积为． 【变式2】（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中）在平行四边形中，的长分别等于一元二次方程两根之和与两根之积，则对角线长的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，三角形三边关系；先根据公式计算出一元二次方程的两根之和与两根之积，再结合三角形三边关系即可求出． 解：根据题意， ∴ ∴ 故选：C． 知识点（二）一元二次方程根与系数关与根的的判别式 一元二次方程根的判别式：. ①当，原方程有两个不相等的实数根; ②当，原方程有两个相等的实数根; ③当，原方程没有实数根. 【题型5】利用根的判别式判断一元二次方程根的情况 【例题5】（2025·广东梅州·一模）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为，且为正数，求的值． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解，熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系是解题的关键： （1）求出判别式的符号，进行判断即可； （2）把代入方程，进行求解即可． 解：（1）证明：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）把代入，得：， 解得：或； ∵为正数， ∴． 【变式1】（24-25八年级下·浙江·阶段练习）已知关于x的方程，下列说法中正确的是（    ） A．当时，方程有两个不相等的实根 B．当时，方程无解 C．当时，方程只有一个实根 D．当时，方程一定有两个不相等的实根 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及一元一次方程的解．需分别代入各选项中的k值，计算判别式或直接解方程，判断根的情况． 解：A：当时，方程为，解得，有两个不相等的实根，正确． B：当时，方程为，解为，有解，原说法错误． C：当时，方程为：，判别式，方程有两个不相等的实根，原说法错误． D：当时，判别式．当时，，方程有两个相等实根，故“一定有两个不相等的实根”错误． 故选A． 【变式2】（2025·上海金山·二模）利用根的判别式判断方程（为常数）的根的情况是 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． 解：因为一元二次方程为（为常数）， 则， 所以此一元二次方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 【题型6】利用根据一元二次方程根的情况求参数 【例题6】（24-25八年级下·云南昆明·期末）已知，是关于x的一元二次方程的两实数根． （1）求m的取值范围； （2）已知等腰的底边，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 【答案】（1）且；（2）10 【分析】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质； （1）利用二次项系数非零及根的判别式，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围； （2）利用等腰三角形的性质，可得出，进而可得出，解之可得出m的值，将其代入原方程，可求出，的值，再利用三角形的周长公式，即可求出结论． 解：（1）解：∵，是关于x的一元二次方程的两实数根， ∴， 解得：且， ∴m的取值范围为且； （2）解：∵等腰的底边，且，恰好是另外两边的边长， ∴， ∴， 解得：， ∴原方程为， ∴， ∵3，3，4可以组成三角形， ∴这个三角形的周长为． 【变式1】（24-25九年级上·吉林·期中）若关于x的一元二次方程：没有实数根，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式． 根据一元二次方程根的判别式，当判别式小于0时，方程无实数根计算即可． 解：原方程移项得， 其中，，， ∴， ∵关于x的一元二次方程：没有实数根， ∴，即， 解得， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·安徽宣城·期末）关于x的一元二次方程方程有实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查根的判别式，根据一元二次方程的二次项系数不为0，方程有实数根，得到判别式大于等于0，列出不等式进行求解即可． 解：由题意，得：且， 解得：且； 故答案为：且． 【题型7】利用一元二次方程根与系数关系与根的判别式综合求值 【例题7】（24-25八年级下·山东济宁·期末）已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系；能熟练利用一元二次方程根的判别式及根与系数的关系进行求解是解题的关键． （1）由根的判别式得，即可求解； （2）由根与系数的关系得，，代入，即可求解． 解：（1）解：∵方程有实数根， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵方程两实数根分别为，， ∴， ， ∵， ∴， ， 解得：（舍去）或， ∵， ∴． 【变式1】（24-25八年级下·安徽安庆·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则（） A．或1 B．1 C．3或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，解得，，结合根的判别式作答即可． 解：由根与系数关系可得，， 代入得， 即 解得：， ∵原方程有实数根， ∴， 解得 因此不满足，舍去， 综上，， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）若，是关于的一元二次方程的两个根，且，则的值 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程，根据根与系数的关系可得，则，解方程可得或，再利用判别式求出k的取值范围即可得到答案． 解：∵，是关于的一元二次方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或， ， ∴， ∴， 故答案为：1． 