第03讲 等腰三角形的性质和判定（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版新教材）

第03讲 等腰三角形的性质和判定 知识点1：等腰三角形的概念和性质 知识点2：等腰三角形的判定 1. 等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 【题型1：根据等腰三角形的性质求有关的边长】 【典例1】如图，在中，，平分，若，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的三线合一的性质求解即可． 【详解】解∶∵，平分， ∴， 又， ∴， ∴， 故选∶C． 【变式1】一个等腰三角形的两边长分别为4和10，则它的周长为（　　） A．18 B．24 C．18或24 D．12或30 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分4是腰长和底边长两种情况讨论求解，再利用三角形的任意两边之和大于第三边进行判断，然后根据周长公式列式计算即可得解． 【详解】解：4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、10， ∵， ∴不能组成三角形， 4是底边时，三角形的三边分别为4、10、10， 能组成三角形， 周长， 综上所述，这个等腰三角形的周长为24． 故选：B． 【变式2】等腰三角形的一边长等于4，另一边长等于9，则它的底边是（   ） A．4 B．9 C．4或9 D．17 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形三边关系、等腰三角形的定义等知识，易错点是题目中没有明确告诉等腰三角形的腰和底而忽视讨论．本题没告诉腰是4还是9，要分情况论．确定腰是9还是4后，再根据三角形三边关系看是否能构成三角形，最后确定第三边的长． 【详解】分两种情况讨论． 第一种情况，当一腰是4时，则底边为9，另一腰长为4．此时因为，不符合三角形三边不等关系，此种情况不成立； 第二种情况，当一腰是9时，则底边为4，另一腰为9．此时，符合三边不等关系．此时等腰三角形的三条边长分别为9、9、4．所以第二种情况下底边长为4． 综上所述，底边长为4． 故选：A． 【变式3】已知等腰三角形的两边长分别是和，则此三角形的周长是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形，构成三角形的条件；分腰长为与腰长为两种情况，结合三角形三边的关系即可求解． 【详解】解：当腰长为时，， 则三角形的周长为：； 当腰长为时，， 则三角形的周长为：； 综上，此三角形的周长是或． 【题型2：根据等腰三角形的性质求角度】 【典例2】如图，在中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，由等边得等角求解即可． 由可得为等腰三角形，再根据顶角可求解底角即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴为等腰三角形， 又∵， 所以． 故选：C ． 【变式1】如图，在中，，沿直线翻折，使得点A与点B重合，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、等边对等角，由三角形内角和定理求出，由折叠的性质可得，再由等边对等角可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵沿直线翻折，使得点A与点B重合， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】如图，在中，的垂直平分线交于点，，，的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出，进而根据等腰三角形的性质和外角的性质得出，最后根据三角形内角和为180度求解即可． 【详解】∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式3】如图，在中，，，点为的中点，则 ． 【答案】度/ 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，先根据等腰三角形的性质得到，再利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ， ，点为的中点， ， ， ， ， 故答案为：． 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 要点诠释： (1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. （2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形． 【题型3：判断等腰三角形的个数】 【典例3】如图所示，共有等腰三角形（    ） A．2 B．3 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，根据有两个角相等的三角形是等腰三角形，结合三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形，， ∴ ， ∴，， ∴、是等腰三角形， ∵，， ∴，， ∴、是等腰三角形， 故图中共有5个等腰三角形， 故选：C． 【变式1】如图，在中，，，点在的垂直平分线上，平分，则图中等腰三角形的个数是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据题意可得，进而可得，得出，根据垂直平分线的性质可得，进而得出，根据角平分线的定义得出，进而可得，，得出，，得出，进而即可求解． 【详解】解：在中，， 是等腰三角形； ， ， ， 点在的垂直平分线上， ， 是等腰三角形； ， ， 平分， ， ， ， 是等腰三角形； ，， ， ， 是等腰三角形； ， ， 是等腰三角形； ， ， 是等腰三角形， 综上所述，等腰三角形有，，，，，共个， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式2】如图，在中，，，是的角平分线，则图中的等腰三角形共有(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由是的角平分线，可得，又可求，所以是等腰三角形；又，故，所以是等腰三角形；由，得，可求，故，所以是等腰三角形． 