第03讲 简单的三角恒等变换讲义——2026届高三数学一轮复习

第03讲 简单的三角恒等变换 目录： 01考情分析（五年真题（2025年--2021年）考点分布） ………………………2 02 题型突围 精准提分 ……………………………………………………………2 题型一 两角和与差的正弦、余弦和正切公式的应用……………………………2 题型二 两角和与差的正弦、余弦和正切公式的逆用……………………………4 题型三 角的变换问题 ……………………………………………………………5 题型四 二倍角公式的正用与逆用 ………………………………………………7 题型五 降幂扩角公式和升幂缩角公式的应用 …………………………………8 题型六 半角公式的应用 …………………………………………………………9 题型七 万能公式的应用 …………………………………………………………10 题型八 积化和差与和差化积公式的应用 ………………………………………11 题型九 辅助角公式的应用 ………………………………………………………12 命题点1 特殊角的辅助角公 式………………………………………………………12 命题点2 非特殊角的辅助角公式 ……………………………………………………13 题型十 三角恒等变换之化简问题 ………………………………………………13 题型十一 三角恒等变换之给角求值 ……………………………………………14 题型十二 三角恒等变换之给值求值 ……………………………………………15 题型十三 三角恒等变换之给值求角 ……………………………………………16 题型十四 三角恒等变换的综合应用 ……………………………………………17 03 限时作业 查漏补缺 …………………………………………………………18 04 真题呈现 把握考情 …………………………………………………………20 考情分析 考题示例 考点分析 考情分析 2025年全国Ⅱ卷 用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式 这一节的内容是三角函数的基础，它不仅是独立的考点，更是解决复杂三角函数问题（如求值、化简、解三角形等）不可或缺的基本工具. 考查内容主要体现在以下方面： ⑴用和、差角的正弦、余弦、正切公式化简、求值 ⑵二倍角公式的应用 ⑶辅助角公式的应用 ⑷给值求值问题 2025年全国Ⅰ卷· 比较正弦值的大小、二倍角的余弦公式、三角恒等变换的化简问题（多选题） 2025年北京卷 辅助角公式、正弦型函数的零点 2025年上海卷 辅助角公式、平面向量的运算 2024年全国Ⅰ卷· 用和、差角的余弦公式化简、求值 2024年全国Ⅱ卷 两角和与差的正弦、正切公式 2024年上海卷 二倍角的正弦公式、余弦公式 2024年全国甲卷（理） 用和、差角的正切公式化简、求值 2023年全国Ⅰ卷 用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、给值求值型问题 2023年全国Ⅱ卷 半角公式、二倍角的余弦公式 2023年上海卷 二倍角的正切公式 2022年全国Ⅱ卷 两角和与差的正弦公式、余弦公式 2022年北京卷 二倍角公式、三角函数的单调性 2022年北京卷 辅助角公式 2021年全国Ⅰ卷· 同角三角函数基本关系式、二倍角公式 2021年北京卷 二倍角公式、三角函数的奇偶性和最值 2021年全国甲卷（理） 同角三角函数基本关系式、二倍角公式 题型突围 题型一 两角和与差的正弦、余弦公式的应用 指点迷津 ⑴使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征. ⑵特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的. 例1．（公式展开）（2025·河南信阳·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D．5 例2．（平方）（2025高三·全国·专题练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 例3．（凑角）（2025·安徽·模拟预测）已知锐角满足，则（   ） A． B． C． D． 【相似题1】（2025·江西·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（24-25高一上·贵州毕节·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【相似题3】（2025·贵州黔东南·三模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【相似题4】（2023·湖南长沙·模拟预测）已知，，则（    ） A．4 B．6 C． D． 【相似题5】（2023·广东潮州·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 【相似题6】（2025·江苏盐城·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 【相似题7】（2025·湖南长沙·三模）若，则 题型二 两角和与差的正弦、余弦公式的逆用和变形用 指点迷津 1.公式的逆用 ； ； ； ； ；； ⑴在逆用两角和与差的正弦、余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求. ⑵在逆用两角差的正弦公式时，注意两角的位置,否则容易出现错误. 2. 两角和与差的正切公式的变形 ； ． 3.若所给角为非特殊角，要先考虑它们的和或差是否为特殊角，再应用两角和与差的正切公式的逆用求值. 例1．（两角差的余弦公式的逆用）（24-25高一下·江苏淮安·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 例2．（两角差的正切公式的逆用）（24-25高一下·江苏苏州·期末）计算（   ） A． B． C． D． 例3．（两角和的正切公式的变形用）（2025·江西·一模）化简（    ） A． B． C．1 D． 【相似题1】（24-25高一下·四川绵阳·阶段练习）的值等于（   ） A． B．0 C． D． 【相似题2】（24-25高一上·全国·课后作业）下列各式中值为的是（    ） A． B． C． D． 【相似题3】（24-25高一下·四川雅安·阶段练习）（   ） A． B． C． D． 【相似题4】（2025·四川成都·模拟预测）已知，是第三象限角，则的值为（   ） A． B． C． D． 【相似题5】（23-24高一下·江苏扬州·期末）已知，则的值（    ） A． B． C． D． 【相似题6】（24-25高三上·山西·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 题型三 角的变换问题 指点迷津 由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中需要灵活地进行拆角或凑角的变换，常见角的变换有： ①；②；③； ④；⑤． 注意：特殊的角也看成已知角，如常用的拆角、配角技巧：；；；；；等． 例1．（凑角）（24-25高一下·湖北黄冈·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 例2.（拆角）（2025·广西·模拟预测）已知，则 （    ） A． B．5 C． D． 【相似题1】（2023·青海·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（2025·广东广州·三模）已知都是锐角，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【相似题3】（2025·海南·模拟预测）若，且为锐角，为钝角，则（   ） A． B． C． D． 【相似题4】（24-25高一下·江苏扬州·阶段练习）已知，，且，， 题型四 二倍角公式的正用与逆用 指点迷津 1、二倍角公式 ①； ②； ③； 2、二倍角公式的逆用 ；；； 例1．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则（   ） A． B． C． D． 例2．