专题13 一元一次方程应用的七类综合题型（压轴题专项训练）数学北师大版2024七年级上册

专题13 一元一次方程应用的七类综合题型 目录 典例详解 类型一、配套问题 类型二、工程问题 类型三、销售盈亏问题 类型四、方案选择问题 类型五、数字问题 类型六、数轴动点问题 类型七、日历问题 压轴专练 类型一、配套问题 例1．某工厂需要生产一批太空漫步器，已知该工厂共有88名工人，其中女工人数比男工人数的2倍少20人，并且每名工人每天生产60个支架或100套脚踏板． (1)该工厂有男工、女工各多少人？ (2)1个支架搭配2套脚踏板，应如何分配工人才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套？ 变式1-1．综合与实践：如何设计柜子的制作方案？ 【素材】学校制作一批横式柜和竖式柜用于开辟图书角．现有28张规格的长方形木板按照图1中A或两种方法裁剪，得到小长方形木板和小正方形木板．如图2所示，2块小长方形木板和2块小正方形木板可做成一个横式柜，2块小长方形木板和3块小正方形木板可做成一个竖式柜． 设张长方形木板用于A方法裁剪． 【项目解决】 任务1：填写表格（用含的代数式表示裁剪出的小长方形木板和小正方形木板的数量）． 裁剪方法 小长方形木板（块） 小正方形木板（块） A方法 ________ 0 方法 ________ 任务2：将裁剪出的木板全部用于制作竖式柜且恰好全部用完，求出制作竖式柜的数量． 任务3：将裁剪出的木板用于制作两种柜子且恰好全部用完，给出裁剪方案使得做出的柜子数量最多，并求出两种柜子的总数． 变式1-2．问题情境数学兴趣小组的同学利用周末到某纸箱厂参加社会实践，该厂的厂长让他们用100张白板纸（如图1）制作某种型号的长方体纸箱． 研究方法如图2，每张白板纸有，，三种剪裁方法，其中第种裁法：得到2个侧面与4个底面；第种裁法：得到4个侧面；第种裁法：得到3个侧面与2个底面．问题解决数学兴趣小组的同学用三种不同的裁剪方法裁剪这100张白板纸． 设按裁法裁剪的白板纸有a张，按裁法裁剪的白板纸有b张． (1)按第种方法裁剪的白板纸有______张（用含a，b的式子表示）； (2)用含a，b的代数式填表： 裁法 裁法 裁法 侧面个数 ______ ______ 底面个数 ______ ______ (3)已知四个侧面和两个底面恰好能配套做成一个纸箱，若将这100张白板纸剪裁完后，得到的侧面和底面恰好配套： 当时，求该小组按上述裁法分别裁剪了多少张白板纸？ 小明观察不同载法的复杂程度后发现，每载一张白板纸，裁法和裁法都至少需要裁5刀，裁法至少需要裁3刀，直接写出：该小组裁剪总刀数m与a的数量关系式． 变式1-3．某工厂需要生产一批太空漫步器（如图），每套设备由一个支架和两套脚踏板组装而成．工厂现共有45名工人，每人每天平均生产6个支架或15套脚踏板． (1)应如何分配工人才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套？配成多少套？ (2)若每套太空漫步器的成本为200元，每套按成本加价销售，售出一部分后，出现滞销，工厂决定打八折出售剩余的太空漫步器，全部售出后共获利9200元，有多少套太空漫步器打八折出售？ 类型二、工程问题 例2．某工程队承包了一项目，现提供两种施工方案：①所有员工同时施工，计划24天完成：②将所有员工平均分成若干组施工队，分阶段投入施工，即第1组先施工，每隔天（为之间的整数，不包括5和10），增加一组员工，且每组员工从加入开始至完工结束全程参与施工．该工程队按照方案②进行施工，完工后发现最后一组员工的施工时间恰好为第一组的．（说明：无论采用何种方案，所有员工的施工速度都相等，且保持不变） (1)求第一组施工队员的工作时间． (2)已知这若干组施工队每组5人，则该工程队共有多少人？ 变式2-1．利用一元一次方程解应用题：某学校刚完成一批结构相同的学生宿舍的修建，这些宿舍地板需要铺瓷砖，一天4名一级技工去铺4个宿舍，结果还剩地面未铺瓷砖；同样时间内6名二级技工铺4个宿舍刚好完成，已知每名一级技工比二级技工一天多铺瓷砖． (1)求每个宿舍需要铺瓷砖的地板面积． (2)现该学校有26个宿舍的地板和的走廊需要铺瓷砖，该工程队一开始有4名一级技工来铺瓷砖，施工3天后，学校根据实际情况要求还要2天必须完成剩余的任务，决定加入6名二级技工一起工作并提高所有技工的工作效率．若每名一级技工每天多铺瓷砖面积与每名二级技工每天多铺瓷砖面积的比为，问每名二级技工每天需要铺多少平方米瓷砖才能按时完成任务？ 变式2-2．用型机器和型机器生产同样的产品，已知5台型机器一天的产品装满8箱后还剩4个，7台型机器一天的产品装满11箱后还剩1个，每台型机器比型机器一天多生产1个产品． (1)求每箱装多少个产品． (2)现需生产箱产品，若用台型机器和台型机器同时生产，需要几天完成．（用含有的代数式表示） (3)若每台型机器一天的成本费用是110元，每台型机器一天的成本费用是100元，可以运作的型机器最少18台，最多20台，现要在一天内完成38箱产品的生产，请直接写出总成本的最小值_______． 变式2-3．A、B两市相距千米，两市之间一处因山体滑坡导致连接这两市的公路受阻，甲、乙两个工程队接到指令，要求于早上7点，分别从A、B两地同时出发赶往滑坡地点疏通公路．甲队于9点赶到并立即开工半小时后，乙队也赶到，并立即投入抢修工作，此时甲队已完成了全部任务的． (1)如果滑坡受损公路长1千米，甲队行进的速度是乙队的倍多5千米，求甲、乙两队的行进的速度各是多少？ (2)如果下午3点两队就完成公路疏通任务，胜利会师，那么若由乙队单独疏通这段公路时，需要多少时间才能完成任务？ 类型三、销售盈亏问题 例3．某商场经销A、B两种商品，A种商品每件进价40元，售价50元；B种商品每件售价80元，利润率为． (1)每件A种商品利润率为 ，每件B种商品进价为 ； (2)若该商场同时购进A、B两种商品共50件，恰好总进价为2300元，则该商场购进A种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场对A、B两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过500元 不优惠 超过500元，但不超过800元 按总售价打九折 超过800元 其中800元部分打八折优惠，超过800元的部分打七折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买A、B商品实际付款675元，求小华此次购物打折前的总金额． 变式3-1．某商场进了20台A、B、C三种型号的冰箱，根据下表提供的信息，解答以下问题： 冰箱类型 A B C 购进的台数（台） 8 6 每台冰箱的销售价（元） 2000 3000 (1)商场购进A型号冰箱______________台； (2)每台A型号冰箱的销售价比每台型号冰箱的销售价便宜． ①每台C型号冰箱的销售价是_______________元； ②如果每台A、B两种型号冰箱的成本价之比是，每台C型号冰箱的成本价比每台B型号冰箱的成本价少500元，且每台C型号冰箱的成本价比每台A型号冰箱的成本价多300元，则每台C型号冰箱的成本价是多少元？每台C型号冰箱的盈利率是多少？（百分号前保留一位小数） ③如果要使A、B两种型号冰箱的总利润达到6000元，那么需要销售A种型号冰箱______________台． 变式3-2．西湖龙井是中国十大名茶之一，因产于浙江省杭州市西湖龙井村周围群山而得名．在其三十多个品牌中，“狮峰龙井”和“梅坞龙井”尤为有名． 茶农李明种植了5亩“狮峰龙井”和10亩“梅坞龙井”，其中平均每亩“狮峰龙井”制成的茶叶重量是“梅坞龙井”的40%，今年共制成两种茶叶240千克． 两种茶叶的销售规格如下表： 狮峰龙井 梅坞龙井 装盒（克/盒） 125 250 售价（元/盒） 200 600 根据以上信息，回答下列问题： (1)求制成的“狮峰龙井”和“梅坞龙井”茶叶各多少千克？ (2)若销售这两种茶叶共盒．销售额为40000元，求销售“狮峰龙井”的数量．（用含的代数式表示） (3)若李明第一次销售两个品种茶叶共600盒，第二次销售时搞促销活动，对所有剩下的“狮峰龙井”打八折．两次销售完所有的茶叶后，他发现第二次的销售额比第一次的销售额多12800元．求第一次销售“狮峰龙井”多少盒？ 变式3-3．列一元一次方程解应用题： 寒潮来袭，各地气温不断创新低，然而来势汹汹的冷空气，却吹不散人们的消费热情．购置御寒衣物、取暖电器，或是品尝一顿热气腾腾的火锅，成为不少人的入冬“仪式”．全国各地立足自身自然资源优势，将“冷资源”转化为“热经济”．某商店的、两种御寒商品也是深受顾客的喜爱，每件商品的售价为元，利润为元；每件商品的进价为元，利润率为： (1)每件商品的进价为__________元，每件商品的售价为________元； (2)若该商店第一次用元购进了、两种商品，其中商品的件数比商品件数的倍少件，求购进、两种商品各多少件； (3)在（2）的条件下，该商店第二次又购进、两种商品进行销售，与第一次相比，购进商品的件数不变，进价提高了，售价不变并且全部售出；购进商品的件数增加了，进价不变，但每件的售价调整为元，销售一段时间后，商店为了回馈消费者进行打折促销，于是将剩下的件商品打九折并全部售出，若第二次购进的两种商品共获得利润元，求的值． 类型四、方案选择问题 例4．一台仪器由一个部件和三个部件构成，用钢材可以做个部件或个部件． (1)现要用钢材制作一批这种仪器，应用多少钢材做部件，多少钢材做部件，才能使这批仪器制作的尽可能多？这批仪器最多制成多少台？ (2)有一家公司计划租赁（1）中制成的这批仪器，按租赁时间（小时）有两种付费方式，如下表所示： 付费方式 基础租金 超时租金 方式一 当时，每台仪器收取租金50元 当时，超时部分这批仪器整体按每小时元收费 方式二 当时，每台仪器收取租金元 当时，超时部分这批仪器整体按每小时元收费 请你替该公司谋划一下，根据租赁时间选择哪种付费方式能比较节省费用? 变式4-1． 主题 学校购买比赛用品策略探讨 问题情境 为了举行羽毛球比赛，学校需要提前购买20副羽毛球拍和若干个羽毛球（不少于60个）． 素材1 商品标价 羽毛球拍：150元/副 羽毛球：10元/个 素材2 购买方案 方案一：每买一副羽毛球拍赠送3个羽毛球． 方案二：羽毛球拍和羽毛球都按标价的九折销售． 任务1 现已知方案一和方案二只能单独使用，若学校需要购买羽毛球拍和100个羽毛球，请为学校推荐购买方案． 任务2 若方案一和方案二费用一致，你知道学校购进了多少个羽毛球吗？ 任务3 现已知方案一和方案二既可以单独使用，也可以同时使用．若学校此次需要购进400个羽毛球，请为学校设计最省钱的购买方式． 变式4-2．某化工厂每天产生超过100吨的工业废水，为使排放的工业废水达到国家的排放标准，建设了一座工业废水处理站．该处理站无论是否处理废水，都需要支付设备维护费用200元/天，且处理废水还需其他费用5元/吨．随着生产规模的扩大，该废水处理站已无法完成当天工业废水的处理任务，需要将一部分废水交给第三方企业处理，该企业处理工业废水的价格如表二所示． 表二 收费方式 废水处理量/吨 费用 第一阶梯 0～50 500元 第二阶梯 50～100的部分 5元/吨 第三阶梯 100以上的部分 4元/吨 (1)设某天有m吨废水在处理站处理，直接写出处理站处理废水产生的总费用； (2)若某天该工厂将一半的废水由处理站处理，另一半废水由第三方企业处理，该废水处理站处理废水产生的总费用与第三方企业处理废水产生的费用相同，求这一天该工厂产生的废水总量； (3)经测算，扩大生产规模后，每天产生的废水量超过该处理站日废水处理量至少50吨，为实现降本增效，工厂设计了两种废水处理方案：方案A：超出该处理站的日废水处理量的废水交给第三方企业处理；方案B：保留处理站的设备，但废水全部交给第三方企业处理．根据以上信息，请帮助工厂选择最优方案，并说明理由． 变式4-3．某停车场为24小时营业，其收费方式如表所示： 停车时段 收费方式 白天 8元/小时 夜间 4元1小时 备注 1．收费计时单位时段为1小时，不足一个收费计时单位的按一个收费计时单位收费； 2．白天时段连续停放超过6小时，不超过12小时（含12小时）的，一律按6小时停车时间收费； 3．夜间时段连续停放超过6小时，不超过12小时（含12小时）的，一律按6小时停车时间收费； 4．