【详解】解：是的角平分线， ， ， 是等腰三角形①． ， ， 是等腰三角形②． ，， ， ， 是等腰三角形③． 故图中的等腰三角形有个． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键． 【变式3】如图所示，共有等腰三角形（    ） A．4个 B．3个 C．5个 D．1个 【答案】C 【分析】由已知条件，根据三角形内角和定理，求出图形中未知度数的角，即可根据等角对等边求得等腰三角形的个数． 【详解】解：根据三角形的内角和定理，得：， 根据三角形的外角的性质，得 ． 再根据等角对等边，得 等腰三角形有，，，和，共个． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、三角形内角和定理，解题的关键是掌握等腰三角形的判定定理． 【题型4：根据等腰三角形的存在性找点的个数】 【典例4】如图，在平面直角坐标系中，点，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标，等腰三角形的性质，垂直平分线，根据以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，进行分类讨论，借助尺规作图进行快速得出满足条件的点P的个数，即可作答． 【详解】解：依题意，当时，如图所示： 此时满足条件的点P有一个； 当时，如图所示： 此时满足条件的点P有两个； 当时，如图所示： 此时满足条件的点P有一个； 综上满足在坐标轴上的点一共有个， 故选：C 【变式1】在平面直角坐标系中，点A的坐标为，在x轴上确定点P，使为等腰三角形，则符合条件的点P有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；针对线段在等腰三角形中的地位，分类讨论用两圆一线的方式，找与轴的交点即可得到答案． 【详解】解：分二种情况进行讨论：如图， ①当为等腰三角形的腰时，以O为圆心为半径的圆弧与轴有两个交点，即和；以A为圆心为半径的圆弧与轴有一个交点； 当为等腰三角形的底时，作线段的垂直平分线，与轴有一个交点． 故符合条件的点一共个， 故选：C． 【变式2】如图，已知中，，．在直线或上取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的P点有（    ）处．    A．6 B．7 C．8 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题，根据题意，画出图形结合求解． 【详解】如图，第1个点在上，作线段的垂直平分线，交于点P，则有； 第2个点是以A为圆心，以长为半径截取，交延长线上于点P； 第3个点是以A为圆心，以长为半径截取，在上边与延长线上交于点P； 第4个点是以B为圆心，以长为半径截取，与的延长线交于点P； 第5个点是以B为圆心，以长为半径截取，与在左边交于点P； 第6个点是以A为圆心，以长为半径截取，与在右边交于点P； 故符合条件的点P有6个点． 故选：A．    【变式3】如图，已知中，，，在直线或射线取一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形性质及构造等腰三角形的方法．根据等腰三角形性质，结合构造等腰三角形的方法，分三种情况：①构造中垂线；②以为圆心，长为半径作圆；③以为圆心，长为半径作圆；他们与直线或射线的交点即是点，从而得到结论 【详解】解：分三种情况： ①构造中垂线，、即为所求，如图所示： ②以为圆心，长为半径作圆，、即为所求，如图所示： ③以为圆心，长为半径作圆，即为所求，如图所示： 综上所述，在直线或射线取一点，使得是等腰三角形，符合条件的点有、、、、共5个， 故选：B． 【题型5：等腰三角形的判定】 【典例5】如图是正五边形，连接，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正多边形的内角问题，全等三角形判定与性质，等腰三角形性质，三角形内角和定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据正多边形的定义证明，即可得到； （2）先求出该五边形的每个内角的度数为，再由等边对等角以及三角形内角和求出，再由全等三角形的性质得到，即可求解． 【详解】（1）证明：五边形是正五边形， ，. 在和中， ，，， ， ， 是等腰三角形． （2）解：五边形是正五边形， 该五边形的每个内角的度数为， ， 是等腰三角形， ， ， ， . 【变式1】如图，在中，，，，垂足为E，且，连接求证：为等腰三角形． 【答案】详见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形的判定，平行线的性质，由平行线的性质推出，由垂直的定义得到，判定，推出，即可证明是等腰三角形． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． 【变式2】如图，是的边上的中点，，，垂足分别为，，且，求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的判定等几何知识点及其应用问题，牢固掌握全等三角形的判定、等腰三角形的判定等几何知识点是解题的基础和关键．首先运用定理证明，进而得到，运用等腰三角形的判定定理即可解决问题； 【详解】证明：∵是 的边的中点，，， ∴、 均为直角三角形， 在中 ， ， ， ∴是等腰三角形． 【变式3】已知：中，的角平分线相交于点D，过D作交于点E，交于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线定义，平行线性质，等腰三角形的判定的应用，注意：等角对等边． 根据角平分线定义和平行线性质求出，推出，同理得出，即可求出答案． 【详解】证明：∵平分，平分， ， ， ， ， ，， ， 即． 