（24-25高二下·河北·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【相似题1】（25-26高三上·江苏南京·阶段练习）已知角的正切，则 ． 【相似题2】（2025·浙江杭州·模拟预测）若，则 . 【相似题3】（2025·山东青岛·模拟预测）已知，，则 . 【相似题4】（2025·广东阳江·三模）已知，则 . 【相似题5】（2025·四川眉山·模拟预测）已知，则 . 【相似题6】（2025·浙江金华·三模）若，则 . 题型五 降幂扩角公式和升幂缩角公式的应用 指点迷津 降幂扩角公式和升幂缩角公式 降幂公式：；. 升幂公式：；； ； 例1．（2025·甘肃·模拟预测）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 例2．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【相似题1】（2024·湖南邵阳·二模）已知为锐角，若，则（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（24-25高一下·四川成都·期中）已知角终边在第二象限，且，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【相似题3】（23-24高一下·四川绵阳·阶段练习）函数的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【相似题4】（24-25高一下·江苏南京·期末）的值为（    ） A． B． C． D． 【相似题5】（2025·山东泰安·模拟预测）若，且，则（    ） A． B． C． D． 【相似题6】（2025·江西新余·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C．3 D． 题型六 半角公式的应用 指点迷津 半角公式 ；； ． 例1．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知为三角形的内角，且，则（    ） A． B． C． D． 【相似题1】（2025·甘肃兰州·模拟预测）若 ，且 ，则 等于（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（24-25高一下·甘肃庆阳·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【相似题3】（23-24高三下·河北张家口·开学考试）已知，是第四象限角，则（    ） A． B． C． D． 【相似题4】（2025·辽宁本溪·模拟预测）若，且，则 . 【相似题5】（24-25高一下·四川绵阳·期中）已知，，则 . 【相似题6】（24-25高三上·辽宁辽阳·期末）已知，，则 . 题型七 万能公式 指点迷津 万能公式： ； . 例1．（2025·安徽芜湖·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 例2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知，，则 . 【相似题1】（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【相似题2】（2024高三·全国·专题练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【相似题3】（24-25高一下·湖南·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 题型八 积化和差与和差化积公式 指点迷津 和差化积公式： ； ； ； ． 积化和差公式： ； ； ； ． 例1．（2025高三·全国·专题练习）已知，，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【相似题1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D．1 【相似题2】（2025·湖南常德·一模）已知，则（    ） A． B．7 C． D． 【相似题3】（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知角满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【相似题4】（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【相似题5】（2025·江西南昌·二模）已知、终边不重合，，则（    ） A． B． C． D． 【相似题6】（2025高三·全国·专题练习）若，则 ． 【相似题7】（24-25高二上·上海·阶段练习）已知，则 . 题型九 辅助角公式的应用 指点迷津 辅助角公式 （其中，， ）. 命题1 特殊角的辅助角公式 1．（24-25高一下·北京海淀·阶段练习）将下列函数化成正弦型函数（的形式） (1)； (2)； (3)； (4) 【相似题1】（2025·湖北·模拟预测）已知，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【相似题2】（2024·福建泉州·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 【相似题3】（2025·河北·模拟预测）已知，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 【相似题4】（24-25高一下·江苏南京·期中）设当时，函数取得最大值，则 ． 命题2 非特殊角的辅助角公式 例2．（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知函数在处取得最小值，则 . 【相似题1】（2025·陕西渭南·二模）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（2025·上海青浦·模拟预测）函数的值域是 . 【相似题3】（24-25高三上·甘肃白银·期中）函数，若“”是“取得最大值”的充分条件，则 . 【相似题4】（24-25高三上·浙江·阶段练习）若函数在处取得最大值，则 . 【相似题5】（2025·四川绵阳·模拟预测）若函数为奇函数，则 ． 题型十 三角恒等变换之化简问题 指点迷津 ⑴三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征. ⑵三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系（和、差、倍、互余、互补等），寻找式子和三角函数公式之间的联系点. 例1.（2025·山东·模拟预测）已知，，则（    ） A．0 B． C．1 D． 例2．（24-25高三下·广东揭阳·开学考试）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【相似题1】（2026高三·全国·专题练习）函数的单调减区间为 . 【相似题2】（2025·河南·三模）函数的最小正周期为 ． 【相似题3】（2024·四川绵阳·模拟预测）若为锐角，＝，则 . 【相似题4】（2025高三·全国·专题练习）若，则 ． 题型十一 三角恒等变换之给角求值 指点迷津 给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解. 例1．（2023·重庆·模拟预测）式子化简的结果为（    ） A． B． C． D． 例2．（2025·河北·模拟预测）化简：（    ） A． B． C． D． 练习1.（24-25高一上·全国·课后作业）（    ） A． B． C． D． 练习2.（24-25高三下·安徽安庆·阶段练习）的值为（    ） A． B． C． D． 练习3．（24-25高三上·河北石家庄·期末）（    ） A． B． C． D． 练习4．（2025·湖南永州·模拟预测）的值为（    ） A． B． C． D． 练习5．（2026高三·全国·专题练习） . 练习6．（2025高三上·全国·专题练习）求值： ． 