3.2.1 第1课时 函数的单调性-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步课件PPT（人教A版2019）

3．2　函数的基本性质 　3.2.1　函数的单调性与最大(小)值 第1课时　函数的单调性 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 第三章　函数的概念与性质 必修第一册 数学 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 　 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 　 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 课程标准 素养解读 1.利用函数图象，直观地观察函数的单调性 2.利用特殊函数，理解函数单调性及几何意义 3.会根据函数的单调性定义，判断、证明单调性 1.结合实例，经历从具体的直观描述到形式的符号表达的抽象过程，提升数学直观素养 2.在函数单调性的应用过程中，提升逻辑推理和数学运算素养 [情境引入] 德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究．他经过测试，得到了以下一些数据： 时间间隔t 刚记忆完毕 20分钟后 60分钟后 8～9小时后 1天后 2天后 6天后 一个月后 记忆量y (百分比) 100 58.2 44.2 35.8 33.7 27.8 25.4 21.1 以上数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数．艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”，如图． [问题]　(1)当时间间隔t逐渐增大，你能看出对应的函数值y有什么变化趋势？通过这个试验，你打算以后如何对待刚学过的知识？ (2)“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？ 提示：(1)随着时间间隔t逐渐增大，函数值y逐渐变小，这个试验告诉我们，在以后的学习中，我们应及时复习刚学习过的知识． (2)“艾宾浩斯遗忘曲线”是减函数曲线． [知识梳理] [知识点一]　增函数、减函数的概念　 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： (1)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有　f(x1)<f(x2)　，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增(如图①)． 特别地，当函数f(x)在它的定义域上　单调递增　时，我们就称它是增函数． (2)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有 f(x1)>f(x2) ，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减(如图②)． 特别地，当函数f(x)在它的定义域上 单调递减 时，我们就称它是减函数． 1.在增函数和减函数定义中，能否把“任意x1，x2∈D”改为“存在x1，x2∈D”？ 提示：不能． [知识点二]　函数的单调性与单调区间　 如果函数y＝f(x)在区间D上 单调递增 或 单调递减 ，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的 单调区间 ． 2.区间D一定是函数的定义域吗？ 提示：不一定，可能是定义域的一部分． 3．函数y＝eq \f(1,x)在定义域上是减函数吗？ 提示：y＝eq \f(1,x)在定义域上不是减函数，但是它有两个单调递减区间(－∞，0)，(0，＋∞)． [预习自测] 1．下列结论中，正确的是(　　) A．函数y＝kx(k为常数，且k<0)在R上是增函数 B．函数y＝x2在R上是增函数 C．函数y＝eq \f(1,x)在定义域内是减函数 D．y＝eq \f(1,x)在(－∞，0)上是减函数 答案：D 2．设(a，b)，(c，d)都是函数f(x)的单调增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1＜x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是(　　) A．f(x1)＜f(x2)　 B．f(x1)＞f(x2) C．f(x1)＝f(x2) D．不能确定 答案：D 3．函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是________________． 答案：(－∞，1]和(1，＋∞) 函数单调性的判定与证明 [例1] 求证：函数f(x)＝eq \f(1,x2)在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数． [思路点拨]　依函数单调性的定义证明． [证明]　对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2，有f(x1)－f(x2)＝eq \f(1,x\o\al(2,1))－eq \f(1,x\o\al(2,2))＝eq \f(x\o\al(2,2)－x\o\al(2,1),x\o\al(2,1)x\o\al(2,2))＝eq \f(x2－x1x2＋x1,x\o\al(2,1)x\o\al(2,2)). ∵x1<x2<0， ∴x2－x1>0，x1＋x2<0，xeq \o\al(2,1)xeq \o\al(2,2)>0. ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)． ∴函数f(x)＝eq \f(1,x2)在(－∞，0)上是增函数． 对于任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，有 f(x1)－f(x2)＝eq \f(x2－x1x2＋x1,x\o\al(2,1)x\o\al(2,2)). ∵0<x1<x2，∴x2－x1>0，x2＋x1>0，xeq \o\al(2,1)xeq \o\al(2,2)>0. ∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)． ∴函数f(x)＝eq \f(1,x2)在(0，＋∞)上是减函数． 