【题型6：等腰三角形的判定与性质】 【典例6】如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，平行线的性质是解此题的关键． （1）根据角平分线性质可得，由，根据平行线的性质得，到，即可得到结论． （2）根据三角形的内角和可求出，由，根据平行线的性质即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵是的平分线， ， ， ， ， ， ∴是等腰三角形； （2）解：， ， ， ， ． 【变式1】如图，在中，，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若的周长比的周长大9，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用； （1）求解，，，从而可得结论； （2）证明，，结合与的周长比的周长大9，进一步求解即可. 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形. （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，而， ∵的周长比的周长大9， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 【变式2】如图，已知和，，，，与交于点P，点C在上． (1)求证是等腰三角形； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）先证明，进而可依据“”判定和全等得，由此即可得出结论； （2）先根据三角形外角性质求出，然后根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可得出的度数． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：是的外角， ， ，， ， ， 在中，， 由可知：， ， ， ∴． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【变式3】如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，． (1)求证：是等腰三角形： (2)若的周长是，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）先根据等边对等角和三角形内角和定理求出，再根据线段垂直平分线的性质得到，则，即可利用三角形外角的性质推出，由此即可证明结论； （2）根据三角形周长公式得到，由得到，再由已知条件即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴．             ∵是的垂直平分线， ∴，             ∴，             ∴，           ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵的周长是13， ∴，        ∵， ∴，即，         ∵， ∴， ∴． ∵是的垂直平分线， ∴． 【题型7： 等腰三角形的实际应用】 【典例7】如图，一艘船从海岛A处出发，以18海里/小时的速度向正北航行，经过5小时到达海岛B处．分别从A，B望灯塔C，测得，．求从海岛B处到灯塔C的距离． 【答案】从B处到灯塔C的距离是90海里 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，利用题中给出的角的度数，求得，再速度乘时间就是路程，从而求出的长．其关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解． 【详解】解：根据题意得：（海里）， ∵，， ∴， ∴， ∴（海里）． 即从B处到灯塔C的距离是90海里． 【变式1】为了测量一池塘两端A，B的距离，三个数学研究小组设计了不同的可行性方案，如池塘示意图，他们在池塘西岸的点A处测得池塘点B恰好在点A的正东方向，测量方案如下表 课题 测量池塘两端A，B的距离 池塘示意图：   工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺，激光笔 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 ①从A点出发，向北走到C点；②测得， ①从A点出发，向北走到O点插上一根标杆； ②继续向北走相同的距离到达D点； ③再向西走到E点，使B，O，E三点共线； ④测得 ①将标杆垂直立在池塘岸边的点A处，再将激光笔固定在标杆的顶部F处； ②调整激光笔与标杆的夹角，使其射出的光线正好落在池塘对岸的点B； ③保持标杆与激光笔的夹角不变，转动标杆，使激光笔射出的光线落在同岸的点G，此时； ④测得：数据1：； 数据2：． 测量示意图          (1)第一小组测得即的距离，证明方法如下： 证明： (转右框) (理由：______) (2)请用第二小组的方案，求出池塘两端A，B的距离； (3)其他小组的同学发现，第三小组方案的第④步只用其中一个数据就可以求出池塘两端A，B的距离，请你在第④步中选择一个有效数据求出池塘两端A，B的距离． 【答案】(1)等角对等边 (2)A，B的距离为 (3)选择有效数据：，A，B的距离为 【分析】本题考查全等三角的判定与性质的应用，等角对等边等知识，审清题意读懂测量方法是解题的关键． （1）根据题意由推导使用的定理是等角对等边，从而得解； （2）根据题意使用定理证明，从而得到，从而得解； （3）根据题意使用定理证明，从而得到，从而得解． 【详解】（1）解：由推导使用的定理是等角对等边， 故答案是：等角对等边； （2）解：依题意得：，，， ∴， ∴； （3）选择有效数据：， ∵，，， ∴， ∴． 【变式2】某天上午9时，一艘轮船从A处出发，以每小时20海里的速度自东向西航行，11时到达B处，分别从A，B处望向灯塔C，测得，，求B处到灯塔C的距离． 【答案】B处到灯塔C的距离为海里． 【分析】本题主要考查的知识点是方向角的相关问题，三角形外角的性质，以及等腰三角形性质，根据题意算出，再利用外角知识判断出为等腰三角形，即可解题． 【详解】解：由题知，（海里）， ，， ， ， 海里， B处到灯塔C的距离为海里． 【变式3】综合与实践： 初步认识筝形后，实践小组动手制作了一个“筝形功能器”，如图，在笔形中，． (1)【操作应用】如图1，将“筝形功能器”上的点与的顶点重合，分别放置在角的两边上，并过点画射线，求证：是的平分线； (2)【实践拓展】实践小组尝试使用“筝形功能器”检测教室门框是否水平．