2.2 第1课时 基本不等式-【精彩三年】2024-2025学年高中数学必修1课程探究与巩固PPT课件（人教A版2019）

2.2　基本不等式 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第1课时　基本不等式 课程目标 1.了解基本不等式的代数与几何两方面背景. 2. 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 3．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小． 目录 CONTENTS 教材整体初识 构建与探源 01 02 ___________________________ —学科素养 对基本问题充分掌握— ____________________________ —学科素养 对学科素养融会贯通— 命题整体感知 尝试与研析 01 ___________________________ —学科素养 对基本问题充分掌握— 教材整体初识 构建与探源 课时构建 a＝b 算术 几何 不小于 x＝y 小 x＝y 大 课时构建 【常用结论】 课时构建 判断正误(请在括号中打“√”或“×”) √ × × × × 02 —学科素养 对学科素养融会贯通— 命题整体感知 尝试与研析 ____________________________ 例1 [多选题]2024·鲁迅中学高一设a>0，b>0，则下列不等式恒成立的是(　 　) 类型一　对基本不等式的理解 ABC 类型一　对基本不等式的理解 活学活用 (1)若x，y∈R且xy>0，则下列结论正确的是(　　) 类型一　对基本不等式的理解 D (2)2024·顺德一中高一很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．如图，点F在半圆O的圆弧上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为(　　) 类型一　对基本不等式的理解 B 类型一　对基本不等式的理解 [题后感悟] 应用基本不等式时要注意以下三点： (1)各项或各因式均为正． (2)和或积为定值． (3)各项或各因式能取得相等的值．即“一正、二定、三相等”． 类型一　对基本不等式的理解 例2 (1)设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　) A．80 B．77 C．81 D．82 类型二　基本不等式与最值 C 6 类型二　基本不等式与最值 迁移探究 类型二　基本不等式与最值 －2 类型二　基本不等式与最值 类型二　基本不等式与最值 3 类型二　基本不等式与最值 [题后感悟] 利用基本不等式求函数的最值 (1)利用基本不等式求函数最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创造应用基本不等式的条件．(2)等号取不到时，注意利用求函数最值的其他方法． 类型二　基本不等式与最值 类型三　用基本不等式证明不等式 类型三　用基本不等式证明不等式 类型三　用基本不等式证明不等式 类型三　用基本不等式证明不等式 [题后感悟] 累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用，对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用． 类型三　用基本不等式证明不等式 当 堂 自 评 类型三　用基本不等式证明不等式 D 类型三　用基本不等式证明不等式 B 2 类型三　用基本不等式证明不等式 4．已知y＝4x＋ (x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a的值为______． 类型三　用基本不等式证明不等式 36 类型三　用基本不等式证明不等式 温馨提示：课后请完成高效作业12 感谢聆听，再见！ 1．＋≥2(a，b同号且均不为0)，当且仅当a＝b时取等号． 2．ab≤≤(当且仅当a＝b时取等号). 3．≤≤≤(a>0，b>0). 4．连续使用基本不等式求最值时要求每次等号成立的条件一致． (1)当n∈N*时，n＋>2.(　　) (2)若a≠0，则a＋≥2＝4.(　　) (3)若x>0，y>0，且x＋y＝2，则2xy的最大值为1.(　　) (4)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立．(　　) (5)若 a>0 ，则 a3＋ 的最小值为 2.(　　) A．a2＋1>a B．≥4 C．(a＋b)≥4 D．a－1＋≥4 【解析】 A中，由于a2＋1－a＝＋>0，∴a2＋1>a，故选A； B中，由于a＋≥2，b＋≥2，∴≥4，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，故选B； C中，(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b时，等号成立，故选C； D中，当0<a<1时，不能直接应用基本不等式，故D不正确. A．