函数与导数：零点问题复习讲义-2026届高三数学一轮复习

函数与导数：零点问题复习讲义 函数与导数：零点问题复习讲义 考点一 零点存在性定理 【知识点解析】 1.函数的零点 对于一般函数，我们把使得的实数叫做函数的零点 2.方程的解与函数的关系 函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图像与轴的交点的横坐标， 所以方程有实数解函数有零点函数图像与轴有交点. ※方程的解的数量函数与函数的交点的数量. 3.函数零点的存在性定理 如果函数在区间上的图像是一条连续不断的曲线，且，那么函数在区间内至少有一个零点. 即存在，使得，这个就是方程的解. 【例题分析】 1．（24-25高一下·河北保定·期末）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·山东烟台·期末）函数的零点所在的一个区间为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·吉林长春·期末）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·山东潍坊·期末）函数的零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·山西·期末）函数的一个零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·天津·期末）已知函数，则该函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·安徽阜阳·期末）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 考点二 指对幂函数的零点分布问题 【知识点解析】 1.常见函数的图像 函数 图像与性质 一次函数 一次函数的图像由和决定，决定了函数的单调性，决定了函数与轴的交点. 二次函数 二次函数的图像由和和决定，决定了函数的开口方向，与决定了函数的对称轴，且与左同右异，决定了函数与轴的交点. 指数函数 指数函数的图像由决定，决定了函数的单调性. 当时，函数单调递增，当时，函数单调递减. 指数函数过定点. 对数函数 对数函数的图像由决定，决定了函数的单调性. 当时，函数单调递增，当时，函数单调递减. 对数函数过定点. 幂函数 幂函数的图像由决定，决定了函数的单调性与奇偶性. 当，函数在单调递增，当，函数在单调递增. 幂函数过定点. 2.由函数零点的分布或方程解的分布求参数范围 策略一：讨论函数的单调性，进而利用零点存在性定理求参数范围. 策略二：刻画函数图像，根据函数的图像求参数范围. 3.几个常见的定值 (1)对于函数，若，则. (2)对于函数，若，则. (3)对于函数，若，则. 【例题分析】 1．（23-24高一上·河南洛阳·阶段练习）若函数有3个零点，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·四川·期末）已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·海南·期末）若函数没有零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·山西晋城·阶段练习）已知，若函数有四个零点a，b，c，d，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数，，若， 则的零点个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数，若函数存在5个零点，则（    ） A．1 B． C．1或 D． 7．（24-25高一下·广西崇左·阶段练习·多选）已知函数.则下列说法正确的是（ ） A．的值域为 B．，则 C．当且时，有2个零点，则 D．若在上单调递减，则的取值范围为 8．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测·多选）已知函数，则（   ） A．的零点个数为2 B．当时，有2个不同的零点 C．当时，有4个不同的零点 D．是有1个零点的充要条件 9．（24-25高二下·山东泰安·期末·多选）已知函数，则下列选项正确的是（   ） A．若函数，则的定义域为 B．函数的值域为 C．若直线与函数的图象有且只有4个公共点，则实数k的取值范围为 D．函数的所有零点之和为 10．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习·多选）已知函数，若有三个不等实根，，，且，则（ ） A．的单调递增区间为 B．a的取值范围是 C．的取值范围是 D．函数有4个零点 11．（24-25高一下·河南·开学考试）已知函数，若函数有5个不同的零点，则实数的取值范围是 12．（24-25高一下·上海宝山·期末）已知函数有唯一的零点，则实数的取值范围是 . 13．（24-25高一下·安徽安庆·期末）已知函数，且的所有零点按照从小到大的顺序排列依次为，则的取值范围为 . 14．（24-25高二下·天津河东·期末）已知函数，若函数恰有两个零点， 则k的取值范围为 ． 考点三 利用导数探究零点个数问题 【知识点解析】 1.零点存在性定理 如果函数在区间上的图像是一条连续不断的曲线，且，那么函数在区间内至少有一个零点. 即存在，使得，这个就是方程的解. ① 若，则的零点不一定只有一个，可以有多个 ② 若，那么在不一定有零点 ③ 若在有零点，则不一定必须异号 ③若在上是单调函数且连续，则在的零点唯一. 2.零点唯一性 如果函数在区间上的图象是连续不断且单调的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有唯一零点 3.求零点问题的方法 ①参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数 的图象的交点问题. ②直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后探究极值的正负，进而将问题转化为函数图象与轴的交点问题. 【例题分析】 考向一 利用导数证明零点数量 1．（24-25高二下·安徽阜阳·期末）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)证明：在上有且仅有一个零点． 3．（24-25高二下·陕西安康·期末）函数的定义域为． (1)证明：时，单调递增； (2)证明：时，有唯一零点； (3)若，求． 4．（24-25高三下·浙江·开学考试）已知函数是奇函数． (1)求a； (2)求曲线在点处的切线方程； (3)证明：函数有且仅有1个零点． 5．（2025·江西景德镇·模拟预测）(1)证明：在上恒成立. (2)若，证明：函数在上恰有1个零点. (3)试讨论函数在上的零点个数. 6．（2025·江西·二模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：时，； (3)判断函数的零点个数. 7．（24-25高二下·河北·期末）已知函数． (1)已知，证明：函数在上单调递减； (2)已知，证明：； (3)当时，令，证明：在上恰有一个零点． 考向二 利用零点数量求参数范围 1．（24-25高二下·山东烟台·期末）若函数存在两个不同的零点，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数有且仅有3个零点，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知函数有唯一零点，则实数（   ） A．1 B． C．2 D． 4．（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）已知函数在上仅有一个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·辽宁大连·期中）函数，若函数有2个零点，则a的取值范围 . 6．