如图2，在仪器上的点处栓一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤，仪器上的点紧贴门框上方，观察发现线绳恰好经过点，即判断门框是水平的．实践小组的判断对吗？请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）实践小组的判断对，理由见解答． 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质； （1）证明，得，即可解决问题； （2）根据等腰三角形的三线合一可得，进而可以解决问题． 【详解】（1）证明：在和中， ， ， ， 是的平分线； （2）解：实践小组的判断对，理由如下： 是等腰三角形，， 由（1）知：平分， ， 是铅锤线， 是水平的． 门框是水平的． 实践小组的判断对． 一、单选题 1．等腰中，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，根据等腰三角形的性质，底角相等，结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：在等腰中，， 故． ∵， ∴； 故选B． 2．如图，，若，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，先根据，推出，结合，推出，即可得到，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 3．如图，点A，B为方格纸中的两个格点，若以为边在方格中画点（点C为格点），使得为等腰三角形，则点C的个数是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查格点作等腰三角形，根据等腰三角形的判断即可得到结论，掌握等腰三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：当为腰时，如图， 当为底边时，点无格点， 综上可知：为等腰三角形，则点的个数有个， 故选：C． 4．如图，中，，，边的垂直平分线分别与边，交于点，，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，解答此题要两次运用等腰三角形两底角相等的性质．先根据等腰三角形的性质求出，由线段垂直平分线的性质得，得出，然后根据求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∵垂直平分， ∴， ∴． ∴． 故选C． 5．如图，的周长为，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，若，，，那么的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义以及等腰三角形的判定和性质，由角平分线定义可得，由平行线的性质可得，则，所以，同理，然后由的周长，，可得，最后由的周长即可求解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵的周长，， ∴， ∵的周长为 ， ∴的周长是， 故选：． 6．已知是等腰三角形，它的两条边的长分别为和，则它的第三边的长是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形三边关系，等腰三角形，根据等腰三角形的定义及三角形三边关系，确定第三边的可能值． 【详解】解：分两种情况讨论： 若腰长为，则第三边长，此时三边为、、， ∵，，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形； 若腰长为，则第三边为，此时三边为、、， ∵，满足所有条件，可构成三角形． 综上，第三边的长为， 故选：D． 7．为等腰三角形，其中顶角为，则该三角形的底角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本考查等腰三角形的定义，三角形内角和定理． 根据等腰三角形的性质，底角相等且三角形内角和为，利用顶角计算底角即可． 【详解】解：已知等腰的顶角为，设底角为x， 则， 解得， 因此底角为， 故选B． 8．若有理数满足等式，且恰好是等腰的两条边长，则的周长是（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【分析】本题考查绝对值和平方的非负性及等腰三角形的性质，由，计算出的值，分两种情况讨论等腰三角形的边长组合，结合三角形三边关系确定周长． 【详解】解：， 又， 且， 解得，， 当腰长为4（即两腰均为4），底边为2时，三边分别为4，4，2， 验证三角形三边关系： ，，均成立，可构成三角形， 周长为； 当腰长为2（即两腰均为2），底边为4时，三边分别为2，2，4， 验证三角形三边关系： ，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形， 综上，的周长为． 故选：B． 9．如图，在中，，，平分，下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理及全等三角形的判定等知识，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． 根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理及全等三角形的判定依次判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴，选项正确，不符合题意； B、∵，平分， ∴，选项正确，不符合题意； C、根据题意得：，选项错误，符合题意； D、平分， ， ∵， ，选项正确，不符合题意； 故选：C． 二、填空题 10．等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理进行计算，即可解答． 【详解】解：∵等腰三角形的一个底角的度数为， ∴这个等腰三角形的另一个底角的度数为， ∴等腰三角形的顶角的度数为：． 故答案为：． 11．如图，中，，与的平分线交于点O，过O作，，分别交于点E、F，则的周长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，得到，是解题的关键．