x2＋y2>2xy　　　　　 B．x＋y≥2 C．＋≥ D．＋≥2 A．≥ B．≤ C．≤ D．a2＋b2≥2ab 【解析】 (1)当x＝y时，x2＋y2＝2xy，A错误；当x<0，y<0时，满足xy>0，但x＋y<0<2，B错误；当x<0，y<0时，满足xy>0，但＋<，C错误；因为xy>0，所以>0，>0，所以＋≥2＝2，当且仅当x＝y时等号成立，D正确．故选D. (2)由图可知，OF＝AB＝(a＋b)，OC＝(a＋b)－b＝(a－b).在Rt△OCF中，利用勾股定理，可得CF＝＝，因为CF≥OF，所以≥.故选B. (2)已知x>2，则y＝x＋的最小值为______ 【解析】 (1)因为x＞0，y＞0，所以≥， 即xy≤＝81，当且仅当x＝y＝9时，xy取得最大值81. (2)∵x>2，∴x－2>0， ∴x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝4＋2＝6， 当且仅当x－2＝，即x＝4时取等号． ∴当x>2时，x＋的最小值为6. (1)若把本例(2)的条件“x>2”改为“x<2”，则y＝x＋的最大值是 ________． (2)若把本例(2)的条件“x>2”去掉，求y＝x＋的取值范围． 【解析】 (1)因为x<2，所以2－x>0，所以y＝x＋＝－＋2≤－2＋2＝－2.又2－x＝，得x＝0或x＝4(舍去)，即当且仅当x＝0时，等号成立．故y＝x＋的最大值为－2. (2)解：当x>2时，y＝x＋＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4＋2＝6(当且仅当x＝4时取等号). 当x<2时，y＝x＋ ＝(x－2)＋＋2 ＝－＋2≤－2＋2 ＝－4＋2＝－2(当且仅当x＝0时取等号).即y＝x＋的取值范围是y≤－2或y≥6. 活学活用 (1)已知x>0，则2x＋的最小值为______． (2)2024·定海一中高一已知0<x<，求y＝x的最大值． 【解析】 (1)2x＋ ＝2x＋1＋－1≥2－1 ＝3，当且仅当2x＋1＝2，即x＝时，等号成立． (2)解：∵0<x<，∴1－2x>0， ∴y＝x＝·2x≤＝， 当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，原式的最大值为. 例3 (1)2024·德州一中高一已知a，b，c为不全相等的正实数． 求证：a＋b＋c>＋＋. (2)已知a>0，b>0，且a＋b＝＋，求证：a＋b≥2. (3)已知a，b，c均为正实数，且a＋b＋c＝1，求证：··≥8. 证明：(1)因为a>0，b>0，c>0， 所以a＋b≥2>0，b＋c≥2>0，c＋a≥2>0， 所以2(a＋b＋c)≥2(＋＋)， 即a＋b＋c≥＋＋，当且仅当a＝b＝c时取等号． 因为a，b，c为不全相等的正实数， 所以等号不能取得， 故a＋b＋c>＋＋. (2)由a>0，b>0， 则a＋b＝＋＝， 由于a＋b>0，则ab＝1， 即a＋b≥2＝2， 当且仅当a＝b＝1时，等号成立， 所以a＋b≥2. (3)因为a，b，c均为正实数，a＋b＋c＝1， 所以－1＝＝＝＋≥， 同理－1≥，－1≥， 以上三个不等式两边分别相乘得··≥8， 当且仅当a＝b＝c＝时取等号． 活学活用 已知a，b，c>0，求证：＋＋≥a＋b＋c. 证明：因为a，b，c>0， 所以利用基本不等式可得＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c， 所以＋＋＋a＋b＋c≥2a＋2b＋2c， 故＋＋≥a＋b＋c， 当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 1．在不等式a2＋≥4中，等号成立的条件是(　　) A．a＝4 B．a＝ C．a＝－ D．a＝± 2．2024·衡阳八中高一下列结论正确的是(　　) A．当x>0且x≠1时，x＋≥2 B．当x>0时，＋≥2 C．当x≠0时，x＋的最小值为2 D．当x>0时，x＋的最小值为2 3．当x＋2＋(x＞－2)取最小值时，x的值为______． 【解析】 因为x＞－2，所以x＋2＞0， x＋2＋≥2＝8， 当且仅当x＋2＝，即x＝2时取等号． 【解析】 ∵y＝4x＋(x>0，a>0)， ∴y＝4x＋≥2＝4， 当且仅当4x＝即x＝时，等号成立． 又∵y＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值， ∴＝3，∴a＝36. 5．2024·天台中学高一已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：≥9. 证明：∵a>0，b>0，a＋b＝1， ∴1＋＝1＋＝2＋. 同理，1＋＝2＋，∴＝ ＝5＋2≥5＋4＝9， 即≥9. $$