2.5.1 椭圆的标准方程 -【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步Word教案（人教B版2019）

2．5　椭圆及其方程 2．5.1　椭圆的标准方程 课程标准 素养解读 1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程 2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程 3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题 1.通过椭圆标准方程及椭圆焦点三角形的有关问题学习，培养学生的数学运算素养 2.借助轨迹方程的学习，培养学生的逻辑推理及直观想象核心素养 [情境引入] 椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研生产和人类生活中具有广泛的应用，那么椭圆到底有怎样的几何性质，我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础． [知识梳理] [知识点一]　椭圆的定义　 1．定义：如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a＞|F1F2|，则平面内满足|　PF1|＋|PF2|＝2a　的动点P的轨迹称为椭圆． 2．相关概念：两个定点F1，F2称为椭圆的　焦点　，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的　焦距　. 　(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？ (2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？ [提示]　(1)点的轨迹是线段F1F2. (2)当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在． [知识点二]　椭圆的标准方程　 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1 (a>b>0) 图形 焦点坐标 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆．(　　) (2)已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆．(　　) (3)平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆．(　　) (4)平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于(　　) A．4　　 B．5　　　C．8　　　D．10 解析：D　[由椭圆方程知a2＝25，则a＝5，|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.] 3．椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，－8)，F2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为(　　) A.＋＝1　　　 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：C　[由题意知c＝8,2a＝20，∴a＝10，∴b2＝a2－c2＝36，故椭圆的方程为＋＝1.] 　　　求椭圆的标准方程 [例1]　求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别为F1(－4,0)，F2(4,0)，并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10； (2)焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,3)； (3)经过两点(2，－)，. [解]　(1)因为椭圆的焦点在x轴上，且c＝4,2a＝10，所以a＝5， b＝＝＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1. (2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)． 法一：由椭圆的定义知2a＝＋＝12， 解得a＝6.又c＝2，所以b＝＝4. 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 法二：因为所求椭圆过点(4,3)，所以＋＝1. 又c2＝a2－b2＝4，可解得a2＝36，b2＝32. 所以椭圆的标准方程为＋＝1. (3)法一：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)． 由已知条件得解得 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)． 由已知条件得解得 则a2＜b2，与a＞b＞0矛盾，舍去． 综上可知，所求椭圆的标准方程为＋＝1. 法二：设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．分别将两点的坐标(2，－)，代入椭圆的一般方程，得解得 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 1．利用待定系数法求椭圆的标准方程(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a，b，c的等量关系；(4)求a，b的值，代入所设方程． 2．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m＞0，n＞0)．因为它包括焦点在x轴上(m＜n)或焦点在y轴上(m＞n)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算． [变式训练] 1．求与椭圆＋＝1有相同焦点，且过点(3，)的椭圆的标准方程． 解：法一：因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在x轴上， 且c2＝25－9＝16. 设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)． 因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16　①. 又点(3，)在所求椭圆上，所以＋＝1，即＋＝1　②. 由①②得a2＝36，b2＝20，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 法二：由题意可设所求椭圆的标准方程为＋＝1. 又椭圆过点(3，)，将x＝3，y＝代入方程得＋＝1， 解得λ＝11或λ＝－21(舍去)．故所求椭圆的标准方程为＋＝1. 　　　椭圆中的焦点三角形问题 [例2]　(1)椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则∠F1PF2的大小为　________　. (2)已知椭圆＋＝1中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，则△PF1F2的面积为　____________　. [思路点拨]　(1)→→ (2)→→→ [解析]　(1)由＋＝1，知a＝3，b＝，∴c＝.∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2， ∴cos∠F1PF2＝＝－，∴∠F1PF2＝120°. (2)由＋＝1，可知a＝2，b＝3，所以c＝＝1，从而|F1F2|＝2c＝2.在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos∠PF1F2，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.　① 由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4.　② 由①②联立可得|PF1|＝. 所以S△PF1F2＝|PF1||F1F2|sin∠PF1F2＝××2×＝. [答案]　(1)120°　(2) 1．椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a. 2．椭圆中的焦点三角形 椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形．在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义|MF1|＋|MF2|＝2a及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解． [变式训练] 2．(1)已知P是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝30°，则△F1PF2的面积是　________　. 解析：由椭圆的标准方程，知a＝，b＝2，∴c＝＝1，∴|F1F2|＝2.又由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝2. 在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2， 即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|cos 30°， 即4＝20－(2＋)|PF1|·|PF2|，∴|PF1|·|PF2|＝16(2－)． ∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝×16(2－)×＝8－4. 答案：8－4 (2)设P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，若∠PF1F2＝90°，则△F1PF2的面积是　________　. 解析：由椭圆方程＋＝1，知a＝2，c＝1，由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，且|F1F2|＝2，在△PF1F2中，∠PF1F2＝90°.∴|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2. 从而(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋4，则|PF1|＝， 因此S△PF1F2＝·|F1F2|·|PF1|＝. 故所求△PF1F2的面积为. 答案： 　　　利用椭圆定义求轨迹方程 [例3]　(1)已知P是椭圆＋＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为　________　. (2)如图所示，圆C：(x＋1)2＋y2＝25及点A(1,0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于点M，求点M的轨迹方程． [思路点拨]　(1)点Q为OP的中点⇒点Q与点P的坐标关系⇒代入法求解． (2)由垂直平分线的性质和椭圆的定义进行求解． [解析]　(1)设Q(x，y)，P(x0，y0)，由点Q是线段OP的中点知x0＝2x，y0＝2y， 又＋＝1，所以＋＝1，即x2＋＝1. [答案]　x2＋＝1 (2)[解]　由垂直平分线的性质可知|MQ|＝|MA|，∴|CM|＋|MA|＝|CM|＋|MQ|＝|CQ|， ∴|CM|＋|MA|＝5. ∴点M的轨迹为椭圆，其中2a＝5，焦点为C(－1,0)，A(1,0)，∴a＝，c＝1 ， ∴b2＝a2－c2＝－1＝. ∴所求点M的轨迹方程为＋＝1，即＋＝1. 1．与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法，本例(1)所用方法为代入法，例(2)所用方法为定义法． 2．对定义法求轨迹方程的认识 如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法． 3．代入法(相关点法) 若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)＝0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程 F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法)． [变式训练] 3．已知x轴上一定点A(1,0)，Q为椭圆＋y2＝1上任一点，求线段AQ中点M的轨迹方程． 解：设中点M的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(x0，y0)． 利用中点坐标公式，得∴ ∵Q(x0，y0)在椭圆＋y2＝1上，∴＋y＝1. 将x0＝2x－1，y0＝2y代入上式，得＋(2y)2＝1. 故所求AQ的中点M的轨迹方程是2＋4y2＝1. [当堂达标] 1．椭圆＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为(　　) A．5　　 B．6　　　C．7　　　D．8 解析：D　[根据椭圆的定义知，P到另一个焦点的距离为2a－2＝2×5－2＝8.] 2．(多选)若椭圆＋＝1的焦距是2，则m＝(　　) A．1　　 B．3　　　C．5　　　D．7 解析：BC　[当焦点在x轴上时，a2＝m，b2＝4，c2＝m－4.又2c＝2，所以c＝1，所以m－4＝1，所以m＝5.当焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝m，所以c2＝4－m＝1，所以m＝3.] 3．若方程＋＝1表示椭圆，则实数m满足的条件是　________　. 解析：由方程＋＝1表示椭圆，得解得m＞且m≠1. 答案： 4．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，求△F1PF2的面积． 解：由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝.∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6且|PF1|∶|PF2|＝2∶1， ∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， ∴△PF1F2是直角三角形，且∠F1PF2＝90°，故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×2×4＝4 学科网（北京）股份有限公司 $$