停车时间横跨多个时段，按照每个时段的收费标准累计收费． (1)若某日刘老师进场停车，离场，则需付停车费_______元； (2)若某日刘老师进场停车，离场，则需付停车费_______元； (3)若某日刘老师进场停车，停了x小时后离场，x为整数，且离场时间介于当日的间，则他此次停车的费用为多少元？ (4)若某次刘老师在该停车场停车费用为60元，其中白天时段停车a小时，夜间时段停车b小时（均为非负整数），请你写出三种符合条件的的值． 类型五、数字问题 例5．把正整数1，2，3，4，…，排列成如图1所示的一个表，从上到下分别称为第1行、第2行、…，从左到右分别称为第1列、第2列、…．用图2所示的方框在图1中框住表中的16个数，把其中没有被阴影覆盖的四个数分别记为A、B、C、D． (1)在图1中，2024排在第 行，第 列； (2)的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由； (3)若将图1中的偶数都改为原数的相反数，奇数不变． ①设此时图1中排在第m行第n列的数（m为正奇数，n为正整数）为w，请用含m、n的式子表示w； ②此时的值能否为2020？如果能，请求出A所表示的数；如果不能，请说明理由． 变式5-1．观察下列四行数，回答下面的问题: ，4，，16，，…；① 0，6，，18，，…；② ，2，，8，，…；③ 3，，9，，33，…；④ (1)第①行数的第7个数是______； (2)设第①行第个数为，写出第②行数的第个数是______（用含的式子表示）； (3)取每行数中的第个数，则第①②④行这三个数的和能否等于？如果能，请你求出的值，如果不能，请说明理由． 变式5-2．定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零那么称这个两位数为“互异数”．将一个“互异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以．根据以上定义，回答下列问题： (1)①下列两位数：50，44，35中，“互异数”为______；②计算： ______； (2)一个“互异数”的十位数字是，个位数字是，且，求的值； (3)如果一个“互异数”的十位数字是，个位数字是，且，求“互异数”的值． 变式5-3．如果一个三位自然数的任意两个相邻数位上，左边数位上的数总比右边数位上的数小1，那么我们把这样的自然数叫做“小顺数”．交换的百位数字和个位数字位置，得到一个新的三位数，记，例如：是“小顺数”，对应的，则． (1)最小的三位“小顺数”是______；最大的三位“小顺数”是______； (2)设“小顺数”的百位数字是，已知是3的倍数，求满足条件的所有“小顺数”． 类型六、数轴动点问题 例6．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“友好点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“友好点”． (1)若点M表示数， 点N表示的数4，下列各数0，1，2所对应的点分别为，其中是点M，N的“友好点”的是___________； (2)点A表示数， 点B表示的数30，P在为数轴上一个动点： ①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“友好点”，求此时点P表示的数； ②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“友好点”，写出此时点P表示的数___________． 变式6-1．在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为，我们规定：的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即． 【问题情境】如图，在数轴上点A表示的数是，点B在点A的右侧，且到点A的距离是18．点C在点A与点B之间，且点C与点A之间的距离是9． (1)【初步应用】点B表示的数是 ，点C表示的数是 ． (2)【迁移应用】若点P从点A出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒，当点P运动到C点时，求点Q与点C之间的距离． (3)【实践应用】在（2）的条件下，若点P与点C之间的距离表示为，点Q与点B之间的距离表示为，在运动过程中，是否存在某一时刻使得？若存在，请求出此时点P表示的数；若不存在，请说明理由． 变式6-2．综合与实践： 如图，实数、、在数轴上表示的点分别是点A、B、C，且、、满足． (1)直接写出、、的值； (2)若点沿数轴向左以每秒1个单位的速度运动，点和点沿数轴向右运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒．设运动时间为（秒）．试探究：的值是否随着时间的变化而变化？若不变化，求这个不变的值；若变化，求这个值的变化范围； (3)若点沿数轴向右以每秒1个单位的速度运动，点和点沿数轴向左运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒．设运动时间为（秒）．是否存在某一时刻，满足点和点之间的距离是点和点之间的距离的？若存在，直接写出时间的值；若不存在，说明理由． 变式6-3．【阅读理解】若数轴上两点A，B所表示的数分别为a和b，则有 ①两点A，B两点的中点表示的数为； ②两点A，B两点之间的距离；若，则可简化为． 【解决问题】数轴上两点A，B所表示的数分别为a和b，且． （1）直接写出： ． （2）点C在数轴上对应的数是c，且关于x，y的多项式是三次四项式，在数轴上是否存在点P，使？若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由． 【数学思考】 （3）点E以每秒1个单位的速度从原点O出发向右运动，同时点M从点A出发以每秒7个单位的速度向左运动，点N从点B出发，以每秒10个单位的速度向右运动，P、Q分别为、的中点．思考：在运动过程中，的值是否发生变化？并说明理由． 类型七、日历问题 例7．数学科技小组的同学利用所学的知识探究日历的奥秘． 在某月的日历上圈出个数， (1)用图1方框圈2个数，？位置的数可表示为___________（用含字母的式子表示）． (2)用图2方框圈出的四个数的和是32，求这四个数中最小的那个数． (3)①用图3斜框圈出的四个数的和是42，求这四个数中最大的那个数． ②若干个偶数按每行8个数排成图4所示，同样用图3斜框圈出4个数，用你学的数学知识说明：这四个数的和是8的整数倍．（提示：设第一个偶数为2n） 变式7-1．如图是某月份的日历，将“H”形框上下左右移动，可框住七个数，设“H”形框中的七个数中最中间一个数是． (1)请求出“H”形框中的七个数的和（用含的代数式表示，并化简）； (2)请问“H”形框能否框到七个数，使这七个数之和等于．若能，请写出这七个数：若不能，请说明理由． 变式7-2．主题《神奇的幻方》 【阅读】幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．如图1，把洛书用今天的数学符号翻译出来就是图2的三阶幻方，它的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为15． 【实践】（1）将这9个数中，除，1，2，4外的数填入图3中其余的方格中，使其成为一个三阶幻方． 【提升】（2）图4是一个三阶幻方，按方格中已给的信息，可知的值为___________． 【拓展】（3）将幻方迁移到月历：图5是某月的月历，小河同学说：带阴影的方框中的9个数的和可以是243．小河的说法对吗？请判断并说明理由． 变式7-3．如图是2023年一月份的日历： (1)若将“H”形框上下左右移动，可框住另外七个数，若设“H”形框中的七个数中最中间一个数是x，请求出“H”形框中的七个数的和（用含x的代数式表示）； (2)请问“H”形框能否框到七个数，使这七个数之和等于168．若能，请写出这七个数，若不能，请说明理由； (3)用这样的“H”形框在2023年二月份的日历中能框出的七个数的和的最大值是　　　　． 1．列一元一次方程解决实际问题：如图，李明计划安装由六块相同的长方形玻璃组成的窗户，该窗户一边长为6米，另一边长为a米，玻璃上方安装了两张半径为2米的相同的扇形遮光帘． (1)某厂家现有工人50人，平均每人每天可加工长方形玻璃8块或遮光帘4张，为使每天生产的玻璃数量是遮光帘数量的3倍，应安排生产长方形玻璃和遮光帘的工人各多少名？ (2)在同等质量的前提下，甲、乙两个厂家制作玻璃与遮光帘的收费方式如下： 遮光帘(元/平方米) 玻璃(元/平方米) 甲厂家 40 不超过10平方米的部分，90元/平方米； 超过10平方米的部分，78元/平方米 乙厂家 50 85元/平方米，且每购买1平方米的玻璃赠送平方米遮光帘 若李明选择甲、乙两个厂家所需费用相同，求a的值．（π取3） 2．中学原计划在一个直径为20米的圆形场地内修建圆形花坛（花坛指的是图中实线部分），为使花坛修得更加美观、有特色，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出三种方案： 方案A：如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛： 方案B：如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成的两部分，再以这两条线段为直径修两个圆形花坛； 方案C：如图3所示，先画一条直径，然后在直径上任意取四点，把直径分成5条线段，再分别以这5条线段为直径修5个圆形花坛．（本题取3） (1)如果按照方案A修，修的花坛的周长是_________； (2)如果按照方案B修，与方案A比，省材料吗？为什么？ (3)如果按照方案C修，学校要求在8小时内完成，工人甲承包了此项工程，他做了4小时后，发现不能完成任务，就请工人乙来帮忙，工人乙的工作效率是甲的，且在乙加入后，甲的效率也提高了，结果正好按时完成任务．若修1米花坛可得到100元钱，则修完花坛后，工人甲和乙分别可以得到多少报酬？ 3．过年了，武汉某两商场、为庆贺新年，全场商品按如下方式优惠： 商场 不超过元的部分 九折 超过元但不超过元的部分 八折 超过元的部分 五折 商场 全场消费每满减 （如消费就只用付，依此类推） (1)芳姐去商场置办年货，打折后需付款元，则她购买商品的原价是_____________． (2)芳姐又在商场看中了一套元的衣服，服装类商品按原价先打折，再按打折后的价格参加优惠．芳姐正准备付款，却发现该衣服打折后反而比不打折直接参加优惠贵了元，试求该衣服打了几折． (3)过了几天，芳姐和老贾先后去商场给学生购买新年礼物，已知礼物一份单价元，两人共购买了份，一共花了元，已知芳姐买的比老贾多，问两人分别买了多少份礼物？ 4．希玥服装店销售一批服装，按照标价进行销售，在销售时发现服装标签被污渍遮盖了，销售员发现打95折比打8折多盈利15元钱； (1)每件服装标价多少元？ (2)该服装店打算在年前用30000购进同样服装进行售卖，服装厂原售价为80元一件，年前甲乙两服装厂同时搞促销活动，销售方案如下图所示，请问该服装店在甲乙哪个服装厂购进服装利润最高？ 甲服装厂 乙服装厂 订购超过100件，服装全部打95折，再赠一张50元的代金券，本次购物可抵现金使用．同时每100件，免费配赠35件同样价格的服装． 订购超过100件，服装全部打八折后再减4元，同时超过出300件服装，每件服装返款0.12元包装费． (3)在（2）的条件下，该服装店购进服装后打算在进价的基础上每件服装加价，进行销售，由于接近年底，销售可能滞销，因此预计全部进行销售的服装，会有需要降价以5折出售，该服装店要想获得利润14949元，需再次按活动价格购进该厂家服装，请计算出该服装店想获得预期利润，需要准备再次购进服装多少件？ 5．下表是中国电信两种“套餐”计费方式．