题型十二 三角恒等变换之给值求值 指点迷津 给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出想应角的三角函数值、代入即可. 例1．（24-25高一下·重庆·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 例2．（24-25高一下·江西吉安·期末）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 练习1．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 练习2．（2025·安徽淮北·模拟预测）已知且则tanβ=（    ） A．3 B．2 C． D． 练习3．（24-25高一下·江苏连云港·阶段练习）若，则（   ） A． B． C． D． 练习4．（2025·河南·三模）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 练习5．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）已知，则（   ） A．4 B．2 C． D． 练习6．（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知，则 . 练习7.（24-25高一下·四川成都·期中）已知，则的值为 . 题型十三 三角恒等变换之给值求角 指点迷津 给值求角问题一般是先求角的范围，再求角的某一三角函数值，最后根据范围确定角，遵照以下原则： ⑴已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数. ⑵为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数.如角的范围是，则选余弦函数或正切函数，若角的范围是，则选正弦函数或正切函数. 例1．（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 例2．（24-25高一下·广东梅州·阶段练习）已知，，，，则（   ） A． B．或 C． D．或 【相似题1】（24-25高三下·重庆·阶段练习）设是方程的两根，且，则（    ） A． B． C．或 D． 【相似题2】（23-24高二下·浙江·期末）已知为钝角，且，，则（    ） A． B． C． D． 【相似题3】（24-25高一上·全国·课后作业）若，，并且均为锐角，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【相似题4】（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知，为锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型十四 三角恒等变换的综合应用 指点迷津 ⑴进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；另外还要注意公式的逆用和变形使用. ⑵形如化为，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性. 例1．（22-23高三上·河北唐山·开学考试）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 练习1.（24-25高三上·河南周口·期中）已知，若，则（   ） A． B． C． D． 练习2.（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 练习3.（2025·河北秦皇岛·二模）已知为锐角，且，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 练习4．（2024·河南·模拟预测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 限时作业 （建议用时45 分钟） 1、 单选题 1．（24-25高一下·江苏淮安·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖北·期中）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽·模拟预测）（    ）． A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏盐城·期中）设，，，则有（   ） A． B． C． D． 5．（2024·江西九江·二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·湖南·二模）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知为第一象限角，，则的值是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·广东茂名·二模）若，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高三上·四川眉山·阶段练习）计算下列各式的值，其结果为2的有（    ） A． B． C． D． 10．（2025·浙江·三模）已知为锐角，若，则下列说法正确的有（   ） A．的终边经过点 B． C． D．若，则 11．（2025·湖南长沙·二模）已知，，则下列各式正确的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）已知，则 . 13．（2024·吉林白山·一模）化简 ． 14．（24-25高一下·上海·期中）已知函数在时取得最大值，则 . 真题呈现 1．（2025年全国二卷高考真题）已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（2025年全国一卷高考真题）已知的面积为，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025年北京卷）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 4．（2025年上海卷）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则可的取值范围是 ． 5．（2024年新课标Ⅰ卷高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024年新课标Ⅱ卷高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 . 7．（2024年全国甲卷（理）高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024年上海高考真题）下列函数的最小正周期是的是（    ） A． B． C． D． 9.（2023年新课标Ⅰ卷高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 10．（2023年新课标Ⅱ卷高考真题）已知为锐角，，则（    ）． A． B． C． D． 11．（2023年上海高考真题）已知，则= . 12．（2022年新高考全国Ⅱ卷高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 13．（2022年北京高考真题）已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 14．（2022年北京高考真题）若函数的一个零点为，则 ； ． 15．（2021年全国新高考Ⅰ卷高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 16．（2021年北京高考真题）函数是 A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2 C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为 17．