第24章 圆 第9课时切线长定理暑假预习课- 2025-2026学年人教版九年级数学上册

暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学 第24章《圆》第9课时切线长定理 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 1.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长　 　，这一点和圆心的连线　 　两条切线的夹角. 图1－24－46－1 几何语言： ∵PA，PB是⊙O的切线， ∴　PA＝PB，∠OPA＝∠OPB　. 1. 如图， PA，PB与⊙O相切，切点为A，B. (1)若∠APB＝60°，OA＝1，则∠APO＝ ，PA＝　 　； (2)若∠AOB＝120°，则△PAB是　 　三角形. 2.与三角形各边都　相切　的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的　 　，是三角形三条　 　的交点，它到三角形　 　的距离相等. 2. 如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝70°，点O是△ABC的内心，则∠BOC＝　 . 知识点1：切线长定理的简单运用 【例1】如图，PA，PB，EF分别切⊙O于点A，B，C，PA＝10 cm，则△PEF的周长为( ) A.10 cm B.15 cm C.20 cm D.25 cm　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点2：切线长定理的综合运用 【例2】 (人教九上P100例2改编)如图，⊙O分别切△ABC的三条边AB，BC，CA于点D，E，F.若AB＝6，AC＝5，BC＝7，求AD，BE和CF的长. 知识点3：三角形的内心 【例3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°. (1)求作：Rt△ABC的内切圆⊙O(保留作图痕迹，无需写出作图过程)； (2)∠BOA＝　 　°； (3)若AC＝3，BC＝4，则Rt△ABC的内切圆⊙O的半径为　 　； (4)若角A，B，C的对边分别为a，b，c，则其内切圆半径为　 . 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，为外一点，，分别切于，两点，若，则的长为(    ) A. B. C. D. 2.如图，，分别与相切于点，，，为上一点不与点，重合，则的度数为(    ) A. B. C. D. 3.如图，等腰的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，则的长是(    ) A. B. C. D. 4.如图，点在外，，分别与相切于，两点，，则等于  (    ) A. B. C. D. 5.如图，是的内切圆，与，，分别相切于点，，若的半径为，，，，则的面积为    ． A. B. C. D. 6.如图，，分别与相切于点，，为上一点，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 7.如图，中，内切圆和边、、分别相切于点、、，若，，则的度数是(    ) A. B. C. D. 8.如图，，分别与相切于，两点，点为上一点，连接，，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 9.如图，，与相切于点，，，与相切于点，交，于，两点，则的周长是          ． 10.如图，直尺、三角尺都和相切，切点分别为，若，则的半径为          ． 11.如图，在中，，，为的中点，分别与，相切于，两点，则的半径长为            ． 12.如图，是外一点，，分别与相切于点，，点在上已知，则的度数是          ． 13.如图，已知的内切圆与边相切于点，连接，若，则的度数为           14.如图，，分别与相切于，，，为上一点，则的度数为          ． 15.如图，，与相切于点，若，是圆上不与点，重合的动点，则的度数为          ． 16.如图，的半径为，，分别与相切于点，，，则的长为          ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.如图，的内切圆与三边分别相切于，，三点，，，，求，，的长． 18.教材习题变式如图，，，分别与相切于，，三点，，且，，，求的半径． 19.如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，求，，的长． 20.如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，求，，的长．  21.如图，与四边形的各边分别相切于点，，，． 若，，，求的半径长； 若，的长是关于的方程的两个实数根，且四边形的面积为，求的半径长．  22.如图，的直径，和是它的两条切线，与相切于点，并与，分别相交于，两点． Ⅰ若，求的度数； Ⅱ设，，求关于的函数解析式． 23.如图，在四边形中，，，与边，，，分别相切于点，，，． 