1.5.1 全称量词与存在量词-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步课件PPT（人教A版2019）

1.5　全称量词与存在量词 1.5.1　全称量词与存在量词 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 第一章 集合与常用逻辑用语 必修第一册 数学 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 　 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 　 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 课程标准 素养解读 1.了解命题的概念，能判断真假 2.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义 用全称量词、存在量词梳理、表达学过的相应数学内容，重点提升数学抽象、逻辑推理素养 [情境引入] 在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城．我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸．我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，他们说他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。 这就是著名的“罗素理发师悖论”问题． [问题]　(1)文中理发师说：“我将给所有的不给自己刮脸的人刮脸”．对“所有的”这一词语，你还能用其他词语代替吗？ (2)上述词语都有什么含义？ (1)提示：任意一个，全部，每个． (2)提示：表示某个范围的整体或全部． [知识梳理] [知识点一]　命题的概念　 [知识点二]　全称量词与存在量词　 全称量词 存在量词 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 ∀ ∃ 1.常见的全称量词、存在量词还有哪些？ 提示：常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”“凡是”等． 常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等． [知识点三]　全称量词命题与存在量词命题　 1．定义和表示方法 1．定义和表示方法 全称量词命题 存在量词命题 定义 含有　全称量词　的命题，叫做全称量词命题. 含有　存在量词　的命题，叫做存在量词命题. 表示 全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为：　∀x∈M，p(x)　. 存在量词命题“存在M中的元素x,p(x)成立”可用符号简记为：　∃x∈M，p(x) ．　 2.本质：全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”． 3．应用：全称量词、存在量词是数学和日常生活中使用频率很高的一种逻辑用语，数学中存在大量的全称量词命题和存在量词命题． 2.全称量词命题中的“x，M与p(x)”表达的含义分别是什么？ 提示：元素x可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形、相应的集合M是这些元素的某一特定的范围，p(x)表示集合M的所有元素满足的性质，也可以用q(x)，r(x)等符号表示． [预习自测] 1．将“x2＋y2≥2xy对任意实数x恒成立”改写成符号形式为(　　) A．∀x，y∈R，x2＋y2≥2xy B．∃x，y∈R，x2＋y2≥2xy C．∀x>0，y>0，x2＋y2≥2xy D．∃x<0，y<0，x2＋y2≥2xy 答案：A 2．下列命题中，不是全称量词命题的是(　　) A．任何一个实数乘以0都等于0 B．任意一个负数都比零小 C．每一个正方形都是矩形 D．一定存在没有最大值的二次函数 答案：D 3．给出下列命题： (1)∀x∈R，x2>0； (2)∃x∈R，x2＋x＋1≤0； (3)∃a∈∁RQ，b∈∁RQ，使得a＋b∈Q. 其中真命题的个数为____________． 答案：1 全称量词命题与存在量词命题的识别 [例1] 判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题： (1)凸多边形的外角和等于360°； (2)有的平行四边形是菱形； (3)有一个数是素数也是合数； (4)菱形的对角线相互垂直． [思路点拨]　依据全称量词命题与存在量词的概念判断． 解析：(2)(3)的存在量词“有的”“有一个”为存在量词命题，(1)(4)是省略了全称量词的全称量词命题． 判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路 [提醒]　全称量词命题可能省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略． [变式训练] 1．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题． (1)矩形有一个外接圆． (2)非负实数有两个平方根； (3)有一对实数(x，y)，使2x－y＋1＜0成立． 解：(1)可以改写为“所有的矩形都有一个外接圆”，是全称量词命题． (2)可以改写为“所有的非负实数都有两个平方根”，是全称量词命题． (3)可以改写为“∃x∈R，y∈R，使2x－y＋1＜0成立”，是存在量词命题． 