（2025·广西北海·模拟预测）若函数有两个极值点，则的取值范围是 ． 7．（24-25高二下·四川遂宁·期中）已知函数与的图象有两个交点，则实数的取值范围是 . 8．（24-25高二下·江苏·阶段练习）已知函数． (1)若，求的极值点； (2)讨论的单调性； (3)若有两个零点，求实数的取值范围． 9．（24-25高二下·上海·期末）设函数（）． (1)当时，求的极值； (2)当时，讨论的单调性； (3)若只有一个零点，求实数的取值范围． 10．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数． (1)若，证明：函数在上单调递增； (2)若函数有三个零点，求的取值范围． 11．（24-25高二下·福建宁德·期末）已知：函数 (1)求在区间上的最大值和最小值； (2)令，若函数在上有三个零点，求实数的取值范围. 12．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）已知函数． (1)若曲线在点处的切线方程为，求，； (2)若有三个零点，求实数的取值范围． 13．（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·期末）已知函数. (1)求的解析式； (2)若在内有两个零点，求m的取值范围. 14．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有两个零点，求的取值范围． 考点四 利用零点证明不等式 【知识点解析】 利用零点证明不等式，核心思路是构造辅助函数，通过分析函数的零点（即函数值为 0 的点）、单调性、最值等性质，结合函数值的符号来推导不等式关系. 1. 核心原理：零点与函数符号的关联 （1）辅助函数的构造 若要证明不等式（或 ）在区间 上成立，可构造辅助函数： . 此时不等式等价于证明（或 ）在上成立. （2）零点的作用 ①若在  上有零点 （即），可通过分析在两侧的单调性和符号，证明 在零点附近及整个区间非负（或正）. ②若 在 上无零点，可结合端点值或极限值的符号，结合单调性证明其恒正（或恒负）. 2. 具体步骤：从构造到证明 （1）构造辅助函数：将不等式两边移项，得到. （2）求导分析单调性：计算，确定 的单调区间（递增 / 递减）. （3）寻找零点或端点值： ①若有零点，验证是否为最值点（如极小值点），若且在该点取最小值，则. ②若无零点，结合端点的函数值、 或极限值的符号，结合单调性证明恒正（或恒负）。 （4）结论转化：由 （或）反推原不等式成立. 【例题分析】 1．（24-25高二下·天津·期末）已知函数：． (1)若当时，恒成立；求实数a的取值范围； (2)若关于x的方程有两个不同实数根；且， （i）求实数a的取值范围； （ii）求证：． 2．（24-25高二下·湖北·阶段练习）已知函数. (1)当时，求的单调增区间； (2)已知有两个零点，. ①求实数a的取值范围； ②证明：. 3．（24-25高二下·贵州毕节·期末）已知函数． (1)判断函数的零点个数； (2)若存在两个零点，证明：． 4．（24-25高二下·安徽蚌埠·期末）已知函数，． (1)若，求函数的图象在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若函数在区间存在两个不同零点，，证明： ． 5．（24-25高二下·河北·期末）（1）证明：函数有且仅有一个零点，记该零点为，则． （2）证明：． （3）证明：． 6．（24-25高二下·山东聊城·期末）已知函数，． (1)若，求的极值； (2)若有两个极值点，，当时，证明：． 7．（24-25高二下·山东威海·期末）已知函数. (1)若在上单调递减，求的取值范围； (2)若有两个不同的零点，， （i）求的取值范围； （ii）证明：. 8．（24-25高二下·四川乐山·期末）已知函数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数有两个零点，记作，. （ⅰ）求参数的取值范围； （ⅱ）若，证明：. 课后提升训练 1．（24-25高一下·云南玉溪·期末）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·四川遂宁·期末）函数，则在内零点个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（24-25高二下·四川雅安·期末）函数的零点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（24-25高一下·河南南阳·期末）函数在上的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25高二下·北京延庆·期末）若函数有且仅有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·山西吕梁·期末）已知函数若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·吉林长春·期末·多选）已知函数，则（   ） A．是增函数 B．有且仅有1个零点 C．的图象关于原点对称 D．既有极大值又有极小值 8．（2025·江苏南通·模拟预测·多选）已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点，则（    ） A． B． C．的最小值为 D． 9．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知函数若只有一个零点，则的取值范围是 ． 10．（24-25高二下·天津·期末）函数，若恰有三个零点，则实数a的取值范围是 ． 11．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）已知函数，，则函数的零点个数为 . 12．（24-25高二下·天津·期末）已知函数有零点，则实数m的取值范围为 ． 13．（24-25高二下·广东广州·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)判断的零点个数，并说明理由. 14．（24-25高二下·山西太原·期中）已知函数. (1)求函数的极值； (2)若函数恰有两个零点，求实数的取值范围. 15．（24-25高三下·湖南·阶段练习）已知函数. (1)当时，有两个零点，求的取值范围； (2)若是的极小值点，求的取值范围. 16．（24-25高二下·山西太原·期中）已知函数，. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若在上有零点，求的取值范围. 17．（24-25高二下·云南丽江·阶段练习）已知函数． (1)当，求在点处的切线方程； (2)若，且， （ⅰ）求的极值； （ⅱ）当时，判断零点个数，并说明理由． 18．（24-25高二下·河南三门峡·阶段练习）已知函数. (1)证明：曲线在处的切线恒过定点； (2)已知有两个零点，且，证明：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$函数与导数：零点问题复习讲义 函数与导数：零点问题复习讲义 考点一 零点存在性定理 【知识点解析】 1.函数的零点 对于一般函数，我们把使得的实数叫做函数的零点 2.方程的解与函数的关系 函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图像与轴的交点的横坐标， 所以方程有实数解函数有零点函数图像与轴有交点. ※方程的解的数量函数与函数的交点的数量. 3.函数零点的存在性定理 如果函数在区间上的图像是一条连续不断的曲线，且，那么函数在区间内至少有一个零点. 即存在，使得，这个就是方程的解. 【例题分析】 1．（24-25高一下·河北保定·期末）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数单调性的性质可知函数是正实数集上的增函数， 因为，当自变量趋近时，函数值趋近， 所以函数的零点所在区间为， 故选：A 2．