（月基本费固定收，主叫不超过主叫时间，流量不超上网流量不再收费，主叫超时和上网超流量部分加收超时费和超流量费） 月基本费/元 主叫通话/分钟 上网流量 接听 主叫超时部分（元/分/钟） 超出流量部分/（元/） 方式一 免费 方式二 免费 (1)若某月小萱主叫通话时间为分钟，上网流量为，则她按方式一计费需________元，按方式二计费需________元；若她按方式二计费需元，主叫通话时间为分钟，则上网流量为________． (2)若上网流量为，是否存在某主叫通话时间（分钟），按方式一和方式二的计费相等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)若上网流量为，直接写出当月主叫通话时间（分钟）满足什么条件时，选择方式一省钱；当每月主叫通话时间（分钟）满足什么条件时，选择方式二省钱． 6．一个各个数位上的数字均不为零的四位正整数，若其千位数字与十位数字之和等于8，百位数字与个位数字之和也等于8，则称这个四位正整数为“乐群数”． 例如：1276，∵，，∴，∴1276是“乐群数”． 又如：3254，∵3＋5＝8，，∴3254不是“乐群数”． (1)请判断：1473______“乐群数”，6523______“乐群数”（填“是”或“不是”）； (2)已知一个“乐群数”的千位比百位数字小3，把它的千位和百位数字分别与十位和个位数字对调，对调后得到的新数比原数大3762，求这个“乐群数”； (3)是否存在千位数字比百位数字小，且被7除余3的“乐群数”？若存在，请求出满足条件的“乐群数”；若不存在，请说明理由． 7．下表是某月的日历图． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 如图所示的三种方格框方格框①、方格框②、方格框③，可以框住日历中的三个数，设被这三种方格框框住的三个数中最小的数都为 (1)请用含x的式子完成下列填空： 第①个方格框中框住的三个数从小到大依次是 x，______，______； 第②个方格框中框住的三个数从小到大依次是 x，______，______； 第③个方格框中框住的三个数从小到大依次是 x，______，______； (2)设第①个方格框中三数之和为a，第②个方格框中三数之和为b，第③个方格框中三数之和为c，是否存在这样的x，使得？若存在，请求出a，b，c的值；若不存在，请说明理由． 8.如图：数轴上，，三点分别表示的数为、、，点表示的数为． 【阅读材料】：在数轴上表示数的点到原点的距离叫做的绝对值，记为，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记为（或），数轴上数表示的点到表示数的点与表示数的点的距离之和记为． 【结合数轴，解决问题】 (1)填空：若，则______．若，______； (2)若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，动点到点、点的距离之和为； (3)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，当到达点后立即返回点，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，当经过多少秒时，点、点之间的距离正好等于点、点的距离 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 一元一次方程应用的七类综合题型 目录 典例详解 类型一、配套问题 类型二、工程问题 类型三、销售盈亏问题 类型四、方案选择问题 类型五、数字问题 类型六、数轴动点问题 类型七、日历问题 压轴专练 类型一、配套问题 例1．某工厂需要生产一批太空漫步器，已知该工厂共有88名工人，其中女工人数比男工人数的2倍少20人，并且每名工人每天生产60个支架或100套脚踏板． (1)该工厂有男工、女工各多少人？ (2)1个支架搭配2套脚踏板，应如何分配工人才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套？ 【答案】(1)该工厂有男工36人，有女工52人 (2)40人生产支架，48人生产脚踏板恰好配套 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、找到等量关系、列出方程是解题的关键． （1）设该工厂有男工人，则女工有人，然后根据题意列一元一次方程求解即可； （2）设人生产支架，则人生产脚踏板，然后根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设该工厂有男工人，则女工有人， 由题意得：，解得：， 女工：（人），经检验，符合题意． 答：该工厂有男工36人，有女工52人． （2）解：设人生产支架，则人生产脚踏板， 由题意得：，， 解得，（人），经检验，符合题意． 答：40人生产支架，48人生产脚踏板恰好配套． 变式1-1．综合与实践：如何设计柜子的制作方案？ 【素材】学校制作一批横式柜和竖式柜用于开辟图书角．现有28张规格的长方形木板按照图1中A或两种方法裁剪，得到小长方形木板和小正方形木板．如图2所示，2块小长方形木板和2块小正方形木板可做成一个横式柜，2块小长方形木板和3块小正方形木板可做成一个竖式柜． 设张长方形木板用于A方法裁剪． 【项目解决】 任务1：填写表格（用含的代数式表示裁剪出的小长方形木板和小正方形木板的数量）． 裁剪方法 小长方形木板（块） 小正方形木板（块） A方法 ________ 0 方法 ________ 任务2：将裁剪出的木板全部用于制作竖式柜且恰好全部用完，求出制作竖式柜的数量． 任务3：将裁剪出的木板用于制作两种柜子且恰好全部用完，给出裁剪方案使得做出的柜子数量最多，并求出两种柜子的总数． 【答案】任务1：，；任务2：16个；任务3：当，时，柜子数量最多，为个 【分析】本题考查了列代数，一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． （1）根据图1求解； （2）根据“小正方形和小长方形的数量比为”列方程求解； （3）设制作竖式柜子a个，先用x和a表示柜子的总数，当x增大时，柜子的数量也增大． 【详解】任务1：解：由题意得∶A方法得小长方形木块块，B方法得小正方形块， 故答案为∶，； 任务2：由题意得：， 解得， 则， 所以能做出16个竖式柜． 任务3：设制作竖式柜个，则制作横式柜个， 做出的柜子数量为个． 由题意得：， 化简得：． 因为，和均为正整数， 当增大时，柜子数量也增大， 所以当，时，柜子数量最多，为个． 变式1-2．问题情境数学兴趣小组的同学利用周末到某纸箱厂参加社会实践，该厂的厂长让他们用100张白板纸（如图1）制作某种型号的长方体纸箱． 研究方法如图2，每张白板纸有，，三种剪裁方法，其中第种裁法：得到2个侧面与4个底面；第种裁法：得到4个侧面；第种裁法：得到3个侧面与2个底面．问题解决数学兴趣小组的同学用三种不同的裁剪方法裁剪这100张白板纸． 设按裁法裁剪的白板纸有a张，按裁法裁剪的白板纸有b张． (1)按第种方法裁剪的白板纸有______张（用含a，b的式子表示）； (2)用含a，b的代数式填表： 裁法 裁法 裁法 侧面个数 ______ ______ 底面个数 ______ ______ (3)已知四个侧面和两个底面恰好能配套做成一个纸箱，若将这100张白板纸剪裁完后，得到的侧面和底面恰好配套： 当时，求该小组按上述裁法分别裁剪了多少张白板纸？ 小明观察不同载法的复杂程度后发现，每载一张白板纸，裁法和裁法都至少需要裁5刀，裁法至少需要裁3刀，直接写出：该小组裁剪总刀数m与a的数量关系式． 【答案】(1) (2)，0；， (3)按裁法裁20张，按裁法裁40张，按裁法裁40张； 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用、列代数式等内容，正确理解题意是解题的关键 （1）用总张数减去裁法①和裁法②的张数即可得解； （2）根据每种裁法可裁出的侧面数量和底面数量分别与张数相乘即可得解； （3）①先求出侧面数共有个，底面数共有个，再根据配套列出方程求解即可； ②先根据侧面和地面配套可知，进而得到，然后根据题意可得，将b代入化简即可． 【详解】（1）解：根据题意可得第③种方法裁剪的白板纸张， 故答案为：； （2）解：根据题意可得， 裁法②侧面个数为，底面个数为0， 裁法③侧面个数为，底面个数为； 故答案为：，0；，； （3）①侧面数共有：个， 底面数共有：个， 侧面和底面恰好配套， ， ， ， 解得：， ， 答：按裁法①裁20张，按裁法②裁40张，按裁法③裁40张； ②由侧面和底面恰好配套可知， ， 整理可得， 又根据题意可知， 变式1-3．某工厂需要生产一批太空漫步器（如图），每套设备由一个支架和两套脚踏板组装而成．工厂现共有45名工人，每人每天平均生产6个支架或15套脚踏板． (1)应如何分配工人才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套？配成多少套？ (2)若每套太空漫步器的成本为200元，每套按成本加价销售，售出一部分后，出现滞销，工厂决定打八折出售剩余的太空漫步器，全部售出后共获利9200元，有多少套太空漫步器打八折出售？ 【答案】(1)人生产支架，人生产脚踏板恰好配套，配成套； (2)有套太空漫步器打八折出售． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找到等量关系是解题的关键． （1）设安排人生产支架，则人生产脚踏板，由题意得，求解即可得出答案； （2）根据题意求出每套太空漫步器的售价和打八折后每套太空漫步器的售价，设有套太空漫步器打八折出售，依题意可得，求解即可． 【详解】（1）解：设安排人生产支架，则人生产脚踏板，由题意得： ， 整理得：， 解得：， ∴（人）， （套）， ∴人生产支架，人生产脚踏板恰好配套，配成套； （2）解：每套太空漫步器的售价为：（元）， 打八折后每套太空漫步器的售价为：（元）， 设有套太空漫步器打八折出售，依题意可得： ， 整理得：， 解得：， 答：有套太空漫步器打八折出售． 类型二、工程问题 例2．某工程队承包了一项目，现提供两种施工方案：①所有员工同时施工，计划24天完成：②将所有员工平均分成若干组施工队，分阶段投入施工，即第1组先施工，每隔天（为之间的整数，不包括5和10），增加一组员工，且每组员工从加入开始至完工结束全程参与施工．该工程队按照方案②进行施工，完工后发现最后一组员工的施工时间恰好为第一组的．（说明：无论采用何种方案，所有员工的施工速度都相等，且保持不变） (1)求第一组施工队员的工作时间． (2)已知这若干组施工队每组5人，则该工程队共有多少人？ 【答案】(1)第一组施工队员的工作时间为44天 (2)该工程队共有30人 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用： （1）设最后一组施工队的工作时间为天，则第一组的工作时间为天，根据题意，得到所有员工的平均施工时间为天，列出方程进行求解即可； （2）平均分成组施工队，则第一组比最后一组多工作天，求出的正整数解即可． 【详解】（1）解：设最后一组施工队的工作时间为天，则第一组的工作时间为天， ∵中间都是相隔天， ∴所有员工的平均施工时间为， 解得． 答：第一组施工队员的工作时间为44天． （2）设平均分成组施工队，则第一组比最后一组多工作天， 因为为之间的整数，不包括5和为正整数， 所以， （人）； 答：该工程队共有30人． 变式2-1．利用一元一次方程解应用题：某学校刚完成一批结构相同的学生宿舍的修建，这些宿舍地板需要铺瓷砖，一天4名一级技工去铺4个宿舍，结果还剩地面未铺瓷砖；同样时间内6名二级技工铺4个宿舍刚好完成，已知每名一级技工比二级技工一天多铺瓷砖． (1)求每个宿舍需要铺瓷砖的地板面积． (2)现该学校有26个宿舍的地板和的走廊需要铺瓷砖，该工程队一开始有4名一级技工来铺瓷砖，施工3天后，学校根据实际情况要求还要2天必须完成剩余的任务，决定加入6名二级技工一起工作并提高所有技工的工作效率．若每名一级技工每天多铺瓷砖面积与每名二级技工每天多铺瓷砖面积的比为，问每名二级技工每天需要铺多少平方米瓷砖才能按时完成任务？ 【答案】(1)15 (2)16 【分析】（1）设每个宿舍需要铺瓷砖的地板面积为，根据每名一级技工比二级技工一天多铺2瓷砖列方程求解即可； （2）设每名一级技工每天多铺瓷砖面积为，每名二级技工每天多铺瓷砖面积的为，根据题意列出方程即可求出答案． 【详解】（1）解：设每个宿舍需要铺瓷砖的地板面积为， 根据题意可知： ，解得：． 答：每个宿舍需要铺瓷砖为15． （2）解：设每名一级技工每天多铺瓷砖面积为，每名二级技工每天多铺瓷砖面积的为， 原来每名一级技工每天铺瓷砖的面积为， 原来每名二级技工每天铺瓷砖的面积为10， ，解得：， ． 