第1章 1.1 第2课时 集合的表示-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步课件PPT（北师大版2019）

§ 1 集合 1.1 集合的概念与表示 第2课时 集合的表示 第一章 预备知识 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 课堂 互动学案 随堂 步步夯实 02 03 课后 素养提升 04 课前 预习学案 01 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 课程标准 素养解读 1.了解空集的含义 2．会正确选用列举法与描述法表示集合 3．掌握区间的含义 通过列举法和描述法表示集合、发展学生的数学抽象和逻辑推理素养 [情境引入] “今有三女，长女五日一归，中女四日一归，小女三日一归，问三女何日相会”．(选自《孙子算经》)则三女前三次相会的天数你能一一列举出来吗？ [知识梳理] [知识点一]　列举法　 1．方案：把集合中的元素　一一　列举出来写在花括号“{　}”内． 2．一般形式：{a，b，c，…}． 3．关注点：元素的排列　顺序　可以不同． 1.一一列举元素时，需要考虑元素的顺序吗？ 提示：用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序．例如：{a，b}与{b，a}表示同一个集合． [知识点二]　描述法　 1．定义：通过描述元素　满足的条件　表示集合的方法． 2．形式：{x及x的范围|　x满足的条件　.} 3．方法：在花括号内先写出集合中元素的一般　符号　及　范围　，再画一条竖线“|”，在竖线后写出集合中元素所具有的　共同特征　. 提示：列举法与描述法在表示形式上的最大区别是“{　}”内是否含有“|” 2.集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合吗？ 提示：A＝{x|x－1＝0}＝{1}与集合B表示同一个集合． [知识点三]　有限集、无限集和空集　 1．有限集：含有　有限个　元素的集合叫作有限集． 2．无限集：含有　无限个　元素的集合叫作无限集． 3．空集：不含　任何　元素的集合叫作空集，记作∅. 3.列举法与描述法在表示形式上有何区别． [知识点四]　区间　 1．区间的概念：设a，b是两个实数，而且a<b. 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 左闭右开区间 [a，b) {x|a<x≤b} 左开右闭区间 (a，b] 2.无穷区间表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 3.特殊区间的表示 定义 区间 数轴表示 {x|x≥a} 　[a，＋∞)　 {x|x>a} 　(a，＋∞)　 {x|x≤b} 　(－∞，b]　 {x|x<b} 　(－∞，b)　 [预习自测] 1．将集合A＝{x|1<x≤3}用区间表示正确的是(　　) A．(1,3)　 B．(1,3]　 C．[1,3)　 D．[1,3] 解析：B　[A＝{x|1<x≤3}＝(1,3]．] 2．给出下列说法： ①地球周围的行星能构成一个集合；②实数中，不是有理数的所有数能构成一个集合；③{1,2,3}与{1,3,2}是不同的集合． 其中正确说法的个数是(　　) A．0　　　　 B．1　　　　 C．2　 　　　D．3 解析：B　[①中说法是错误的，因为“周围”是个模糊的概念，不满足集合中元素的确定性．②中说法是正确的，虽然满足条件的数有无数多个，但任意给出一个元素都能判断出其是否属于这个集合．③中说法是错误的，因为集合中的元素具有无序性．] 3．方程x2＝0的解组成的集合为(　　) A．{0}　　　　　　　 B．{0,0} C．{(0,0)} D．∅ 解析：A　[∵x2＝0的解为x1＝x2＝0，∴x2＝0的解集中只有一个元素0.] 　 列举法表示集合 [例1] 用列举法表示下列集合． (1)中国古典长篇小说四大名著构成的集合； (2)不大于10的非负偶数组成的集合； (3)方程x3＝x的实数解组成的集合； (4)一次函数y＝x－2与y＝－x的图象的交点组成的集合． [思路点拨]　把集合中的元素一一列举出来，写在花括号内． [解]　(1)中国古典长篇小说四大名著构成的集合是{《三国演义》，《西游记》，《水浒传》，《红楼梦》}． (2)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意义，所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}． (3)方程x3＝x的实数解是x＝0或x＝1或x＝－1，所以方程的实数解组成的集合为{0,1，－1}， (4)解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝x－2，,y＝－x，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1，)) 即交点是(1，－1)，故两函数图象的交点组成的集合是{(1，－1)}． 1．用列举法表示集合的三个步骤 (1)求出集合的元素． (2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次． (3)用花括号括起来． 2．在用列举法表示集合时的关注点 (1)明确集合中的元素是什么，如例1(4)是点集，而非数集，集合的所有元素用有序数对表示，并用“{　}”括起来，元素间用分隔号“，”． (2)元素不重复，元素无顺序．如{1,1,2}为错误表示．又如集合{1,2,3,4}与{2,1,4,3}表示同一集合． [变式训练] 1．用列举法表示下列集合： (1)方程x2＝2x的所有实数解组成的集合； (2)直接y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合； (3)由所有正整数构成的集合． 解：(1)方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解组成的集合为{0,2}． (2)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即所求交点是(0,1)，故交点组成的集合是{(0,1)}． (3)正整数有1,2,3，…，所求集合为{1,2,3，…}． 