1．利用定义判断或证明函数单调性的4个步骤 2．利用定义证明函数的单调性时，常用的变形技巧有哪些？ (1)因式分解．当原函数是多项式函数时，作差后的变形通常进行因式分解．如f(x)＝x3－1. (2)通分．当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分，然后对分子进行因式分解．如本例． (3)配方．当原函数是二次函数时，作差后可以考虑配方，便于判断符号． (4)分子有理化．当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化．如f(x)＝eq \r(x＋1) [变式训练] 1．证明函数f(x)＝－eq \f(1,x)－1在区间(－∞，0)上是增函数． 证明：设x1，x2为(－∞，0)上的任意两个实数且x1＜x2，则 f(x1)－f(x2)＝－eq \f(1,x1)－1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x2)－1))＝eq \f(1,x2)－eq \f(1,x1)＝eq \f(x1－x2,x1x2). ∵x1－x2＜0，x1x2＞0， ∴eq \f(x1－x2,x1x2)＜0， 即f(x1)－f(x2)＜0， ∴f(x1)＜f(x2)， 所以函数f(x)＝－eq \f(1,x)－1在区间(－∞，0)上是增函数． 求函数的单调区间 [例2] 画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间． [思路点拨]　先转化为分段函数，再画其图象． [解]　y＝－x2＋2|x|＋3 ＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋3＝－x－12＋4，x≥0，,－x2－2x＋3＝－x＋12＋4，x<0.)) 函数图象如图所示． 函数在(－∞，－1)，[0,1)上是增函数， 函数在[－1,0)，[1，＋∞)上是减函数． ∴函数的单调增区间是(－∞，－1)和[0,1)， 单调减区间是[－1,0)和[1，＋∞)． 求函数单调区间的两个方法及三个关注点 (1)两个方法： 方法一：定义法，即先求定义域，再用定义法进行判断求解． 方法二：图象法，即先画出图象，根据函数图象求单调区间． (2)三个关注点： 关注一：求函数的单调区间时，要先求函数的定义域． 关注二：对于一次函数、二次函数、反比例函数的单调区间作为常识性的知识，可以直接使用． 关注三：函数图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． [变式训练] 2．作出函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x－3，　x≤1,x－22＋3，　x＞1))的图象，并指出函数的单调区间． 解：f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x－3，　x≤1,x－22＋3，　x＞1))的图象如图所示． 由图可知，函数的单调递减区间为(－∞，1]和(1,2)；单调增区间为[2，＋∞)． 利用单调性比较大小 [例3] (1)若函数f(x)的定义域为R，且在(0，＋∞)上是减函数，则下列不等式成立的是(　　) A．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))>f(a2－a＋1) B．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))≥f(a2－a＋1) C．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))<f(a2－a＋1) D．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))≤f(a2－a＋1) (2)已知函数f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)≤f(3a－2)，则a的取值范围是____________． [思路点拨]　依据单调性的定义判断． [解析]　(1)B　[∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且a2－a＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)≥eq \f(3,4)>0， ∴f(a2－a＋1)≤feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4))).] (2)因为函数f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)≤f(3a－2)，所以－1<3a－2≤1－a<1，解得a∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(3,4))). 答案：eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(3,4))) 1．利用单调性比较大小的方法 (1)利用函数单调性可以比较函数自变量(函数值)的大小，即已知f(x)在区间D上为增函数，则对x1，x2∈D，x1<x2⇔f(x1)<f(x2)． (2)利用单调性比较函数值的大小，务必将自变量x的值转化到同一单调区间上才能进行比较，最后写结果时再还原回去． 2．利用函数单调性解不等式 与函数单调性有关的结论 (1)正向结论：若y＝f(x)在给定区间上是增函数，则 当x1<x2时，f(x1)<f(x2)； 当x1>x2时，f(x1)>f(x2)； (2)逆向结论：若y＝f(x)在给定区间上是增函数，则 当f(x1)<f(x2)时，x1<x2； 当f(x1)>f(x2)时，x1>x2. (3)当y＝f(x)在给定区间上是减函数时，也有(1)(2)相应的结论． [变式训练] 3．