3.2.1 第2课时 函数的最大值、最小值-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步课件PPT（人教A版2019）

第2课时　函数的最大值、最小值 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 第三章　函数的概念与性质 必修第一册 数学 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 　 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 　 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 课程标准 素养解读 1.理解函数的最大(最小)值及几何意义 2.利用单调性求最值、比较大小、解不等式 在运用函数单调性充要条件过程中，提升数学运算和逻辑推理素养 [情境引入] 观察下列两个函数的图象，回答有关问题： (1)比较两个函数的图象，它们是否都有最高点？ 提示：图①中函数y＝－x2的图象上有一个最高点；图②中函数y＝－x的图象上没有最高点． (2)通过观察图①你能发现什么？ 提示：对任意x∈R，都有f(x)≤f(0)． [知识梳理] [知识点一]　函数的最大值与最小值　 最大值 最小值 条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：∀x∈I，都有 f(x)　≤　M f(x)　≥　M ∃x0∈I，使得　f(x0)＝M 结论 称M是函数y＝f(x)的最大值 称M是函数y＝f(x)的最小值 几何 意义 f(x)图象上最高点的　纵坐标　 f(x)图象上最低点的　纵坐标　 　如果函数f(x)对于定义域内的任意x都满足f(x)≤M，那么M一定是函数f(x)的最大值吗？ 提示：不一定．如函数f(x)＝－x2≤1恒成立，但是1不是函数的最大值． [知识点二]　对函数最大(小)值的理解　 (1)注意对“存在”一词的理解．M首先是一个函数值，它是值域中的一个元素．如f(x)＝－x2(x∈R)的最大值为0，有f(0)＝0. (2)对于定义域内全部元素，都有f(x)≤M成立，“任意”是说每一个值都满足不等式． (3)两条缺一不可，若只有(1)，M不一定是最大(小)值．如f(x)＝－x2(x∈R)，对任意x∈R，都有f(x)≤1成立，但1不是其最大值，否则大于零的任意实数都是最大值了，故不能只有(1)．同样，只有(2)时，M也不一定是最大(小)值，最大(小)值的核心就是不等式f(x)≤M(f(x)≥M)，故不能只有(2)． [预习自测] 1.函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　) A．f(－2)，0　　　　　 B．0,2 C．f(－2)，2 D．f(2)，2 答案：C 2．函数y＝－x＋1在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上的最大值是(　　) A．－eq \f(1,2) B．－1 C.eq \f(1,2) D．3 答案：C 3．函数f(x)＝eq \f(1,x)在[1，b](b＞1)上的最小值是eq \f(1,4)，则b＝____________. 答案：4 图象法求函数的最值 [例1] 求函数y＝|x＋1|－|x－2|的最大值和最小值． [思路点拨]　去掉绝对值，转化为分段函数，再作出函数图象，由图象求最值． [解]　y＝|x＋1|－|x－2|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3　x≥2，,2x－1　－1<x<2，,－3　x≤－1.))作出函数的图象，由图可知，y∈[－3,3]．所以函数的最大值为3，最小值为－3. (1)利用函数图象求最值是求函数最值的常用方法．这种方法以函数最值的几何意义为依据，对较为简单的且图象易作出的函数求最值较常用． (2)分段函数的最大值为各段上最大值的最大者，最小值为各段上最小值的最小者，故求分段函数的最大或最小值，应先求各段上的最值，再比较即得函数的最大、最小值． [变式训练] 1．画出函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(2,x)，x∈－∞，0，,x2＋2x－1，x∈[0，＋∞))的图象，并写出函数的单调区间及函数的最小值． 解：f(x)的图象如图所示， f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和[0，＋∞)，函数的最小值为f(0)＝－1. 利用函数单调性求最值 [例2] (1)若0＜t≤eq \f(1,4)，则f(t)＝eq \f(1,t)－t的最小值是(　　) A．－2　　　B.eq \f(15,4)　　　C．2　　　D．0 (2)利用单调性定义证明函数f(x)＝x＋eq \f(4,x)在[1,2]上的单调性并求其最值． [思路点拨]　(1)函数f(t)＝eq \f(1,t)－t的图象不易作出．