由，分别是的和的平分线和，可推出，，根据的周长即为的长度，即可求解． 【详解】解：，分别是，的平分线， ，， ，， ，， ，， ，， ， ， ， 的周长， 故答案为： 12．如图为生活中常见的折叠桌的侧面图与示意图，已知，，，则的度数为 ． 【答案】/120度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握相关知识是解题的关键； 利用平行线的性质，推出，再利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故答案为：． 13．如图，在中，，，、分别是、的平分线，经过点，且，分别交、于点、，则的周长是 ． 【答案】11 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等角对等边，角平分线的定义，根据、分别是、的平分线，且，推出可得出，，进而得到，，则可得的周长为，据此即可求得答案． 【详解】解：∵、分别是、的平分线， ，， ∵， ，， ，， ，， ∵，， 的周长为： 故答案为：11． 14．如图，中，，点为中点，于点，若，则 ． 【答案】28 【分析】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：∵，点为中点，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15．如图，，若和分别垂直平分和，则 ． 【答案】/20度 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．根据三角形内角和定理求出的度数，根据线段的垂直平分线的性质得到，得到，即可得到答案． 【详解】解：， ， 和分别垂直平分和， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题 16．如图，点C在线段上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据证明即可； （2）根据全等三角形的性质可得，，进而可得，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）证明：在和中   ， ； （2）解：， ，， ， ， ． 17．如图，在 中， ，的垂直平分线交 于点 ． (1)若 ，求 的度数； (2)若，， 求的周长． 【答案】(1)； (2)的周长为 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，以及三角形的外角定理，等腰三角形的性质． （1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解； （2）求出的周长，代入数据计算即可得解． 【详解】（1）解的垂直平分线交于点， ， ， ； （2）解：的周长 ， ，， 的周长． 18．如图，交于点，点在线段上，且，，连接． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理和三角形外角的性质，证明是解题的关键． （1）由平行线的性质得到，则可由证明，据此可证明结论； （2）由三角形外角的性质可得，由全等三角形的性质可得，，则，再由等边对等角和三角形内角和定理可求出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴ ， 又∵， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 等腰三角形的性质和判定 知识点1：等腰三角形的概念和性质 知识点2：等腰三角形的判定 1. 等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 【题型1：根据等腰三角形的性质求有关的边长】 【典例1】如图，在中，，平分，若，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【变式1】一个等腰三角形的两边长分别为4和10，则它的周长为（　　） A．18 B．24 C．18或24 D．12或30 【变式2】等腰三角形的一边长等于4，另一边长等于9，则它的底边是（   ） A．4 B．9 C．4或9 D．17 【变式3】已知等腰三角形的两边长分别是和，则此三角形的周长是 ． 【题型2：根据等腰三角形的性质求角度】 【典例2】如图，在中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，，沿直线翻折，使得点A与点B重合，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，的垂直平分线交于点，，，的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式3】如图，在中，，，点为的中点，则 ． 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 要点诠释： (1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. （2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形． 【题型3：判断等腰三角形的个数】 【典例3】如图所示，共有等腰三角形（    ） A．2 B．3 C．5 D．4 【变式1】如图，在中，，，点在的垂直平分线上，平分，则图中等腰三角形的个数是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】如图，在中，，，是的角平分线，则图中的等腰三角形共有(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】如图所示，共有等腰三角形（    ） A．4个 B．3个 C．5个 D．1个 【题型4：根据等腰三角形的存在性找点的个数】 【典例4】如图，在平面直角坐标系中，点，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1】在平面直角坐标系中，点A的坐标为，在x轴上确定点P，使为等腰三角形，则符合条件的点P有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】如图，已知中，，．