（24-25高二下·山东烟台·期末）函数的零点所在的一个区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数定义域为，函数在单调递减， 由，；； ，又，所以； ，又，所以； . 所以，所以函数的零点所在的一个区间为. 故选：B 3．（24-25高二下·吉林长春·期末）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为，且函数在单调递增， 当时，，，， ，， 所以，所以函数在必有一个零点. 故选：D 4．（24-25高一上·山东潍坊·期末）函数的零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数在R上都单调递增，则函数在R上单调递增， 而， 则，由零点存在性定理得函数的零点所在的区间为. 故选：C 5．（24-25高二下·山西·期末）函数的一个零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知， 当时，， 当时，，，， 所以， 所以在和上无零点，故AB均不正确； 当时，由，在上单调递减， 所以，在上单调递减， 由，，所以， 所以在上有唯一零点，在内无零点，故C正确，D不正确. 故选：C. 6．（24-25高二下·天津·期末）已知函数，则该函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得：函数定义域为，且在上单调递增. 因为函数在上单调递减， 所以 因为， 所以由零点的存在性定理可得：该函数的零点所在区间是， 故选：C. 7．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在上单调递增，在上单调递增， 在单调递增，即最多有一个零点. 的零点位于区间 故选：C. 8．（24-25高二下·安徽阜阳·期末）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】函数，， 当单调递减； 当单调递增； ， ， 所以；； 所以函数的零点个数为2. 故选：C. 考点二 指对幂函数的零点分布问题 【知识点解析】 1.常见函数的图像 函数 图像与性质 一次函数 一次函数的图像由和决定，决定了函数的单调性，决定了函数与轴的交点. 二次函数 二次函数的图像由和和决定，决定了函数的开口方向，与决定了函数的对称轴，且与左同右异，决定了函数与轴的交点. 指数函数 指数函数的图像由决定，决定了函数的单调性. 当时，函数单调递增，当时，函数单调递减. 指数函数过定点. 对数函数 对数函数的图像由决定，决定了函数的单调性. 当时，函数单调递增，当时，函数单调递减. 对数函数过定点. 幂函数 幂函数的图像由决定，决定了函数的单调性与奇偶性. 当，函数在单调递增，当，函数在单调递增. 幂函数过定点. 2.由函数零点的分布或方程解的分布求参数范围 策略一：讨论函数的单调性，进而利用零点存在性定理求参数范围. 策略二：刻画函数图像，根据函数的图像求参数范围. 3.几个常见的定值 (1)对于函数，若，则. (2)对于函数，若，则. (3)对于函数，若，则. 【例题分析】 1．（23-24高一上·河南洛阳·阶段练习）若函数有3个零点，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，函数单调递增，则函数在上至多一个零点， 当时，函数至多两个零点， 因为函数有三个零点，则函数在上有一个零点，在上有两个零点， 当时，令，可得，必有，解得， 所以，，解得； 当时，由，可得或， 所以，，解得. 综上所述，实数m的取值范围为. 故选：C. 2．（24-25高一上·四川·期末）已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，在上单调递减，函数值的集合为， 当时，在是单调递增，函数值的集合为， 在上单调递减，函数值的集合为，而， 由函数有两个零点，得或，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：C 3．（24-25高一上·海南·期末）若函数没有零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，恒成立，要使没有零点， 所以，时，恒成立，即恒成立， 所以，即实数的取值范围是. 故选：A 4．（24-25高一上·山西晋城·阶段练习）已知，若函数有四个零点a，b，c，d，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】作出的大致图象如图所示， 由图象可得，，， 由，得，即，得， 所以， 令，因为此函数在上单调递减， 所以， 故， 故选：. 5．（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数，，若， 则的零点个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】由题设，函数大致图象如下， 其中当趋近于时，；当趋近于时，， 判断的图象与直线的交点个数： 由图知，时它们有3个不同的交点， 所以函数的零点个数为3. 故选：B 6．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数，若函数存在5个零点，则（    ） A．1 B． C．1或 D． 【答案】B 【详解】作出函数的图象如图，    已知有5个零点， 即方程有5个实数根， 令，则有两个实数根，； 由的图象可知，当，时，有两个实数根，有三个实数根，可满足有五个零点. 将代入中，得，解得或， 又因为，所以当时，，不满足题意；当时，，满足题意， 故选：B. 7．（24-25高一下·广西崇左·阶段练习·多选）已知函数.则下列说法正确的是（ ） A．的值域为 B．，则 C．当且时，有2个零点，则 D．若在上单调递减，则的取值范围为 【答案】BCD 【详解】对于A，，当时，，A错误； 对于B，，解得，B正确； 对于C，有2个零点，即直线与的图象有两个交点， ，当时，单调递减，，函数有一个零点， 函数在时必有一个零点，当时，， 因此，解得，C正确； 对于D，由函数在上单调递减，得，解得，D正确. 故选：BCD 8．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测·多选）已知函数，则（   ） A．的零点个数为2 B．当时，有2个不同的零点 C．当时，有4个不同的零点 D．是有1个零点的充要条件 【答案】BC 【详解】对于A，当时，，当且仅当取等号， 当时，由，，解得，因此的零点个数为1，A错误； 对于B，当时，由，得或， 当时，在上单调递增，，， ，则由，得；由，得，有2个不同的零点，B正确； 对于C，令，由，得，， 当时，方程有两个不等实根，则， ，，因此，函数的图象，如图： 直线与的图象有两个交点，则方程有两个不等的负根， 直线与的图象有两个交点，则方程有两个不等的正根， 因此有4个不同的零点，C正确； 对于D，当时，由选项C知，方程有两个不等实根， 则，，，因此， 观察图象知，直线、与的图象没有交点，即无零点，D错误. 故选：BC 9．（24-25高二下·山东泰安·期末·多选）已知函数，则下列选项正确的是（   ） A．若函数，则的定义域为 B．函数的值域为 C．若直线与函数的图象有且只有4个公共点，则实数k的取值范围为 D．函数的所有零点之和为 【答案】ABD 【详解】A：由题设，则定义域为，对； B：当时，当时，即为周期函数，故值域也为，对； C：由解析式可得函数图象如下，则直线与图象有且只有4个公共点， 若过则，过则， 结合图知，且，错； D：令，可得，结合周期性及函数图象知， 在上的零点有、、， 所以，所有零点的和为，对. 故选：ABD 10．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习·多选）已知函数，若有三个不等实根，，，且，则（ ） A．的单调递增区间为 B．a的取值范围是 C．的取值范围是 D．