第1章 4.2 一元二次不等式及其解法-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步课件PPT（北师大版2019）

§ 4 一元二次函数与二元二次不等式 4.2 一元二次不等式及其解法 第一章 预备知识 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 课堂 互动学案 随堂 步步夯实 02 03 课后 素养提升 04 课前 预习学案 01 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 课程标准 素养解读 1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系 2．掌握图象法解一元二次不等式 3．会对含参数的一元二次不等式分类讨论 通过求一元二次方程的解集及根与系数关系的应用，提升逻辑推理和数学运算素养 [情境引入] 利用恒等式的变形，推导一元二次方程根与系数的关系如下 设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，两根为x1，x2， 令ax2＋bx＋c＝a(x－x1)(x－x2) ＝ax2－a(x1＋x2)x＋ax1x2， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b＝－ax1＋x2，,c＝ax1x2，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－\f(b,a)，,x1x2＝\f(c,a).)) [知识梳理] [知识点一]　一元二次不等式　 1．定义：形如ax2＋bx＋c＞0，或ax2＋bc＋c＜0，或ax2＋bx＋c≥0，或ax2＋bx＋c≤0(其中x为未知数，a，b，c均为常数，且a≠0)的不等式叫做一元二次不等式． 提示：不可以．若a＝0，就不是二次不等式了． 2．一元二次不等式的解集：使一元二次不等式　成立　的所有　未知数　的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集． 1.不等式x2＋eq \f(2,x)>0是一元二次不等式吗？ 提示：不是．一元二次不等式一定为整式不等式． 2．一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省略吗？ [知识点二]　一元二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的解的对应关系　 1．对应关系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq \f(b,2a) 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 　{x|x<x1，或x>x2}　 　eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠－\f(b,2a)))　 　R　 ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 　{x|x1<x<x2}　 　∅　 　∅　 2.本质：一元二次方程、一元二次不等式是—元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当y＝0时，函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)就转化为方程，当y>0或y<0时，就转化为一元二次不等式． 3．应用：①解一元二次不等式；②已知一元二次不等式的解集求参数． 3.当Δ＝0时，不等式ax2＋bx＋c≥0(a>0)与ax2＋bx＋c≤0(a>0)的解集分别是什么？ 提示：R，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝－\f(b,2a))). [预习自测] 1．不等式－2x2＋x＋3<0的解集是(　　) A．{x|x<－1}　　 B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x>\f(3,2))) C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－1<x<\f(3,2))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<－1，或x>\f(3,2))) 答案：D 2．使式子eq \f(1,\r(－x2－x))有意义的实数x的取值范围是(　　) A．{x|x>0，或x<－1} B．{x|x≥0，或x≤－1} C．{x|－1<x<0} D．{x|－1≤x≤0} 答案：C 3．若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图象与x轴的两个交点为(－1,0)和(3,0)，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集是　____________　. 答案：{x|x>3，或x<－1} 　 一元二次不等式的解法 [例1] 解下列不等式： (1)2x2＋5x－3<0； (2)－3x2＋6x≤2； (3)4x2＋4x＋1>0； (4)－x2＋6x－10>0. [思路点拨]　先求对应方程的解，再依据二次函数的图象写出不等式的解集． [解]　(1)Δ＝49>0，方程2x2＋5x－3＝0的两根为x1＝－3，x2＝eq \f(1,2)， 作出函数y＝2x2＋5x－3的图象，如图①所示． 由图可得原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－3<x<\f(1,2))). (2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0.Δ＝12>0，解方程3x2－6x＋2＝0，得x1＝eq \f(3－\r(3),3)，x2＝eq \f(3＋\r(3),3)， 作出函数y＝3x2－6x＋2的图象，如图②所示，由图可得原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≤\f(3－\r(3),3)，或x≥\f(3＋\r(3),3)))， (3)∵Δ＝0，∴方程4x2＋4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝－eq \f(1,2).作出函数y＝4x2＋4x＋1的图象如图③所示． 由图可得原不等式的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠－\f(1,2)，x∈R)). (4)原不等式可化为x2－6x＋10<0， ∵Δ＝－4<0， ∴方程x2－6x＋10＝0无实根， ∴原不等式的解集为∅. 一元二次不等式的两种解法 1．图象法：一般地，当a>0时，解形如ax2＋bx＋c>0(或≥0)或ax2＋bx＋c<0(或≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步： ①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解； ②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象； ③由图象得出不等式的解集． 对于a<0的一元二次不等式，可以直接采取类似a>0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解． 2．代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p<q时，若(x－p)(x－q)>0，则x>q或x<p；若(x－p)(x－q)<0，则p<x<q.有口诀如下“大于取两边，小于取中间”． [变式训练] 1．解下列不等式： (1)x2－x－6>0； (2)25x2－10x＋1>0； (3)－2x2＋x＋1<0. 解：(1)方程x2－x－6＝0的两根为x1＝－2，x2＝3，结合二次函数y＝x2－x－6的图象知x2－x－6>0的解集为{x|x>3，或x<－2}． (2)方程25x2－10x＋1＝0的两相等实根， x1＝x2＝eq \f(1,5). 结合二次函数y＝25x2－10x＋1的图象知 25x2－10x＋1>0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠\f(1,5))). (3)法一：方程－2x2＋x＋1＝0的解为x1＝－eq \f(1,2)，x2＝1，函数y＝－2x2＋x＋1的图象是开口向下的抛物线，与x轴的交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))和(1,0)，如图， 观察图象知不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<－\f(1,2)，或x>1)). 