第1章 3.2 第2课时 基本不等式的应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步课件PPT（北师大版2019）

§ 3 不等式 3.2 基本不等式 第2课时 基本不等式的应用 第一章 预备知识 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 课堂 互动学案 随堂 步步夯实 02 03 课后 素养提升 04 课前 预习学案 01 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 课程标准 素养解读 掌握基本不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)(a，b≥0)．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题 通过学习基本不等式及其应用，重点提升数学运算、逻辑推理、数学建模素养 [情境引入] (1)某养殖场要用100米的篱笆围成一个矩形的鸡舍，怎样设计才能使鸡舍面积最大？ (2)某农场主想用篱笆围成一个10 000平方米的矩形农场，怎样设计才能使所用篱笆最省呢？ 实例中两个问题的实质是什么？如何求解？ 提示：这两个都是求最值问题．第一个问题是矩形周长一定，即长x与宽y的和一定，求xy的最大值，xy≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))2＝252＝625，当且仅当x＝y＝25时取等号，即鸡舍为正方形，长与宽各为25米时鸡舍面积最大．第二个问题是矩形面积一定，求矩形长x与宽y之和最小值，x＋y≥2eq \r(xy)＝2eq \r(10 000)＝200，当且仅当x＝y＝100时取等号，即当农场为正方形，边长为100米时，所用篱笆最省． [知识梳理] [知识点]　基本不等式求最值　 1．用基本不等式求最值 (1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(s为定值)，则当x＝y＝eq \f(s,2)时，积xy有最大值为eq \f(s2,4). (2)设x，y为正实数，若xy＝p(p为定值)，则当x＝y＝eq \r(p)时，和x＋y有最小值为　2eq \r(p)　. 2．基本不等式求最值的条件 (1)x，y必须是正数． (2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值． (3)等号成立的条件是否满足． [预习自测] 1．若eq \f(x2－x＋1,x－1)(x>1)在x＝t处取得最小值，则t＝(　　) A．1＋eq \r(2)　　　B．2　　　C．3　　　D．4 解析：B　[∵x>1，∴eq \f(x2－x＋1,x－1)＝eq \f(xx－1＋1,x－1) ＝x＋eq \f(1,x－1)＝x－1＋eq \f(1,x－1)＋1≥2＋1＝3， 当且仅当x－1＝eq \f(1,x－1)，即x＝2时，等号成立．] 2．已知正数x，y满足eq \f(8,x)＋eq \f(1,y)＝1，则x＋2y的最小值是(　　) A．18 B．16 C．8 D．10 解析：A　[∵x>0，y>0且eq \f(8,x)＋eq \f(1,y)＝1， ∴x＋2y＝(x＋2y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,x)＋\f(1,y)))＝10＋eq \f(16y,x)＋eq \f(x,y)≥10＋2eq \r(16)＝18，当且仅当eq \f(16y,x)＝eq \f(x,y)，即x＝12，y＝3时，等号成立．] 3．已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是　________　. 解析：a＋b≥2eq \r(ab)＝2eq \r(10)，当且仅当a＝b＝eq \r(10)时等号成立． 答案：2eq \r(10) 利用基本不等式求最值 [例1] (1)若x>0，求函数y＝x＋eq \f(4,x)的最小值，并求此时x的值； (2)设0<x<eq \f(3,2)，求函数y＝4x(3－2x)的最大值； (3)已知x>2，求x＋eq \f(4,x－2)的最小值． [思路点拨]　(1)直接应用基本不等式求最值 . (2)y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]． (3)x＋eq \f(4,x－2)＝x－2＋eq \f(4,x－2)＋2. (4)利用基本不等式求最值，“一正、二定、三相等”三个条件缺一不可． [解]　(1)∵x>0， ∴x＋eq \f(4,x)≥2eq \r(x·\f(4,x))＝4， 当且仅当x＝eq \f(4,x)，即x2＝4，x＝2时取等号． ∴函数y＝x＋eq \f(4,x)(x>0)在x＝2时取得最小值4. (2)∵0<x<eq \f(3,2)，∴3－2x>0， ∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)] ≤2[eq \f(2x＋3－2x,2)]2＝eq \f(9,2). 当且仅当2x＝3－2x，即x＝eq \f(3,4)时，等号成立． ∵eq \f(3,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))， ∴函数y＝4x(3－2x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(3,2)))的最大值为eq \f(9,2). (3)∵x>2，∴x－2>0， ∴x＋eq \f(4,x－2)＝x－2＋eq \f(4,x－2)＋2 ≥2eq \r(x－2·\f(4,x－2))＋2＝6， 当且仅当x－2＝eq \f(4,x－2)， 即x＝4时，等号成立．∴x＋eq \f(4,x－2)的最小值为6. 1．常数代换法求最值的方法步骤 　常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为： (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)． (2)把确定的定值(常数)变形为1. (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式． (4)利用基本不等式求解最值． 