第1章 2.1 第1课时 必要条件与充分条件-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步Word教案（北师大版2019）

§2　常用逻辑用语 2．1　必要条件与充分条件 第1课时　必要条件与充分条件 课程标准 素养解读 1.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系 2．通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系 通过对充分条件、必要条件的学习和理解，体会充分条件、必要条件在数学表达、论证等方面的作用，重点提升逻辑推理素养与数学抽象素养 [情境引入] 某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，任意一个开关都能够独立控制这盏灯．这就是电器上常用的“双刀”开关，如图所示． (1)A开关闭合时B灯一定亮吗？ (2)B灯亮时A开关一定闭合吗？ 提示：(1)一定亮． (2)不一定，还可能是C开关闭合． [知识梳理] [知识点一]　充分条件与必要条件　 1．定义 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p　⇒　q p　⇒/__　 q 条件 关系 p是q的　充分　条件 q是p的　必要　条件 p不是q的　充分　条件 q不是p的　必要　条件 2.本质：当命题q⇒p是真命题时，条件p与结论q之间的逻辑称谓． 3．应用：充分条件、必要条件是两个常用的逻辑用语，数学学科中大量的命题用它们来叙述． 1.p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？ 提示：相同，都是p⇒q. 2．以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？ 提示：这五种表述形式是等价的． [知识点二]　判定定理、性质定理与充分条件、必要条件的关系　 1．数学中的每一条　判定　定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 2．数学中的每一条　性质　定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． [预习自测] 1．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既充分又必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[当x＝0时，(2x－1)x＝0.当(2x－1)x＝0时，x＝或x＝0.∴“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的必要不充分条件．] 2.＝的一个充分条件是(　　) A．a≥0，b≥0　　　　　 B．a＞0，b＞0 C．a≤0，b≤0 D．a≤0，b＜0 解析：B　[当a＞0，b＞0时，＝成立；而当＝成立时，a≥0，b＞0.] 3．用符号“⇒”“⇒/ ”填空． (1)x2＝y2　________　x＝y； (2)内错角相等　________　两直线平行． 解析：(1)当x，y互为相反数时有x2＝y2但x≠y； (2)是平行线判定定理． 答案：(1)⇒/ 　(2)⇒ 　必要条件的判断 [例1] 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1)若一个四边形是等腰梯形，则这个四边形两条对角线相等； (2)若△ABC是直角三角形，则△ABC是等腰三角形； (3)若＝，则x＝y； (4)若关于x的方程ax＋b＝0((a，b∈R)有唯一解，则a>0. [思路点拨]　找到条件和结论的关系，是判断必要条件的关键． 解：(1)等腰梯形的两条对角线相等．因此，p⇒q， 所以q是p的必要条件． (2)直角三角形不一定是等腰三角形． 因此p⇒/ q，所以q不是p的必要条件． (3)若＝，则x＝y是真命题． 因此p⇒q，所以q是p的必要条件． (4)命题“若关于x的方程ax＋b＝0(a，b∈R)有唯一解，则a>0”为假命题，因此p⇒/ q，所以q不是p的必要条件． 必要条件的两种判断方法 (1)定义法： (2)命题判断方法： 如果命题：“若p，则q”是真命题，则q是p的必要条件； 如果命题：“若p，则q”是假命题，则q不是p的必要条件． [变式训练] 1．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1)若两个三角形全等，则这两个三角形对应边上的中线相等； (2)若∠α＝60°32′，则∠α的余角是29°28′； (3)若有三条线段长分别为3 cm、4 cm和9 cm，则这三条线段能组成三角形； (4)若a和b都是偶数，则a×b是偶数． 解：(1)该命题是真命题，p⇒q，所以q是p的必要条件． (2)因为∠α＝60°32′， 所以∠α的余角为90°－60°32′＝29°28′. p⇒q，所以q是p的必要条件． (3)因为3＋4<9，所以长分别为3 cm、4 cm和9 cm的三条线段不能组成三角形，所以p⇒/ q， 所以q不是p的必要条件． (4)两个偶数的乘仍是偶数． 所以p⇒q，所以q是p的必要条件． 　