第2章 全等三角形（复习讲义）数学青岛版2024八年级上册

第2章 全等三角形（复习讲义） 1．了解全等三角形的内容及相关概念。 ①了解全等三角形的基本内容；②能识别对应顶点、对应角、对应角；③理解全等符号（≌）的含义，能规范书写全等三角形。 2. 掌握全等三角形的性质并利用其解决相关问题 ①全等三角形的对应边相等、对应角相等。②能利用性质解决线段、角的计算或证明问题。 3. 熟练运用全等三角形的判定方法 ①SSS ②SAS ③ASA ④AAS ⑤HL 4. 尺规作图 ①已知两边一角作三角形。②已知两角一边作三角形。 ③已知直角三角形的斜边和一条直角边。 知识点01：全等形 定义：能够完全重合的两个平面图形叫做全等形. 性质：（1）形状相同。（2）大小相等。 知识点02：全等三角形及其性质 定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 相关概念：当两个全等三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角. 表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”。 注意：书写三角形全等时，要注意把对应顶点的字母写在对应的位置上。 （若，则AB和DE，AC和DF，BC和EF分别是对应边；和，和，和分别是对应角） 知识点03：全等三角形性质 1）全等三角形的对应边相等，对应角相等。 2）全等三角形对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等。 3）全等三角形的周长相等，面积相等。 知识点04：全等三角形的判定 判定定理： 1）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS’（基本事实）； 2）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA'’（基本事实）； 3）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS"； 4）三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS"（基本事实）； 5）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）。 注意： （1）“SSA”“AAA'’不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有一组边对应相等； 非直角三角形中，如果有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角。 （2）“HL”与“SSA” 一般的两个三角形满足两边及其中一边的对角对应相等即“SSA”条件时，它们并不全等，但当其中的“A”是直角时，这两个直角三角形就是全等的，这就是判定两个直角三角形全等特有的“HL'’定理。 知识点05：尺规作图 尺规作图的定义：在几何里，用无刻度的直尺和圆规作图，就是尺规作图。最基本、最常用的尺规作图通常称作基本作图。 基本作图 1.　作一条线段与已知线段相等 已知：线段（如图所示）。 求作：一条线段长度等于。 作法：①任何一条射线；②在射线上截取（以为圆心，以的长为半径画弧，交于点），则即为所求作的线段。 2.　作一个角等于已知角 已知：（如图所示）。 求作：，使 作法：（1）以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交，于点 （2）作射线，以点为圆心，以长为半径面弧，交于点； 3.运用基本作图作三角形 注意：作法中不需要重述基本作图的过程。 1）已知两边一角 已知线段a，c和∠α，如何利用直尺和圆规作△ABC，使∠B=∠α,BC=a,AB=c? ① 作∠B=∠α; ②在∠B 的一边上截取BC=a，在另一边上截取BA=c; 连接AC. △ABC就是所求作的三角形。 2）已知两角一边 已知∠α，∠β，线段a 。用尺规作△ABC，使BC=a, ∠B=∠α,∠C=∠β 作法: ① 作线段BC=a; ②在BC的同侧作∠CBD=∠α，∠BCE=∠β，射线BD与CE的交点为A。△ABC就是所求作的三角形。 3） 已知直角三角形的斜边和一条直角边 已知直角三角形的斜边和一条直角边，求作这个直角三角形。 已知:线段m，n(m>n) 。 求作:Rt△ABC，使∠C=90°，AB=m，AC=n。 作法 ： ①作直线CE⊥CD; ②在CE上截取CA=n; ③以点A 为圆心，以m为半径作弧，交CD于点B;④连接AB。 △ABC就是所求作的直角三角形。 4.过直线外一点作这条直线的平行线 已知:直线l和直线外一点P。 求作:直线l的平行线，使它经过点P。 作法: ①过点P作直线MN，交直线l于点N; ②作∠MPQ=∠PNK，其中K为l上不与N重合的任意一点，点Q与 K位于MN同侧; ③作直线PQ。 直线PQ就是所求作的平行线。 5.过直线外一点作这条直线的垂线 已知:直线l和l外一点P 。 求作:直线l的垂线，使它经过点P。 作法: ①以点P为圆心，在直线l的另一侧取一点K，以PK为半径作弧，交直线l于点M，N; ②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点Q; ③作直线PQ。 直线PQ就是所求作的垂线。 