1.1.1 第2课时 空间向量的数量积 -【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂Word课时作业（人教B版2019）

[基础达标练] 1．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的(　　) A．充分不必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 解析：A　[a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|⇔cos〈a，b〉＝1⇔〈a，b〉＝0，则a，b同向，当a与b反向时，不能成立．] 2．(多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题正确的是(　　) A．(a·b)c－(c·a)b＝0 B．|a|＝ C．a2b＝b2a D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2 解析：BD　[因为数量积不满足结合律，故A不正确；由数量积的性质可知B正确，C中结论不一定成立，D运算正确．] 3．已知|a|＝1，|b|＝，且a－b与a垂直，则a与b的夹角为(　　) A．60°　　 B．30°　　　C．135°　　　D．45° 解析：D　[∵a－b与a垂直，∴(a－b)·a＝0，∴a·a－a·b＝|a|2－|a|·|b|·cos〈a，b〉＝1－1··cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝.∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝45°.] 4．正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长为(　　) A．2　　 B.　　　C.　　　D. 解析： C　[如图，＝＋＋，且||＝||＝1，||＝2，·＝0，·＝0，〈，〉＝120°， 所以||2＝·＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)＝1＋4＋1－1＝5，所以||＝，即EF的长为.] 5．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是(　　) A．钝角三角形　　　　 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定 解析：B　[·＝(－)(－) ＝·－·－·＋||2 ＝||2>0，则cos B>0，所以B是锐角，同理D，C都是锐角，故△BCD是锐角三角形，故选B.] 6．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|＝　____________　. 解析：|2a－3b|2＝(2a－3b)2＝4a2－12a·b＋9b2＝4×|a|2＋9×|b|2－12×|a|·|b|·cos 60°＝61，所以|2a－3b|＝. 答案： 7．已知|a|＝3，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m⊥n，则λ＝　________　. 解析：由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，所以a2＋(1＋λ)a·b＋λb2＝0， 所以18＋(λ＋1)·3×4×cos 135°＋16λ＝0，即4λ＋6＝0，所以λ＝－. 答案：－ 8.已知四面体OABC的所有棱长均为1.求： (1)·； (2)(＋)·(＋)； (3)|＋＋|. 解：(1)·＝||·||·cos∠AOB＝1×1×cos 60°＝. (2)(＋)·(＋)＝(＋)·(－＋－)＝(＋)·(＋－2)＝12＋1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1. (3)|＋＋|＝＝＝. [能力提升练] 9．已知空间四边形ABCD中，∠ACD＝∠BDC＝90°，且AB＝2，CD＝1， 则AB与CD所成的角是(　　) A．30°　　 B．45°　　　C．60°　　　D．90° 解析：C　[根据∠ACD＝∠BDC＝90°，得·＝·＝0，所以·＝(＋＋)·＝·＋||2＋·＝||2＝1， 所以cos〈，〉＝＝，所以AB与CD所成的角为60°.] 10．设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC一定是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 解析：B　[由(＋－2)·(－)＝(－＋－)·(－)＝(＋)·(－)＝||2－||2＝0，得||＝||，故△ABC为等腰三角形．] 11.已知正三棱柱ABC－DEF的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点，若直线CF上有一点N，使MN⊥AE，则＝　________　. 解析：设＝m，则＝m＝m，∵M为BC的中点，∴＝＋＝＋m，又∵＝＋，·＝0， ∴·＝(＋)·＝·＋m·＝·＋m·＝－＋4m＝0，∴解得m＝. 答案： 12.如图，三棱柱中ABC－A1B1C1，底面边长和侧棱长都等于1，∠BAA1＝∠CAA1＝60°. (1)设＝a，＝b，＝c，用向量a，b，c表示，并求出BC1的长度； (2)求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值． 解：(1)＝＋＝＋－＝a＋c－b， 又a·b＝|a||b|cos ∠BAA1＝1×1×cos 60°＝，同理可得a·c＝b·c＝， 则||＝ ＝＝. (2)因为＝a＋b， 所以||＝＝＝， 因为·＝(a＋b)·(a＋c－b)＝a2＋a·c－a·b＋b·a＋c·b－b2＝1 所以cos〈，〉＝＝＝.则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为. [素养培优练] 13．(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列结论正确的是(　　) A．四边形ABC1D1的面积为||·|| B.与的夹角为60° C．(＋＋)2＝3()2 D.·(－)＝0 解析： ACD　[如图由AB⊥平面BB1C1C得AB⊥BC1，所以四边形ABC1D1的面积为||||，故A正确；∵△ACD1是等边三角形，∴∠AD1C＝60°，又∵A1B∥D1C，∴异面直线AD1与A1B所成的夹角为60°，但是向量与的夹角为120°，故B错误；由向量加法的运算法则可以得到＋＋＝，∵＝3，∴(＋＋A1B1)2＝3()2，故C正确；由向量运算可得－＝，∵在正方体ABCD－A1B1C1D中，D1B1⊥平面AA1C1C，∴D1B1⊥A1C，∴·＝0，故D正确．] 14．已知在正四面体D－ABC中，所有棱长都为1，△ABC的重心为G，则DG的长为　________　. 解析： 如图，连接AG并延长交BC于点M，连接DM，∵G是△ABC的重心，∴AG＝AM，∴＝，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝(＋＋)，而(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6，∴||＝. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $$