1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定 -【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂Word课时作业（人教B版2019）

1．命题“∃x0∈∁RQ，x∈Q”的否定是(　　) A．∃x0∉∁RQ，x∈Q B．∃x0∈∁RQ，x3∉Q C．∀x∉∁RQ，x3∈Q D．∀x∈∁RQ，x3∉Q 解析：D　[先将存在符号改为任意符号，然后否定结论．于是有：命题“∃x0∈∁RQ，x∈Q”的否定是“∀x∈∁RQ，x3∉Q”．] 2．已知命题p：∀x∈R，x2－x＋＞0，则綈p为(　　) A．∀x∈R，x2－x＋≤0 B．∃x∈R，x2－x＋≤0 C．∃x∈R，x2－x＋＞0 D．∀x∈R，x2－x＋≥0 解析：B　[全称量词命题的否定是存在量词命题．] 3．设x∈Z, 集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B，则(　　) A．綈p：∀x∈A,2x∉B B．綈p：∀x∉A,2x∉B C．綈p：∃x0∉A,2x0∈B D．綈p：∃x0∈A,2x0∉B 解析：D　[全称量词命题的否定是存在量词命题．] 4．对下列命题的否定说法错误的是(　　) A．p：能被2整除的数是偶数；綈p：存在一个能被2整除的数不是偶数 B．p：有些矩形是正方形；綈p：所有的矩形都不是正方形 C．p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形 D．p：∃n∈N,2n≤100；綈p：∀n∈N,2n＞100 解析：C　[“有的三角形为正三角形”为存在量词命题，其否定为全称量词命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误．] 5．(多选)下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有(　　) A．∃x∈R，x－x0＋<0 B．所有的正方形都是矩形 C．∃x∈R，x＋2x0＋2≤0 D．至少有一个实数x0，使x＋1＝0 解析：AC　[命题的否定是全称量词命题，即原命题为存在量词命题，故排除B.再根据命题的否定为真命题，即原命题为假命题．又D为真命题，故选A、C.] 6．(多选)下列四个命题中，是真命题的有(　　) A．没有一个无理数不是实数 B．空集是任何一个非空集合的真子集 C．1＋1<2 D．至少存在一个整数x，使得x2－x＋1是整数 解析：ABD　[A.该命题等价于所有无理数都是实数，为真命题；B.显然为真命题；C.显然不成立，为假命题；D.取x＝1，能使x2－x＋1＝1是整数，为真命题．] 7．若对任意x>3，x>a恒成立，则a的取值范围是________． 解析：对任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，所以a的取值范围是{a|a≤3}． 答案：{a|a≤3} 8．命题对“任何x∈R，|x－2|＋|x－4|＞3”的否定是 ________________________________________________________________________. 解析：由定义知命题的否定为“存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3”． 答案：存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3 9．已知p(x)：x2＋2x－m＞0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是______________，若p(1)是真命题，p(2)是假命题，则实数m的取值范围是________． 解析：因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3.又因为p(2)是真命题，所以4＋4－m＞0，解得m＜8，故实数m的取值范围是[3,8)；若p(1)是真命题，p(2)是假命题，则解得∴无解． 答案：[3,8)，∅ 10．写出下列命题的否定，并判断真假． (1)p：∀x∈R，x2＋2x＋1≥0； (2)q：所有的正三角形都是等腰三角形； (3)r：∃x0∈R，使x＋1≤0； (4)s：至少有一个实数x0∈{x|x＝3k，k∈N}，x0为质数． 解：说明一个命题是假命题只需举出一个反例即可． (1)綈p：∃x0∈R，x＋2x0＋1＜0，是假命题． ∵∀x∈R，x2＋2x＋1＝2≥0恒成立， ∴綈p是假命题． (2)綈q：至少存在一个正三角形不是等腰三角形，是假命题． (3)綈r：∀x∈R，x2＋1＞0，是真命题． ∵∀x∈R，x2＋1≥1＞0恒成立， ∴綈r是真命题． (4)綈s：∀x∈{x|x＝3k，k∈N}，x都是质数． ∵当k＝0时，x＝0，不是质数， ∴綈s是假命题． 11．命题p是“对某些实数x，有x－a＞0或x－b≤0”，其中a、b是常数． (1)写出命题p的否定； (2)当a、b满足什么条件时，命题p的否定为真？ 解：(1)命题p的否定：对任意实数x，有x－a≤0且x－b＞0. (2)要使命题p的否定为真，需要使不等式组 的解集不为空集，通过画数轴可看出，a、b应满足的条件是b＜a. 12．已知命题p：“至少存在一个实数x0∈[1,2]，使不等式x2＋2ax＋2－a＞0成立”为真，试求实数a的取值范围． 解：由已知得綈p： ∀x∈[1,2]，x2＋2ax＋2－a≤0成立． ∴设f(x)＝x2＋2ax＋2－a，则 ∴解得a≤－3， ∵綈p为假，∴a＞－3，即a的取值范围是(－3，＋∞)． 13．已知函数f(x)＝x2－2x＋5. (1)是否存在实数m使不等式m＋f(x)＞0对任意x∈R恒成立，并说明理由． (2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)＞0成立，求实数m的取值范围． 解：(1)不等式m＋f(x)＞0可化为m＞－f(x)即m＞－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4，要使m＞－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m＞－4即可，故存在实数m使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成立，此时需m＞－4. (2)不等式m－f(x0)＞0可化为m＞f(x0)．若存在一个实数x0，使不等式m＞f(x0)成立，只需m＞f(x)min，又f(x)＝(x－1)2＋4，则f(x)min＝4，所以m＞4. 所以所求实数m的取值范围是(4，＋∞)． 学科网（北京）股份有限公司 $$