题型一 全等三角形的概念 【例1】如图，，则的对应角是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，，下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的有（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【变式1-2】若，则的对应边是 ． 【变式1-3】如图所示，在两个全等三角形中，点A和点E是一组对应顶点，写出其余的对应顶点、对应边和对应角． 题型二 全等三角形的性质 【例2】如图，点在上，，，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【变式2-1】如图，，，则∠C的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，在中，于点D，E是上一点，若，，，则的周长为（    ） A．24 B．23 C．22 D．26 【变式2-3】如图：、是的边、上的点，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 (填序号) 题型三 三角形全等的证明 【例3】如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（   ）去玻璃店． A．① B．② C．③ D．①和② 【变式3-1】如图，下列三角形中，与全等的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，和相交于点O，，若用“”证明，则还需添加（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图所示，和中，于点，于点，且，，求证：． 题型四 间接证明三角形全等 【例4】如图，在和中，，，，连接，．试说明：． 【变式4-1】如图，，点在边上，和相交于点，求证：．请补全证明过程，并在括号里写上理由． 证明：∵ ∴__________=__________ ∴__________ 在和中 ∵ 所以（________）． 【变式4-2】如图，点A，B，E，D在一条直线上，，垂足分别为C，F，．求证：． 【变式4-3】如图，四边形中，，，E、F分别为、的中点，连接、． (1)与相等吗？请说明理由； (2)求证：． 题型五 添加条件使三角形全等 【例5】如图，已知点、、、在同一直线上，，，如果要运用“”来证明，可以添加的条件是 ．（只需写出一种情况） 【变式5-1】如图，已知，那么添加下列一个条件后不能证明的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，点A，B，C，D四个点在同一条直线上，，且，若要使，则可以添加条件是 （请写出一个答案即可）． 【变式5-3】如图，点，，，在同一条直线上，，，请从以下三个选项中①，②，③，选择一个选项作为已知条件，使得． (1)你选择添加的选项是______（填序号）； (2)添加条件后，请证明． 题型六 全等三角形的综合问题 【例6】如图，在中， ， ，点D为的中点，点P在线段上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 【变式6-1】如图，已知，的平分线与的平分线相交于点E，的连线交于点D，求证：． 【变式6-2】（1）问题背景： 如图1，在四边形中 ，，，，点，分别是，上的点，且，请探究图中线段，，之间的数量关系，并说明理由． （2）拓展应用： 如图2，在四边形 中 ，，，点，分别是，上的点，且，（1）中的线段，，之间的数量关系是否还成立？ 若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由． 【变式6-3】通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：，． (2)如图2，，，，于点于点H，于点P，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________． 题型七 尺规作三角形 【例7】如图，给定一个，用直尺和圆规作，有人的作法是： ①作；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；④连接． 就是求作三角形．在此作法中，判定的依据是 ．（填简记） 【变式7-1】在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出了之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，已知线段和，求作，使，，（使用直尺和圆规，不写画法，保留作图痕迹）． 【变式7-3】教材呈现：如图为华师版八年级上册数学教材第65页的部分内容．做一做，如图，已知两条线段和一个角， 以长的线段为已知角的邻边，画一个三角形． 　　　 把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时符合条件的角形有几种？ (1)[操作发现] 如图（1），通过作图我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）的两个三角形______全等（填“一定”或“不一定”）． (2)[探究证明]阅读并补全证明 已知：如图（2），在和中，，，． 求证：． 证明：在上取一点G，使， ∵， ∴______， 又∵，而， ∴______， ∵， ∴______， 又∵______， ∴（______）， ∴（______）． 基础巩固通关测 1、 单选题 1．