5.5.2 第1课时 简单的三角恒等变换(一)-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步Word教案（人教A版2019）

5．5.2　简单的三角恒等变换 第1课时　简单的三角恒等变换(一) 课程标准 素养解读 1.了解学生推导半角公式、积化和差、和差化积的过程 2.能利用公式进行三角恒等变换、求值 通过三角恒等变换公式的学习，提升数学抽象和数学逻辑推理素养 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　对应学生用书P215 [情境引入] 同学们知道电脑输入法中的“半角”和“全角”的区别吗？半角、全角主要是针对标点符号来说的，全角标点占两个字节，半角占一个字节，但不管是半角还是全角，汉字都要占两个字节．事实上，汉字字符规定了全角的英文字符、图形符号和特殊字符都是全角字符，而通常的英文字母、数字键、符号键都是半角字符． [问题]　任意角中是否也有“全角”与“半角”之分，二者有何数量关系？ 提示：是α的半角，α是2α的半角． [知识梳理] [知识点]　半角公式　 (1)公式 降幂公式 sin2＝　 cos2＝　 tan2＝　 (2)本质： ①半角公式的正弦、余弦公式实际上是由二倍角公式变形得到的． ②半角公式给出了求的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需知道cos α的值及相应α的条件，便可求出sin，cos，tan. (3)应用：①求值；②化简；③证明． 1.半角公式中的符号是如何确定的？ 提示：(1)当给出角α的具体范围时，先求的范围，然后根据的范围确定符号． (2)如果没有给出决定符号的条件，那么在根号前要保留正、负号． 2．半角公式对α∈R都成立吗？为什么？ 3．sinθ＋sin φ＝2sincos除了课本上的证明方法，还有什么其它的证明方法吗？ 提示：右边＝2sincos＝2sin(＋)·cos(－) ＝2(sincos＋cossin)·(coscos＋sinsin) ＝2(sincos·cos2＋sin2·sincos＋cos2sincos＋sin2sincos) ＝sinθ·cos2＋sin2sinφ＋cos2sinφ＋sin2sin θ ＝sin θ＋sin φ＝左边． 故等式成立． [预习自测] 1．若cos 2θ＝－，则＝(　　) A.　　　　　　　　 　B. C．－ D．－ 答案：C 2．sin α＝，cos α＝，则tan等于(　　) A．2－ B．2＋ C.－2 D．±(－2) 答案：C 3．已知sin α＝－，且π<α<π，则sin ＝__________. 答案： 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　对应学生用书P216 　　　应用半角公式求值 [例1] 已知sin α＝－，π<α<，求sin，cos，tan的值． [思路点拨]　直接利用半角公式求解． [解]　∵π<α<，sin α＝－， ∴cos α＝－，且<<， ∴sin＝＝， cos＝－＝－， tan ＝＝－2. 利用半角公式求值的思路 (1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解． (2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围． (3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan ＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2＝，cos2＝计算． (4)下结论：结合(2)求值． [变式训练] 1．(1)已知sin θ＝，<θ<3π，那么tan＋cos的值为(　　) A．－3　　　　　 B．3－ C．－3－ D．3＋ (2)已知cos α＝－，α∈(π，)，则tan＝____________. 解析：(1)因为<θ<3π， 所以cos θ＝－＝－，<<. 所以sin <0，cos <0. 所以sin＝－＝－， cos＝－＝－. 所以tan＝＝3. 所以tan＋cos＝3－. (2)方法一：因为cos α＝－，α∈(π，)， 则∈(，)，则由半角公式，得 tan ＝－＝－＝－2. 方法二：因为cos α＝－，α∈， 所以sin α＝－， 所以tan ＝＝＝＝＝－2. 答案：(1)B　(2)－2 　　　三角函数式的化简 [例2] 化简： (180°<α<360°)． [思路点拨]　化倍角为单角，统一角，α＝2×. [解]　原式＝ ＝ ＝ 又因为180°<α<360°， 所以90°<<180°，所以cos<0， 所以原式＝＝cos α. 1．化简问题中的“三变” (1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式． (2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切． (3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径．如升幂、降幂、配方、开方等． 2．化简的要求 (1)能求出值的应求出值； (2)尽量使三角函数种数最少； (3)尽量使项数最少； (4)尽量使分母不含三角函数； (5)尽量使被开方数不含三角函数． 3．化简的方法 弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂等． [变式训练] 2．化简：＋，(π<α<)． 解析：原式＝ ＋， 因为π<α<，所以<<. 所以cos<0，sin>0. 所以原式＝＋ ＝－＋＝－cos. 　　　三角恒等式的证明 [例3] 证明：tan －tan ＝. [思路点拨]　在要证明的题目中，既有，θ和2θ，还有，有切还有弦，可从消除恒等式左、右两边的差异入手，将右边的角θ，2θ配凑成，的形式，注意到： θ＝－，2θ＝＋. [证明]　右边＝＝ ＝ ＝－＝tan －tan ＝左边．所以等式成立． (1)证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的的化繁为筒、左右归一． (2)三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等式与条件恒等式． ①证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，化繁为简，左右归一，通过三角恒等式变换，使等式的两边化异为同． ②条件恒等式的证明则要认真观察，比较已知条件与求证等式之间的联系，选择适当途径．常用代入法、消元法、两头凑等方法． [变式训练] 3．求证：tan ＋tan ＝2tan 2α. 证明：方法一：左边＝tan · ＝tan 2α· ＝2tan 2α＝右边．故原等式成立． 方法二：左边＝＋ ＝＋＝ ＝＝2tan 2α＝右边．故原等式成立． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　对应学生用书P218 1．已知α∈，cos α＝，则tan ＝(　　) A．3　　 B．－3　　　C.　　　D．－ 答案：D 2．sin 20°·cos 70°＋sin 10°·sin 50°的值为(　　) A．－ B. C. D．－ 答案：B 3．已知α－β＝，且cos α＋cos β＝，则cos(α＋β)等于____________． 答案：－ 4．已知sin＝，则cos2＝____________. 答案： 5．已知tan θ＝，求的值． 解：＝ ＝＝＝＝＝， 即＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$