2.2.4 点到直线的距离 -【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂Word课时作业（人教B版2019）

[基础达标练] 1．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O是坐标原点，则|OP|的最小值是(　　) A.　　 B.　　　C．2　　　D. 解析：C　[|OP|最小即OP⊥l，∴|OP|min＝＝2.] 2．P、Q分别为3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任一点，则|PQ|的最小值为(　　) A.　　 B.　　　C．3　　　D．6 解析：C　[|PQ|的最小值是这两条平行线间的距离．在直线3x＋4y－12＝0上取点(4,0)，然后利用点到直线的距离公式得|PQ|的最小值为3.] 3．过两直线x－y＋1＝0和x＋y－1＝0的交点，并与原点的距离等于1的直线共有(　　) A．0条　 B．1条　　C．2条　　D．3条 解析：B　[联立得∴两直线交点为(0,1)，由交点到原点的距离为1，故只有1条．] 4．(多选)已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程可以是(　　) A．2x＋3y－18＝0　　　　　 B．2x－y－2＝0 C．3x－2y＋18＝0 D．2x－y＋2＝0 解析：AB　[设所求直线的方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y－3k＋4＝0，由已知及点到直线的距离公式可得＝，解得k＝2或k＝－，即所求直线方程为2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0.故选：AB.] 5．(多选)已知直线l1：2x＋y＋n＝0，l2：4x＋my－4＝0互相平行，且l1，l2之间的距离为，则mn可能的值为(　　) A．1　　 B. 2　　　C．－5　　　D．－10 解析：BD　[由l1∥l2可得2×m＝1×4，解得m＝2，则直线l2的方程为2x＋y－2＝0，由＝，即|n＋2|＝3，解得n＝1或n＝－5，故mn＝2或mn＝－10.] 6．点P(a,0)到直线3x＋4y－6＝0的距离大于3，则实数a的取值范围为　________　. 解析：根据题意，得>3，解得a>7或a<－3. 答案：a>7或a<－3 7．直线l1，l2分别过点M(1,4)，N(－3,1)，它们分别绕点M和N旋转，但必须保持平行，那么它们之间的距离d的最大值是　_________　. 解析：根据题意画出图像，如图所示： 根据图像可得：当l1∥l2，且l1⊥MN，l2⊥MN时，l1与l2之间的距离为|MN|； 当l1∥l2，但是l1与MN不垂直，l2与MN不垂直时，过M点向l2引垂线，垂足为P，则l1与l2之间的距离为|MP|；因为|MN|>|MP|，所以． dmax＝|MN|＝＝5. 答案：5 8．已知△ABC三个顶点坐标A(－1,3)，B(－3,0)，C(1,2)， 求△ABC的面积S. 解：由直线方程的两点式得直线BC的方程为 ＝，即x－2y＋3＝0. 由两点间距离公式得 |BC|＝＝2， 点A到BC的距离为d，即为BC边上的高， d＝＝， 所以S＝|BC|·d＝×2×＝4， 即△ABC的面积为4. [能力提升练] 9．(多选)已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于(　　) A.　　 B．－　　　C．－　　　D. 解析：BC　[因为A和B到直线l的距离相等，由点A和点B到直线的距离公式， 可得＝，化简得|3a＋3|＝|6a＋4|,3a＋3＝±(6a＋4)，解得实数a＝－或－，故选BC.] 10．在平面内，与x轴、y轴和直线x＋y＝2的距离都相等的点共有(　　)． A．1个　　 B．2个　　　C．3个　　　D．4个 解析：D　[设满足题意得点的坐标为(a，b)，∵点到x轴、y轴的距离相等，∴a2＝b2， ∴a＝b或者a＝－b；由点到直线的距离公式可得：点到直线x＋y－2＝0的距离的平方d2＝，由题可得a2＝b2＝，当a＝b时，可解得a＝b＝2±； 当a＝－b时，可解得a＝－b＝±；∴符合题意得点总共4个，故选D.] 11．直线3x－4y－27＝0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是　________　. 解析：由题意知过点P作直线3x－4y－27＝0的垂线，设垂足为M，则|MP|为最小， 直线MP的方程为y－1＝－(x－2)， 解方程组得 ∴所求点的坐标为(5，－3)． 答案：(5，－3) 12．已知点P(a，b)在线段AB上运动，其中A(1,0)，B(0,1)．试求(a＋2)2＋(b＋2)2的取值范围． 解：由(a＋2)2＋(b＋2)2联想两点间距离公式，设Q(－2，－2)，又P(a，b)，则|PQ|＝，于是问题转化为|PQ|的最大、最小值．如图所示： 当P与A或B重合时，|PQ|取得最大值： ＝. 当PQ⊥AB时，|PQ|取得最小值，此时|PQ|为Q点到直线AB的距离，由A，B两点坐标可得直线AB的方程为x＋y－1＝0. 则Q点到直线AB的距离 d＝＝＝， ∴≤(a＋2)2＋(b＋2)2≤13. [素养培优练] 13．点P(2,3)到直线：ax＋(a－1)y＋3＝0的距离d最大时，d与a的值依次为(　　) A．3，－3　　 B．5,2　　　C．5,1　　　D．7,1 解析：C　[∵直线ax＋(a－1)y＋3＝0，即a(x＋y)＋(3－y)＝0， ∴直线ax＋(a－1)y＋3＝0是过直线x＋y＝0和3－y＝0交点的直线系方程， 由，得，可得直线ax＋(a－1)y＋3＝0经过定点Q(－3,3)， ∴当直线ax＋(a－1)y＋3＝0与PQ垂直时， 点P(2,3)到直线ax＋(a－1)y＋3＝0的距离最大， ∴d的最大值为|PQ|＝＝5， 此时PQ∥x轴，可得直线ax＋(a－1)y＋3＝0斜率不存在，即a＝1.故选C.] 14．直线l1：y＝mx＋1，l2：x＝－my＋1相交于点P，其中|m|≤1. (1)求证：l1、l2分别过定点A、B，并求点A、B的坐标； (2)求△ABP的面积S； (3)m为何值时，S最大？ 解：(1)在直线l1的方程中令x＝0可得y＝1，则直线l1过定点A(0,1)， 在直线l2的方程中令y＝0可得x＝1，则直线l2过定点B(1,0)； (2)联立直线l1、l2的方程，解得，即点P. |AP|＝＝， |BP|＝＝， ∵－1≤m≤1，所以，S＝|AP|·|BP|＝＝＝； (3)∵S＝，且－1≤m≤1，因此，当m＝0时，S取得最大值，即Smax＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$