描述法表示集合 [例2] 用描述法表示下列集合： (1)正偶数集； (2)被3除余2的正整数集合； (3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合． [思路点拨]　依据描述法的结构特征写出集合． [解]　(1)偶数可用式子x＝2n，n∈N表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N＋，所以正偶数可表示为{x|x＝2n，n∈N＋}． (2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}． (3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故平面直角坐标系中坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}． 1．描述法表示集合的两个步骤 2．用描述法表示集合应注意的四点 (1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x＜1}不能写成{x＜1}． (2)所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}． (3)不能出现未被说明的字母． (4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解组成的集合可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}． [变式训练] 2．用描述法表示下列集合： (1){2,4,6,8,10,12}； (2)eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,4)，\f(3,5)，\f(4,6)，\f(5,7)))； (3){1,22,32,42，…}． 解：(1)可表示为{x|x＝2n，n∈N＋且n≤6}． (2)可表示为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝\f(n,n＋2)，n∈N＋且n≤5)). (3)可表示为{x|x＝n2，n∈N＋}． 集合中各元素为正整数的平方，故各元素可表示为x＝n2，n∈N＋，也可以写成{x|x＝(n＋1)2，n∈N}． 区间表示集合 [例3] 用区间表示下列集合： (1)不等式2x－6＜0的所有实数解组成的集合； (2)使eq \r(x＋5)有意义的所有实数x组成的集合． [思路点拨]　“∞”是一个符号，不是数． [解]　(1)因为2x－6＜0， 所以x＜3，用区间表示为(－∞，3)． (2)由题意得x＋5≥0，故x≥－5， 用区间表示为[－5，＋∞)． 区间表示集合的适用情况和注意点 (1)适用情况：表示一定范围内的所有实数所构成的集合，也就是数轴上某一“段”所有点所对应的实数． (2)注意点：①区间的两个端点必须保证左小右大； ②“∞”是一个符号，不是数，以－∞或＋∞为区间一端时，这一端必须是小括号． [变式训练] 3．用区间表示不等式1＜2x＋1＜2的解集． 解：由1＜2x＋1＜2，得0＜x＜eq \f(1,2)， ∴原不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))). 集合表示方法的综合应用 [例4] 集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合． [思路点拨]　分k＝0和k≠0两种情况讨论． [解]　①当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意； ②当k≠0，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意．综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0,1}． (1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如本例集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题． (2)在学习过程中要注意数学素养的培养，如本例中用到了等价转化思想和分类讨论的思想． [变式训练] 4．本例若将条件“只有一个元素”改为“有两个元素”，其他条件不变，求实数k的值组成的集合． 解：由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0有两个不等实根， 故k≠0，且Δ＝64－64k＞0，解得k＜1，且k≠0. 所以实数k的值组成的集合为{k|k＜1，且k≠0}． 1．集合{x∈N＋|x－2＜4}用列举法可表示为(　　) A．{0,1,2,3,4}　　　　 B．{1,2,3,4} C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5} 解析：D　[此集合由小于6的正整数组成．] 2．已知A＝{x|5－5x＞0}，则有(　　) A．5∈A B．1∈A C．0∈A D．－1∉A 解析：C　[因为集合A＝{x|5－5x＞0}＝{x|x＜1}，所以5∉A,1∉A,0∈A，－1∈A.] 3．下列集合为∅的是(　　) A．{0} B．{x|x2＋4＝0} C．{x|x2－1＝0} D．{x|x＜0} 解析：B　[集合{0}中有一个元素0；集合{x|x2－1＝0}＝{－1,1}；集合{x|x＜0}表示小于0的实数组成的集合；集合{x|x2＋4＝0}表示方程x2＋4＝0的实数解组成的集合，而方程x2＋4＝0无实数解，因此该集合是空集．] 4．若(2a,3a－2]为一确定区间，则实数a的取值范围是　________　. 解析：因为(2a,3a－2]为一确定区间，所以2a＜3a－2，解得a＞2，所以实数a的取值范围是(2，＋∞)． 答案：(2，＋∞) 5．选择适当的方法表示下列集合； (1)能整除12的正整数组成的集合； (2)方程(2x－1)(x＋1)＝0的解组成的集合； (3)一次函数y＝2x＋5的图象上所有点组成的集合． 解：(1)能整除12的正整数有1,2,3,4,6,12，用列举法可以表示为{1,2,3,4,6,12}． (2)方程(2x－1)(x＋1)＝0的解为x1＝eq \f(1,2)，x2＝－1，故用列举法可以表示为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2))). (3)点用有序实数对(x，y)表示，故一次函数y＝2x＋5的图象上所有点组成的集合用描述法可以表示为{(x，y)|y＝2x＋5}. $$