函数有4个零点 【答案】ACD 【分析】作出函数的图象，如图所示： 对于A，由图象可得的单调递增区间为，故A正确； 对于B，因为有三个不等实根，即与有三个不同交点，所以，故B不正确； 对于C，则题意可知：，，所以， 所以，故C正确； 对于D，令，则有，令，则有或， 当时，即，即，解得； 当时，即，所以或，解得，或或， 所以共有4个零点，即有4个零点，故D正确． 故选：ACD． 11．（24-25高一下·河南·开学考试）已知函数，若函数有5个不同的零点，则实数的取值范围是 【答案】 【详解】根据可得如下函数草图， 令，结合以上函数图象， 时，有一个解； 或时，有两个解； 时，有三个解； 而有两个不同零点（）且，， 由共有5个零点，则有或， 当时，，且满足题设； 当时，，可得； 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 12．（24-25高一下·上海宝山·期末）已知函数有唯一的零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由，可得是唯一的零点， 所以在上无零点，又在定义域上单调递增， 所以，故只需. 故答案为：. 13．（24-25高一下·安徽安庆·期末）已知函数，且的所有零点按照从小到大的顺序排列依次为，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】令函数，函数的图象，如图所示， 由题意知，的零点为的图象与的交点横坐标，且 令，解得，结合函数图象，可得，所以， 因为，所以， 所以的取值范围为. 故答案为：. 14．（24-25高二下·天津河东·期末）已知函数，若函数恰有两个零点， 则k的取值范围为 ． 【答案】 【详解】则在上为减函数，在上为增函数， 当时，，， 此时两个函数值相等， 当时，，此时， 当时，，此时， 即函数 若函数恰有两个零点， 则，即恰有两个根， 函数与的图象有两个不同的交点， 作出函数与的图象， 由图象知若两个图象有两个不同的交点， 则，故实数的取值范围是， 故答案为：. 考点三 利用导数探究零点个数问题 【知识点解析】 1.零点存在性定理 如果函数在区间上的图像是一条连续不断的曲线，且，那么函数在区间内至少有一个零点. 即存在，使得，这个就是方程的解. ① 若，则的零点不一定只有一个，可以有多个 ② 若，那么在不一定有零点 ③ 若在有零点，则不一定必须异号 ③若在上是单调函数且连续，则在的零点唯一. 2.零点唯一性 如果函数在区间上的图象是连续不断且单调的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有唯一零点 3.求零点问题的方法 ①参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数 的图象的交点问题. ②直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后探究极值的正负，进而将问题转化为函数图象与轴的交点问题. 【例题分析】 考向一 利用导数证明零点数量 1．（24-25高二下·安徽阜阳·期末）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】函数，， 当单调递减； 当单调递增； ， ， 所以；； 所以函数的零点个数为2. 故选：C. 2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)证明：在上有且仅有一个零点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意有，， 所以，所以切线方程为， 即切线方程为：； （2）令，所以， 令有或，当时，由有或， 由有得或，由有， 所以在单调递减，在单调递增， 又， 所以，使得，当时，，即， 当时，，即，所以在单调递增，在单调递减， 又， 所以在上有且仅有一个零点. 3．（24-25高二下·陕西安康·期末）函数的定义域为． (1)证明：时，单调递增； (2)证明：时，有唯一零点； (3)若，求． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）， 则时，， 所以单调递增． （2）当时，是单调递增函数． 取，则，所以，从而． 取正数且，那么，从而． 由零点存在定理，存在． 又是单调增函数，所以有且仅有一个零点． （3）注意到，若，由（1）可知，与题干矛盾． 因此必有，由（2）知只需． 因为，所以， 代入，消去得． 记函数，则，即， 所以单调递增，单调递减． 所以，若，仅有，所以． 4．（24-25高三下·浙江·开学考试）已知函数是奇函数． (1)求a； (2)求曲线在点处的切线方程； (3)证明：函数有且仅有1个零点． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）∵函数是奇函数， ∴，即， ∴，即对定义域内任意恒成立， ∴，解得或（舍）， ∴，此时， 由得定义域为，符合题意. （2）由（1）得，， ∴，， ∴，故曲线在点处的切线方程为，即. （3）∵， ∴函数的定义域为，，， ∵，∴，，， ∴，故在上为增函数， ∴有且仅有1个零点，零点为0. 5．（2025·江西景德镇·模拟预测）(1)证明：在上恒成立. (2)若，证明：函数在上恰有1个零点. (3)试讨论函数在上的零点个数. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)答案见解析 【详解】（1）证明：令函数，，则， 所以在上单调递增， 则，即在上恒成立. （2）证明：因为，所以在上单调递增. 由（1）得在上恒成立，故在上恒成立， 所以， 因为，故取，取， 则， 而，所以在上有1个零点， 即在上恰有1个零点. （3）令，即，等价于. 记，. 在上的零点个数即在上的零点个数. 是的1个零点. 因为， 所以是奇函数，则在和上的零点个数相同. ，因为在上为减函数， 故在上单调递增. 当时，，故在上单调递增. 因为，所以在上恒成立，即在上没有零点， 所以在上只有1个零点. 当时，由（2）可得在上恰有1个零点，记该零点为. 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 而，故，取，则， ， 结合在上的单调性可得在上有1个零点， 即在上有1个零点，所以在上有3个零点. 综上，当时，在上只有1个零点； 当时，在上有3个零点. 6．（2025·江西·二模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：时，； (3)判断函数的零点个数. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)2. 【详解】（1）函数，求导得， 则，而， 所以所求切线方程为，即. （2）不等式， 令函数，即， 而，求导得 ，则函数在上单调递增，， 所以. （3）函数的零点个数，即方程根的个数， 而时，方程不成立，则原函数零点个数即为方程根的个数， 令，原函数零点个数即为函数的零点个数， 当时，，而，则， 因此函数在时无零点； 当时，，函数在上单调递增， ，因此函数在时只有一个零点0； 当时，令，求导得， 显然函数在上单调递增，而，， 则存在使得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，又， 则存在，使得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而，因此函数在上只有一个零点； 当时，，即， 因此函数在时无零点， 所以函数有2个零点，即函数的零点个数为2. 7．（24-25高二下·河北·期末）已知函数． (1)已知，证明：函数在上单调递减； (2)已知，证明：； (3)当时，令，证明：在上恰有一个零点． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）， 令，则， 令，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 在处取得极小值，也是最小值，所以． 