（2021年全国甲卷（理）高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 简单的三角恒等变换 目录： 01考情分析（五年真题（2025年--2021年）考点分布） ………………………2 02 题型突围 精准提分 ……………………………………………………………2 题型一 两角和与差的正弦、余弦和正切公式的应用……………………………2 题型二 两角和与差的正弦、余弦和正切公式的逆用……………………………6 题型三 角的变换问题 ……………………………………………………………10 题型四 二倍角公式的正用与逆用 ………………………………………………13 题型五 降幂扩角公式和升幂缩角公式的应用 …………………………………17 题型六 半角公式的应用 …………………………………………………………20 题型七 万能公式的应用 …………………………………………………………23 题型八 积化和差与和差化积公式的应用 ………………………………………25 题型九 辅助角公式的应用 ………………………………………………………30 命题点1 特殊角的辅助角公 式………………………………………………………30 命题点2 非特殊角的辅助角公式 ……………………………………………………33 题型十 三角恒等变换之化简问题 ………………………………………………35 题型十一 三角恒等变换之给角求值 ……………………………………………38 题型十二 三角恒等变换之给值求值 ……………………………………………41 题型十三 三角恒等变换之给值求角 ……………………………………………45 题型十四 三角恒等变换的综合应用 ……………………………………………48 03 限时作业 查漏补缺 …………………………………………………………52 04 真题呈现 把握考情 …………………………………………………………58 考情分析 考题示例 考点分析 考情分析 2025年全国Ⅱ卷 用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式 这一节的内容是三角函数的基础，它不仅是独立的考点，更是解决复杂三角函数问题（如求值、化简、解三角形等）不可或缺的基本工具. 考查内容主要体现在以下方面： ⑴用和、差角的正弦、余弦、正切公式化简、求值 ⑵二倍角公式的应用 ⑶辅助角公式的应用 ⑷给值求值问题 2025年全国Ⅰ卷· 比较正弦值的大小、二倍角的余弦公式、三角恒等变换的化简问题（多选题） 2025年北京卷 辅助角公式、正弦型函数的零点 2025年上海卷 辅助角公式、平面向量的运算 2024年全国Ⅰ卷· 用和、差角的余弦公式化简、求值 2024年全国Ⅱ卷 两角和与差的正弦、正切公式 2024年上海卷 二倍角的正弦公式、余弦公式 2024年全国甲卷（理） 用和、差角的正切公式化简、求值 2023年全国Ⅰ卷 用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、给值求值型问题 2023年全国Ⅱ卷 半角公式、二倍角的余弦公式 2023年上海卷 二倍角的正切公式 2022年全国Ⅱ卷 两角和与差的正弦公式、余弦公式 2022年北京卷 二倍角公式、三角函数的单调性 2022年北京卷 辅助角公式 2021年全国Ⅰ卷· 同角三角函数基本关系式、二倍角公式 2021年北京卷 二倍角公式、三角函数的奇偶性和最值 2021年全国甲卷（理） 同角三角函数基本关系式、二倍角公式 题型突围 题型一 两角和与差的正弦、余弦公式的应用 指点迷津 ⑴使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征. ⑵特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的. 例1．（公式展开）（2025·河南信阳·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【详解】由可得：，， 两式相加可得：，则； 两式相减可得：，则， 故. 故选：A. 例2．（平方）（2025高三·全国·专题练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由得， 又， 由 ，所以． 故选：A . 例3．（凑角）（2025·安徽·模拟预测）已知锐角满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 因为，所以. 故选：B. 【相似题1】（2025·江西·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以， 故. 故选：D. 【相似题2】（24-25高一上·贵州毕节·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，则. 故选：B. 【相似题3】（2025·贵州黔东南·三模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，可得， 化简可得， 同理可得， 两式相加得， 计算得. 故选：C. 【相似题4】（2023·湖南长沙·模拟预测）已知，，则（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】D 【详解】由得，进而可得，所以， 故选：D 【相似题5】（2023·广东潮州·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，解得， 所以，. 故选：A. 【相似题6】（2025·江苏盐城·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， ，即， ， ， ， 故选：A. 【相似题7】（2025·湖南长沙·三模）若，则 【答案】 【详解】因为，所以， 由可得， 所以． 故答案为：. 题型二 两角和与差的正弦、余弦公式的逆用和变形用 指点迷津 1.公式的逆用 ； ； ； ； ；； ⑴在逆用两角和与差的正弦、余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求. ⑵在逆用两角差的正弦公式时，注意两角的位置,否则容易出现错误. 2. 两角和与差的正切公式的变形 ； ． 3.若所给角为非特殊角，要先考虑它们的和或差是否为特殊角，再应用两角和与差的正切公式的逆用求值. 例1．（两角差的余弦公式的逆用）（24-25高一下·江苏淮安·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以原式. 故选：D. 例2．（两角差的正切公式的逆用）（24-25高一下·江苏苏州·期末）计算（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 故选：B. 例3．（两角和的正切公式的变形用）（2025·江西·一模）化简（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】由两角和的正切公式得 由诱导公式得， 则原式可化为，故D正确. 故选：D.、 【相似题1】（24-25高一下·四川绵阳·阶段练习）的值等于（   ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【详解】因为， 故选：C． 【相似题2】（24-25高一上·全国·课后作业）下列各式中值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，，A错误； 对于B，， 由，则 故原式，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，故原式，D错误． 故选：B. 【相似题3】（24-25高一下·四川雅安·阶段练习）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于， 故， 则， 故选：A 【相似题4】（2025·四川成都·模拟预测）已知，是第三象限角，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ，又是第三象限角，． 从而. 