下列命题①两个三角形全等，它们的形状相同；②两个三角形全等，它们的大小相同；③面积相等的两个三角形全等；④周长相等的两个三角形全等．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知，若，，则的长度为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，已知的六个元素，甲、乙、丙三个三角形中标出了某些元素，则其中与全等的三角形是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 4．如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线．以上作图原理主要是通过（   ）判定三角形全等． A． B． C． D． 5．如图，，，垂足分别为E、F，，且，则下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．如图，，，和相交于点，则图中全等三角形共有 对． 7．如图，已知，，添加一个条件，使得，这个条件可以是 （填写一个即可）． 8．如图，已知，其中，则的度数是 ． 9．如图，表示两根长度相同的木条，若O是的中点，经测量，则容器的内径为 ． 10．如图，给定一个，用直尺和圆规作，有人的作法是： ①作；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；④连接． 就是求作三角形．在此作法中，判定的依据是 ．（填简记） 三、解答题 11．请按下列要求完成作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)如图1，请用尺规在射线上作一点，使； (2)如图2，已知：，，请用尺规作，使． 12．如图，、相交于点，．求证：． 13．如图，在中，，点在上，点在的延长线上，连接，且，．求证：． 14．如图，． (1)请补充一个条件，使． (2)在（1）的条件下，吗？为什么？ 15．如图，在上各取一点E，D，使，连接，相交于点O，连接，．求证： (1) (2)． 能力提升进阶练 一、单选题 1．下列4个图形中的全等图形是（   ）        A．①和② B．③和④ C．①和③ D．②和④ 2．如图，已知：，，，，则（    ） A． B． C．或 D． 3．木工是古代社会中一种很重要的手工业，木工师傅积累的许多经验可以用数学知识解释．如画角平分线：如图，在已知的的两边分别取，将无弹性的绳子对折标记折痕（即绳子中点P），将绳子两端分别固定在点M、N处，从折痕点P处拉直绳子，点P在平面内，则平分．原理是构造全等三角形，根据全等三角形对应角相等得出．这里三角形全等的判定方法是（   ） A． B． C． D． 4．如图1，使用尺规经过直线l外的点P作已知直线l的平行线，作图痕迹如图2： 下列关于图中的四条弧线①、②、③、④的半径长度的说法中，正确的是（    ） A．弧②、③的半径长度可以不相等 B．弧①的半径长度不能大于的长度 C．弧④以的长度为半径 D．弧③的半径可以是任意长度 5．如图，在四边形中，，，，，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D匀速运动，若与在某一时刻全等，则点Q运动速度为（   ） A．或 B． C．或 D． 二、填空题 6．如图，D、E是外两点，连接，，有，，．连接，交于点F，则的度数为 ． 7．如图，在和中，，要使，若根据“”判定，则还需要添加条件： ． 8．如图，在中，，、、是的四等分点，，则图中的全等三角形共有 对． 9．如图，在中，于点，是上的一点．若，，，则的周长为 ． 10．如图，在中，以，为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，为边上的高线，延长交于点N，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 （写上序号） 三、解答题 11．如图，，、分别为和上的点．求证：． 12．如图，在与中，已知． (1)在不添加任何辅助线的前提下，以下条件中，能使的条件有_____（填序号）， ①；②；③；④； (2)分别对（1）中添加条件的情况证明，并指出两个三角形全等的判定方法． 13．如图，于点，于点，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 14．【教材呈现】如图是华师版八年级上册65页的部分内容. 做一做 如图13.2.7，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形. 把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的角形都全等吗？此时，符合条件的三角形有多少种? 【探究问题】如图，，请你用圆规在 的另一边找到点 ，使，这样的点 有______个，说明符合条件的三角形有______种；我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）两个三角形________全等． 【拓展思考】如图，已知 ，若且 ，，那么 一定是______三角形（从“锐角三角形”或“直角三角形”或“钝角三角形”三个答案选择）． 15．（1）如图①，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： （2）如图②，在四边形中，若，，E、F分别是边上的点，且，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 全等三角形（复习讲义） 1．