所以，又因为，所以，又，所以，所以函数在上单调递减； （2）因为由（1）知：当时，函数在上单调递减， 又，所以， 所以，所以， 令，则， 令，解得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 在处取得极大值，也是最大值，所以， 所以，所以即，当且仅当时，等号成立； 因为，所以，所以， 所以； （3）因为，， 所以，令，则， 当时，，，所以在上单调递增， 又，，， 所以由零点存在定理，存在唯一的使， 所以当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 又，，，，，又， 由零点存在定理可知，存在唯一的使 当时，，，在区间上无零点． 综上，在上恰有一个零点 考向二 利用零点数量求参数范围 1．（24-25高二下·山东烟台·期末）若函数存在两个不同的零点，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的定义域是， ， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 因为，且， 所以要使函数存在两个不同的零点， 则需，解得. 故选：B 2．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数有且仅有3个零点，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，令函数，其定义域为， ，函数为奇函数， 依题意，直线与函数的图象有且仅有3个交点， 求导得，函数在上单调递减， 曲线在点处的切线方程为，令， 求导得，函数在上单调递减， 当时，；当时，， 即当时，；当时，；当时，， 作出的图象，如图： 观察图象知，当时，直线与函数的图象有且仅有3个交点， 所以m的取值范围是. 故选：B. 3．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知函数有唯一零点，则实数（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】当时，则，， 由知，，则函数在区间单调递增； 当时，则，， 由知，，则函数在区间单调递减； 所以函数的最小值为，且当无限趋近于无穷大时，无限趋向于正无穷大， 当无限趋近于0时，无限趋向于正无穷大， 所以函数有唯一零点，则需， 所以. 故选：D 4．（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）已知函数在上仅有一个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，所以在上只有一解， 设，则，由得， 时，，单调递减，时，，单调递增， 所以在上，， 又时，，时，， 所以，的取值范围是， 故选：C． 5．（23-24高三上·辽宁大连·期中）函数，若函数有2个零点，则a的取值范围 . 【答案】 【详解】函数的定义域为R，由，得， 令函数，求导得， 当时，单调递减，当时，单调递增， 则，又当时，；当时，， 由函数有两个零点，得直线与函数的图象有两个交点， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图： 观察图象知，当且仅当时，直线与函数的图象有两个交点， 所以的取值范围是. 故答案为： 6．（2025·广西北海·模拟预测）若函数有两个极值点，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】的定义域为， 因为有两个极值点，所以函数在上有两个变号零点， 令，则， 即，所以，令， 所以将函数的零点问题转化为的图象和直线的交点问题， 求导得， 令，则， 易知在上单调递增，在上单调递减， ，则恒成立， 所以当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增， 所以，又因为， 则的图象如图所示，要使的图象和直线有两个交点， 由图象知，即，所以的取值范围为． 7．（24-25高二下·四川遂宁·期中）已知函数与的图象有两个交点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由，得，且， 由，则， 若，则，此时，在上单调递增，至多有一个零点，不满足题意. 若，设，则，所以在上单调递增， 由，有，所以有唯一实数根，设为，即， 当时，，，则在单调递减， 当时，，，则在单调递增， 所以当时，， 由可得，即，即， 所以， 又当时，，当，指数函数增加的速度比对数函数增加的速度快得多，可得， 所以函数有两个不同零点，则， 设，则， 当时，有，则在上单调递增. 当时，有，则在上单调递减. 又当时，，，， 所以当时，，当时，， 所以的解集为， 故答案为： 8．（24-25高二下·江苏·阶段练习）已知函数． (1)若，求的极值点； (2)讨论的单调性； (3)若有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)极小值点为，无极大值点 (2)答案见解析 (3) 【详解】（1）由，则，求导可得， 令，解得，由得，由得， 所以函数极小值点为，无极大值点. （2）由，求导可得， 化简可得， 当时，易知，所以函数在上单调递减； 当时，令，解得， 由得，由得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）易知当时，函数不存在两个零点； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的最小值为，令得， 易知函数在上单调递增，则得， 由，当时，， 所在函数在与分别存在一个零点， 故的取值范围为. 9．（24-25高二下·上海·期末）设函数（）． (1)当时，求的极值； (2)当时，讨论的单调性； (3)若只有一个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)极大值为，没有极小值 (2)答案见解析 (3)或 【详解】（1）当时，，令，解得， 当时，，时，， 所以在上为增函数，在上为减函数，， 所以当时，的极大值为，没有极小值． （2）， ， ①当时，，则在上为增函数； ②当时，在区间及上有，在区间上有， 故当时，在及上为增函数，在上为减函数； ③当时，在区间及上有，在区间上有， 故当时，在及上为增函数，在上为减函数． （3）由（2）知： ①当时，在上为增函数，且， 则在上只有一个零点； ②当时，在及上为增函数，在上为减函数， 故的极大值为， 且， 令， 则， 在上为减函数，， 所以时，，即， ，则只有一个零点， ③当时，在及上为增函数，在上为减函数， 故的极大值为， 且， 令，且， 则，则在上为增函数， 故时有， 即，则只有一个零点； ④当时，在上为增函数，在上为减函数； ， 因为只有一个零点，所以，； 综上所述，当或时，只有一个零点． 10．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数． (1)若，证明：函数在上单调递增； (2)若函数有三个零点，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）当时，，则， 要证函数在上单调递增，只要证明在上恒成立， 令， 因为，令， 解得， 由，得，此时函数单调递增， 由，得，此时函数单调递减， 所以当时，取得最小值， 因为，所以恒成立， 即在上单调递增； （2）方法一：令，等价于， 设， 当时，没有零点； 当时，， 当时，，函数单调递增， 因为， 所以函数在上有一个零点； 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，的最小值为， 若．即在上没有零点； 若，即在上有一个零点； 若，即， 因为，当时，， 所以在上有两个零点； 综上，当时，有3个零点. 方法二：当时，恒成立，没有零点，故， 当时，单调递增，单调递减， 故在上单调递增， 且当时，， 故在上有唯一零点， 所以在上有三个零点等价于在上有两个零点， 当时，由， 即，得， 令，则， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 故当时，， 且当时，，当时，， 故要使在上有两个零点， 则只要即可，解得； 综上，当时，有3个零点. 11．