答：每名二级技工每天需要铺16瓷砖才能按时完成任务． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，理解题意、理清等量关系、列出方程是解题的关键． 变式2-2．用型机器和型机器生产同样的产品，已知5台型机器一天的产品装满8箱后还剩4个，7台型机器一天的产品装满11箱后还剩1个，每台型机器比型机器一天多生产1个产品． (1)求每箱装多少个产品． (2)现需生产箱产品，若用台型机器和台型机器同时生产，需要几天完成．（用含有的代数式表示） (3)若每台型机器一天的成本费用是110元，每台型机器一天的成本费用是100元，可以运作的型机器最少18台，最多20台，现要在一天内完成38箱产品的生产，请直接写出总成本的最小值_______． 【答案】(1)12 (2) (3)2490元 【分析】（1）设每台型机器一天生产个产品，则每台型机器一天生产个产品，根据题意可列方程为，解方程可得，然后计算每箱装的产品数量即可； （2）结合（1）可知每台型机器一天生产20个产品，故每台型机器一天生产19个产品，根据题意列出代数式即可； （3）分别求出当运行型机器数量为18台、19台和20台时，还需要的型机器数量，然后结合题意求出运行总成本并比较即可获得答案． 【详解】（1）解：设每台型机器一天生产个产品，则每台型机器一天生产个产品， 由题意，可得 ， 解得 ， 所以 （个）， 答：每箱装12个产品； （2）由（1）可知，每台型机器一天生产20个产品，故每台型机器一天生产19个产品， 根据题意，现需生产箱产品，若用台型机器和台型机器同时生产， 则需要的天数为 （天）； （3）①当使用型机器18台时，为满足生产要求，即要在一天内完成38箱产品的生产， 可有 ，结合题意，可知还需要运行型机器6台， 则总成本为元； ②当使用型机器19台时，为满足生产要求，即要在一天内完成38箱产品的生产， 可有 ，即还需要运行型机器4台， 则总成本为元； ③当使用型机器20台时，为满足生产要求，即要在一天内完成38箱产品的生产， 可有 ，结合题意，可知还需要运行型机器3台， 则总成本为元． 因为， 所以，要在一天内完成38箱产品的生产，总成本的最小值为2490元． 故答案为：2490元． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用、列代数式等知识，理解题意，正确找到等量关系并列出方程或代数式是解题关键． 变式2-3．A、B两市相距千米，两市之间一处因山体滑坡导致连接这两市的公路受阻，甲、乙两个工程队接到指令，要求于早上7点，分别从A、B两地同时出发赶往滑坡地点疏通公路．甲队于9点赶到并立即开工半小时后，乙队也赶到，并立即投入抢修工作，此时甲队已完成了全部任务的． (1)如果滑坡受损公路长1千米，甲队行进的速度是乙队的倍多5千米，求甲、乙两队的行进的速度各是多少？ (2)如果下午3点两队就完成公路疏通任务，胜利会师，那么若由乙队单独疏通这段公路时，需要多少时间才能完成任务？ 【答案】(1)甲队：千米/小时，乙队：千米/小时 (2)小时 【分析】本题主要考查工程问题，掌握工程问题的公式以及找准等量关系是解题的关键． （1）设乙队的行进速度是千米/小时，则甲队的行进速度是千米/小时．从早上7点到9点，经历了2小时，甲开工半小时后乙才到，说明乙走了小时，由于受损公路长1千米，用甲、乙走的路程和=两市相距的距离再减去受损公路长，据此即可列出方程，再求解即可． （2）由于从上午9点到下午3点总共经历了6小时，最开始甲队工作小时，完成了总量的，根据工作效率=工作总量÷工作时间，用求出甲的效率．设乙的效率为，由于甲队工作了6小时，乙队工作的时间是：（小时），根据工作效率工作时间=工作总量，甲队工作量＋乙队工作量，据此列方程即可求出乙队的效率，再用1除以乙队的效率即可求出时间． 【详解】（1）解：设乙队的行进速度是千米/小时，则甲队的行进速度是千米/小时， （小时）， 2小时小时=小时， ， （千米/小时）， 答：甲队的行进速度是千米/小时，乙队的行进速度是千米/小时． （2）， 根据题意，设乙的工作效率为， （小时）， 答：乙队单独疏通这条公路的效率是小时． 类型三、销售盈亏问题 例3．某商场经销A、B两种商品，A种商品每件进价40元，售价50元；B种商品每件售价80元，利润率为． (1)每件A种商品利润率为 ，每件B种商品进价为 ； (2)若该商场同时购进A、B两种商品共50件，恰好总进价为2300元，则该商场购进A种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场对A、B两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过500元 不优惠 超过500元，但不超过800元 按总售价打九折 超过800元 其中800元部分打八折优惠，超过800元的部分打七折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买A、B商品实际付款675元，求小华此次购物打折前的总金额． 【答案】(1)；50 (2)20件 (3)750元或850元 【分析】（1）根据题意，每件A种商品利润率为，设每件B种商品进价为x元，根据题意，得，解方程即可； （2）设购进A种商品件，B种商品共件，根据题意，得，解方程即可； （3）根据小华一次性购买A、B商品实际付款675元，说明购物费用超过了500元， 设本次购物打折前的费用为元，当时，根据题意，得； 当时，根据题意，得，解答即可； 本题考查了利润率，一元一次方程的应用，打折问题，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，每件A种商品利润率为， 设每件B种商品进价为x元，根据题意，得， 解得； 故答案为：；50． （2）解：设购进A种商品件，B种商品共件， 根据题意，得， 解得， 故购进A种商品20件． （3）解：根据小华一次性购买A、B商品实际付款675元，说明购物费用超过了500元， 设本次购物打折前的费用为元， 当时，根据题意，得， 解得； 当时，根据题意，得， 解得， 小华此次购物打折前的总金额为750元或850元． 变式3-1．某商场进了20台A、B、C三种型号的冰箱，根据下表提供的信息，解答以下问题： 冰箱类型 A B C 购进的台数（台） 8 6 每台冰箱的销售价（元） 2000 3000 (1)商场购进A型号冰箱______________台； (2)每台A型号冰箱的销售价比每台型号冰箱的销售价便宜． ①每台C型号冰箱的销售价是_______________元； ②如果每台A、B两种型号冰箱的成本价之比是，每台C型号冰箱的成本价比每台B型号冰箱的成本价少500元，且每台C型号冰箱的成本价比每台A型号冰箱的成本价多300元，则每台C型号冰箱的成本价是多少元？每台C型号冰箱的盈利率是多少？（百分号前保留一位小数） ③如果要使A、B两种型号冰箱的总利润达到6000元，那么需要销售A种型号冰箱______________台． 【答案】(1)6 (2)①2500；②1900元，；③3或6 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，百分数应用题，比的应用，假设法解题，读懂题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）用总数减去B、C两种型号的冰箱的数量，即可得解； （2）①设C型冰箱销售价为元，根据每台A型号冰箱的销售价比每台C型号冰箱的销售价便宜，列方程求解即可；②设A、B两种型号冰箱的成本价分别为元、元，则C型号冷冻箱的成本价为元，根据题意，列方程求解即可，再用C的售价减去成本再除以成本得到盈利率；③先由②得到每台A、B型号冰箱的成本价，分别假设A种型号冰箱售出1台，2台，3台，4台，5台，6台，得出答案． 【详解】（1）解：A型号冰箱购买了（台）； 故答案为：6． （2）解：①设C型冰箱销售价为元， 根据题意得， 解得， 故答案为：2500； ②设A、B两种型号冰箱的成本价分别为元、元，则C型号冷冻箱的成本价为元， 根据题意得，， 解得， （元）， 每台C型号冰箱的盈利率为：， 答：每台C型号冰箱的成本价是1900元，每台C型号冰箱的盈利率是． ③由②可知，A型号冰箱的成本价为（元）， 一台A型号冰箱的利润为（元）， B型号冰箱的成本价为（元）， 一台B型号冰箱的利润为（元）， 假设A种型号冰箱售出1台，那么A种型号的利润达到元， 那么需要销售种型号（台），不符合题意； 假设A种型号冰箱售出2台，那么A种型号的利润达到元， 那么需要销售种型号（台），不符合题意； 假设A种型号冰箱售出3台，那么A种型号的利润达到元， 那么需要销售种型号（台），符合题意； 假设A种型号冰箱售出4台，那么A种型号的利润达到元， 那么需要销售种型号（台），不符合题意； 假设A种型号冰箱售出5台，那么A种型号的利润达到元， 那么需要销售种型号（台），不符合题意； 假设A种型号冰箱全部售出，那么A种型号的利润达到元， 那么需要销售种型号（台），符合题意； 综上，要使A、B两种型号冰箱的总利润达到6000元，需要销售A种型号冰箱3台或6台； 故答案为：3或6． 变式3-2．西湖龙井是中国十大名茶之一，因产于浙江省杭州市西湖龙井村周围群山而得名．在其三十多个品牌中，“狮峰龙井”和“梅坞龙井”尤为有名． 茶农李明种植了5亩“狮峰龙井”和10亩“梅坞龙井”，其中平均每亩“狮峰龙井”制成的茶叶重量是“梅坞龙井”的40%，今年共制成两种茶叶240千克． 两种茶叶的销售规格如下表： 狮峰龙井 梅坞龙井 装盒（克/盒） 125 250 售价（元/盒） 200 600 根据以上信息，回答下列问题： (1)求制成的“狮峰龙井”和“梅坞龙井”茶叶各多少千克？ (2)若销售这两种茶叶共盒．销售额为40000元，求销售“狮峰龙井”的数量．（用含的代数式表示） (3)若李明第一次销售两个品种茶叶共600盒，第二次销售时搞促销活动，对所有剩下的“狮峰龙井”打八折．两次销售完所有的茶叶后，他发现第二次的销售额比第一次的销售额多12800元．求第一次销售“狮峰龙井”多少盒？ 【答案】(1)“狮峰龙井”40千克，“梅坞龙井”200千克 (2) (3)240 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 对于（1），设制成“狮峰龙井”茶叶x千克，可表示“梅坞龙井”茶叶千克，根据茶叶重量得关系得出方程，求出解； 对于（2），先设销售“狮峰龙井”茶叶y盒，可得“梅坞龙井”茶叶盒，根据销售额等于40000列出方程，然后用含m的代数式表示即可； 对于（3），先求出今年制成“狮峰龙井”和 “梅坞龙井”茶叶的盒数，再设第一次销售“狮峰龙井”茶叶n盒，则第一次销售“梅乌龙井”茶叶盒，分别表示出第二次销售“狮峰龙井”和 “梅乌龙井”茶叶的盒数，根据两次销售额的差等于12800列出方程，求出解即可. 【详解】（1）解：设制成“狮峰龙井”茶叶x千克，则制成“梅坞龙井”茶叶千克，根据题意，得 ， 解得， ∴（千克）． 答：制成“狮峰龙井”茶叶40千克，“梅坞龙井”茶叶200千克； （2）解：设销售“狮峰龙井”茶叶y盒，则销售“梅坞龙井”茶叶盒，根据题意，得 ， 解得． 答：销售“狮峰龙井”茶叶盒； （3）解：今年制成“狮峰龙井”茶叶（盒），制成“梅坞龙井”茶叶（盒）． 设第一次销售“狮峰龙井”茶叶n盒，则第一次销售“梅乌龙井”茶叶盒，第二次销售“狮峰龙井”茶叶盒，“梅乌龙井”茶叶盒，根据题意，得 ， 解得， 答：第一次销售“狮峰龙井”240盒． 变式3-3．列一元一次方程解应用题： 寒潮来袭，各地气温不断创新低，然而来势汹汹的冷空气，却吹不散人们的消费热情．购置御寒衣物、取暖电器，或是品尝一顿热气腾腾的火锅，成为不少人的入冬“仪式”．全国各地立足自身自然资源优势，将“冷资源”转化为“热经济”．