【题型8】利用一元二次方程根与系数关系与根的判别式综合求值证明 【例题8】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知：平行四边形的两边、的长是关于x的方程的两个实数根， （1）试说明：无论m取何值方程总有两个实数根． （2）若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？ 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了一元二次方程的相关知识，平行四边形的性质． （1）根据根的判别式证明即可； （2）先由的长为2求出，进而可知原方程为，根据根与系数的关系求出、的和，即可求出平行四边形的周长. 解：（1）证明：∵， ∴无论m取何值方程总有两个实数根； （2）解：∵、的长是关于x的方程的两个实数根，的长为2， ∴， 解得：， 即， ∴、的和， ∵平行四边形， ∴，， ∴平行四边形的周长． 【变式1】（24-25九年级上·甘肃天水·期中）关于的一元二次方程． （1）证明：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）在中，斜边，、的长恰是方程的两个根，求的面积． 【答案】（1）见分析；（2）6 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，勾股定理，解题的关键是熟记根的判别式和根与系数的关系． （1）根据一元二次方程根的判别式进行判断即可； （2）根据勾股定理得出，根据根与系数的关系得出，，根据，列出关于m的方程，求出m的值，最后根据三角形的面积公式，求出三角形面积即可． 解：（1）证明：∵， ∴ ∴不论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由已知得：，，， ∴， 即， 解这个方程得：，． 当时，，与已知不符合，舍去， ∴，此时方程为， 解得：， 故的两直角边长是4和3． ∴． 【变式2】（24-25九年级下·福建福州·期中）已知关于x的方程． （1）若方程有两个相等的实数根，求p的值． （2）若方程的两个实数根分别为与，若都为正整数，求证为偶数． 【答案】（1）；（2）证明见分析 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的根与系数的关系等知识，熟练掌握一元二次方程根的判别式、根与系数的关系是解题关键． （1）根据一元二次方程根的判别式等于0求解即可得； （2）先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，再判断出都为偶数，由此即可得证． 解：（1）解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴这个方程根的判别式， ∴． （2）证明：∵关于的方程的两个实数根分别为与， ∴， ∵都为正整数， ∴和都是奇数， ∴都为偶数， ∴为偶数． 二．同步练习​ 1. 基础夯实（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 一、单选题 1．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）已知是一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2025 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若方程的两根为α和β，则，直接代入题目方程的系数进行求解，作答即可． 解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（   ） A．2或6 B．3或5 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是牢记“当时，方程有两个实数根”． 根据一元二次方程有实数根先确定m的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，，把变形为，再代入得方程，求出m的值即可． 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴， ∵是方程的两个实数根， ∵，， 又， ∴， ∴， ∴， 解得，． 故选B． 3．（24-25八年级下·福建福州·期末）设m，n是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根和一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出和是解答本题的关键． 根据m，n是方程的两个实数根，可得，即，根据一元二次方程根与系数的关系可知，将变形为，然后整体代入求解即可． 解：∵m，n是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 4．（24-25八年级下·山东烟台·期末）已知α，β是方程的两个实数根，则式子的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系．难度中等．关键是利用方程根的定义及完全平方公式将所求代数式降次，再结合根与系数的关系求解． 利用方程根的定义及根与系数的关系，通过降次化简表达式即可得出答案． 解：∵是方程的根， ， ， ， 又∵、是方程的两个实根， ， ． 故选：C． 5．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期末）如果关于的一元二次方程（均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．若一元二次方程（均为常数）为“邻根方程”，下列选项符合满足的数量关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，根据题意，设方程的两个根分别为，利用根与系数的关系建立方程组，消去即可得到满足的数量关系，熟记一元二次方程根与系数关系，理解题中新定义方程概念是解决问题的关键． 解：设关于的一元二次方程（均为常数，）有两个实数根为， ①，②， 则由①得，将其代入②得， 化简可得， 故选：C． 6．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）已知关于的一元二次方程，则下列判断中不正确的是（　　） A．若方程有一根为1，则 B．若异号，则方程必有解 C．若，则方程两根互为相反数 D．若，则方程有一根为0 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的相关概念，熟练掌握一元二次方程的定义和解法是关键. 