了解全等三角形的内容及相关概念。 ①了解全等三角形的基本内容；②能识别对应顶点、对应角、对应角；③理解全等符号（≌）的含义，能规范书写全等三角形。 2. 掌握全等三角形的性质并利用其解决相关问题 ①全等三角形的对应边相等、对应角相等。②能利用性质解决线段、角的计算或证明问题。 3. 熟练运用全等三角形的判定方法 ①SSS ②SAS ③ASA ④AAS ⑤HL 4. 尺规作图 ①已知两边一角作三角形。②已知两角一边作三角形。 ③已知直角三角形的斜边和一条直角边。 知识点01：全等形 定义：能够完全重合的两个平面图形叫做全等形. 性质：（1）形状相同。（2）大小相等。 知识点02：全等三角形及其性质 定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 相关概念：当两个全等三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角. 表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”。 注意：书写三角形全等时，要注意把对应顶点的字母写在对应的位置上。 （若，则AB和DE，AC和DF，BC和EF分别是对应边；和，和，和分别是对应角） 知识点03：全等三角形性质 1）全等三角形的对应边相等，对应角相等。 2）全等三角形对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等。 3）全等三角形的周长相等，面积相等。 知识点04：全等三角形的判定 判定定理： 1）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS’（基本事实）； 2）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA'’（基本事实）； 3）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS"； 4）三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS"（基本事实）； 5）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）。 注意： （1）“SSA”“AAA'’不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有一组边对应相等； 非直角三角形中，如果有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角。 （2）“HL”与“SSA” 一般的两个三角形满足两边及其中一边的对角对应相等即“SSA”条件时，它们并不全等，但当其中的“A”是直角时，这两个直角三角形就是全等的，这就是判定两个直角三角形全等特有的“HL'’定理。 知识点05：尺规作图 尺规作图的定义：在几何里，用无刻度的直尺和圆规作图，就是尺规作图。最基本、最常用的尺规作图通常称作基本作图。 基本作图 1.　作一条线段与已知线段相等 已知：线段（如图所示）。 求作：一条线段长度等于。 作法：①任何一条射线；②在射线上截取（以为圆心，以的长为半径画弧，交于点），则即为所求作的线段。 2.　作一个角等于已知角 已知：（如图所示）。 求作：，使 作法：（1）以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交，于点 （2）作射线，以点为圆心，以长为半径面弧，交于点； 3.运用基本作图作三角形 注意：作法中不需要重述基本作图的过程。 1）已知两边一角 已知线段a，c和∠α，如何利用直尺和圆规作△ABC，使∠B=∠α,BC=a,AB=c? ① 作∠B=∠α; ②在∠B 的一边上截取BC=a，在另一边上截取BA=c; 连接AC. △ABC就是所求作的三角形。 2）已知两角一边 已知∠α，∠β，线段a 。用尺规作△ABC，使BC=a, ∠B=∠α,∠C=∠β 作法: ① 作线段BC=a; ②在BC的同侧作∠CBD=∠α，∠BCE=∠β，射线BD与CE的交点为A。△ABC就是所求作的三角形。 3） 已知直角三角形的斜边和一条直角边 已知直角三角形的斜边和一条直角边，求作这个直角三角形。 已知:线段m，n(m>n) 。 求作:Rt△ABC，使∠C=90°，AB=m，AC=n。 作法 ： ①作直线CE⊥CD; ②在CE上截取CA=n; ③以点A 为圆心，以m为半径作弧，交CD于点B;④连接AB。 △ABC就是所求作的直角三角形。 4.过直线外一点作这条直线的平行线 已知:直线l和直线外一点P。 求作:直线l的平行线，使它经过点P。 作法: ①过点P作直线MN，交直线l于点N; ②作∠MPQ=∠PNK，其中K为l上不与N重合的任意一点，点Q与 K位于MN同侧; ③作直线PQ。 直线PQ就是所求作的平行线。 5.过直线外一点作这条直线的垂线 已知:直线l和l外一点P 。 求作:直线l的垂线，使它经过点P。 作法: ①以点P为圆心，在直线l的另一侧取一点K，以PK为半径作弧，交直线l于点M，N; ②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点Q; ③作直线PQ。 直线PQ就是所求作的垂线。 题型一 全等三角形的概念 【例1】如图，，则的对应角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵， ∴的对应角是， 故选：B． 