2．含有多个变量的条件最值问题的解决方法 　对含有多个变量的条件最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题． 3．应用基本不等式求最值的原则 利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即： (1)一正：符合基本不等式eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)成立的前提条件，a>0，b>0； (2)二定：化不等式的一边为定值； (3)三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立．以上三点缺一不可． 4．基本不等式的常见变形 (1)a＋b≥2eq \r(ab)； (2)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2≤eq \f(a2＋b2,2)(其中a>0，b>0，当且仅当a＝b时等号成立)． [变式训练] 1．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0.求： (1)xy的最小值； (2)x＋y的最小值． 解：(1)xy＝2x＋8y≥2eq \r(16xy)，当且仅当2x＝8y， 即x＝16，y＝4时等号成立， ∴eq \r(xy)≥8，∴xy≥64， ∴xy的最小值为64. (2)由2x＋8y＝xy，得eq \f(2,y)＋eq \f(8,x)＝1， ∴x＋y＝(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,y)＋\f(8,x)))＝10＋eq \f(2x,y)＋eq \f(8y,x)≥10＋8＝18， 当且仅当eq \f(2x,y)＝eq \f(8y,x). 即x＝12，y＝6时等号成立， ∴x＋y的最小值为18. 利用基本不等式求参数的值(范围) [例2] 已知a>0，b>0，若不等式eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)≥eq \f(m,2a＋b)恒成立，则m的最大值等于(　　) A．10　　　B．9　　　C．8　　　D．7 [思路点拨]　a>0，b>0时，eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)≥eq \f(m,2a＋b)恒成立，等价于m≤(2a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,b)))恒成立，利用基本不等式求解． [解析]　[因为a>0，b>0，所以2a＋b>0， 所以要使eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)≥eq \f(m,2a＋b)恒成立， 只需m≤(2a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,b)))恒成立， 而(2a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,b)))＝4＋eq \f(2a,b)＋eq \f(2b,a)＋1≥5＋4＝9，当且仅当a＝b时，等号成立，所以m≤9.] [答案]　B 含参数不等式的求解策略 (1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围． (2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化． (3)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)>A在区间D上恒成立⇔f(x)min>A；若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)<B在区间D上恒成立⇔f(x)max<B. [变式训练] 2．已知函数f(x)＝4x＋eq \f(a,x)(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝　________　. 解析：因为x>0，a>0， 所以f(x)＝4x＋eq \f(a,x)≥2eq \r(4x·\f(a,x))＝4eq \r(a)，当且仅当4x＝eq \f(a,x)，即4x2＝a时，f(x)取得最小值，又因为x＝3，所以a＝4×32＝36. 答案：36 利用基本不等式解决实际问题 [例3]　某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)． (1)若设休闲区的长和宽的比eq \f(A1B1,B1C1)＝x(x>1)，求公园ABCD所占面积S关于x的函数解析式； (2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？ eq \x([思路点拨]　设出长和宽，列出面积公式.) [解]　(1)设休闲区的宽为a米，则长为ax米， 由a2x＝4 000，得a＝eq \f(20\r(10),\r(x)). 则S＝(a＋8)(ax＋20)＝a2x＋(8x＋20)a＋160 ＝4 000＋(8x＋20)·eq \f(20\r(10),\r(x))＋160 ＝80eq \r(10) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(x)＋\f(5,\r(x))))＋4 160(x>1)． (2)因为80eq \r(10)(2eq \r(x)＋eq \f(5,\r(x)))＋4 160≥80eq \r(10)×2eq \r(2\r(x)×\f(5,\r(x)))＋4160＝1 600＋4 160＝5 760，当且仅当2eq \r(x)＝eq \f(5,\r(x))，即x＝2.5时，等号成立，此时a＝40，ax＝100，所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米． 