故选：B 【相似题5】（23-24高一下·江苏扬州·期末）已知，则的值（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、逆用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】先对利用诱导公式与两角和的余弦公式化简可得，代入中利用两角和的正切公式化简计算即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以，所以， 所以， 所以 ， 故选：D 【相似题6】（24-25高三上·山西·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据两角和的正切公式，， 可得，即； 根据诱导公式，， 故原式. 故选：A. 题型三 角的变换问题 指点迷津 由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中需要灵活地进行拆角或凑角的变换，常见角的变换有： ①；②；③； ④；⑤． 注意：特殊的角也看成已知角，如常用的拆角、配角技巧：；；；；；等． 例1．（凑角）（24-25高一下·湖北黄冈·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 所以，， 所以 ， 故选：C． 例2.（拆角）（2025·广西·模拟预测）已知，则 （    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以， 所以， 即， 所以，即 故选：A. 【相似题1】（2023·青海·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由，解得， 则， 则． 故选：A. 【相似题2】（2025·广东广州·三模）已知都是锐角，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】法一：由是锐角，得. 因为是锐角，所以. 又因为，所以， 所以. 法二：由已知可得，所以， ∴. 故选：C. 【相似题3】（2025·海南·模拟预测）若，且为锐角，为钝角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，， 所以，，得， 又，且，所以， . 故选：B． 【相似题4】（24-25高一下·江苏扬州·阶段练习）已知，，且，， 【答案】 【详解】因为，，所以，故， 所以， 所以，解得. 故答案为：. 题型四 二倍角公式的正用与逆用 指点迷津 1、二倍角公式 ①； ②； ③； 2、二倍角公式的逆用 ；；； 例1．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解法1   ． 解法2  由已知式展开得，两边平方得，得． 例2．（24-25高二下·河北·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 ，所以，所以， 故. 故选：D 【相似题1】（25-26高三上·江苏南京·阶段练习）已知角的正切，则 ． 【答案】 【详解】 故答案为：. 【相似题2】（2025·浙江杭州·模拟预测）若，则 . 【答案】 【详解】. 故答案为：. 【相似题3】（2025·山东青岛·模拟预测）已知，，则 . 【答案】 【详解】由，， 则， 所以， 则. 故答案为：. 【相似题4】（2025·广东阳江·三模）已知，则 . 【答案】 【详解】由可得， 化简可得， 又，所以， 所以. 故答案为： 【相似题5】（2025·四川眉山·模拟预测）已知，则 . 【答案】 【详解】因为，所以， 所以， 因为，所以 所以 所以， 故答案为： 【相似题6】（2025·浙江金华·三模）若，则 . 【答案】 【详解】由 ， 故答案为： 题型五 降幂扩角公式和升幂缩角公式的应用 指点迷津 降幂扩角公式和升幂缩角公式 降幂公式：；. 升幂公式：；； ； 例1．（2025·甘肃·模拟预测）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由， 则函数的最小正周期. 故选：B. 例2．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 即，可得 所以 . 故选：D. 【相似题1】（2024·湖南邵阳·二模）已知为锐角，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知为锐角，若，则， 所以. 故选：A. 【相似题2】（24-25高一下·四川成都·期中）已知角终边在第二象限，且，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】由，角终边在第二象限， 则， ， 所以. 故选：C. 【相似题3】（23-24高一下·四川绵阳·阶段练习）函数的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】 ， 因为，所以， 当，即，取得最大值， 即. 故答案为：A. 【相似题4】（24-25高一下·江苏南京·期末）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 . 故选：A. 【相似题5】（2025·山东泰安·模拟预测）若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 . 故选：C. 【相似题6】（2025·江西新余·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【详解】因为 ， 又因为，且，, 所以，故， 又由于，所以， 由于， 故选：A． 题型六 半角公式的应用 指点迷津 半角公式 ；； ． 例1．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知为三角形的内角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为三角形的内角，， 所以 . 故选：B 【相似题1】（2025·甘肃兰州·模拟预测）若 ，且 ，则 等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为 ，且 ， 所以 ， 又 ， 所以 ． 故选：D. 【相似题2】（24-25高一下·甘肃庆阳·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵，， ∴，， 所以. 故选：D. 【相似题3】（23-24高三下·河北张家口·开学考试）已知，是第四象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得，故， 由于是第四象限角，故， ∴． 故选：D． 【相似题4】（2025·辽宁本溪·模拟预测）若，且，则 . 【答案】 【详解】由，得，解得或， 又，所以， 所以， 所以， 故答案为： 【相似题5】（24-25高一下·四川绵阳·期中）已知，，则 . 【答案】 【详解】由可得， 因，则，则，， 故. 故答案为：. 【相似题6】（24-25高三上·辽宁辽阳·期末）已知，，则 . 【答案】 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以，， 所以. 故答案为：. 题型七 万能公式 指点迷津 万能公式： ； . 例1．（2025·安徽芜湖·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意，， . 故选：A. 例2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知，，则 . 【答案】 【详解】 . 故答案为： 【相似题1】（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由， 得， 则，而． 故选：B 【相似题2】（2024高三·全国·专题练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得， 得，则， ， 故． 故选：C. 【相似题3】（24-25高一下·湖南·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，，整理得，即， 所以. 