某商店的、两种御寒商品也是深受顾客的喜爱，每件商品的售价为元，利润为元；每件商品的进价为元，利润率为： (1)每件商品的进价为__________元，每件商品的售价为________元； (2)若该商店第一次用元购进了、两种商品，其中商品的件数比商品件数的倍少件，求购进、两种商品各多少件； (3)在（2）的条件下，该商店第二次又购进、两种商品进行销售，与第一次相比，购进商品的件数不变，进价提高了，售价不变并且全部售出；购进商品的件数增加了，进价不变，但每件的售价调整为元，销售一段时间后，商店为了回馈消费者进行打折促销，于是将剩下的件商品打九折并全部售出，若第二次购进的两种商品共获得利润元，求的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到等量关系，正确列出一元一次方程是解答本题的关键． （1）对于求每件商品的进价，已知商品的售价和利润，根据进价、售价、利润的基本关系“进价售价利润”，直接用售价元减去利润元就可得到进价，对于求每件商品的售价，已知商品的进价和利润率，根据售价与进价、利润率的关系“售价进价”，将进价元乘以就能得到售价； （2）设购进商品的件数为件，因为商品件数与商品件数有明确的数量关系“商品的件数比商品件数的倍少件”，所以商品件数可表示为件，又已知、商品的进价以及总进价，根据“总进价商品进价商品件数商品进价商品件数”这个等量关系列出方程求解 （3）首先明确第一次购进、商品的数量，然后对于第二次购进，商品进价提高了 ，可得出商品新的进价，根据售价不变可求出商品的利润表达式，商品件数增加了，可得出商品新的件数，考虑到有件打九折出售，分别求出正常售价和打折售价情况下商品的利润表达式，最后根据“第二次购进的两种商品共获得利润元”这个等量关系列出方程求解． 【详解】（1）解：因为每件商品售价为元，利润为元，根据进价售价利润，所以每件商品的进价为：（元）， 因为每件商品进价为元，利润率为，根据售价进价，所以每件商品的售价为：（元）， 故答案为：，； （2）解：设购进商品的件数为件，则商品件数可表示为件， 已知商品进价为元，商品进价为元，且第一次用元购进了、两种商品，根据题意得： ， 解得：， ， 所以第一次购进商品件，商品件； （3）解：由（2）得第一次购进商品件，商品件， 第二次购进商品的件数不变，进价提高了，则商品的进价为元，售价为元，利润为元， 第二次购进商品的件数增加了，则商品的件数为件，进价为元，售价为元，利润为元， 已知第二次购进的两种商品共获得利润元，根据题意得： ， 解得：． 类型四、方案选择问题 例4．一台仪器由一个部件和三个部件构成，用钢材可以做个部件或个部件． (1)现要用钢材制作一批这种仪器，应用多少钢材做部件，多少钢材做部件，才能使这批仪器制作的尽可能多？这批仪器最多制成多少台？ (2)有一家公司计划租赁（1）中制成的这批仪器，按租赁时间（小时）有两种付费方式，如下表所示： 付费方式 基础租金 超时租金 方式一 当时，每台仪器收取租金50元 当时，超时部分这批仪器整体按每小时元收费 方式二 当时，每台仪器收取租金元 当时，超时部分这批仪器整体按每小时元收费 请你替该公司谋划一下，根据租赁时间选择哪种付费方式能比较节省费用? 【答案】(1)用 4 立方米做 ，2 立方米做 ，最多制成 台 (2)若 小时，选择方式一；若 小时，两种方式费用相同；若 小时，选择方式二 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． （1）设用 立方米钢材制作 部件，则剩余的 立方米制作 部件，根据一个部件和三个部件刚好配成套，列方程求解； （2）需要分、和这3种情况讨论，并且分别求出方式一和方式二的费用，然后综合比较，即可求解； 【详解】（1）解：设用 立方米钢材制作 部件，则剩余的 立方米制作 部件， ∴每个 部件需要 立方米，可生产个 ；每个 部件需要 立方米，可生产 个 ； ∵每台仪器需要 1 个和 3 个 ，因此 的数量需满足： （仪器台数）， 令 ，解得， 此时：部件数量： 个， 部件数量： 个，满足 ， 答：用 4 立方米做 ，2 立方米做 ，最多制成 台； （2）解：设租赁时间为 小时，总费用比较如下： ①当 ：方式一： 元， 方式二：元， ∴选择方式一； ②当：方式一：， 方式二： 元； 当 时，方式一费用为元，低于方式二， ∴选择方式一； ③当 ：方式一：， 方式二：， 解方程，得临界点， 当 时，方式一更省，当 时，方式二更省； 综上所述： 若小时，选择方式一；若小时，两种方式费用相同；若小时，选择方式二． 变式4-1． 主题 学校购买比赛用品策略探讨 问题情境 为了举行羽毛球比赛，学校需要提前购买20副羽毛球拍和若干个羽毛球（不少于60个）． 素材1 商品标价 羽毛球拍：150元/副 羽毛球：10元/个 素材2 购买方案 方案一：每买一副羽毛球拍赠送3个羽毛球． 方案二：羽毛球拍和羽毛球都按标价的九折销售． 任务1 现已知方案一和方案二只能单独使用，若学校需要购买羽毛球拍和100个羽毛球，请为学校推荐购买方案． 任务2 若方案一和方案二费用一致，你知道学校购进了多少个羽毛球吗？ 任务3 现已知方案一和方案二既可以单独使用，也可以同时使用．若学校此次需要购进400个羽毛球，请为学校设计最省钱的购买方式． 【答案】任务1：推荐方案一；任务2：学校购买个羽毛球；任务3：先用方案一购买20副羽毛球拍，再用方案二购买340个羽毛球 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 任务1：利用总价单价数量，结合商店给出的两种优惠方案，可求出选择各方案所需费用，比较后即可得出结论； 任务2：设学校购进了x个羽毛球，根据方案一和方案二费用一致，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； 任务3：利用总价单价数量，求出选择方案一及方案二所需费用，再求出“先用方案一购买20副羽毛球拍，再用方案二购买340个羽毛球”所需费用，比较后即可得出结论． 【详解】解： 任务1：方案一：（元）； 方案二：（元）， ∵， ∴推荐方案一； 任务2：设购买了x个羽毛球， 方案一费用：； 方案二费用：， 由题意得：， 解得：， ∴学校购买个羽毛球； 任务3：选择方案一所需费用为（元）； 选择方案二所需费用为（元）； 先用方案一购买20副羽毛球拍，获赠60个羽毛球，再用方案二购买（个）羽毛球所需费用为（元）； ∵， ∴最省钱的购买方案为：先用方案一购买20副羽毛球拍，再用方案二购买340个羽毛球． 变式4-2．某化工厂每天产生超过100吨的工业废水，为使排放的工业废水达到国家的排放标准，建设了一座工业废水处理站．该处理站无论是否处理废水，都需要支付设备维护费用200元/天，且处理废水还需其他费用5元/吨．随着生产规模的扩大，该废水处理站已无法完成当天工业废水的处理任务，需要将一部分废水交给第三方企业处理，该企业处理工业废水的价格如表二所示． 表二 收费方式 废水处理量/吨 费用 第一阶梯 0～50 500元 第二阶梯 50～100的部分 5元/吨 第三阶梯 100以上的部分 4元/吨 (1)设某天有m吨废水在处理站处理，直接写出处理站处理废水产生的总费用； (2)若某天该工厂将一半的废水由处理站处理，另一半废水由第三方企业处理，该废水处理站处理废水产生的总费用与第三方企业处理废水产生的费用相同，求这一天该工厂产生的废水总量； (3)经测算，扩大生产规模后，每天产生的废水量超过该处理站日废水处理量至少50吨，为实现降本增效，工厂设计了两种废水处理方案：方案A：超出该处理站的日废水处理量的废水交给第三方企业处理；方案B：保留处理站的设备，但废水全部交给第三方企业处理．根据以上信息，请帮助工厂选择最优方案，并说明理由． 【答案】(1)处理站处理废水产生的总费用为元 (2)这一天该工厂产生的废水总量为300吨 (3)该工厂应选择B方案，理由见详解 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用及整式的加减运算，解题的关键是理解题意； （1）根据“设备维护费用200元/天，且处理废水还需其他费用5元/吨”可进行求解； （2）设这一天该工厂产生的废水总量为x吨，根据“工厂每天产生超过100吨的工业废水”可知：，由题意可分①当第三方企业处理的废水在第二阶梯时，②当第三方企业处理的废水在第三阶梯时，然后分别求解即可； （3）设该工厂每天产生的废水总量为t吨，处理站日废水处理量为m吨，然后分类表示出A、B方案的费用，进而问题可求解． 【详解】（1）解：由题意得：处理站处理废水产生的总费用为元； （2）解：设这一天该工厂产生的废水总量为x吨，根据“工厂每天产生超过100吨的工业废水”可知：；由题意可分： ①当第三方企业处理的废水在第二阶梯时，则有： ，该方程无解，故舍去； ②当第三方企业处理的废水在第三阶梯时，则有： ，解得：； 答：这一天该工厂产生的废水总量为300吨． （3）解：设该工厂每天产生的废水总量为t吨，处理站日废水处理量为m吨，由题意得：， 当第三方企业处理的废水在第二阶梯时，则有： A方案产生的总费用为（元）； B方案产生的总费用为（元）； ∵，∴B方案更划算； 当第三方企业处理的废水在第三阶梯时，则有： A方案产生的总费用为（元）； B方案产生的总费用为（元）； ∵， ∴B方案更划算； 综上所述：该工厂应该选择B方案更划算． 变式4-3．某停车场为24小时营业，其收费方式如表所示： 停车时段 收费方式 白天 8元/小时 夜间 4元1小时 备注 1．收费计时单位时段为1小时，不足一个收费计时单位的按一个收费计时单位收费； 2．白天时段连续停放超过6小时，不超过12小时（含12小时）的，一律按6小时停车时间收费； 3．夜间时段连续停放超过6小时，不超过12小时（含12小时）的，一律按6小时停车时间收费； 4．停车时间横跨多个时段，按照每个时段的收费标准累计收费． (1)若某日刘老师进场停车，离场，则需付停车费_______元； (2)若某日刘老师进场停车，离场，则需付停车费_______元； (3)若某日刘老师进场停车，停了x小时后离场，x为整数，且离场时间介于当日的间，则他此次停车的费用为多少元？ (4)若某次刘老师在该停车场停车费用为60元，其中白天时段停车a小时，夜间时段停车b小时（均为非负整数），请你写出三种符合条件的的值． 【答案】(1)24 (2)56 (3)元 (4)见解析 【分析】本题考查有理数的混合运算，列代数式，一元一次方程的应用．理解题意，正确列出算式或代数式是解题关键． （1）按白天停车未超过3小时计算即可； （2）按白天停车6小时，夜间停车2小时计算即可； （3）按白天停车6小时，夜间停车小时计算即可； （4）分类讨论：①当，时，②当，时，③当，时和④当，时，分别计算即可． 【详解】（1）解：刘老师进场停车，离场，则他停车2小时36分， 因为不足一个收费计时单位的按一个收费计时单位收费，且为白天停车，未超过6小时， 所以刘老师需付停车费元； （2）解：刘老师进场停车，离场，则他白天停车8小时，夜间停车1小时41分， 所以刘老师白天停车按6小时计费，夜间停车按2小时计费， 所以刘老师需付停车费元； （3）解：若某日刘老师进场停车，停了x小时后离场，x为整数，且离场时间介于当日的间，则他白天停车10小时，夜间停车小时， 因为离场时间介于当日的间， 所以夜间停车未超过6小时， 所以刘老师需付停车费元； （4）解：分类讨论：①当，时， 因为在该停车场停车费用为60元， 所以，即． 因为均为非负整数， 所以只能取，； ②当，时， 因为在该停车场停车费用为60元， 所以，即， 因为均为非负整数， 所以此时a取大于等于6小于等于12的任意整数都可以，； ③当，时， 因为在该停车场停车费用为60元，所以，即，不符合题意； ④当，时， 刘老师应付停车费元，不符合题意． 综上可知，或，或，． 类型五、数字问题 例5．把正整数1，2，3，4，…，排列成如图1所示的一个表，从上到下分别称为第1行、第2行、…，从左到右分别称为第1列、第2列、…．用图2所示的方框在图1中框住表中的16个数，把其中没有被阴影覆盖的四个数分别记为A、B、C、D． (1)在图1中，2024排在第 行，第 列； (2)的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由； (3)若将图1中的偶数都改为原数的相反数，奇数不变． ①设此时图1中排在第m行第n列的数（m为正奇数，n为正整数）为w，请用含m、n的式子表示w； ②此时的值能否为2020？