将代入方程即可判断A，利用根的判别式可判断B，将代入方程，根据直接开平方法解方程即可判断C，将代入方程，可判断D. 解：A．若方程有一根为1，把x=1代入原方程，则，故A正确； B．若a、c异号，则，∴方程必有解，故B正确； C．若，方程变为，若方程有解，则，此时两根和为0，互为相反数，但若、同号，方程无实数根，故C错误； D．若，则方程变为，必有一根为0．故D正确． 故选：C． 二、填空题 7．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）若关于x的一元二次方程一根为，则另一根是 ． 【答案】4 【分析】本题考查根与系数的关系，设另一个根为，根据根与系数的关系，得到，进行求解即可． 解：设方程的另一个根为，则：， ∴； 故答案为：4． 8．（2025·内蒙古鄂尔多斯·三模）已知，是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．对于一元二次方程的两个根，满足，．熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 先根据根与系数的关系求出和的值，再将转化成，然后将和的值代入即可得解． 解：∵，是一元二次方程，即的两个根， ∴，， ∴， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·山东威海·期末）已知实数，满足．则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 根据题意可构造关于的一元二次方程，那么再由根与系数的关系即可求解． 解：∵实数，满足， ∴为关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴由根与系数的关系可得：， 故答案为：4． 10．（2025·河北邯郸·三模）若，是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根和一元二次方程根与系数的关系，根据，是方程的两个实数根，可得，即，根据一元二次方程根与系数的关系可知，将变形为，即可求出的值． 解：，是方程的两个实数根， ，即，， ， 故答案为：． 11．（2025·内蒙古鄂尔多斯·三模）已知关于x的一元二次方程有两个同正的实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根和系数的关系，掌握相关知识点是解题关键．根据一元二次方程有两个同正的实数根，利用一元二次方程根的判别式以及根和系数的关系，得到，，，求出m的取值范围即可． 解：一元二次方程有两个的实数根， ， ， 两个实数根同正， ，， ， m的取值范围是是． 12．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）设、是方程的两根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解和根与系数关系，根据一元二次方程的解的定义和根与系数关系可得，然后代入式子求值即可． 解：∵、是方程的两根， ， ， 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25八年级下·山东泰安·期末）关于x得一元二次方程． （1）若该方程有实数根，求m的取值范围； （2）若该方程有两个实数根、（）且，求m的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，则． （1）根据题意可得，据此求解即可； （2）由根与系数的关系得到，再根据已知条件得到，解之即可得到答案． 解：（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴； （2）解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根为、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．（24-25八年级下·安徽六安·期末）已知关于x的方程 （1）说明无论k取何实数值，该方程必有两个实数根； （2）若该方程的两根分别是，且，求k的值． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数以及根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． （1）先计算判别式得到，根据非负数的性质得，然后根据判别式的意义即可得到方程总有两个实数根； （2）根据，再结合，得出，代入原方程进行计算，即可作答． （1）解：， ∴此方程总有两个实数根； （2）解：方程的两根分别是， ①． ②， ∴由，得， ． 将代入原方程，得， 解得：． 2. 能力提升（选择题8题，填空题8题，解答题4题） 一、单选题 1．（2025·湖北十堰·模拟预测）已知实数a，b满足，，若关于x的一元二次方程．的两个实数根分别为，，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了非负数的性质和一元二次方程的根与系数的关系，分式的化简求值，解题的关键是熟悉非负数和的性质和一元二次方程根与系数的关系． 由非负数的性质求出a、b的值，再利用根与系数的关系将所求代数式转化为关于根的和与积的表达式，代入计算即可． 解：∵ ∴， 解得， ∴方程为 ∴， ∴ ． 故选：A． 2．（2025·河北邯郸·二模）已知是关于x的方程的一个解，该方程的另一个解为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程解的判别式，一元二次方程的解与系数的关系．分别根据一元二次方程的解，一元二次方程解的判别式，一元二次方程的解与系数的关系逐项判断即可． 解：是方程的解， ， ，故A错误； 由题意得，该方程有两个实数根， ， ∴，故B错误； 的两个解为，， ， ，故C正确，D错误． 故选：C． 3．（24-25九年级上·河南焦作·期中）若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为，则该菱形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设菱形的两条对角线长分别为、，由菱形的面积为得，根据根和系数的关系得，利用勾股定理和完全平方公式的变形运算即可求解． 解：设菱形的两条对角线长分别为、，则， ， 菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根， ， 菱形的边长为， 故选：D． 