全称量词命题、存在量词命题的真假判断 [例2] 判断下列命题的真假： (1)∃x∈Z，x3<1； (2)存在一个四边形不是平行四边形； (3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P； (4)∀x∈N，x2>0. [思路点拨]　依命题真假的判断方法作出结论． [解]　(1)因为－1∈Z，且(－1)3＝－1<1，所以“∃x∈Z，x3<1”是真命题． (2)真命题，如梯形． (3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题． (4)因为0∈N,02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题． 全称量词命题与存在量词命题的 真假判断的技巧 (1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可． (2)要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p(x)成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题． [变式训练] 2．用符号“∀”与“∃”表示下面含有量词的命题并判断其真假： (1)自然数的平方大于零； (2)存在一对整数x0，y0，使2x0＋4y0＝3； (3)存在一个无理数，它的立方有理数． 解：(1)∀x∈N，x2>0，因为0也是自然数，0的平方是0.所以，全称量词命题“自然数的平方大于零”是假命题． (2)∃x0，y0∈Z,2x0＋4y0＝3.由2x0＋4y0＝3，得x0＋2y0＝eq \f(3,2)，若x0，y0∈Z，则x0＋2y0也是整数，不可能等于eq \f(3,2)，所以，存在量词命题“存在一对整数x0，y0，使2x0＋4y0＝3”是假命题． (3)∃x0∈{无理数}，xeq \o\al(3,0)∈Q，eq \r(3,3)是无理数，(eq \r(3,3))3＝3是有理数． 所以，存在量词命题“存在一个无理数，它的立方是有理数”是真命题． 全称量词命题、存在量词命题的应用 [例3] (1)已知集合A＝{x|1≤x≤2}，若命题“∀x∈A，一次函数y＝x＋m的图象在x轴上方”是真命题，则实数m的取值范围是____________． (2)若命题“∃x∈R，使得方程ax2＋2x－1＝0成立”是真命题，求实数a的取值范围． [思路点拨]　(1)∀x∈A＝{x|1≤x≤2}在一次函数y＝x＋m的图象，在x轴的上方，则1＋m>0. (2)由题意，分a＝0和a≠0两种情况讨论． (1)解析：当1≤x≤2时，1＋m≤x＋m≤2＋m，因为一次函数y＝x＋m的图象在x轴上方，所以1＋m>0，即m>－1，所以实数m的取值范围是{m|m>－1}． 答案：{m|m>－1} (2)解：由题意得，关于x的方程ax2＋2x－1＝0有实数根，当a＝0时，方程为2x－1＝0，显然有实数根，满足题意；当a≠0时，Δ＝4＋4a≥0，解得a≥－1，且a≠0.综上知，实数a的取值范围是{a|a≥－1}． 利用含量词的命题的真假求参数的取值范围 (1)含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根据有关代数恒等式(如x2≥0)，确定参数的取值范围． (2)含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，可借助根的判别式等知识解决． [变式训练] 3．(1)已知对任意的x∈{x|1≤x≤3}，都有m≥x，求实数m的取值范围； (2)已知存在实数x∈{x|1≤x≤3}，使m≥x，求实数m的取值范围． 解：(1)由于对任意的x∈{x|1≤x≤3}都有m≥x，故只需m大于或等于x的最大值，即m≥3. (2)由于存在实数x∈{x|1≤x≤3}，使m≥x，故只需m大于或等于x的最小值，即m≥1. 1．下列命题中，是真命题的是(　　) A．∃x∈R，x2＋x＋3＝0 B．∀x∈R，x2＋x＋2＞0 C．∀x∈R，x2＞|x| D．已知集合A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3m}，则对于任意的n，m∈N*，都有A∩B＝Ø 答案：B 2．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是(　　) A．∃x>1，x2－2x－3＝0 B．若2x为偶数，则x∈N C．所有菱形的四条边都相等 D．π是无理数 答案：C 3．下列存在量词命题是真命题的序号是____________． ①有些不相似的三角形面积相等； ②存在实数x，使x2＋2<0； ③存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大； ④有一个实数的倒数是它本身． 答案：①③④ 4．已知命题“∃x∈R,2x2＋(a－1)x＋eq \f(1,2)≤0”是假命题，则实数a的取值范围是____________． 答案：{a|－1<a<3} 5．是否存在整数m，使得命题“∀x≥－eq \f(1,4)，－5<3－4m<x＋1”是真命题？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 解：假设存在整数m，使得命题“∀x≥－eq \f(1,4)，－5<3－4m<x＋1”是真命题． 因为当x≥－eq \f(1,4)时，x＋1≥eq \f(3,4)， 所以－5<3－4m<eq \f(3,4)，解得eq \f(9,16)<m<2. 又m为整数，所以m＝1， 故存在整数m＝1，使得命题“∀x≥－eq \f(1,4)，－5<3－4m<x＋1”是真命题． $$