法二：在不等式两边同乘－1，可得2x2－x－1>0，方程2x2－x－1＝0的解为x1＝－eq \f(1,2)，x2＝1；画出函数y＝2x2－x－1的图象如图所示． 观察图象，可得原不等式的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<－\f(1,2)，或x>1)). 含参数的一元二次不等式的解法 [例2] 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0. [思路点拨]　分a＝0和a≠0两种情况讨论． [解]　①当a＝0时，原不等式即为－x＋1<0， 解得x>1. ②当a<0时，原不等式化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)>0， 解得x<eq \f(1,a)或x>1. ③当a>0时，原不等式化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)<0. 若a＝1，即eq \f(1,a)＝1时，不等式无解； 若a>1，即eq \f(1,a)<1时，解得eq \f(1,a)<x<1； 若0<a<1，即eq \f(1,a)>1时，解得1<x<eq \f(1,a). 综上可知，当a<0时，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<\f(1,a)，或x>1))； 当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}； 当0<a<1时，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|1<x<\f(1,a)))； 当a＝1时，不等式的解集为∅； 当a>1时，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(1,a)<x<1)). 含参数的一元二次不等式的解法 [变式训练] 2．已知y＝x2－(a＋1)x＋a. (1)当a＝3时，求不等式y＞0的解集； (2)解关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a≤0. 解：(1)当a＝3时，x2－4x＋3＞0，(x－1)(x－3)＞0，∴x＞3或x＜1，不等式解集为{x|x＞3，或x＜1}． (2)不等式可化为(x－a)(x－1)≤0. ①当a＝1时，原不等式即为(x－1)2≤0， 解得x＝1； ②当a＜1时，原不等式化为(x－a)(x－1)≤0， 解得a≤x≤1； ③当a＞1时，原不等式化为(x－a)(x－1)≤0， 解得1≤x≤a. 综上可知，当a＜1时，不等式的解集为{x|a≤x≤1}；当a＝1时，不等式的解集为{x|x＝1}；当a＞1时，不等式的解集为{x|1≤x≤a}． 三个“二次”关系的应用 [例3]　(1)若不等式ax2＋bx＋2>0的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(1,2)<x<\f(1,3)))，则a＋b＝　________　. (2)已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，则不等式cx2－bx＋a>0的解集为　________　. [思路点拨]　设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝－eq \f(b,a)，x1x2＝eq \f(c,a). [解析]　(1)由已知得， ax2＋bx＋2＝0的解为－eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，且a<0. ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)＝－\f(1,2)＋\f(1,3)，,\f(2,a)＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×\f(1,3)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－12，,b＝－2，)) ∴a＋b＝－14. (2)由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2＋3＝－\f(b,a)，,2×3＝\f(c,a)，,a<0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b＝－5a，,c＝6a，,a<0.)) 代入不等式cx2－bx＋a>0， 得6ax2＋5ax＋a>0(a<0)． 即6x2＋5x＋1<0，解得－eq \f(1,2)<x<－eq \f(1,3)， 所以所求不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(1,2)<x<－\f(1,3))). [答案]　(1)－14　(2)eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(1,2)<x<－\f(1,3))) 一元二次不等式解集逆向应用 问题的解法及步骤 (1)求解方法： 由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根，从而由根与系数的关系，找出系数a，b，c之间的关系，写出不等式的解集． (2)求解步骤： 第一步：审结论——明确解题方向 如要解cx2＋bx＋a<0，首先确定c的符号，最好能确定a，b，c的值． 第二步：审条件——挖掘题目信息 利用一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的关系列出关于a，b，c的方程组，用a表示b，c. 第三步：建联系——找解题突破口 由给定不等式的解集形式→确定关于a，b，c的方程组→用a表示b，c→代入所求不等式→求解cx2＋bx＋a<0的解集． [变式训练] 3．若关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－3<x<4}，求关于x的不等式bx2＋2ax－c－3b<0的解集． 解：∵ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－3<x<4}， ∴a<0且－3和4是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－3＋4＝－\f(b,a),－3×4＝\f(c,a)))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b＝－a,c＝－12a)). ∴不等式bx2＋2ax－c－3b<0 可化为－ax2＋2ax＋15a<0， 即x2－2x－15<0， ∴－3<x<5， ∴所求不等式的解集为{x|－3<x<5}． 1．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为(　　) A．{x|0<x<2}　　　　　　 B．{x|－2<x<1} C．{x|<－2，或x>1} D．{x|－1<x<2} 答案：B 2．(多选)关于x的不等式mx2－ax－1>0(m>0)的解集不可能是(　　) A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<－1，或x>\f(1,4)))　　 B．R C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(1,3)<x<\f(3,2))) D．∅ 答案：BCD 3．已知集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x2－2ax＋a2－1<0}，若A⊆B，则实数a的取值范围是　________　. 答案：{a|1≤a≤2} 4．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两个实根，则实数m的取值范围是　________　. 答案：m≤1或m≥9 5．解关于x的不等式x2－3ax－18a2>0. 解：将x2－3ax－18a2>0变形得 (x－6a)(x＋3a)>0， 方程(x－6a)(x＋3a)＝0的两根为6a，－3a. 所以当a>0时，6a>－3a，原不等式的解集为{x|x<－3a，或x>6a}； 当a＝0时，6a＝－3a＝0，原不等式的解集为 {x|x≠0}； 当a<0时，6a<－3a，原不等式的解集为 {x|x<6a，或x>－3a}． $$