求证：． 若，，求的长．   24.已知的两边分别与相切于点，，的半径为． 如图，点在点，之间的优弧上，，求的度数； 如图，点在圆上运动，当最大时，要使四边形为菱形，的度数应为多少？请说明理由． 25.【教材母题】如图，，，分别与相切于，，三点，且． 求证：； 若，，求的半径．   26.如图，在中，是直角，内切圆与，分别相切于点，． 试判断四边形的形状，并说明理由； 若此直角三角形两条直角边的长分别为和，求线段的长． 27.如图，是的内切圆，切点分别为，，，与相切于点，分别交，于点，． 若的周长为，求线段的长； 若，，，求的半径． 28.如图，，，分别与相切于点、，，且，，． 求的度数； 求的长； 求的半径． 29.如图，、、分别与相切于、、，且，，． 判断的形状，并证明你的结论； 求的长； 求的半径的长． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学 第24章《圆》第9课时切线长定理 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 1.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长　相等　，这一点和圆心的连线　平分　两条切线的夹角. 图1－24－46－1 几何语言： ∵PA，PB是⊙O的切线， ∴　PA＝PB，∠OPA＝∠OPB　. 1. 如图1－24－46－2， PA，PB与⊙O相切，切点为A，B. 图1－24－46－2 (1)若∠APB＝60°，OA＝1，则∠APO＝ 30° ，PA＝　　； (2)若∠AOB＝120°，则△PAB是　等边　三角形. 2.与三角形各边都　相切　的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的　内心　，是三角形三条　角平分线　的交点，它到三角形　三边　的距离相等. 2. 如图1－24－46－3，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝70°，点O是△ABC的内心，则∠BOC＝　125°　. 图1－24－46－3 知识点1：切线长定理的简单运用 【例1】如图，PA，PB，EF分别切⊙O于点A，B，C，PA＝10 cm，则△PEF的周长为( C ) A.10 cm B.15 cm C.20 cm D.25 cm　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点2：切线长定理的综合运用 【例2】 (人教九上P100例2改编)如图，⊙O分别切△ABC的三条边AB，BC，CA于点D，E，F.若AB＝6，AC＝5，BC＝7，求AD，BE和CF的长. 解：设AD＝x， 则AF＝AD＝x，BE＝BD＝AB－AD＝6－x， CE＝CF＝AC－AF＝5－x. ∵BE＋CE＝BC， ∴(6－x)＋(5－x)＝7. 解得x＝2. ∴AD＝2，BE＝4，CF＝3. 知识点3：三角形的内心 【例3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°. (1)求作：Rt△ABC的内切圆⊙O(保留作图痕迹，无需写出作图过程)； (2)∠BOA＝　135　°； (3)若AC＝3，BC＝4，则Rt△ABC的内切圆⊙O的半径为　1　； (4)若角A，B，C的对边分别为a，b，c，则其内切圆半径为　或　. 解：(1)如答图，⊙O即为所作. 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，为外一点，，分别切于，两点，若，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  2.如图，，分别与相切于点，，，为上一点不与点，重合，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  3.如图，等腰的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，则的长是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等腰三角形的性质和勾股定理． 连接、、、，交于，利用切线的性质和切线长定理得到平分，，，，再根据等腰三角形的性质判断点、、共线，，利用勾股定理计算出，则，设的半径为，则，，利用勾股定理得到，解得，于是可计算出，然后证明垂直平分，利用面积法求出，从而得到的长． 【解答】 解：连接、、、，交于，如图， 等腰的内切圆与，，分别相切于点，，， 平分，，，， ， ， 点、、共线，即， ， 在中，， ， ， 设的半径为，则，， 在中，，解得， 在中，， ，， 垂直平分， ，， ， ， ． 故选：． 4.如图，点在外，，分别与相切于，两点，，则等于  (    ) A. B. C. D. 【答案】C  5.如图，是的内切圆，与，，分别相切于点，，若的半径为，，，，则的面积为    ． A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：是的内切圆且半径为，，， ， ， 则的面积为， 故选：． 