在直线或上取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的P点有（    ）处．    A．6 B．7 C．8 D．3 【变式3】如图，已知中，，，在直线或射线取一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【题型5：等腰三角形的判定】 【典例5】如图是正五边形，连接，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的度数． 【变式1】如图，在中，，，，垂足为E，且，连接求证：为等腰三角形． 【变式2】如图，是的边上的中点，，，垂足分别为，，且，求证：是等腰三角形． 【变式3】已知：中，的角平分线相交于点D，过D作交于点E，交于点F．求证：． 【题型6：等腰三角形的判定与性质】 【典例6】如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的度数． 【变式1】如图，在中，，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若的周长比的周长大9，求的长． 【变式2】如图，已知和，，，，与交于点P，点C在上． (1)求证是等腰三角形； (2)若，，求的度数． 【变式3】如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，． (1)求证：是等腰三角形： (2)若的周长是，，求的长． 【题型7： 等腰三角形的实际应用】 【典例7】如图，一艘船从海岛A处出发，以18海里/小时的速度向正北航行，经过5小时到达海岛B处．分别从A，B望灯塔C，测得，．求从海岛B处到灯塔C的距离． 【变式1】为了测量一池塘两端A，B的距离，三个数学研究小组设计了不同的可行性方案，如池塘示意图，他们在池塘西岸的点A处测得池塘点B恰好在点A的正东方向，测量方案如下表 课题 测量池塘两端A，B的距离 池塘示意图：   工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺，激光笔 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 ①从A点出发，向北走到C点；②测得， ①从A点出发，向北走到O点插上一根标杆； ②继续向北走相同的距离到达D点； ③再向西走到E点，使B，O，E三点共线； ④测得 ①将标杆垂直立在池塘岸边的点A处，再将激光笔固定在标杆的顶部F处； ②调整激光笔与标杆的夹角，使其射出的光线正好落在池塘对岸的点B； ③保持标杆与激光笔的夹角不变，转动标杆，使激光笔射出的光线落在同岸的点G，此时； ④测得：数据1：； 数据2：． 测量示意图          (1)第一小组测得即的距离，证明方法如下： 证明： (转右框) (理由：______) (2)请用第二小组的方案，求出池塘两端A，B的距离； (3)其他小组的同学发现，第三小组方案的第④步只用其中一个数据就可以求出池塘两端A，B的距离，请你在第④步中选择一个有效数据求出池塘两端A，B的距离． 【变式2】某天上午9时，一艘轮船从A处出发，以每小时20海里的速度自东向西航行，11时到达B处，分别从A，B处望向灯塔C，测得，，求B处到灯塔C的距离． 【变式3】综合与实践： 初步认识筝形后，实践小组动手制作了一个“筝形功能器”，如图，在笔形中，． (1)【操作应用】如图1，将“筝形功能器”上的点与的顶点重合，分别放置在角的两边上，并过点画射线，求证：是的平分线； (2)【实践拓展】实践小组尝试使用“筝形功能器”检测教室门框是否水平．如图2，在仪器上的点处栓一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤，仪器上的点紧贴门框上方，观察发现线绳恰好经过点，即判断门框是水平的．实践小组的判断对吗？请说明理由． 一、单选题 1．等腰中，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，，若，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，点A，B为方格纸中的两个格点，若以为边在方格中画点（点C为格点），使得为等腰三角形，则点C的个数是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．如图，中，，，边的垂直平分线分别与边，交于点，，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．如图，的周长为，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，若，，，那么的周长是（    ） A． B． C． D． 6．已知是等腰三角形，它的两条边的长分别为和，则它的第三边的长是（   ） A． B． C．或 D． 7．为等腰三角形，其中顶角为，则该三角形的底角为（   ） A． B． C． D． 8．若有理数满足等式，且恰好是等腰的两条边长，则的周长是（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 9．如图，在中，，，平分，下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数为 ． 11．如图，中，，与的平分线交于点O，过O作，，分别交于点E、F，则的周长为 ． 12．如图为生活中常见的折叠桌的侧面图与示意图，已知，，，则的度数为 ． 13．如图，在中，，，、分别是、的平分线，经过点，且，分别交、于点、，则的周长是 ． 14．如图，中，，点为中点，于点，若，则 ． 15．如图，，若和分别垂直平分和，则 ． 三、解答题 16．如图，点C在线段上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 17．如图，在 中， ，的垂直平分线交 于点 ． (1)若 ，求 的度数； (2)若，， 求的周长． 18．如图，交于点，点在线段上，且，，连接． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$