【变式1-1】如图，，下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的有（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】B 【解析】解：由得： ①与是对应边，故①不符合题意； ②与是对应边，故②符合题意； ③与是对应角，故③符合题意； ④与是对应角，与是对应角，故④不符合题意； 故正确的有②③， 故选：B． 【变式1-2】若，则的对应边是 ． 【答案】/ 【解析】解：∵， ∴的对应边是， 故答案为：． 【变式1-3】如图所示，在两个全等三角形中，点A和点E是一组对应顶点，写出其余的对应顶点、对应边和对应角． 【答案】见解析 【解析】解：对应顶点是点C和点C、点B和点D，对应边是和和和，对应角是和和和． 题型二 全等三角形的性质 【例2】如图，点在上，，，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【解析】解：， ， 又， ， 故选：C． 【变式2-1】如图，，，则∠C的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵， ∴， 故选：A． 【变式2-2】如图，在中，于点D，E是上一点，若，，，则的周长为（    ） A．24 B．23 C．22 D．26 【答案】A 【解析】解：∵， ∴，， ∴的周长， ∵，， ∴的周长为． 故选：A． 【变式2-3】如图：、是的边、上的点，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 (填序号) 【答案】①②③④ 【解析】解：， ，，，， ， ，， ，， 是的中点， ， 又， ；所以①②③④均正确， 故答案为：①②③④． 题型三 三角形全等的证明 【例3】如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（   ）去玻璃店． A．① B．② C．③ D．①和② 【答案】C 【解析】解：由图可知，第③块玻璃保留了破碎钱三角形玻璃中的两个角及一条边，借助两个三角形全等的判定定理即可到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，因此最省事的办法是带③去玻璃店， 故选：C． 【变式3-1】如图，下列三角形中，与全等的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：因为三角形要全等对应边必须相等，所以只有C选项与的各边都相等， 故选：C． 【变式3-2】如图，和相交于点O，，若用“”证明，则还需添加（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】证明：在和中， ， ， 用“”证明，则还需添加 故选： 【变式3-3】如图所示，和中，于点，于点，且，，求证：． 【答案】见解析 【解析】证明：，， 和为直角三角形． 在和中， ， ． 题型四 间接证明三角形全等 【例4】如图，在和中，，，，连接，．试说明：． 【答案】见解析 【解析】解：因为， 所以， 所以． 在和中，， 所以． 【变式4-1】如图，，点在边上，和相交于点，求证：．请补全证明过程，并在括号里写上理由． 证明：∵ ∴__________=__________ ∴__________ 在和中 ∵ 所以（________）． 【答案】；；；；；；；；； 【解析】证明：∵， ∴， ∴， 在和中 ∵ 所以． 故答案为：；；；；；；；；；． 【变式4-2】如图，点A，B，E，D在一条直线上，，垂足分别为C，F，．求证：． 【答案】见解析 【解析】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式4-3】如图，四边形中，，，E、F分别为、的中点，连接、． (1)与相等吗？请说明理由； (2)求证：． 【答案】(1)与相等，理由见解析； (2)证明见解析． 【解析】（1）解：与相等， 理由如下：连接， 在和 中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵点E与F分别是、的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 题型五 添加条件使三角形全等 【例5】如图，已知点、、、在同一直线上，，，如果要运用“”来证明，可以添加的条件是 ．（只需写出一种情况） 【答案】（或等） 【解析】解：，， 要运用“”来证明， 可以添加的条件需要使得即可， 故添加的条件是：， 故答案为：． 【变式5-1】如图，已知，那么添加下列一个条件后不能证明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：添加条件，结合条件，，可以利用证明，故A不符合题意； 添加条件，结合条件，，可以利用证明，故B不符合题意； 添加条件，结合条件，，可以利用证明，故C不符合题意； 添加条件，结合条件，，不可以利用证明，故D符合题意； 故选：D． 【变式5-2】如图，点A，B，C，D四个点在同一条直线上，，且，若要使，则可以添加条件是 （请写出一个答案即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】解：∵， ∴，即， 添加：， 在和中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式5-3】如图，点，，，在同一条直线上，，，请从以下三个选项中①，②，③，选择一个选项作为已知条件，使得． (1)你选择添加的选项是______（填序号）； (2)添加条件后，请证明． 