故选：C 题型八 积化和差与和差化积公式 指点迷津 和差化积公式： ； ； ； ． 积化和差公式： ； ； ； ． 例1．（2025高三·全国·专题练习）已知，，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】解法一：由两角和与差的正弦展开式化简可得、，再相除可得答案；解法二：利用积化和差公式化简可得答案；解法三，利用比例性质可得答案；解法四：由两角和与差的正弦展开式化简再利用齐次式可得答案. 【详解】解法一：由题意可得①， ②， 由①②得，， 两式相除得. 解法二： . 解法三：设， 即， 解得. 解法四：， 所以，即. 故选：C. 【相似题1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】依题意，，则， 又，则 所以. 故选：B 【相似题2】（2025·湖南常德·一模）已知，则（    ） A． B．7 C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 由和差化积公式可得， 因为，所以， 由， 可得，所以. 故选：C 【相似题3】（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知角满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 由积化和差得， 即， 故，解得. 故选：C 【相似题4】（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由， 可得：， 即，又， 结合平方差公式可得：. 故选：C 【相似题5】（2025·江西南昌·二模）已知、终边不重合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 即 ， ， 所以，， 因为、的终边不重合，则，则， 所以，则，所以， 因此，. 故选：D. 【相似题6】（2025高三·全国·专题练习）若，则 ． 【答案】 【详解】因为 ，所以， 故答案为：. 【相似题7】（24-25高二上·上海·阶段练习）已知，则 . 【答案】 【详解】由， 可得 ， 则. 故答案为：. 题型九 辅助角公式的应用 指点迷津 辅助角公式 （其中，， ）. 命题1 特殊角的辅助角公式 1．（24-25高一下·北京海淀·阶段练习）将下列函数化成正弦型函数（的形式） (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)；(2)；(3) (4) 【详解】（1）； （2）； （3）； （4） ； 【相似题1】（2025·湖北·模拟预测）已知，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】， 故，可得， 代入计算可得. 故选：C. 【相似题2】（2024·福建泉州·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解法一：（特殊法）由题知满足条件，所以. 解法二：由题得，所以， 所以，所以, . 解法三：由题得， 所以，即， 所以，即. 解法四：由题得，所以， 所以，即， 所以，所以. 解法五：观察，知同正，为第一象限角， 其正切值为正，排除A，B. 若，可取，则， 不符合已知条件，排除D， 故选:C. 【相似题3】（2025·河北·模拟预测）已知，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】D 【详解】因为，所以. 所以.所以， 因为.则，所以， 所以.所以3. 故选：D 【相似题4】（24-25高一下·江苏南京·期中）设当时，函数取得最大值，则 ． 【答案】 【详解】由题函数， 所以当即时，函数取得最大值， 此时. 故答案为： 命题2 非特殊角的辅助角公式 例2．（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知函数在处取得最小值，则 . 【答案】 【详解】因为， 其中 因为函数在处取得最小值，则 则 ，即 ， 所以 故答案为： 【相似题1】（2025·陕西渭南·二模）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，其中满足，. 所以函数的最小正周期为. 故选：C. 【相似题2】（2025·上海青浦·模拟预测）函数的值域是 . 【答案】 【详解】， 其中， 则其值域为 故答案为：. 【相似题3】（24-25高三上·甘肃白银·期中）函数，若“”是“取得最大值”的充分条件，则 . 【答案】 【详解】，其中，， 由题意知，则， 此时. 故答案为： 【相似题4】（24-25高三上·浙江·阶段练习）若函数在处取得最大值，则 . 【答案】 【详解】因为， 设，， 则，， 当，时， 即当，函数取最大值，最大值为， 所以， 所以. 故答案为：. 【相似题5】（2025·四川绵阳·模拟预测）若函数为奇函数，则 ． 【答案】 【详解】依题意，，其中锐角由确定， 由为奇函数，得，即， 所以. 故答案为： 题型十 三角恒等变换之化简问题 指点迷津 ⑴三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征. ⑵三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系（和、差、倍、互余、互补等），寻找式子和三角函数公式之间的联系点. 例1.（2025·山东·模拟预测）已知，，则（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】A 【详解】依题意，， 若，则，而， 与矛盾，得到，， 所以， 则，即，故A正确. 故选：A 例2．（24-25高三下·广东揭阳·开学考试）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，且，则， 则 ，  则 ， 则， 两边平方可得：，解得：， 则 . 故答案为：. 【相似题1】（2026高三·全国·专题练习）函数的单调减区间为 . 【答案】， 【详解】因为 ， 则函数的单调减区间为：，， 解得，. 即所求区间为，. 故答案为：，. 【相似题2】（2025·河南·三模）函数的最小正周期为 ． 【答案】 【详解】的定义域为， ，所以的最小正周期． 故答案为：. 【相似题3】（2024·四川绵阳·模拟预测）若为锐角，＝，则 . 【答案】 【详解】为锐角，， 又， ，， ， 故答案为：． 【相似题4】（2025高三·全国·专题练习）若，则 ． 【答案】 【详解】解法一：由题意得， 所以． 解法二：由，得， 所以，又， 所以． 故答案为：. 题型十一 三角恒等变换之给角求值 指点迷津 给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解. 例1．（2023·重庆·模拟预测）式子化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原式 . 故选：B. 例2．（2025·河北·模拟预测）化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 故选：A. 练习1.（24-25高一上·全国·课后作业）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】． 故选：A. 练习2.（24-25高三下·安徽安庆·阶段练习）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】首先，我们先对合理变形， 得到， ， 由积化和差公式得， 同理可得， ， 则， 得到，故A正确. 故选：A 练习3．（24-25高三上·河北石家庄·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，同理可得， . 故选：D. 练习4．（2025·湖南永州·模拟预测）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】. 故选：D. 练习5．（2026高三·全国·专题练习） . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用同角公式、二倍角公式及差角的正弦公式化简计算即可. 