可判断其在所给区间上的单调性来求最小值． (2)可考虑利用函数单调性来求函数最值，即先判断函数的单调性，再求最值． [解析]　(1)B　[任取t1，t2∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))，且t1＜t2，则f(t1)－f(t2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t1)－t1))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t2)－t2))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t1)－\f(1,t2)))－(t1－t2) ＝eq \f(t2－t1,t1t2)－(t1－t2)＝(t2－t1)eq \f(1＋t1t2,t1t2) 因为t1，t2∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))，且t1＜t2，故t2－t1＞0，eq \f(1＋t1t2,t1t2)＞0， 故f(t1)－f(t2)＞0，即f(t1)＞f(t2)，故f(t)＝eq \f(1,t)－t在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))上为减函数，当t＝eq \f(1,4)时，f(t)有最小值eq \f(15,4)，故选B.] (2)任取x1，x2∈[1,2]且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝x1＋eq \f(4,x1)－x2－eq \f(4,x2) ＝(x1－x2)＋eq \f(4x2－x1,x1x2)＝(x1－x2)eq \f(x1x2－4,x1x2)， ∵1≤x1＜x2≤2，∴x1－x2＜0,1＜x1x2＜4， ∴x1x2－4＜0，∴f(x1)－f(x2)＞0， 即f(x1)＞f(x2)，∴f(x)＝x＋eq \f(4,x)在[1,2]上是减函数． 从而函数的最大值是f(1)＝1＋4＝5，最小值是 f(2)＝2＋2＝4. (1)利用单调性求最值的一般步骤 ①判断函数的单调性． ②利用单调性写出最值． (2)利用单调性求最值的三个常用结论 ①如果函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值和最大(小)值． ②如果函数f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上是减函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最大值f(b)． ③如果函数f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上是增函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最小值f(b)． [变式训练] 2．已知函数f(x)＝eq \f(1,x＋1)，x∈[1,2]． (1)判断并证明函数f(x)的单调性； (2)求函数f(x)的最大值与最小值． 解：(1)函数f(x)＝eq \f(1,x＋1)在区间[1,2]上是减函数，证明如下： 任取x1，x2∈[1,2]且x1 ＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝eq \f(1,x1＋1)－eq \f(1,x2＋1)＝eq \f(x2＋1－x1－1,x1＋1x2＋1)＝eq \f(x2－x1,x1＋1x2＋1)， 因为x1，x2∈[1,2]且x1＜x2， 所以x2－x1＞0，x1＋1＞0，x2＋1＞0， 所以eq \f(x2－x1,x1＋1x2＋1)＞0， 即f(x1)＞f(x2)， 所以f(x)＝eq \f(1,x＋1)是[1,2]上的减函数． (2)由(1)知f(x)＝eq \f(1,x＋1)是[1,2]上的减函数， 所以f(x)min＝f(2)＝eq \f(1,3)， f(x)max＝f(1)＝eq \f(1,2). 二次函数的最值 [例3] 求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值． [思路点拨]　解答本题可先求出f(x)的对称轴x＝a，然后就a与区间[0,2]的关系进行讨论，分别求出f(x)的最大值和最小值． [解析]　f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a. ①当a<0时，由图①可知， f(x)min＝f(0)＝－1， f(x)max＝f(2)＝3－4a. ②当0≤a<1时，由图②可知， f(x)min＝f(a)＝－1－a2， f(x)max＝f(2)＝3－4a. ③当1≤a≤2时，由图③可知， f(x)min＝f(a)＝－1－a2， f(x)max＝f(0)＝－1. ④当a>2时，由图④可知， f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1. (1)求函数在某区间上的最值，一般应先判定函数在该区间上的单调性． (2)求二次函数的最值时，应判断它的开口方向及对称轴与区间的关系．若含有字母，要根据对称轴和区间的关系对字母进行讨论，解题时要注意数形结合．本题是轴动区间定．对于定轴动区间最值问题，同样要就轴与区间的关系进行讨论． (3)二次函数在闭区间上的最值，如二次函数f(x)＝a(x－h)2＋k(a＞0)在区间[m，n]上的最值可作如下讨论： 对称轴x＝h与[m，n]的位置关系 最大值 最小值 h＜m f(n) f(m) h＞n f(m) f(n) m≤h≤n m≤h＜eq \f(m＋n,2) f(n) f(h) m≤h≤n h＝eq \f(m＋n,2) f(m)或f(n) f(h) eq \f(m＋n,2)＜h≤n f(m) f(h) [变式训练] 3．