（24-25高二下·福建宁德·期末）已知：函数 (1)求在区间上的最大值和最小值； (2)令，若函数在上有三个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)最大值为2，最小值为 (2) 【详解】（1）由，得，     解得，     ，故舍去 当时，，当时，； 在上单调递增，在上单调递减；     ，，；     在区间上的最大值为2，最小值为. （2）解法一：在上有三个零点， 则时，解得，     当时，，当时，，当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，     的极大值为，极小值为；     当时，，当时，； 要使在上有三个零点，则     .     解法二：在上有三个零点， 即在上有三个解，     设 则时，解得，， 当时，，当时，，当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，     的极大值为，极小值为；     当时，，当时，； 要使在上有三个零点，则. 12．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）已知函数． (1)若曲线在点处的切线方程为，求，； (2)若有三个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以． 因为，，所以， 解得； （2）因为有三个零点，且， 所以关于的方程有三个不同的根， 即曲线与直线有三个交点． 令， 则． 因为， 所以在，上单调递减，在上单调递增． 因为，所以当时，直线与曲线有三个交点， 故实数的取值范围是． 13．（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·期末）已知函数. (1)求的解析式； (2)若在内有两个零点，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）函数， 则，，解得， 所以的解析式为. （2），， 则， 由，得；由，得， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值， 要使在内有两个零点，当且仅当， 即，解得， 所以实数m的取值范围为. 14．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【详解】（1）当时，，点在函数图象上， 由得，， 则在点处的切线方程为，即. （2）定义域为， ， 当时，恒成立，在上单调递减， 当时，当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减， 当时，则在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）知，当时，在上单调递减， 则在上最多一个零点，故不满足有两个零点，舍去； 当时，则在上单调递减，在上单调递增， 在处取得极小值，也是最小值，即， 设，则， 故在上单调递增，又； 当时，， 又， 故在上有一个零点； 当，由可得即，得，则， 故，即， 设，所以， 当时，，当时，， 所以当时函数取得最小值，最小值为，即， 则，即， 因此在上也有一个零点． 当时，，故此时没有两个零点； 综上，若有两个零点，实数的取值范围为. 考点四 利用零点证明不等式 【知识点解析】 利用零点证明不等式，核心思路是构造辅助函数，通过分析函数的零点（即函数值为 0 的点）、单调性、最值等性质，结合函数值的符号来推导不等式关系. 1. 核心原理：零点与函数符号的关联 （1）辅助函数的构造 若要证明不等式（或 ）在区间 上成立，可构造辅助函数： . 此时不等式等价于证明（或 ）在上成立. （2）零点的作用 ①若在  上有零点 （即），可通过分析在两侧的单调性和符号，证明 在零点附近及整个区间非负（或正）. ②若 在 上无零点，可结合端点值或极限值的符号，结合单调性证明其恒正（或恒负）. 2. 具体步骤：从构造到证明 （1）构造辅助函数：将不等式两边移项，得到. （2）求导分析单调性：计算，确定 的单调区间（递增 / 递减）. （3）寻找零点或端点值： ①若有零点，验证是否为最值点（如极小值点），若且在该点取最小值，则. ②若无零点，结合端点的函数值、 或极限值的符号，结合单调性证明恒正（或恒负）。 （4）结论转化：由 （或）反推原不等式成立. 【例题分析】 1．（24-25高二下·天津·期末）已知函数：． (1)若当时，恒成立；求实数a的取值范围； (2)若关于x的方程有两个不同实数根；且， （i）求实数a的取值范围； （ii）求证：． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【详解】（1）若当时，恒成立， 即恒成立，即在上恒成立， 令，则 所以当时，单调递增， 当时单调递减， 所以，所以，即a的取值范围是． （2）（i）若关于x的方程有两个不同实数根， 即有两个不同实数根， 等价于与的图象有两个交点， 因为， 所以当和时，，单调递增， 当时，，单调递减， 且当时，，当时，， 所以，作出函数的图象： 所以直线与的图象有两个交点的a的取值范围是． （ii）方法（一）由（i）知，，由（1）知， 因为，所以， 设的根为，即，所以， 从而，所以， 令，则， 所以当时，单调递增， 从而，从而． （ii）方法（二）由（i）知，，构造函数 则令 则再令 ， 所以当时，，从而单调递增， 因为， 所以存在，满足， 此时当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 又因为 所以存在满足 当时，，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 又，所以在上恒成立， 即， 设的根为，即， 则，从而有， 又由得，，从而， 又由（1）知，，设的根为，即 所以，从而，所以． 2．（24-25高二下·湖北·阶段练习）已知函数. (1)当时，求的单调增区间； (2)已知有两个零点，. ①求实数a的取值范围； ②证明：. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【详解】（1）当时，， ， 因为，所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，的单调增区间为； （2）①因为函数， 即有两个零点，求实数a的取值范围， 令，得，令， 转化为与的图象有两个交点求实数a的取值范围， ，当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 且，当时，，， 可得的图象如下， 所以实数a的取值范围为； ②由，得，两式相加变形得：， 由，得，由，得， 不等式 ， 令函数，则，函数在上单调递增， 因此原不等式等价于， 由，得，即，则， 而在上单调递减，因此， ， 令函数，求导得， 令函数，求导得， 则在上单调递增， 则，即，则函数在上单调递减， 因此，所以成立. 3．（24-25高二下·贵州毕节·期末）已知函数． (1)判断函数的零点个数； (2)若存在两个零点，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）函数的定义域为，则，因为， 所以，故当，当，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减． 故函数的极大值， 而， 所以当时，，函数的零点个数为0个； 当时，，函数的零点个数为1个； 当时，，函数的零点个数为2个． （2）当时，由（1）知，存在两个零点，且． 因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，又因为：，，，所以，故． 设， 则，所以函数在区间上单调递增， 又，所以，即， 因为，则， 又，所以，而， 又在上单调递增，故：，所以． 