【答案】(1)①或②或③ (2)见详解 【解析】（1）解：选择①或②或③ （2）选择①，证明如下： ∵， ∴即， 在和中 ， ∴． 选择②，证明如下： ∵， ∴即， 在和中 ， ∴． 选择③，证明如下： ∵， ∴即， 在和中 ， ∴． 题型六 全等三角形的综合问题 【例6】如图，在中， ， ，点D为的中点，点P在线段上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 【答案】4或6 【解析】解：设经过x秒后，使与全等， ∵， ，点D为的中点， ∴厘米， ∵， ∴， ∴要使与全等，必须或， 即或， 解得：或， 时，，故点Q的速度为：； 时，，故点Q的速度为：； 即点Q的运动速度是4或6， 故答案为：4或6． 【变式6-1】如图，已知，的平分线与的平分线相交于点E，的连线交于点D，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】证明：如图，在上截取，连接， 平分， ， 又， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 【变式6-2】（1）问题背景： 如图1，在四边形中 ，，，，点，分别是，上的点，且，请探究图中线段，，之间的数量关系，并说明理由． （2）拓展应用： 如图2，在四边形 中 ，，，点，分别是，上的点，且，（1）中的线段，，之间的数量关系是否还成立？ 若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由． 【答案】（1），见解析；（2）成立，理由见解析 【解析】解：（1）延长线段到点，使，连接，则， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）结论仍然成立，理由如下： 如图，延长到，使，连接，        ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，即， ， 在和中， ， ， ， 【变式6-3】通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：，． (2)如图2，，，，于点于点H，于点P，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________． 【答案】(1)见解析； (2)50 【解析】（1）解：证明：， ， ，， ， ， ， 在和中， ∴， ∴． （2）类比（1）可知，，， ，，，， 则 ． 题型七 尺规作三角形 【例7】如图，给定一个，用直尺和圆规作，有人的作法是： ①作；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；④连接． 就是求作三角形．在此作法中，判定的依据是 ．（填简记） 【答案】 【解析】解：由作图方法可得， ∴， 故答案为：． 【变式7-1】在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出了之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：由图示知，小宏第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为； 故选：D． 【变式7-2】如图，已知线段和，求作，使，，（使用直尺和圆规，不写画法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【解析】解：如图，为所求． 【变式7-3】教材呈现：如图为华师版八年级上册数学教材第65页的部分内容．做一做，如图，已知两条线段和一个角， 以长的线段为已知角的邻边，画一个三角形． 　　　 把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时符合条件的角形有几种？ (1)[操作发现] 如图（1），通过作图我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）的两个三角形______全等（填“一定”或“不一定”）． (2)[探究证明]阅读并补全证明 已知：如图（2），在和中，，，． 求证：． 证明：在上取一点G，使， ∵， ∴______， 又∵，而， ∴______， ∵， ∴______， 又∵______， ∴（______）， ∴（______）． 【答案】(1)不一定 (2)，，，，，全等三角形对应边相等 【解析】（1）解：如图1，通过作图我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）的两个三角形不一定全等， 故答案为：不一定； （2）证明：在上取一点G，使， ∵， ∴， 又∵，而， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴（全等三角形对应边相等）， 故答案为：，，，，，全等三角形对应边相等． 基础巩固通关测 1、 单选题 1．下列命题①两个三角形全等，它们的形状相同；②两个三角形全等，它们的大小相同；③面积相等的两个三角形全等；④周长相等的两个三角形全等．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】解：两个三角形全等，它们的形状相同；故①正确； 两个三角形全等，它们的大小相同；故②正确； 面积相等的两个三角形，不一定能完全重合，即不一定全等，故③错误； 周长相等的两个三角形不一定能完全重合，即不一定全等，故④错误； 故选B． 