1.2.1 空间中的点、直线与空间向量 -【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂Word课时作业（人教B版2019）

[基础达标练] 1．若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°，则l1与l2的夹角为(　　) A．30°　　　　　　 B．150° C．30°或150° D．以上均不对 解析：A　[根据异面直线所成角的定义即知l1，l2所成角为30°，故选A.] 2．已知两个异面直线的方向向量分别为a，b，，且|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则两直线的夹角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：B　[设两直线的夹角为θ，则由题意可得1×1×cos〈a，b〉＝－，∴cos〈a，b〉＝－，∴〈a，b〉＝，∴θ＝.] 3．已知两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则l1与l2的位置关系是(　　) A．平行 B．相交 C．垂直 D．不确定 解析：A　[因为v2＝－2v1，所以v1∥v2，即l1∥l2.] 4．在棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为线段AA1中点，F为线段C1D1上靠近D1的三等分点，则异面直线A1B与EF所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 解析：B　[如图建立空间直角坐标系，则知A1(3,0,0)，B(3,3,3)，E，F(0,1,0)， 所以＝(0,3,3)，＝，所以＝＝＝] 5．(多选题)如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，以下四个命题中正确的是(　　) A. GH与EF平行 B. BD与MN为异面直线 C. GH与MN成60°角 D. DE与MN垂直 解析：BCD　[还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE与MN为异面垂直．] 6．已知空间四边形OABC，点M，N分别是OA，BC的中点，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示向量＝　________________　. 解析：如图所示， ＝(＋)＝[(－)＋(－)]＝(＋－2 )＝(＋－)＝(b＋c－a)． 答案：(b＋c－a) 7．若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，且a与b夹角的余弦值为，则λ＝　__________　. 解析：a·b＝2－λ＋4＝6－λ，|a|＝，|b|＝3.cos〈a，b〉＝＝＝. 55λ2＋108λ－4＝0，解得λ＝－2或λ＝. 答案：2或－ 8．在三棱锥O－ABC中，OA＝OB＝1，OC＝2，OA，OB，OC两两垂直，试找出一点D， 使BD∥AC，DC∥AB. 解：建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,2)，设所求点D(x，y，z)． 由BD∥AC，DC∥AB⇒∥，∥， 因此 ⇒ 即点D的坐标为(－1,1,2)． [能力提升练] 9．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 解析：B　[建立空间直角坐标系如图，则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)． 所以＝(－1,0,2)，＝(－1,2,1)． 故cos〈，〉＝＝. 所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.] 10．(多选题)如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD－A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是(　　) A．(＋＋)2＝2()2 B.·(－)＝0 C．向量与的夹角是60° D.与所成角的余弦值为 解析：AB　[以顶点A为端点的三条棱长都相等， 它们彼此的夹角都是60°，可设棱长为1，则·＝·＝·＝1×1×cos60°＝， (＋＋)2＝2＋＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋3×2×＝6，而2()2＝2(＋)2＝2(2＋2＋2·)＝2＝2×3＝6，所以A正确． ·(－)＝(＋＋)·(－) ＝·－·＋2－·＋·－2＝0，所以B正确．向量＝，显然△AA1D为等边三角形，则∠AA1D＝60°.所以向量与的夹角是120°，向量与的夹角是120°，则C不正确．又＝＋－，＝＋， 则||＝＝，||＝＝， ∴·＝(＋－)·(＋)＝1， 所以cos〈·〉＝＝＝，所以D不正确．] 11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1，BB1的中点，则cos∠EAF＝　________　，EF＝　________　. 解析：以A为原点，AB，AD，AA1分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系 设正方体棱长为1，则E，F， ∴＝，＝，＝. ∴cos〈，〉＝＝＝， ∴cos∠EAF＝，EF＝||＝＝. 答案：　 12．已知M为长方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC的中点，点P在长方体ABCD－A1B1C1D1的面CC1D1D内，且PM∥平面BB1D1D，试探讨点P的确切位置． 解析：以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 根据题意可设A(a,0,0)，B(a，b,0)，D1(0,0，c)，P(0，y，z)，C(0，b,0)，则M(a，b,0)． 又PM∥平面BB1D1D，根据空间向量基本定理知，必存在实数对(m，n)，使得＝m＋n， 即(a，b－y，－z)＝(ma，mb，nc)，即解得 则点P的坐标为.所以点P在平面DCC1D1的边DC的垂直平分线EF上． [素养培优练] 13.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P平行于平面AEF，则线段A1P长度的最小值为(　　) A.　　 B.　　　C.　　　D. 解析：B　[以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系， A(2,0,0)，E(1,2,0)，F(0,2,1)，A1(2,0,2)，＝(－1,2,0)，＝(－2,2,1)， 设平面AEF的法向量n＝(x，y，z)，则， 取y＝1，得n＝(2,1,2)， 设P(a,2，c)，0≤a≤2,0≤c≤2，则＝(a－2,2，c－2)，∵A1P平行于平面AEF，∴·n＝2(a－2)＋2＋2(c－2)＝0，整理得a＋c＝3，∴线段A1P长度||＝＝＝，当且仅当a＝c＝时，线段A1P长度取最小值.故选：B.] 14．(多选题)如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，M分别为棱CD，CC1的中点．Q为面对角线A1B上任一点，则下列说法正确的是(　　) A．平面APM内存在直线与A1D1平行 B．平面APM截正方体ABCD­A1B1C1D1所得截面面积为 C．直线AP和DQ所成角可能为60° D．直线AP和DQ所成角可能为30° 解析： BC　[对于选项A，在正方体ABCD－A1B1C1D1中BC∥A1D1，在平面ABCD中，直线AP，BC相交，所以直线BC与平面APM相交，故直线A1D1与平面APM相交，则平面APM不存在直线与A1D1平行，所以选项A错误；对于选项B，连接C1D，AB1，P，M分别为棱CD，CC1的中点，所以PM∥C1D，PM＝C1D，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB1∥CD1，所以PM∥AB1，连B1M，则梯形AB1MP为所求的截面，AP＝B1M＝＝，所以等腰梯形AB1MP的高为＝＝， 所以梯形AB1MP的面积为××＝，选项B正确；对于选项C，D，以D为坐标原点，DA，AC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，A(1,0,0)，P(0，，0)，B(1,1,0)，A1(1,0,1)，设＝λ＝λ(0,1，－1)＝(0，λ，－λ)，0≤λ≤1， ∴＝＋＝(1，λ，1－λ)，＝(1，－，0)，|cos〈，〉|＝ ＝ ＝ ＝＝， 令t＝∈[，1]，y＝3t2－3t＋1＝3(t－)2＋，∴≤y≤1， ∴≤≤10，∴≤|cos〈，〉|≤，而＜＜＜， ∴直线AP和DQ所成角可能为60°，但不可能为30°，选项C正确，选项D错误．] 学科网（北京）股份有限公司 $$