充分条件的判断 [例2] 判断下列各题中，p是否是q的充分条件： (1)p：a∈Q，q：a∈R； (2)p：a<b，q：<1； (3)p：x>1，q：x2>1； (4)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC. [思路点拨]　分清命题的条件和结论，判断是由条件推出结论，还是由结论推出条件． 解：(1)由于QR， 所以p⇒q，所以p是q的充分条件． (2)由于a<b，当b<0时，>1； 当b>0时，<1， 因为p⇒/ q， 所以p不是q的充分条件． (3)由x>1可以推出x2>1.因此p⇒q， 所以p是q的充分条件． (4)由三角形中大角对大边可知，若∠A>∠B，则BC>AC.因此p⇒q，所以p是q的充分条件． 充分条件的两种判断方法 (1)定义法： (2)命题判断方法： 如果命题：“若p，则q”是真命题，则p是q的充分条件； 如果命题：“若p，则q”是假命题，则p不是q的充分条件． [变式训练] 2．命题“2x2－5x－3＜0”的一个充分不必要条件是(　　) A．－＜x＜3　　　 B．－＜x＜4 C．－3＜x＜ D．1＜x＜2 解析：D　[由2x2－5x－3＜0，可得(2x＋1)(x－3)＜0，解得－＜x＜3.则不等式的解集为A＝，因此，不等式2x2－5x－3＜0成立的一个充分不必要条件，对应的x的取值范围应该是集合A的真子集，只有选项D满足．] 3．设集合M＝{x|0<x≤2}，N＝{x|0<x≤3}，那么“a∈M”是“a∈N”的　________　条件．(填“充分”或“必要”) 解析：由题意得，M∪N＝N， 所以“a∈M”⇒“a∈N”， 所以“a∈M”是“a∈N”的充分条件． 答案：充分 充分条件与必要条件的应用 [例3]　已知p：实数x满足3a<x<a，其中a<0；q：实数x满足－2≤x≤3.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围． [思路点拨]　依充分条件的定义构造不等式组求解． [解]　p：3a<x<a， 即集合A＝{x|3a<x<a，a<0}． q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}． 因为p⇒q，所以A⊆B， 所以解得－≤a<0. 所以实数a的取值范围是. 利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围 (1)化简p，q两命题． (2)根据p与q的关系(充分、必要条件)转化为集合间的关系．依据如下： p是q的充分条件 p⇒q A⊆B p是q的必要条件 q⇒p B⊆A (3)根据集合间的关系，利用集合端点的大小建立不等式组． (4)求解参数范围． 特别提醒：验证集合为∅时是否符合题意． [变式训练] 4．(1)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件？ (2)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件？ 解：(1)若2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件． 则只要x|x<－⊆{x|x<－1，或x>3}， 即只需－≤－1，所以m≥2. 故存在实数m≥2，使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件． (2)若2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件， 则只要{x|x<－1，或x>3}⊆x|x<－，这是不可能的． 故不存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件． 1．已知x∈R，则“x2＝x＋6”是“x＝”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既充分又必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[由于“x2＝x＋6”，则“x＝±”，故“x2＝x＋6”是“x＝”的必要不充分条件．] 2．(多选)使不等式|x＋1|≤4成立的一个必要条件，但不是充分条件是(　　) A．2≤x≤3　　　　　 B．－6≤x≤3 C．－5≤x≤3 D．－5≤x≤4 解析：BD　[因为|x＋1|≤4⇒－5≤x≤3⇒－6≤x≤3，但－6≤x≤3⇒/ －5≤x≤3. 同理－5≤x≤3⇒－5≤x≤4，但－5≤x≤4⇒/ －5≤x≤3.] 3．“a＝2”是“方程x2－4x＋a＝0有实根”的　________　条件．(用“充分”“必要”填空) 解析：方程x2－4x＋a＝0有实根，需要Δ≥0， 即a≤4， 所以当a＝2时方程有实根．所以是充分条件． 答案：充分 4．已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m，且p是q的充分条件，但不是必要条件，求实数m的取值范围． 解：因为p是q的充分条件，但不是必要条件，所以p⇒q但q⇒/ p，即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m}的真子集， 所以或解得m≥9. 所以实数m的取值范围为{m|m≥9}． 学科网（北京）股份有限公司 $$