2．已知，若，，则的长度为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】解：∵，，， ∴，， ∴． 故选：C． 3．如图，已知的六个元素，甲、乙、丙三个三角形中标出了某些元素，则其中与全等的三角形是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 【答案】B 【解析】解：∵图乙中的三角形与有两角及其夹边相等， ∴图乙中的三角形与全等． 图丙中：， ∴图丙中的三角形与有两角及其夹边相等， ∴图丙中的三角形与全等． 故选B． 4．如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线．以上作图原理主要是通过（   ）判定三角形全等． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：根据题意，， 又，为公共边， ， 故选：B． 5．如图，，，垂足分别为E、F，，且，则下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：，， ， ， 在和中， ， ，故选项D正确； ， ，故选项A正确； ， ，故选项B正确； ，故选项C错误； 故选C． 二、填空题 6．如图，，，和相交于点，则图中全等三角形共有 对． 【答案】4 【解析】解：∵，， ∴，， ∵， ∴； ∴，， ∵， ∴； ∵， ∴； ∴，， ∵， ∴； ∴共有对全等三角形， 故答案为：． 7．如图，已知，，添加一个条件，使得，这个条件可以是 （填写一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】解：添加条件； 即：， ， ， ， ， 在和中， 故答案为：（答案不唯一）． 8．如图，已知，其中，则的度数是 ． 【答案】 【解析】解：∵， ∴． 故答案为：． 9．如图，表示两根长度相同的木条，若O是的中点，经测量，则容器的内径为 ． 【答案】9 【解析】解：由题意知：， ∵是、的中点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：9． 10．如图，给定一个，用直尺和圆规作，有人的作法是： ①作；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；④连接． 就是求作三角形．在此作法中，判定的依据是 ．（填简记） 【答案】 【解析】解：由作图方法可得，，， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．请按下列要求完成作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)如图1，请用尺规在射线上作一点，使； (2)如图2，已知：，，请用尺规作，使． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【解析】（1）解：如图1，点即为所求； ． （2）解：如图，即为所求； ． 12．如图，、相交于点，．求证：． 【答案】见解析 【解析】证明：， ，， ， ． 13．如图，在中，，点在上，点在的延长线上，连接，且，．求证：． 【答案】见解析 【解析】解：， ， 在和中 ， ， ． 14．如图，． (1)请补充一个条件，使． (2)在（1）的条件下，吗？为什么？ 【答案】(1)补充条件：时，结论成立，理由见解析．（不唯一，正确即可） (2)相等，理由见解析 【解析】（1）解：补充条件：（答案不唯一，正确即可）， 理由如下：在和中， ， ． （2）解：， 理由如下∶ ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 15．如图，在上各取一点E，D，使，连接，相交于点O，连接，．求证： (1) (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【解析】（1）证明：∵， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 能力提升进阶练 一、单选题 1．下列4个图形中的全等图形是（   ）        A．①和② B．③和④ C．①和③ D．②和④ 【答案】C 【解析】解：A．不是全等图形，故此选项不合题意； B．不是全等图形，故此选项不符合题意； C．是全等图形，故此选项符合题意； D．不是全等图形，故此选项不合题意． 故选：C． 2．如图，已知：，，，，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【解析】连接，如图， 在与中 ， ≌， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 3．木工是古代社会中一种很重要的手工业，木工师傅积累的许多经验可以用数学知识解释．如画角平分线：如图，在已知的的两边分别取，将无弹性的绳子对折标记折痕（即绳子中点P），将绳子两端分别固定在点M、N处，从折痕点P处拉直绳子，点P在平面内，则平分．原理是构造全等三角形，根据全等三角形对应角相等得出．这里三角形全等的判定方法是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：根据题意，得，， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 4．