如果能，请求出A所表示的数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)290，1 (2)是定值，0 (3)①当n为奇数时，；当n为偶数时，；②不能，见解析 【分析】本题考查规律型问题，需要用代数式表示出一般规律，并能构建等式通过解简易方程求值，解题的关键是理解题意，学会探究规律、利用规律解决问题，学会探究复杂问题中的等量关系． （1）探究规律，利用规律即可解决问题； （2）分别用含x的代数式表示出A、B、C、D，然后列出代数式，化简即可解决问题； （3）①分奇数、偶数两种情形讨论即可；②分奇数、偶数两种情形讨论，分别构建简单的等量关系即可解决问题； 【详解】（1）解：∵， ∴2024排在第290行，第1列； （2）解：设A表示的数为x，那么B表示的数为，C表示的数为，D表示的数为， ∴，是定值； （3）解：①解法一： 当n为奇数时， 当n为偶数时， 解法二：             ②不能，理由： 分类讨论：ⅰ当A，C为偶数，B，D为奇数时， 此时设A表示的数为a，则B表示的数为，C表示的数为，D表示的数为， ∴， 解得：， ∴此时不符合题意； ⅱ当A，C为奇数，B，D为偶数时， 此时设A表示的数为b，则B表示的数为，C表示的数为，D表示的数为， ∴， 解得：， ∴A表示的数为，与A为奇数矛盾， ∴此时不符合题意． 综上可知的值不能为2020． 变式5-1．观察下列四行数，回答下面的问题: ，4，，16，，…；① 0，6，，18，，…；② ，2，，8，，…；③ 3，，9，，33，…；④ (1)第①行数的第7个数是______； (2)设第①行第个数为，写出第②行数的第个数是______（用含的式子表示）； (3)取每行数中的第个数，则第①②④行这三个数的和能否等于？如果能，请你求出的值，如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)9 【分析】本题主要考查了有理数规律的探索、一元一次方程的应用等知识，解题的关键是熟练观察题目所给数据，总结出一般规律． （1）观察第①行的数据，可得规律为第个数为，即可解答； （2）观察得出第②行的第个等于第①行的第个数加上2，即可进行解答； （3）观察得出第④行第个是第①行第个的相反数加上1，设三个数分别为，，，即可进行解答． 【详解】（1）解：根据题意，可知第①行的第个数为， ∴第①行数的第7个数是． 故答案为：； （2）根据题意，可得规律：第②行的第个等于第①行的第个数加上2， 若第①行第个数为， 则第②行数的第个数是：． 故答案为：； （3）根据题意，可得规律：第④行第个是第①行第个的相反数加上1， 设第①②④行中的第个数分别为：，，， ， 解得， ∵， ∴． 变式5-2．定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零那么称这个两位数为“互异数”．将一个“互异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以．根据以上定义，回答下列问题： (1)①下列两位数：50，44，35中，“互异数”为______；②计算： ______； (2)一个“互异数”的十位数字是，个位数字是，且，求的值； (3)如果一个“互异数”的十位数字是，个位数字是，且，求“互异数”的值． 【答案】(1)①35；②7 (2)5 (3)“互异数”的值为71 【分析】（1）①根据“互异数”的定义逐个判断即可得到答案；②根据“互异数”的定义进行计算即可得到答案； （2）根据“互异数”的定义表示出，再根据即可得出答案； （3）根据“互异数”的定义表示出，再根据得到，求出的值即可得到答案． 【详解】（1）解：①对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零那么称这个两位数为“互异数”， 50不是“互异数”，44不是“互异数”，35是“互异数”， 故答案为：35； ②根据题意得：， 故答案为：7； （2）解：一个“互异数”的十位数字是，个位数字是， ， ， ； （3）解：一个“互异数”的十位数字是，个位数字是， ， ，，， ，， “互异数”的值为71． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算、一元一次方程的应用、列代数式，熟练掌握有理数的混合运算法则，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程及代数式，是解此题的关键． 变式5-3．如果一个三位自然数的任意两个相邻数位上，左边数位上的数总比右边数位上的数小1，那么我们把这样的自然数叫做“小顺数”．交换的百位数字和个位数字位置，得到一个新的三位数，记，例如：是“小顺数”，对应的，则． (1)最小的三位“小顺数”是______；最大的三位“小顺数”是______； (2)设“小顺数”的百位数字是，已知是3的倍数，求满足条件的所有“小顺数”． 【答案】(1)123，789 (2)满足条件的“小顺数”为234，567 【分析】（1）根据题目中所给的定义即可得到答案； （2）设“小顺数”的百位数字是，则十位数字是，个位数字是，从而得到，根据得到，又由是3的倍数，且不大于7，可得或，从而得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得： 最小的三位“小顺数”是123；最大的三位“小顺数”是789， 故答案为：123，789； （2）解：设“小顺数”的百位数字是，则十位数字是，个位数字是， ，， ， 能被3整除，且不大于7， 或， 或5 满足条件的“小顺数”为234，567． 【点睛】本题主要考查了数字类规律探索、一元一次方程的应用、整式的加减，熟练掌握以上知识点，理解“小顺数”的定义是解答此题的关键． 类型六、数轴动点问题 例6．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“友好点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“友好点”． (1)若点M表示数， 点N表示的数4，下列各数0，1，2所对应的点分别为，其中是点M，N的“友好点”的是___________； (2)点A表示数， 点B表示的数30，P在为数轴上一个动点： ①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“友好点”，求此时点P表示的数； ②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“友好点”，写出此时点P表示的数___________． 【答案】(1) (2)①或或；②50或110或70 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，一元一次方程的实际应用，正确理解题意和应用分类讨论思想是解题关键． （1）根据“友好点”的定义，分别验证三点即可． （2）①设点P在数轴上所表示的数为x．根据“友好点”的定义，当点P在点A的右侧，，，当点P在点A的左侧， ,进行分类讨论，列出方程求解即可．②分三种情况进行解答，即点A是点P，点B的“友好点”；点B是点A、点P的“友好点”；点P是点A、点B的“友好点”，然后根据“友好点”的定义列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴是点M，N的“友好点”， ∵， ∴， ∴不是点M，N的“友好点”， ∵， ∴， ∴是点M，N的“友好点”， 综上，是点M，N的“友好点”， 故答案为： （2）解：设点P表示的数为x， ∵点A表示数， 点B表示的数30， ∴①若点P在点B的左侧，， 当点P在点A的右侧，， ∵点P是点A，B的“友好点”， ∴， ∴， 解得； 或， ∴， 解得； 当点P在点A的左侧，， 此时，, ∴， 解得； 综上，点P表示的数为或或； ②若点P在点B的右侧，则， 当，， 解得， 当，， 解得， 当，， 解得， 综上，点P表示的数为50或110或70． 故答案为：50或110或70． 变式6-1．在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为，我们规定：的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即． 【问题情境】如图，在数轴上点A表示的数是，点B在点A的右侧，且到点A的距离是18．点C在点A与点B之间，且点C与点A之间的距离是9． (1)【初步应用】点B表示的数是 ，点C表示的数是 ． (2)【迁移应用】若点P从点A出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒，当点P运动到C点时，求点Q与点C之间的距离． (3)【实践应用】在（2）的条件下，若点P与点C之间的距离表示为，点Q与点B之间的距离表示为，在运动过程中，是否存在某一时刻使得？若存在，请求出此时点P表示的数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)15，6 (2)3 (3)存在，0或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键； （1）根据点三点位置间的关系，可得出点表示的数； （2）利用点与点的距离点的运动速度运动时间，即可求出结论； （3）当运动时间为秒时，点表示的数是，点表示的数是，分为当点在点左边时和当点在点右边时，得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，再将其代入中即可求出结论． 【详解】（1）解：点表示的数是，点表示的数是． （2）根据题意可知，当点运动到点时，经过了， 所以此时点表示的数是， 所以点与点的距离，． （3）存在； 当运动时间为秒时，点表示的数是，点表示的数是． 当点在点左边时，， 因为， 所以， 解得， 此时点表示的数为； 当点在点右边时，， 因为， 所以， 解得， 此时点表示的数为． 综上所述，存在某一时刻使得，此时点表示的数为0或． 变式6-2．综合与实践： 如图，实数、、在数轴上表示的点分别是点A、B、C，且、、满足． (1)直接写出、、的值； (2)若点沿数轴向左以每秒1个单位的速度运动，点和点沿数轴向右运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒．设运动时间为（秒）．试探究：的值是否随着时间的变化而变化？若不变化，求这个不变的值；若变化，求这个值的变化范围； (3)若点沿数轴向右以每秒1个单位的速度运动，点和点沿数轴向左运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒．设运动时间为（秒）．是否存在某一时刻，满足点和点之间的距离是点和点之间的距离的？若存在，直接写出时间的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，， (2)值不随着时间的变化而变化，始终 (3)存在，或 【分析】本题考查了实数与数轴，非负数的性质，两点间的距离公式，一元一次方程的应用，分类构造方程是解题关键． （1）根据平方与绝对值的和为0，可得平方与绝对值同时为0，可得的值，根据两点间的距离，可得答案； （2）t秒时，点表示，点B表示，点表示，根据根据两点间的距离公式计算计算即可； （3）先把A、B、C用表示，点表示，点B表示，点表示， 当A、相遇时，，解得，当、相遇时，，解得， 分类讨论4种情况，当时，当时，当时，当时，构造方程计算即可． 【详解】（1）解：依题意，． 所以； （2）解：秒后，点始终在点的左侧，∴， 点始终在点的右侧，∴， ∵是定值， ∴的值不随着时间的变化而变化，始终， （3）解：∵点A沿数轴向右以每秒1个单位的速度运动，点和点沿数轴向左运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒， ∴秒后A表示的数为，表示的数为，表示的数为， 当A、相遇时，，解得， 当、相遇时，，解得， ∴当时，，， ∵，，解得； 当时，，， ∵，∴，解得； 当时，，， ∵， ∴，解得，舍去； 当时，，解得（舍弃）． 故答案为：或． 变式6-3．【阅读理解】若数轴上两点A，B所表示的数分别为a和b，则有 ①两点A，B两点的中点表示的数为； ②两点A，B两点之间的距离；若，则可简化为． 【解决问题】数轴上两点A，B所表示的数分别为a和b，且． （1）直接写出： ． （2）点C在数轴上对应的数是c，且关于x，y的多项式是三次四项式，在数轴上是否存在点P，使？