【点拨】本题考查了菱形的性质，一元二次方程根和系数的关系，勾股定理，完全平方公式的变形运算，解题的关键是掌握相关知识． 4．（24-25九年级上·福建三明·期中）阅读材料：如果是一元二次方程的两个实数根，则有．创新应用：如果是两个不相等的实数，且满足，那么代数式的值为（   ） A．2019 B．2023 C．2022 D．2024 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，掌握一元二次方程的解以及根与系数的关系是解答本题的关键．利用根的性质确定和满足的方程，再根据根与系数的关系求出和，将代数式化简代入求值即可解答． 解：，是两个不相等的实数，且满足，， ，是一元二次方程的两个实数根，， ，， ∴， ， ， ， ， 故选：D． 5．（24-25九年级上·福建泉州·期中）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2002 B．2003 C．2004 D．2005 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根及根与系数的关系，关键是根据根的定义及根与系数的关系得出关于的方程后变形代入目标代数式，解题技巧体现为代入时“降次”（例如：）．根据 是一元二次方程的两个实数根，分别把代入，得出关于的方程，利用这些方程结合目标代数式变形，利用根与系数的关系即可． 解： 是一元二次方程的两个实数根， ，， ∴，， 给左右两边同乘以得：， ∴， ， 根据一元二次方程的根与系数的关系可得： ，代入上式，得 ， 故选：D． 6．（2021·四川泸州·一模）关于x的一元二次方程有两个实数根则代数式的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】先根据得到的范围；再将所求式子变形，用一元二次方程的根与系数关系把它表示成的代数式；最后根据的范围得到所求代数式的最小值．本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，涉及到二次函数的图象性质，比较综合． 解：有两个实数根， ∴， 即， 解得； 、是的两个实数根， ，， 则 ， 令， 则开口向上，对称轴为直线， 当时，的值随k的增大而增大， 时，的值最小为． 故选：C． 二、填空题 7．（24-25八年级下·江苏南通·期末）设m，n分别为方程的两个实数根，则 ． 【答案】2035 【分析】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是根据方程的解的定义得出，求出，根据根与系数的关系得出，变形后代入，即可求出答案． 解：、分别为方程的两个实数根， ， ， 、分别为方程的两个实数根， ， ∴， 故答案为：2035． 8．（24-25九年级下·江苏苏州·自主招生）已知是一元二次方程的两个根，且，求整数 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，先根据，，求出，得到整数或，再验证满足的值即可． 解：∵是一元二次方程的两个根，且， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴整数或， 当时，，方程有两等根，不合题意； 当时，，方程有两不等根，符合题意； 故答案为：． 9．（2025·福建龙岩·一模）关于的一元二次方程的两实根满足，则的值为 ． 【答案】或 【分析】此题考查主要了根与系数的关系，解一元二次方程，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根为，，则，． 解：，则k为任意实数，方程恒有两个不等的根， 由题意得：，， ∵， ∴， ∴，整理得：， 解得：，， 故答案为：或． 10．（24-25八年级下·山东烟台·期中）若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为，则该菱形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系及菱形的性质，掌握菱形对角线与菱形的面积、边长间的关系，根与系数的关系及等式的变形是解决本题的关键． 设菱形的两条对角线长分别为a、b，利用根与系数的关系及对角线与菱形面积的关系得等式，再根据菱形的边长与对角线的关系求出菱形的边长． 解：设菱形的两条对角线长分别为a、b， ∵一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵菱形面积为12， ∴， 解得：， ∴菱形的边长为 故答案为：． 11．（2025·山东烟台·一模）已知关于的一元二次方程的两个实数根的差为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是根与系数的关系、完全平方公式的应用、解一元二次方程，解题关键是熟练掌握根与系数的关系． 设关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，再由题意得，根据根与系数的关系可得，，结合完全平方公式推得，解方程后即可得解． 解：设关于的一元二次方程的两个实数根分别为、， 依题得：，即， ，， ， ， ， 解得． 故答案为：． 12．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）若关于的一元二次方程． （1）该方程根的情况是 （填“两个相等实根”、“两个不相等实根”或“无实根”）； （2）当时，相应的一元二次方程的两个根分别记为，则的值为 ． 【答案】 两个不相等实根 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等．熟记相关结论是解题关键． （1）根据根的判别式即可进行判断； （2）根据根与系数的关系，，可得：，进一步可寻找的规律，即可求解． 解：（1）∵， ∴故该方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． （2）设方程的两个根为：， 则，， ∴， ∴ ∴ 故答案为． 三、解答题 13．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个相等的实数根，求的值； （2）若方程有一个根是，求另一个根． 【答案】（1）；（2）另一个根为5 【分析】本题主要考查了一元二次方程判别式的意义、一元二次方程根与系数的关系． （1）先计算根的判别式，得关于m的方程，求解即可； （2）先设出方程的另一个根，根据根与系数的关系可得结论． 