【详解】原式 . 故答案为： 练习6．（2025高三上·全国·专题练习）求值： ． 【答案】 【详解】方法一：原式 ； 方法二：令原式乘以得， ， 则原式． 故答案为：. 题型十二 三角恒等变换之给值求值 指点迷津 给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出想应角的三角函数值、代入即可. 例1．（24-25高一下·重庆·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， ． 故选：A. 例2．（24-25高一下·江西吉安·期末）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，解得， 所以. 故选：A. 练习1．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由及，得. 又由，得，得， 所以，而， 故选：B. 练习2．（2025·安徽淮北·模拟预测）已知且则tanβ=（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 得，又， 解得，由，解得， 所以， 所以. 故选：C 练习3．（24-25高一下·江苏连云港·阶段练习）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可知， 在上述等式两边同除可得，可得， 解得， 所以， 当时，， 当时，， 综上所述，，因此，. 故选：B. 练习4．（2025·河南·三模）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 即，可得， 即，． 因为，则， 可得， 又因为， 可得． 所以． 故选：D. 练习5．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）已知，则（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以 . 故选：B 练习6．（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知，则 . 【答案】 【详解】因为 由 . 故答案为：. 练习7.（24-25高一下·四川成都·期中）已知，则的值为 . 【答案】 【详解】， ， 故答案为：. 题型十三 三角恒等变换之给值求角 指点迷津 给值求角问题一般是先求角的范围，再求角的某一三角函数值，最后根据范围确定角，遵照以下原则： ⑴已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数. ⑵为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数.如角的范围是，则选余弦函数或正切函数，若角的范围是，则选正弦函数或正切函数. 例1．（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，且， 所以 所以， 所以， 因为，所以， 故选：A． 例2．（24-25高一下·广东梅州·阶段练习）已知，，，，则（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【详解】由，得， 则，而，解得， 因此，由，， 得或，则， 所以. 故选：C 【相似题1】（24-25高三下·重庆·阶段练习）设是方程的两根，且，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【详解】因为是方程的两根， 所以， 所以， 因为，所以，所以， 则， 所以. 故选：B. 【相似题2】（23-24高二下·浙江·期末）已知为钝角，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于为钝角，且， 所以， 且， 所以， 所以， 故选：D. 【相似题3】（24-25高一上·全国·课后作业）若，，并且均为锐角，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，可得， 又，所以， 因为，，所以， 所以 ， 又因为，所以. 故选：C 【相似题4】（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知，为锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，为锐角，，， 所以，， 所以， 则 ， 所以， 故选：A． 题型十四 三角恒等变换的综合应用 指点迷津 ⑴进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；另外还要注意公式的逆用和变形使用. ⑵形如化为，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性. 例1．（22-23高三上·河北唐山·开学考试）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 ， 因为，所以， 又，可得,， 所以． 故选：A． 练习1.（24-25高三上·河南周口·期中）已知，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵，∴， ∴， ∵，∴，故， ∴， ∴ . 故选：A. 练习2.（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为 ， 由题意可知，，所以， 因为，，， 所以，， 所以，， 因为， ， 所以. 故选：C. 练习3.（2025·河北秦皇岛·二模）已知为锐角，且，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得， 即， 因此 即可得， 令，则， 令，则, 由可得， 因此可知当时，，此时在上单调递减， 当时，，此时在上单调递增， 因此可得当时，取得极小值，也是最小值， 即， 因此的最小值为. 故选：C 练习4．（2024·河南·模拟预测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由， 得， 又，所以，所以， 所以， 即， 因为，， 所以， 且在上单调递增，所以， 所以，则， 所以. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：化简得后，利用诱导公式得，是解题关键. 限时作业 （建议用时45 分钟） 1、 单选题 1．（24-25高一下·江苏淮安·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以原式. 故选：D. 2．（24-25高一下·湖北·期中）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 所以，则 故选：A． 3．（2024·安徽·模拟预测）（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得：. 故选：D. 4．（24-25高一下·江苏盐城·期中）设，，，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ， ， 由于在上单调递增，所以， 即， 故选：D 5．（2024·江西九江·二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以，解得， 所以， 又，所以，所以. 故选：A 6．（2025·湖南·二模）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以 . 故选：C 7．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知为第一象限角，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，解得或. 又为第一象限角，所以， 所以， .故C正确. 故选：C. 8．（2025·广东茂名·二模）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以. 