如图1，使用尺规经过直线l外的点P作已知直线l的平行线，作图痕迹如图2： 下列关于图中的四条弧线①、②、③、④的半径长度的说法中，正确的是（    ） A．弧②、③的半径长度可以不相等 B．弧①的半径长度不能大于的长度 C．弧④以的长度为半径 D．弧③的半径可以是任意长度 【答案】C 【解析】解：该作图过程中，弧①的半径长度为任意长；弧②、③的半径长度相等，且大于的长；弧④以的长度为半径．只有C选项正确， 故选：C． 5．如图，在四边形中，，，，，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D匀速运动，若与在某一时刻全等，则点Q运动速度为（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【解析】解：设点P运动时间为t秒，点运动速度为，则，， ∴， ∵， ∴或， 当时，，， ∴，解得：， ∴， 解得：； 当时，， ∴，解得：； 综上所述，点运动速度为或． 故选：A． 二、填空题 6．如图，D、E是外两点，连接，，有，，．连接，交于点F，则的度数为 ． 【答案】/40度 【解析】解：设交于点G， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 7．如图，在和中，，要使，若根据“”判定，则还需要添加条件： ． 【答案】（或） 【解析】解：根据题意，是公共边，只需添加或． 故答案为：或． 8．如图，在中，，、、是的四等分点，，则图中的全等三角形共有 对． 【答案】4 【解析】解：、、是的四等分点， ， ，，，， ，， ，，， ，，，． 图中的全等三角形共有4对． 故答案为：4． 9．如图，在中，于点，是上的一点．若，，，则的周长为 ． 【答案】 【解析】解：∵， ∴，， ∴的周长， ∵，， ∴的周长为． 故答案为：． 10．如图，在中，以，为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，为边上的高线，延长交于点N，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 （写上序号） 【答案】①③④ 【解析】解：∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵与不一定相等， ∴与不一定全等，故②错误； 作，交于点H，，交延长线于点K， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 同理可得：， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ， 即，故③正确； ∵， ∴，故④正确． 故答案为：①③④． 三、解答题 11．如图，，、分别为和上的点．求证：． 【答案】见解析 【解析】证明：， ， ∵、分别为和上的点， ， ． 12．如图，在与中，已知． (1)在不添加任何辅助线的前提下，以下条件中，能使的条件有_____（填序号）， ①；②；③；④； (2)分别对（1）中添加条件的情况证明，并指出两个三角形全等的判定方法． 【答案】(1)①③ (2)见解析 【解析】（1）解：由题意知：，可利用，证明两三角形全等，故选：①③， 故答案为：①③． （2）解：选①时， 在和中， ， ； 选③时， 在和中， ， ． 13．如图，于点，于点，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】（1）证明：于，于， ， 在与中 ， ． （2）解：； ， 在与中 ， ； ， ， ， ， ． ， ． 14．【教材呈现】如图是华师版八年级上册65页的部分内容. 做一做 如图13.2.7，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形. 把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的角形都全等吗？此时，符合条件的三角形有多少种? 【探究问题】如图，，请你用圆规在 的另一边找到点 ，使，这样的点 有______个，说明符合条件的三角形有______种；我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）两个三角形________全等． 【拓展思考】如图，已知 ，若且 ，，那么 一定是______三角形（从“锐角三角形”或“直角三角形”或“钝角三角形”三个答案选择）． 【答案】2；2；不一定；钝角 【解析】这样的点C有2个，说明符合条件的三角形有2种：我们可以发现，此时（即“边边角"对应相等）两个三角形不一定全等 【拓展思考】∵是钝角三角形， ∴一定是钝角三角形 15．（1）如图①，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： （2）如图②，在四边形中，若，，E、F分别是边上的点，且，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析 【解析】解：（1）如图所示，延长到点G，使，连接， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ， ． （2）如图所示，延长到点G，使，连接， ，， ， 在和中， ， ∴， ，． ， ， ，即， 又， ， ， ， ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$