若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由． 【数学思考】 （3）点E以每秒1个单位的速度从原点O出发向右运动，同时点M从点A出发以每秒7个单位的速度向左运动，点N从点B出发，以每秒10个单位的速度向右运动，P、Q分别为、的中点．思考：在运动过程中，的值是否发生变化？并说明理由． 【答案】（1）10；（2）存在，16或0；（3）在运动过程中，的值不变，见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，非负数的性质，中点坐标公式和两点的距离． （1）根据非负数的性质和两点的距离公式即可得到结论； （2）设点P对应的数为y，①点P在点B的右侧，②当点P在A、B之间，根据题意列方程即可得到结论； （3）设运动时间为t，则点E对应的数是t，点M对应的数是，点N对应的数是，根据题意求得P点和Q点对应的数，根据两点的距离可得，，的值，代入可得结论． 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：10； （2）∵关于x，y的多项式是三次四项式， ∴， 解得， ∴点C表示的数为， ∴， ∴点P不可能位于点A的左侧， 设点P对应的数为y， ①当点P在点B右侧， 由题意得， 解得， ②当点P在A、B之间， 由题意得， 解得 综上所述，点P对应的数为16或0； （3）在运动过程中，的值不变，理由如下： 设运动时间为t，则点E对应的数是t，点M对应的数是，点N对应的数是， ∵P是的中点， ∴P点对应的数是， 又∵Q是的中点， ∴Q点对应的数是， ∴，， ， ∴， ∴在运动过程中，的值不变． 类型七、日历问题 例7．数学科技小组的同学利用所学的知识探究日历的奥秘． 在某月的日历上圈出个数， (1)用图1方框圈2个数，？位置的数可表示为___________（用含字母的式子表示）． (2)用图2方框圈出的四个数的和是32，求这四个数中最小的那个数． (3)①用图3斜框圈出的四个数的和是42，求这四个数中最大的那个数． ②若干个偶数按每行8个数排成图4所示，同样用图3斜框圈出4个数，用你学的数学知识说明：这四个数的和是8的整数倍．（提示：设第一个偶数为2n） 【答案】(1) (2)4 (3)①；②见解析． 【分析】此题考查了列代数式、一元一次方程的应用、整式的加减等知识，根据题意正确列出代数式和方程是解题的关键． （1）根据日历表上下两个数相差7即可得到答案； （2）设第一个数是x，表示出其余三个数，根据四个数的和是32列方程，解方程即可得到答案； （3）①设最大的数是x，表示出其余三个数，根据四个数和是42列方程，解方程即可得到答案；②设这四个数中最小的数是n，表示出其余三个数，得到，根据且n为偶数分析即可得到结论． 【详解】（1）解：由日历可知，用图1方框圈2个数，?位置的数可表示为， 故答案为： （2）设最小的那个数是x， 则， 解得， 即最小的那个数是4， 故答案为：4 （3）①解：设最大的数是x，则 ， 解得， 即最大的数是， 故答案为： ②设这四个数中最小的数是n， 则， ∵且n为偶数， ∴一定是正整数， ∴是8的整数倍． 即用图3斜框圈出4个数，则这四个数的和是8的整数倍． 变式7-1．如图是某月份的日历，将“H”形框上下左右移动，可框住七个数，设“H”形框中的七个数中最中间一个数是． (1)请求出“H”形框中的七个数的和（用含的代数式表示，并化简）； (2)请问“H”形框能否框到七个数，使这七个数之和等于．若能，请写出这七个数：若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，用含的代数式表示其他六个数． （1）设“H”形框中的七个数中最中间一个数是，则其他六个数是、、、、、，相加即可得到答案； （2）由（1）可知，，解得，此时最大的数，而日历中没有，故“H”形框不能框到七个数，使这七个数之和等于． 【详解】（1）解：设“H”形框中的七个数中最中间一个数是，则其他六个数是、、、、、， 七个数的和是； （2）“H”形框不能框到七个数，使这七个数之和等于，理由如下： 由（1）得，， 解得， 此时最大的数，而日历中没有， 故“H”形框不能框到七个数，使这七个数之和等于． 变式7-2．主题《神奇的幻方》 【阅读】幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．如图1，把洛书用今天的数学符号翻译出来就是图2的三阶幻方，它的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为15． 【实践】（1）将这9个数中，除，1，2，4外的数填入图3中其余的方格中，使其成为一个三阶幻方． 【提升】（2）图4是一个三阶幻方，按方格中已给的信息，可知的值为___________． 【拓展】（3）将幻方迁移到月历：图5是某月的月历，小河同学说：带阴影的方框中的9个数的和可以是243．小河的说法对吗？请判断并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）3；（3）小河同学的说法不对，见解析 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练理解题意是解题的关键． （1）根据题意填入数字即可； （2）根据题意得到即可得到答案； （3）设方框正中心的数是y，根据题意列方程求出，然后根据27在最后一列求解即可． 【详解】解：（1）如图所示， 根据题意得，，解得； ，解得； ，解得； ，解得； ，解得； ∴如图所示， 3 2 5 1 0 4 （2）由题意知， 解得， 故答案为3． （3）小河同学的说法不对． 理由：设方框正中心的数是，则另外的数是， 根据题意得， 解得． 因为27在最后一列， 所以带阴影的方框中的9个数的和不可以是243， 所以小河同学的说法不对． 变式7-3．如图是2023年一月份的日历： (1)若将“H”形框上下左右移动，可框住另外七个数，若设“H”形框中的七个数中最中间一个数是x，请求出“H”形框中的七个数的和（用含x的代数式表示）； (2)请问“H”形框能否框到七个数，使这七个数之和等于168．若能，请写出这七个数，若不能，请说明理由； (3)用这样的“H”形框在2023年二月份的日历中能框出的七个数的和的最大值是　　　　． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 (3)140 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，用含的代数式表示其它六个数． （1）设“”形框中的七个数中最中间一个数是，则其它六个数是，，，，，，相加即可得到答案； （2）设“”形框中的七个数中最中间一个数是，得：，解得，最大的数是，而日历中没有32，故“”形框不能框到七个数，使这七个数之和等于168； （3）当，即时，框出的七个数的和的最大，最大为． 【详解】（1）解：设“”形框中的七个数中最中间一个数是，则其它六个数是，，，，，， 七个数的和是； （2）解：“”形框不能框到七个数，使这七个数之和等于168，理由如下： 设“”形框中的七个数中最中间一个数是， 根据题意得：， 解得， 此时最大的数是， 而日历中没有32， “”形框不能框到七个数，使这七个数之和等于168； （3）解：年二月份的日历中最大的数是28，且它在第3列， 当，即时，框出的七个数的和的最大，最大为， 故答案为：140． 1．列一元一次方程解决实际问题：如图，李明计划安装由六块相同的长方形玻璃组成的窗户，该窗户一边长为6米，另一边长为a米，玻璃上方安装了两张半径为2米的相同的扇形遮光帘． (1)某厂家现有工人50人，平均每人每天可加工长方形玻璃8块或遮光帘4张，为使每天生产的玻璃数量是遮光帘数量的3倍，应安排生产长方形玻璃和遮光帘的工人各多少名？ (2)在同等质量的前提下，甲、乙两个厂家制作玻璃与遮光帘的收费方式如下： 遮光帘(元/平方米) 玻璃(元/平方米) 甲厂家 40 不超过10平方米的部分，90元/平方米； 超过10平方米的部分，78元/平方米 乙厂家 50 85元/平方米，且每购买1平方米的玻璃赠送平方米遮光帘 若李明选择甲、乙两个厂家所需费用相同，求a的值．（π取3） 故的值为．【答案】(1)应安排30名工人生产长方形玻璃，安排20名工人生产遮光帘 (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用： （1）设应安排x名工人生产长方形玻璃，则安排名工人生产遮光帘，根据每天生产的玻璃数量是遮光帘数量的3倍列出方程求解即可； （2）先分别求出窗户的总面积和遮光帘的面积，再分别用含a的式子表示出甲、乙两个厂家所给方案的费用，再根据选择甲、乙两个厂家所需费用相同列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设应安排x名工人生产长方形玻璃，则安排名工人生产遮光帘， 由题意得，， 解得， ∴， 答：应安排30名工人生产长方形玻璃，安排20名工人生产遮光帘； （2）解：由题知，窗户的总面积为平方米，遮光帘的面积为（平方米）， ∴该窗户的透光面积共平方米． ∵． ∴， ∴窗户玻璃的面积超过平方米． 甲商家所需的费用为：， ∵，， ∴赠送的遮光帘面积小于实际需要的遮光帘面积． 乙商家所需的费用为：， ∵李明选择甲、乙两个厂家所需费用相同， ∴， 解得：． 2．中学原计划在一个直径为20米的圆形场地内修建圆形花坛（花坛指的是图中实线部分），为使花坛修得更加美观、有特色，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出三种方案： 方案A：如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛： 方案B：如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成的两部分，再以这两条线段为直径修两个圆形花坛； 方案C：如图3所示，先画一条直径，然后在直径上任意取四点，把直径分成5条线段，再分别以这5条线段为直径修5个圆形花坛．（本题取3） (1)如果按照方案A修，修的花坛的周长是_________； (2)如果按照方案B修，与方案A比，省材料吗？为什么？ (3)如果按照方案C修，学校要求在8小时内完成，工人甲承包了此项工程，他做了4小时后，发现不能完成任务，就请工人乙来帮忙，工人乙的工作效率是甲的，且在乙加入后，甲的效率也提高了，结果正好按时完成任务．若修1米花坛可得到100元钱，则修完花坛后，工人甲和乙分别可以得到多少报酬？ 【答案】(1) (2)不省料，因为方案B与方案A的周长相等． (3)甲可以得到3600元，乙可以得到2400元． 【分析】本题考查的是圆的周长的计算，一元一次方程的应用． （1）根据圆的周长公式：，把数据代入公式求此直径是10米的两个圆的周长即可． （2）首先根据圆的周长公式：，求出直径是8米、和12米的圆的周长和，然后与图1进行比较． （3）因为圆的周长和直径成正比例，所以5个小圆的周长和等于直径20米的圆的周长．设甲原来每小时的工作效率为每小时x米，则乙的工作效率为每小时x米，甲的速度提高后为每小时x米，据此列方程解答． 【详解】（1）解：（米）， 答：修的花坛的周长是米． （2）解：， （米） （米）， （米）， 答：不省料，因为方案B与方案A的周长相等． （3）解：综合前两问可得，花坛的总周长为，修完花坛共花费元， 设甲原来每小时的工作效率为每小时x米，则乙的工作效率为每小时x米，甲的速度提高后为每小时x米， ， 解得， ∴甲获得（元），乙获得元， 答：甲可以得到3600元，乙可以得到2400元． 3．过年了，武汉某两商场、为庆贺新年，全场商品按如下方式优惠： 商场 不超过元的部分 九折 超过元但不超过元的部分 八折 超过元的部分 五折 商场 全场消费每满减 （如消费就只用付，依此类推） (1)芳姐去商场置办年货，打折后需付款元，则她购买商品的原价是_____________． (2)芳姐又在商场看中了一套元的衣服，服装类商品按原价先打折，再按打折后的价格参加优惠．芳姐正准备付款，却发现该衣服打折后反而比不打折直接参加优惠贵了元，试求该衣服打了几折． (3)过了几天，芳姐和老贾先后去商场给学生购买新年礼物，已知礼物一份单价元，两人共购买了份，一共花了元，已知芳姐买的比老贾多，问两人分别买了多少份礼物？ 