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高三上·四川眉山·阶段练习）计算下列各式的值，其结果为2的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于选项A： ，故A正确； 对于选项B： ，故B错误； 对于选项C： ，故C正确； 对于选项D： ，故D错误. 故选：AC. 10．（2025·浙江·三模）已知为锐角，若，则下列说法正确的有（   ） A．的终边经过点 B． C． D．若，则 【答案】ACD 【详解】对于A，，又为锐角， 则，则， 则的终边经过点，取，则的终边经过点，故A正确； 对于B，因，又为锐角，则， 则，则，故B错误； 对于C，，又， 则，则，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD. 11．（2025·湖南长沙·二模）已知，，则下列各式正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】A项：由已知：，因此，故A项正确； B项：因为，且，所以，因此．又因为，因此，故B项错误； C项：，故C项错误； D项：由方程组，解得于是，故D项正确． 故选：AD. 三、填空题 12．（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）已知，则 . 【答案】 【详解】由，得, 故. 故答案为： 13．（2024·吉林白山·一模）化简 ． 【答案】2 【详解】． 故答案为：2. 14．（24-25高一下·上海·期中）已知函数在时取得最大值，则 . 【答案】 【详解】，其中， 当时，即时，函数取得最大值， 即， 则 . 故答案为： 真题呈现 1．（2025年全国二卷高考真题）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 因为，则，则， 则. 故选：D. 2．（多选）（2025年全国一卷高考真题）已知的面积为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】，由二倍角公式，， 整理可得，，A选项正确； 由诱导公式，， 展开可得， 即， 下证. 方法一：分类讨论 若，则可知等式成立； 若，即，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，，同理， 又，于是， 与条件不符，则不成立； 若，类似可推导出，则不成立. 综上讨论可知，，即. 方法二：边角转化 时，由，则， 于是， 由正弦定理，， 由余弦定理可知，，则， 若，则，注意到，则， 于是（两者同负会有两个钝角，不成立），于是， 结合，而都是锐角，则， 于是，这和相矛盾， 故不成立，则 方法三：结合射影定理（方法一改进） 由，结合正弦定理可得，，由射影定理可得，于是， 则，可同方法一种讨论的角度，推出， 方法四：和差化积（方法一改进） 续法三： ，可知同时为或者异号，即，展开可得， ， 即，结合和差化积，，由上述分析，，则，则，则，即，于是，可知. 由，由，则，即， 则，同理，由上述推导，，则， 不妨设，则，即， 由两角和差的正弦公式可知，C选项正确 由两角和的正切公式可得，， 设，则， 由，则，则， 于是，B选项正确，由勾股定理可知，，D选项错误. 故选：ABC 3．（2025年北京卷）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】C 【详解】函数， 设函数的最小正周期为T，由可得， 所以，即； 又函数在上存在零点，且当时，， 所以，即； 综上，的最小值为4. 故选：C. 4．（2025年上海卷）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则可的取值范围是 ． 【答案】 【详解】若，则， 又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立； 故. 不妨设，则， 不妨设，， 则，则， 则 ， 由，， 则， 故. 故答案为：. 5．（2024年新课标Ⅰ卷高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 而，所以， 故即， 从而，故， 故选：A. 6．（2024年新课标Ⅱ卷高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 . 【答案】 【详解】法一：由题意得， 因为，， 则，， 又因为， 则，，则， 则，联立 ，解得. 法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则, ，， 则 故答案为：. 7．（2024年全国甲卷（理）高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以，， 所以， 故选：B. 8．（2024年上海高考真题）下列函数的最小正周期是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对A，，周期，故A正确； 对B，，周期，故B错误； 对于选项C，，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误； 对于选项D，，周期，故D错误， 故选：A． 9.（2023年新课标Ⅰ卷高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，而，因此， 则， 所以. 故选：B 10．（2023年新课标Ⅱ卷高考真题）已知为锐角，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，而为锐角， 解得：． 故选：D． 11．（2023年上海高考真题）已知，则= . 【答案】 【详解】已知，则. 故答案为： 12．（2022年新高考全国Ⅱ卷高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】[方法一]：直接法 由已知得：, 即：， 即：，所以 故选：C [方法二]：特殊值排除法 解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取，排除A, B； 再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β，排除D；选C. [方法三]：三角恒等变换 所以 即 故选：C. 13．（2022年北京高考真题）已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】C 【分析】化简得出，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项. 【详解】因为. 对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错； 对于B选项，当时，，则在上不单调，B错； 对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对； 对于D选项，当时，，则在上不单调，D错. 故选：C. 14．（2022年北京高考真题）若函数的一个零点为，则 ； ． 【答案】 1 【详解】∵，∴ ∴ 故答案为：1， 15．（2021年全国新高考Ⅰ卷高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将式子进行齐次化处理得： ． 故选：C． 16．（2021年北京高考真题）函数是 A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2 C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为 【答案】D 【详解】由题意，，所以该函数为偶函数，又， 所以当时，取最大值. 故选：D. 17．（2021年全国甲卷（理）高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 ， ，，，解得， ，. 故选：A. 学科网（北京）股份有限公司 $$