根据三角形面积三角形边长之和乘以内切圆半径之积的一半．计算即可． 本题考查了三角形内切圆与三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边与内切圆的关系是解答此题的关键． 6.如图，，分别与相切于点，，为上一点，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  7.如图，中，内切圆和边、、分别相切于点、、，若，，则的度数是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：连接、，如图， 内切圆和边、分别相切于点、， ，， ， ， ， ， ，， ， ． 故选：． 连接、，如图，根据切线的性质得到，利用四边形的内角和得到，再利用圆周角定理得到，然后根据三角形内角和求出，从而可计算出． 本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角，也考查了切线的性质． 8.如图，，分别与相切于，两点，点为上一点，连接，，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：连接、，则， 又由、分别与相切于、两点， 得到， 所以 ， 从而得到， 因此本题选B． 二、填空题： 9.如图，，与相切于点，，，与相切于点，交，于，两点，则的周长是          ． 【答案】  10.如图，直尺、三角尺都和相切，切点分别为，若，则的半径为          ． 【答案】  11.如图，在中，，，为的中点，分别与，相切于，两点，则的半径长为            ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，证明是等边三角形是解题的关键． 连接，，由证明≌得出，再结合证明是等边三角形，得出，最后根据勾股定理求解即可． 【解答】 解：如图，连接，， 分别与，相切于，两点， ，， 为的中点，， ， 在与中， ， ≌， ， 又， 是等边三角形， ， 在中，，， ， 即的半径长为， 故答案为：． 12.如图，是外一点，，分别与相切于点，，点在上已知，则的度数是          ． 【答案】  13.如图，已知的内切圆与边相切于点，连接，若，则的度数为           【答案】  14.如图，，分别与相切于，，，为上一点，则的度数为          ． 【答案】  15.如图，，与相切于点，若，是圆上不与点，重合的动点，则的度数为          ． 【答案】或  【解析】解：分别连接、；、；、；、；、；、各点 当为锐角，也就是时： ，与相切于点，两点 ，， ， 在中，， 在中，为圆周角， ， 如果当为钝角，也就是时 四边形为的内接四边形， ， 故答案为：或． 此题分为两种情况，如图点的位置有两个，所以可能是锐角，也有可能是钝角，分别连接、；、；、；、；、；、各点 当为锐角，也就是时，根据，与相切，结合已知条件，在中，即可得出圆心角的度数，根据同弧所对的圆周角为圆心角的一半，即可得出的度数 如果当为钝角，也就是时，根据的内接四边形的性质，即可得出的度数． 本题考查圆的切线性质，在解题过程中还要注意对圆的内接四边形、圆周角、圆心角的有关性质的综合应用 16.如图，的半径为，，分别与相切于点，，，则的长为          ． 【答案】  三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.如图，的内切圆与三边分别相切于，，三点，，，，求，，的长． 【答案】设的内切圆与三边分别相切于，，三点，，，，，，，，解得，，  18.教材习题变式如图，，，分别与相切于，，三点，，且，，，求的半径． 【答案】解：如图，、、分别与相切于、、， 由，，，可得≌， ，同理，， ， 又，， ， 由面积公式得： 则的半径为．  19.如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，求，，的长． 【答案】的长为，的长为，的长为  20.如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，求，，的长． 【答案】解：设，则 ， ， ． 由，可得 ． 解得 ． 因此 ，，．   21.如图，与四边形的各边分别相切于点，，，． 若，，，求的半径长； 若，的长是关于的方程的两个实数根，且四边形的面积为，求的半径长． 【答案】(1)解：连接AC，则易证Rt△ABC≌Rt△ADC， ∴∠CAD＝∠CAB＝30°， ∴，， 设⊙O的半径为r，则． ∴； （另解：连接OE，OF，则四边形OEBF是正方形，设⊙O的半径为r，则OE＝BE＝r，， ∵， ∴， ∴， ∴；）   (2)接：∵AB，CD的长是原方程的两个实数根， ∴AB＋CD＝3，由切线长定理易证： BC＋AD＝AB＋CD＝3， ∴四边形ABCD的周长为6， ∴⊙O的半径长为．   22.如图，的直径，和是它的两条切线，与相切于点，并与，分别相交于，两点． Ⅰ若，求的度数； Ⅱ设，，求关于的函数解析式． 【答案】解：与都是的切线， ， ， ， ， ； 过点作于点，可知， 和是的两条切线，与相切于点， ，， ， ， 在中， 由勾股定理可知：， 即， 化简可得：．  