利用基本不等式解决实际问题的步骤 解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)先理解题意，设变量．设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数． (2)建立相应的函数关系式．把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值． (4)正确写出答案． [变式训练] 3．党的二十大报告指出：我们要推进美丽中国建设，坚持山水林田湖草沙一体化保护和系统治理，统筹产业结构调整、污染治理、生态保护、应对气候变化，协同推进降碳、减污、扩绿、增长，推进生态优先、节约集约、绿色低碳发展．某乡政府也越来越重视生态系统的重建和维护．若乡财政下拨一项专款400百万元，分别用于植绿护绿和处理污染 两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x(单位：百万元)的函数M(x)(单位：百万元)：M(x)＝eq \f(80x,20＋x)；处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x(单位：百万元)的函数N(x)(单位：百万元)：N(x)＝eq \f(1,4)x. (1)设分配给植绿护绿项目的资金为x(百万元)，则两个生态项目五年内带来的收益总和为y(百万元)，写出y关于x的函数解析式； (2)生态维护项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋．试求出y的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少？ 解：(1)由题意可得处理污染项目投放资金为400－x百万元， 则M(x)＝eq \f(80x,20＋x)，N(400－x)＝eq \f(1,4)(400－x) ＝100－eq \f(1,4)x， ∴y＝eq \f(80x,20＋x)－eq \f(1,4)x＋100，x∈[0,400]． (2)由(1)可得，y＝eq \f(80x,20＋x)－eq \f(1,4)x＋100 ＝180－eq \f(1,4)x－eq \f(1 600,20＋x) ＝185－eq \f(1,4) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x＋20＋\f(6 400,20＋x))) ≤185－eq \f(1,2) eq \r(20＋x·\f(6 400,20＋x))＝145， 当且仅当20＋x＝eq \f(6 400,20＋x)，即x＝60时等号成立，此时400－x＝340.所以y的最大值为145(百万元)，分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为60(百万元)，340(百万元)． 1．已知x>－2，则x＋eq \f(1,x＋2)的最小值为(　　) A．－eq \f(1,2)　　　B．－1　　　C．2　　　D．0 解析：D　[∵x>－2，∴x－2>0，∴x＋eq \f(1,x＋2)＝x＋2＋eq \f(1,x＋2)－2≥2eq \r(x＋2·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x＋2))))－2＝0.当且仅当x＝－1时“＝”成立．] 2．某单位为提升服务质量，花费3万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为0.1万元，已知使用x年的维修总费用为eq \f(x2＋x,27)万元，则该设备年平均费用最少时的年限为(　　) A．7　　　　B．8　　　　C．9　　　　D．10 解析：C　[由题意可得：该设备年平均费用y＝eq \f(\f(x2＋x,27)＋0.1x＋3,x)＝eq \f(x,27)＋eq \f(3,x)＋eq \f(37,270)(x∈N＋) ∵x＞0，则y＝eq \f(x,27)＋eq \f(3,x)＋eq \f(37,270)≥2eq \r(\f(x,27)×\f(3,x))＋eq \f(37,270) ＝eq \f(217,270)，当且仅当eq \f(x,27)＝eq \f(3,x)，即x＝9∈N＋时，等号成立，所以该设备年平均费用最少时的年限为9.] 3．函数y＝x＋eq \f(1,4x)(x＞0)取得最小值时，x的值为(　　) A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2) C．1 D．2 答案：B 4．已知a>0，b>0,3a＋b＝2ab，则a＋b的最小值为　________　. 解析：根据题意，3a＋b＝2ab⇒eq \f(3,2b)＋eq \f(1,2a)＝1. 则a＋b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2b)＋\f(1,2a)))(a＋b)＝2＋eq \f(3a,2b)＋eq \f(b,2a)≥ 2＋2eq \r(\f(3a,2b)·\f(b,2a))＝2＋eq \r(3)， 当且仅当b＝eq \r(3)a即a＝eq \f(\r(3)＋1,2)，b＝eq \f(3＋\r(3),2)时等号成立， 则a＋b最小值为2＋eq \r(3). 答案：2＋eq \r(3) 5．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？ 解：设该厂每x天购买一次面粉．其购买量为6x吨． 由题意可知，面粉的保管费及其他费用为 3×[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1] ＝9x(x＋1)． 设平均每天所支付的总费用为y1元， 则y1＝eq \f(1,x)[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800 ＝9x＋eq \f(900,x)＋10 809≥2eq \r(9x·\f(900,x))＋10 809 ＝10 989(元)， 当且仅当9x＝eq \f(900,x)，即x＝10时，等号成立． 所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少． $$