解：（1）解：∵， ∴， ∴ ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴； （2）解：设方程的两个根为，，其中 由题意得：， ∴， 即方程的另一个根为5 14．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）当时，方程的两个根是，，求的值． 【答案】（1）详见分析；（2） 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，熟练掌握根的判别式和根与系数之间的关系，是解题的关键： （1）求出判别式的符号进行判断即可； （2）根据根与系数的关系进行求解即可． 解：（1）证明：∵， ∴ ； ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）由题意，当时，， ∴． 3. 直通中考（选择题8题，填空题8题，解答题4题） 一、单选题 1．（2025·广西·中考真题）已知是方程的两个实数根，则（   ） A． B． C．20 D．25 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系解答即可． 解：∵是方程的两个实数根， ∴． 故选：C 2．（2024·山东日照·中考真题）已知，实数是关于x的方程的两个根，若，则k的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此得到，再由得到，据此可得答案． 解：是关于x的一元二次方程的两个根， ． ， ， ∴ ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 故选：B． 3．（2021·湖北武汉·中考真题）已知，是方程的两根，则代数式的值是（    ） A．-25 B．-24 C．35 D．36 【答案】D 【分析】先根据已知可得，，a+b=3，然后再对变形，最后代入求解即可． 解：∵已知，是方程的两根 ∴，，a+b=3 ∴=0+5+30+1=36． 故选D． 【点拨】本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数的关系以及整式的变形，根据需要对整式灵活变形成为解答本题的关键． 二、填空题 4．（2022·四川巴中·中考真题）、是关于的方程的两个实数根，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】，然后根据方程的解的定义以及一元二次方程根与系数的关系，得到关于k的一元一次方程，即可解得答案． 解：∵是方程的根 ∴， ∴ ∴k=-4 故答案是-4． 【点拨】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的问题是本题的解题关键． 5．（2021·湖北鄂州·中考真题）已知实数、满足，若关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，则 ． 【答案】 【分析】根据非负性求得a、b的值，再根据一元二次方程根与系数关系求得+、，代入求解即可． 解：∵实数、满足， ∴a﹣2=0，b+3=0， 解得：a=2，b=﹣3， ∴， ∵一元二次方程的两个实数根分别为、， ∴+=2，=﹣3， ∴=， 故答案为：． 【点拨】本题考查代数式求值、二次根式被开方数的非负性、绝对值的非负性、一元二次方程根与系数，熟练掌握非负性和一元二次方程根与系数关系是解答的关键． 三、解答题 6．（2021·北京·中考真题）已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值． 【答案】（1）见详解；（2） 【分析】（1）由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证； （2）设关于的一元二次方程的两实数根为，然后根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而可得，最后利用完全平方公式代入求解即可． 解：（1）证明：由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴该方程总有两个实数根； （2）解：设关于的一元二次方程的两实数根为，则有：， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴． 【点拨】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 7．（2022·四川凉山·中考真题）阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝ 材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值． 解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n， ∴m＋n＝1，mn＝－1， 则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ． （2）类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值． （3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值． 【答案】（1）；；（2）；（3）或 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可； （2）根据根与系数的关系先求出，，然后将进行变形求解即可； （3）根据根与系数的关系先求出，，然后求出s-t的值，然后将进行变形求解即可． 解：（1）解：∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两个根为x1，x2， ∴，． 故答案为：；． （2）∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两根分别为m、n， ∴，， ∴ （3）∵实数s、t满足2s2-3s-1＝0，2t2-3t-1＝0， ∴s、t可以看作方程2x2-3x-1＝0的两个根， ∴，， ∵ ∴或， 当时，， 当时，， 综上分析可知，的值为或． 【点拨】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，根据根与系数的关系求出或，是解答本题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$