【解析】本题考查圆的综合问题，涉及切线的性质，勾股定理等知识，属于中等题型． 由于与都是的切线，易证，所以，从而可求出的度数； 过点作于点，可知，由切线长定理以及勾股定理即可求出与之间的关系式． 23.如图，在四边形中，，，与边，，，分别相切于点，，，． 求证：． 若，，求的长． 【答案】(1)证明：连接OE，OF，OH，证得正方形OEAH和正方形OEBF， ∴AE＝BE.   (2)解：作CM⊥AD于点M，可证H，O，F三点共线， ∴四边形CMHF为矩形． DH＝AD－AH＝5－2＝3＝DG，AB＝CM＝4， 设HM＝CF＝CG＝x，则DM＝3－x，在△DCM中，（3－x）2＋42＝（3＋x）2， ∴， ∴．   24.已知的两边分别与相切于点，，的半径为． 如图，点在点，之间的优弧上，，求的度数； 如图，点在圆上运动，当最大时，要使四边形为菱形，的度数应为多少？请说明理由． 【答案】解：如图，连接，， ，为的切线， ， ， ， ， ， ； 如图，当时，四边形是菱形， 连接，， 由可知，， ， ， ， 点运动到距离最大， 经过圆心， ，为的切线， ，， 又， ≌， ，， ， ， ， 四边形是菱形．  【解析】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，菱形的判定等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 连接，，由切线的性质可求，由四边形内角和可求解； 当时，四边形是菱形，连接，，由切线长定理可得，，由“”可证≌，可得，，可证，可得四边形是菱形． 25.【教材母题】如图，，，分别与相切于，，三点，且． 求证：； 若，，求的半径． 【答案】(1)证明：连接OE，OF，OG． 则OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥CD， ∴BO平分∠ABC，CO平分∠BCD． ∵AB // CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°， ∴∠OBC＋∠OCB＝90°，∴∠BOC＝90°，∴OB⊥OC；   (2)解： ， ∵OB·OC＝BC·OF， ∴． ∴⊙O的半径为4.8．   26.如图，在中，是直角，内切圆与，分别相切于点，． 试判断四边形的形状，并说明理由； 若此直角三角形两条直角边的长分别为和，求线段的长． 【答案】(1)四边形CDIE是正方形  理由：∵⊙I为△ABC的内切圆，∴IE⊥AC，ID⊥BC．又∵∠ACB是直角，∴∠ACB＝∠IEC＝∠IDC＝90°．∴四边形CDIE是矩形．又∵IE＝ID，∴四边形CDIE是正方形．  (2)连接AI，BI．由题意，得．∵，易得点 I到△ABC三边的距离相等，∴．∴ ID＝4．由（1），得CD＝ID＝4．∴在Rt△CDI中，  27.如图，是的内切圆，切点分别为，，，与相切于点，分别交，于点，． 若的周长为，求线段的长； 若，，，求的半径． 【答案】(1)∵⊙O是△GDP的内切圆，切点分别为A，B，H，∴PA＝PB．∵EF与⊙O相切于点C，∴EA＝EC，FB＝FC．∵△PEF的周长为12，∴PE＋EC＋PF＋FC＝12．∴PE＋EA＋PF＋FB＝12，即PA＋PB＝12．∴PA＝6  (2)如图，连接OB、OH．设⊙O的半径为r．∵∠G＝90°，GD＝3，GP＝4，∴．∴ PA＋DA＝5．∵⊙O是△GDP的内切圆，切点分别为A，B，H，∴OH⊥DG，OB⊥PG，PA＝PB，DA＝DH．∴∠OBG＝∠OHG＝∠G＝90°．∴四边形OBGH是矩形．又∵OB＝OH＝r，∴四边形OBGH是正方形．∴GB＝GH＝r．∵GP＋GD＝GB＋PB＋GH＋DH＝2r＋PA＋DA＝2r＋5，∴2r＋5＝7．∴r＝1．∴⊙O的半径为1   28.如图，，，分别与相切于点、，，且，，． 求的度数； 求的长； 求的半径． 【答案】(1)由切线长定理得BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG．∵AB // CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°，∴∠OBF＋∠OCF＝90°，∴∠BOC＝90°．  (2)由（1）知，∠BOC＝90°．∵OB＝12 cm，OC＝16 cm，∴，∴ BE＋CG＝BF＋CF＝BC＝20 cm．  (3)连接OF，∵OF⊥BC，∴，即⊙ O的半径为9.6 cm．  29.如图，、、分别与相切于、、，且，，． 判断的形状，并证明你的结论； 求的长； 求的半径的长． 【答案】解：判断：是直角三角形． 证明：、、分别与相切于、、， ，， ， ， ， ， 是直角三角形； 在中，，， ； 、、分别与相切于、、， ， ， ．   【解析】【分析】 此题考查了切线长定理、切线的性质、勾股定理以及直角三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 由切线长定理，推出，，又由，则可求得，从而得出三角形的形状． 由，，利用勾股定理即可求得的长； 根据切线的性质得出，再利用直角三角形的面积，即可求得的半径的长． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$