已知函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且f(x)<f(2x－3)，求x的取值范围． 解析：∵f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，且f(x)<f(2x－3)， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x>0，,2x－3>0，,x>2x－3，))解得eq \f(3,2)<x<3. ∴x的取值范围是(eq \f(1,2)，3)． 单调性的综合应用 [例4] 已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围． [思路点拨]　解答本题可先将函数解析式配方，然后找出图象的对称轴，再考虑对称轴与所给区间的位置关系，利用数形结合求解． [解]　f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2＝[x＋(a－1)]2－(a－1)2＋2， ∴此二次函数的对称轴为x＝1－a. ∴f(x)的单调递减区间为(－∞，1－a]． ∵f(x)在(－∞，4]上是减函数， ∴对称轴x＝1－a必须在直线x＝4的右侧或与其重合． ∴1－a≥4，解得a≤－3. ∴实数a的取值范围为(－∞，－3]. 1．函数单调性的定义具有“双向性”；利用函数单调性的定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性，可以确定函数中参数的范围． 2．利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．例如，若函数f(x)的解析式是未知的，欲求x的取值范围，我们可以根据函数单调性的定义(也就是函数单调性的性质)，将符号“f”脱掉，只要注意到函数的定义域，即可列出关于x的不等式(组)． 3．若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的． 4．已知函数的单调性求参数的取值范围，要注意数形结合思想，采用逆向思维．利用已知函数研究函数单调性问题，像一次函数、二次函数、正、反比例函数的单调性不必用定义研究，直接判断即可． [变式训练] 4．(1)若函数f(x)＝kx2＋(3k－2)x－5在(－∞，1]上单调递减，则实数k的取值范围是____________． (2)(多选)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－ax＋3，x≤1，,\f(2a－1,x)，x＞1))是R上的减函数，则实数a的取值可以是(　　) A.eq \f(1,3)　　　B.eq \f(2,3)　　　C．1　　　D.eq \f(4,3) (1)解析：当k＝0时，f(x)＝－2x－5，显然此函数在(－∞，1]上单调递减； 当k≠0时，函数f(x)图象的对称轴为直线x＝－eq \f(3k－2,2k)，要使函数f(x)在(－∞，1]上单调递减， 只需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k＞0，,－\f(3k－2,2k)≥1，))解得0＜k≤eq \f(2,5). 综上所述，实数k的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2,5))). 答案：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2,5))) (2)BCD　[因为函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－ax＋3，x≤1，,\f(2a－1,x)，x＞1))是R上的减函数，所以有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－a＜0，,2a－1＞0，,－a·1＋3≥\f(2a－1,1)，))解得eq \f(1,2)＜a≤eq \f(4,3)，因此选项B，C，D符合题意，故选BCD.] 1．(多选)如果函数f(x)在[a，b]上单调递增，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，则下列结论中正确的有(　　) A．eq \f(fx1－fx2,x1－x2)＞0 B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0 C．f(a)≤f(x1)＜f(x2)≤f(b) D．f(x1)＞f(x2) 答案：AB 2．若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,8]上是单调函数，则k的取值范围是(　　) A．(－∞，40]　　　　　　　 B．(40,64) C．(－∞，40]∪[64，＋∞) D．[64，＋∞) 答案：C 3．函数y＝x2－2x的单调递减区间是____________，单调递增区间是____________． 答案：(－∞，1]　[1，＋∞) 4．已知函数f(x)为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f(x)<f(eq \f(1,2))的实数x的取值范围为____________． 答案：[－1，eq \f(1,2)) 5．用定义法证明：函数f(x)＝x3＋x在R上是增函数． 证明：设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1<x2， 则f(x2)－f(x1)＝(xeq \o\al(3,2)＋x2)－(xeq \o\al(3,1)＋x1) ＝(x2－x1)(xeq \o\al(2,2)＋x2x1＋xeq \o\al(2,1))＋(x2－x1) ＝(x2－x1)(xeq \o\al(2,2)＋x2x1＋xeq \o\al(2,1)＋1) ＝(x2－x1)[(x2＋eq \f(x1,2))2＋eq \f(3,4)xeq \o\al(2,1)＋1]． ∵(x2＋eq \f(x1,2))2＋eq \f(3,4)xeq \o\al(2,1)＋1>0，x2－x1>0. ∴f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)， ∴函数f(x)＝x3＋x在R上是增函数． $$