【答案】(1) (2)该衣服打了折或折； (3)芳姐购买了份礼物，老贾购买了份礼物 【分析】本题考查一元一次方程的应用， （1）结合题意算出当原价为元时，在商场应付费用，推出芳姐购买商品的原价大于，设她购买商品的原价为元，根据“打折后需付款元，”建立方程求解，即可解题； （2）根据题意得到直接参加优惠付款费用，设衣服打了折，分情况当打折后能优惠元，当打折后能优惠元，当打折后能优惠元，结合“该衣服打折后反而比不打折直接参加优惠贵了元，”建立方程求解并讨论，即可解题； （3）设芳姐购买礼物份，则老贾购买礼物份，分以下几种情况： 当时；当时；当时，分别求解即可； 正解理解题意，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：当原价为元时， 在商场应付费用为：（元）， ∵芳姐去商场置办年货，打折后需付款元，且， ∴她购买商品的原价大于， 设她购买商品的原价为元， 依题意，得：， 解得：， ∴她购买商品的原价是元， 故答案为：； （2）设衣服打了折， 根据题意得直接参加优惠付款费用为：， 当打折后能优惠元，则，解得：， 当打折后能优惠元，则，解得：， 当打折后能优惠元，即打折后价格不超过，所以该情形不存在； 综上所述，该衣服打了折或折； （3）设芳姐购买礼物份，则老贾购买礼物份， ∵礼物一份单价元，一共花了元，且芳姐买的比老贾多， ∴原价的总价为，芳姐原价应超过， 当时，则， ∴， 该方程无解； ∵，则： 当时，则， 解得：， ∴（份）， 此时芳姐购买了份礼物，老贾购买了份礼物； 当时，则， ， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述，芳姐购买了份礼物，老贾购买了份礼物． 4．希玥服装店销售一批服装，按照标价进行销售，在销售时发现服装标签被污渍遮盖了，销售员发现打95折比打8折多盈利15元钱； (1)每件服装标价多少元？ (2)该服装店打算在年前用30000购进同样服装进行售卖，服装厂原售价为80元一件，年前甲乙两服装厂同时搞促销活动，销售方案如下图所示，请问该服装店在甲乙哪个服装厂购进服装利润最高？ 甲服装厂 乙服装厂 订购超过100件，服装全部打95折，再赠一张50元的代金券，本次购物可抵现金使用．同时每100件，免费配赠35件同样价格的服装． 订购超过100件，服装全部打八折后再减4元，同时超过出300件服装，每件服装返款0.12元包装费． (3)在（2）的条件下，该服装店购进服装后打算在进价的基础上每件服装加价，进行销售，由于接近年底，销售可能滞销，因此预计全部进行销售的服装，会有需要降价以5折出售，该服装店要想获得利润14949元，需再次按活动价格购进该厂家服装，请计算出该服装店想获得预期利润，需要准备再次购进服装多少件？ 【答案】(1)每件服装标价为100元 (2)该服装店在乙服装厂购进服装利润最高 (3)需要在购进件服装 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，有理数四则运算的实际应用． （1）设每件服装标价x元，根据打95折比打8折多盈利15元钱，列出方程求解即可； （2）根据题意先求出每个厂在优惠条件下30000元能购进的服装数量，再求出利润比较即可； （3）设需在购进y件服装，根据利润为14949元列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设每件服装标价x元，根据题意得： 解得：， 答：每件服装标价为100元； （2）解：， 根据题意： 甲厂： （件）， 购进服装数量为正整数， 在甲厂可购进500件服装， 在甲厂可购进500件服装的费用为： （元）； 则服装店在甲服装厂购进服装利润为：（元）； 乙厂： （件） 在乙厂可购进500件服装， 在乙厂可购进500件服装的费用为（元）， 则服装店在乙服装厂购进服装利润为：（元）； ， 该服装店在乙服装厂购进服装利润最高； （3）解：设需在购进y件服装，根据题意： 由（2）知，进价为：（元）， 现标价为：（元）， 按进价的基础上每件服装加价销售的服装有：（件）， 按5折出售的服装有：（件）， 售价为：（元）， 则， ，即， 解得：， 答：需要在购进件服装． 5．下表是中国电信两种“套餐”计费方式．（月基本费固定收，主叫不超过主叫时间，流量不超上网流量不再收费，主叫超时和上网超流量部分加收超时费和超流量费） 月基本费/元 主叫通话/分钟 上网流量 接听 主叫超时部分（元/分/钟） 超出流量部分/（元/） 方式一 免费 方式二 免费 (1)若某月小萱主叫通话时间为分钟，上网流量为，则她按方式一计费需________元，按方式二计费需________元；若她按方式二计费需元，主叫通话时间为分钟，则上网流量为________． (2)若上网流量为，是否存在某主叫通话时间（分钟），按方式一和方式二的计费相等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)若上网流量为，直接写出当月主叫通话时间（分钟）满足什么条件时，选择方式一省钱；当每月主叫通话时间（分钟）满足什么条件时，选择方式二省钱． 【答案】(1)，， ； (2)； (3)当时方式一比较划算，当方式二比较划算； 【分析】（1）根据方式一、二月基本费加超时费直接计算即可得答案，设上网流量为x，根据费用列方程求解即可得到答案； （2）假设存在根据费用相等列方程求解即可得到答案； （3）由（2）及单价对比可直接得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得， ∵小萱主叫通话时间为分钟，上网流量为， ∴方式一收费为：（元）； 方式二收费为：（元）； 设上网流量为x，由题意可得， ， 解得， 故答案为：，，； （2）解：假设存在， ∵， ∴， ∴ 解得：， ∴假设成立，上网流量为当时，方式一和方式二的计费相等； （3）解：∵上网流量为当时，方式一和方式二的计费相等为元， ①当时，方式一费用为：， 方式二费用为：， ， ∴当方式二比较划算． ②当时， 方式一费用为：， 方式二费用为：， 当时，， ∴当时方式一比较划算，当方式二比较划算． 【点睛】本题考查利用一元一次方程解决阶梯收费问题，解题的关键是读懂收费方式找到等量关系式． 6．一个各个数位上的数字均不为零的四位正整数，若其千位数字与十位数字之和等于8，百位数字与个位数字之和也等于8，则称这个四位正整数为“乐群数”． 例如：1276，∵，，∴，∴1276是“乐群数”． 又如：3254，∵3＋5＝8，，∴3254不是“乐群数”． (1)请判断：1473______“乐群数”，6523______“乐群数”（填“是”或“不是”）； (2)已知一个“乐群数”的千位比百位数字小3，把它的千位和百位数字分别与十位和个位数字对调，对调后得到的新数比原数大3762，求这个“乐群数”； (3)是否存在千位数字比百位数字小，且被7除余3的“乐群数”？若存在，请求出满足条件的“乐群数”；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)不是，是 (2)2563 (3)1375或2761或3454 【分析】（1）根据定义可判断1473不是“乐群数”，6523是“乐群数”； （2）设这个“乐群数”的千位数字为x，根据对调后得到的新数比原数大3762列方程可解得这个“乐群数”为2563； （3）设这个“乐群数“为M，它的千位数字为a，百位数字为b，且，可得，由M被7除余3，知能被7整除，再根据，即可得到答案． 【详解】（1）∵，， ∴1473不是“乐群数”， ∵， ∴6523是“乐群数”， 故答案为：不是，是； （2）设这个“乐群数”的千位数字为x，则百位数字为，十位数字位，个位数字位， 根据题意得： ， 解得， ∴这个“乐群数”为2563； （3）存在千位数字比百位数字小，且被7除余3的“乐群数”，理由如下： 设这个“乐群数“为M，它的千位数字为a，百位数字为b，且， ∴M的十位数字是，个位数字是， ∴， ∵M被7除余3， ∴能被7整除， ∵， ∴ ， ∴能被7整除， ∵， ∴当，；，；，时，满足题意， ∴M为1375或2761或3454． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，列出一元一次方程解决问题． 7．下表是某月的日历图． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 如图所示的三种方格框方格框①、方格框②、方格框③，可以框住日历中的三个数，设被这三种方格框框住的三个数中最小的数都为 (1)请用含x的式子完成下列填空： 第①个方格框中框住的三个数从小到大依次是 x，______，______； 第②个方格框中框住的三个数从小到大依次是 x，______，______； 第③个方格框中框住的三个数从小到大依次是 x，______，______； (2)设第①个方格框中三数之和为a，第②个方格框中三数之和为b，第③个方格框中三数之和为c，是否存在这样的x，使得？若存在，请求出a，b，c的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，， ， ， ； (2)存在，的值为11，b的值为18，c的值为 【分析】本题考查一元一次方程的应用和列代数式，解题的关键是用含x的代数式表示a，b， （1）根据日历中数字的规律填空即可； （2）结合（1）求出，，，由，得，解出x的值可得答案． 【详解】（1）解：第①个方格框中框住的三个数从小到大依次是x，和； 第②个方格框中框住的三个数从小到大依次是x，和； 第③个方格框中框住的三个数从小到大依次是x，和； 故答案为：，；，；，； （2）解：存在这样的x，使得，理由如下： 根据题意，，，， ， ， 解得， 经检验，符合题意，此时，，， 的值为11，b的值为18，c的值为． 8.如图：数轴上，，三点分别表示的数为、、，点表示的数为． 【阅读材料】：在数轴上表示数的点到原点的距离叫做的绝对值，记为，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记为（或），数轴上数表示的点到表示数的点与表示数的点的距离之和记为． 【结合数轴，解决问题】 (1)填空：若，则______．若，______； (2)若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，动点到点、点的距离之和为； (3)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，当到达点后立即返回点，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，当经过多少秒时，点、点之间的距离正好等于点、点的距离 【答案】(1)或；； (2)经过或秒时动点到点和点的距离之和为； (3)或或． 【分析】本题主要考查了绝对值与数轴的综合应用，两点之间的距离公式，一元一次方程，能够熟练掌握绝对值的性质是解决此题的关键． （1）根据绝对值的意义计算即可； （2）设经过秒，点到点、点的距离之和为，再根据绝对值的意义分三种情况讨论，三种情况分别是当时，当时，当时，分别求解即可； （3）设经过的时间为，当到达点时，，当返回到点时， ； 当到达点时，，再分两种情况讨论，当时， 当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：， 或， 解得：或， ， 或， 解得：（前一方程无解）， 故答案为：或；； （2）设经过秒，点到点、点的距离之和为，点对应的数可以表示为， ①当时，点在点B左侧， ，， 由题意得：， 解得：； ②当时，点在点和点中间，此时，矛盾，故舍去 ③当时，点在的右侧．，， 由题意得：， 解得：； 综上所述，经过或时动点到点和点的距离之和为； （3）设经过的时间为， 当到达点时，，当返回到点时， ； 当到达点时，， 当时，点，表示的数分别为，， 点，之间的距离为 又点到点的距离为， ， 解得：或， 当时，点，表示的数分别为，， 点，之间的距离为， 又点到点的距离为， ， 解得：或（舍去）， 综上所述，或或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$