综上，． 4．（24-25高二下·安徽蚌埠·期末）已知函数，． (1)若，求函数的图象在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若函数在区间存在两个不同零点，，证明： ． 【答案】(1) (2)答案见详解 (3)证明见详解 【详解】（1）由，即，得， 则，得， 所以点处的切线方程为，即． （2）依题意可得， 令，得或， 当时，若时，，则在上单调递增， 若时，，则在上单调递减， 若时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递增； 当时，若时，，则在上单调递增， 若时，，则在上单调递减， 若时，，则在上单调递增． 综上，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为 ； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为． （3）证明：不妨设， 根据（2），若存在、是函数在区间的两个不同零点， 则，且，得，， 则， 又在上单调递增， 则， 又，所以只要证明即可． 设， 则， 所以在上单调递增， 所以， 所以当时，成立， 即当时，成立， 即成立， 即成立． 5．（24-25高二下·河北·期末）（1）证明：函数有且仅有一个零点，记该零点为，则． （2）证明：． （3）证明：． 【答案】（1）证明见解析 ；（2）证明见解析；（3） 证明见解析. 【详解】证明：（1）的定义域， 则，所以在上单调递增． 易证函数是增函数，且有且仅有1个零点 若满足，则，所以， 所以函数有且仅有一个零点，且． （2）令，则． 令，则， 所以在上单调递增， ． 因为， 所以，即， 所以． 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， ． 令，面积， 所以在上单调递增． 因为，所以，即， 所以． （3）令，则． 令，则． 又，且结合（2）可得，，所以在上单调递增． 若满足，则， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， ， 所以． 6．（24-25高二下·山东聊城·期末）已知函数，． (1)若，求的极值； (2)若有两个极值点，，当时，证明：． 【答案】(1)的最小值是，无最大值； (2)证明见解析. 【详解】（1）由题意的定义域为， 且， 因为恒成立， 所以在上单调递增， 又，所以时，，时，， 即在上递减，在上递增， 所以的最小值是，无最大值； （2）的定义域为， ， 因为是的两个极值点， 所以是方程的两个正根，且， 由得， ， 令， 则， 所以在上单调递减，故， 即 7．（24-25高二下·山东威海·期末）已知函数. (1)若在上单调递减，求的取值范围； (2)若有两个不同的零点，， （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【详解】（1）若在上单调递减， 则对任意恒成立， 即对任意恒成立， 令，因为在上单调递增，所以的最小值为， 所以. （2）（i）法一：， 令，则，判别式，且两根之积为， 故该方程有唯一正根，设为， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 又当时，； 当时，； 若有两个不同的零点，则， 所以， 又因为，所以， 令，则， 所以在上单调递增，因为，所以， 由于函数均为上的单调递增函数，故在上单调递增， 所以，所以. （ii）不妨设，因为，可得， 因为，，所以， 令，则， 令， 则， 当时，，所以在上单调递增，又， 所以当时，，即， 又因为，所以， 因为，所以， 对于，， 当时，，所以在上单调递减， 因为，，所以， 又因为当时，，所以， 所以. 法二：（i）若有两个不同的零点，，则有两个不等的正根， 即有两个不等的正根， 令，，则， 当时，故，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增， 所以， 当时，；当时，；所以. （ii）不妨设，由（i）知，则， 令， 则， 当时，，可得在上单调递增， 又，所以当时，，即， 又因为，所以， 因为，所以， 由（i）知在上单调递减， 因为，，所以， 又因为当时，，所以， 所以. 8．（24-25高二下·四川乐山·期末）已知函数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数有两个零点，记作，. （ⅰ）求参数的取值范围； （ⅱ）若，证明：. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【详解】（1）当时，， 则，. 又，在处的切线方程为. （2）（ⅰ）由题知，在上有两个根，， ，即. 令，则. 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ， 所以问题转化为在上有两个根. 易知，故， 令，则. 当时，，单调递增 当时，，单调递减. 又，时，，时，， 且时，；时，， ，解得，即参数的取值范围为. （ⅱ）由（ⅰ）知，，两式相减得 ， 要证， 即证， 即证， 即证， 令，即证在上恒成立. 令， ， 令， ， 在上单调递增， ， ，则在上单调递增. ， ，得证， . 课后提升训练 1．（24-25高一下·云南玉溪·期末）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知，因为都是R上的增函数， 所以函数是连续的增函数， 易知，， 可知，故函数的零点所在的区间是， 故选：C． 2．（24-25高一下·四川遂宁·期末）函数，则在内零点个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】 ， 即或，又， 所以或， 故在内零点个数为6. 故选：B. 3．（24-25高二下·四川雅安·期末）函数的零点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】由题意令有，解得或， 所以的零点为和，所以有2个零点. 故选：C. 4．（24-25高一下·河南南阳·期末）函数在上的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】. ，. 令得，∴或或. 所以或或 故选：C. 5．（24-25高二下·北京延庆·期末）若函数有且仅有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知有两个解， 即有两个解， 设， 则直线与函数有两个公共点， 又， 可知当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 且当时，，， 作出函数图象如图所示， 所以当直线与函数有两个公共点， 则， 故选：A. 6．（24-25高二下·山西吕梁·期末）已知函数若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】易知当时，函数单调递增，且； 当时，易知函数在上单调递增， 当时，，当，时，， 若函数恰有2个零点， 即函数的图象与有两个交点，由图可知； 当时，函数，显然函数的图象与没有交点，不合题意； 当时，根据对勾函数性质可知，当且仅当时等号成立； 显然函数的图象与没有交点，不合题意； 综上可知，实数的取值范围是． 故选：B 7．（24-25高二下·吉林长春·期末·多选）已知函数，则（   ） A．是增函数 B．有且仅有1个零点 C．的图象关于原点对称 D．既有极大值又有极小值 【答案】AB 【详解】对于A，因为，所以， 而，则，即是增函数，故A正确， 对于B，由题意得，结合已知得是增函数， 则有且仅有1个零点，故B正确， 对于C，因为， 所以，即， 可得的图象不关于原点对称，故C错误， 对于D，因为是增函数，所以无极值，故D错误. 故选：AB 8．（2025·江苏南通·模拟预测·多选）已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点，则（    ） A． B． C．