已知函数f(x)＝x2－(a－2)x＋a＋1，其中a∈R. (1)若函数f(x)在(－∞，1]上单调递减，求a的取值范围． (2)若函数f(x)在[0,1]上的最小值是3，求实数a的值． 解：(1)因为f(x)＝x2－(a－2)x＋a＋1在(－∞，1]上单调递减，所以eq \f(a－2,2)≥1，解得a≥4，即a的取值范围是[4，＋∞)． (2)因为f(x)＝x2－(a－2)x＋a＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a－2,2)))2＋eq \f(8a－a2,4)， 当eq \f(a－2,a)＜0，即a＜2时，函数f(x)在[0,1]上单调递增， 所以f(x)min＝f(0)＝a＋1＝3，得a＝2(舍去)； 当0≤eq \f(a－2,2)≤1，即2≤a≤4时，f(x)min＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－2,2)))＝eq \f(8a－a2,4)＝3，解得a＝2或a＝6(舍去)； 当eq \f(a－2,2)＞1，即a＞4时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)min＝f(1)＝4≠3，不符合题意． 综上，实数a的值为2. 实际应用中的最值问题 [例4] 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x2，0≤x≤400，,80 000，x>400.))其中x是仪器的月产量． (1)将利润表示为月产量的函数f(x)； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润) [思路点拨] (1)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x2＋300x－20 000，0≤x≤400,60 000－100x，x>400.)) (2)分段分别求最值． [解]　(1)设月产量为x台，则总成本为20 000＋100x， 从而f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x2＋300x－20 000，0≤x≤400，,60 000－100x，x>400.)) (2)当0≤x≤400时， f(x)＝－eq \f(1,2)(x－300)2＋25 000， ∴当x＝300时，[f(x)]max＝25 000. 当x>400时， f(x)＝60 000－100x是减函数， f(x)<60 000－100×400<25 000. ∴当x＝300时，f(x)max＝25 000. 即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25 000元． 解实际应用问题的5个步骤 (1)审：审清题意，读懂题，找出各量之间的关系． (2)设：从实际问题中抽象出数学模型，恰当设出未知数． (3)列：根据已知条件列出正确的数量关系． (4)解：转化为求函数的最值或解方程或解不等式， (5)答：回归实际，明确答案，得出结论． [变式训练] 4．将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？ 解：设售价为x元，利润为y元，单个涨价(x－50)元，销量减少10(x－50)个，销量为500－10(x－50)＝(1 000－10x)个，则y＝(x－40)(1 000－10x)＝－10(x－70)2＋9 000≤9 000. 故当x＝70时，ymax＝9 000. 即售价为70元时，利润最大值为9 000元． 1．函数f(x)在[－2，＋∞]上的图象如图所示，则此函数的最大值、最小值分别为(　　) A．3,0　　　　　 B．3,1 C．3，无最小值 D．3，－2 答案：C 2．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是(　　) A．[1，＋∞) B．[0,2] C．(－∞，－2] D．[1,2] 答案：D 3．函数f(x)＝eq \f(1,\r(7＋6x－x2))的单调递减区间为____________． 答案：(－1,3) 4.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为____________ m. 答案：20 5．求函数f(x)＝eq \f(x,x－1)在区间[2,5]上的最大值与最小值． 解：任取2≤x1<x2≤5， 则f(x2)－f(x1)＝eq \f(x2,x2－1)－eq \f(x1,x1－1) ＝eq \f(x1－x2,x2－1x1－1). 因为2≤x1<x2≤5， 所以x1－x2<0，x2－1>0，x1－1>0. 所以f(x2)－f(x1)<0. 即f(x2)<f(x1)． 所以f(x)＝eq \f(x,x－1)在区间[2,5]上是单调减函数． 所以f(x)max＝f(2)＝eq \f(2,2－1)＝2，f(x)min＝f(5)＝eq \f(5,5－1)＝eq \f(5,4). $$