的最小值为 D． 【答案】ABD 【详解】对于A选项，由，得. 当时，有极小值. 因为的极值点是的零点. 所以，又，故，A对； 对于B选项，因为有极值，故有两相异实根， 由得，且，得. 此时有两个相异的实根，. 列表如下 极大值 极小值 故的极值点是、，从而，B对； 对于C选项，由A选项知，. 设，则. 当时，，从而在上单调递增. 因为，所以，故，即，则，C错； 对于D选项，由A选项可知，D对. 故选：ABD. 9．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知函数若只有一个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】函数只有一个零点，则函数和只有一个交点， 作出与的图象，如图所示．由图象可知， 当只有一个零点时，实数的取值范围为． 故答案为：. 10．（24-25高二下·天津·期末）函数，若恰有三个零点，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为函数为分段函数，第一段函数为. 令，则，解得. 第二段函数为. 要使得第二段函数有零点，则. ①当时，第一段函数有两个零点，那么为了满足题目要求，第二段函数只有一个零点， 所以在上只有一个零点. 此时抛物线开口向下，对称轴为，所以，解得. 所以满足题意. ②当时，第一段函数只有一个零点，那么为了满足题目要求，第二段函数有两个零点， 此时在上有两个零点. 所以. 当时，，，解得，或者， 且满足，解得. 此时的范围为. 当时，，解得，或者， 此时的范围为空集. 综上，的范围为. 故答案为：. 11．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）已知函数，，则函数的零点个数为 . 【答案】3 【详解】当时，，所以0是的零点， 当时，， 因为均在上单调递增，所以在上单调递增， 又，，则， 所以在上有且仅有1个零点， 当时，，易知在上单调递减， 又，则， 所以在上有且仅有1个零点， 综上，的零点个数为3. 故答案为：3. 12．（24-25高二下·天津·期末）已知函数有零点，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由函数有零点，即方程有实根. 由可得或，设，则得，即得. 令，当时，或，由可得； 当时，，则函数在上单调递增， 又，当时，，故需使. 综上，可得实数m的取值范围为. 故答案为：. 13．（24-25高二下·广东广州·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)判断的零点个数，并说明理由. 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析. 【详解】（1）由，求导得：， 当时，，当或时，， 所以在,上单调递减，在上单调递增; （2）由得，，根据（1）的单调性结合极小值点， 可作出函数图象， 所以当，即时，可判断的零点个数为2； 当或，即或时，可判断的零点个数为1； 当，即时，可判断的零点个数为0， 综上可得：当时，的零点个数为2； 当时的零点个数为0；当或时，的零点个数为1. 14．（24-25高二下·山西太原·期中）已知函数. (1)求函数的极值； (2)若函数恰有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2)或. 【详解】（1）由题设， 当或，，在、上单调递增， 当，，在上单调递减， 所以极大值为，极小值为. （2）由时，趋向于，时，趋向于，且， 结合（2）知，在上，且，    要使函数恰有两个零点，则或. 15．（24-25高三下·湖南·阶段练习）已知函数. (1)当时，有两个零点，求的取值范围； (2)若是的极小值点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）, 令， 当时，在上单调递减，又因为， 当时，，， 当时，，， 所以在上单调递增，在上单调递减， ， ①若，即，则，至多有一个零点，不合题意； ②若，即，因为当趋于负无穷时，趋于负无穷， 所以在上有一个零点，, 又在上单调递减，，所以由零点存在性定理知， 所以在上有一个零点，所以在上有两个零点，符合题意. 综上：. （2）因为，，在上单调递增，， ①当时，，存在，使得时，， 当时，，， 当时，，， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，不合题意； ②当时，，存在，使得时，， 当时，，， 当时，，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极小值点，符合题意； ③当时，，， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 又因为，所以，即恒成立， 所以在上单调递增，无极值点，不合题意. 综上：. 16．（24-25高二下·山西太原·期中）已知函数，. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若在上有零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)1 (3)1 【详解】（1）当时，，， 则， 所以， 所以曲线在点处的切线方程， 即； （2） ①当时，即时， 易知的解集为，，的解集为， 所以在，单调递增，在单调递减； ②当时，即，恒成立， 所以在上单调递增； ③当时，即， 易知的解集为，，的解集为， 所以在，单调递增，在单调递减； ④当，即时， 由可得：，由，可得：， 所以在单调递增，在单调递减； 综上：时，在，单调递增，在单调递减； 时，在上单调递增； 时，在，单调递增，在单调递减； 时，在单调递增，在单调递减； （3）由（2）得当时，在上递增，，此时在上无零点，不合题意； 当时，在上递减，在上递增，，取时， 证明不等式，， 设，，则，， 设，，则， 则在上单调递增，则，即在上恒成立， 则在上单调递增，则，即，， 用替换得， 则， ， ， ，使得符合题意； 综上，的取值范围为． 17．（24-25高二下·云南丽江·阶段练习）已知函数． (1)当，求在点处的切线方程； (2)若，且， （ⅰ）求的极值； （ⅱ）当时，判断零点个数，并说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ）答案见解析；（ⅱ）答案见解析 【详解】（1）当时，，，，， 所以切线方程为：， 即：； （2）（ⅰ）函数的定义域为，且， 所以，则， 当，所以恒成立，所以在上单调递减， 在无极值， 当时，由得： ∴，，，， 即在单调递增，在单调递减， 所以时取得极大值为，无极小值 所以，综上所得：当时，在无极值， 当时，取得极大值为，无极小值． （ⅱ）令，即， 因为，所以， 所以判断的零点个数，即判断的零点个数， 又， 因为，所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减 所以，令，则 则令，，则，， 所以， 所以在上单调递减，．所以，当且仅当时等号成立， 所以当时有一个零点，即有一个零点， 当时无零点，即无零点， 综上所得当时有一个零点，当时无零点． 18．（24-25高二下·河南三门峡·阶段练习）已知函数. (1)证明：曲线在处的切线恒过定点； (2)已知有两个零点，且，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）由题意得： 所以，因为， 所以曲线在处的切线方程为. 整理得：. 令，解得， 所以曲线在处的切线恒过定点. （2）因为，，， 所以，， 即，； 当时，方程只有一解，不满足题意； 当时，两式相比得，.令，因为，所以， 所以，解得，， 所以， 令，则， 令，则 所以在上单调递增.因为h（1）=0且，所以， 所以，在上单调递增，所以， 所以. 因为， 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$