第24章《圆》第8课时切线的判定 暑假预习课-2025-2026学年人教版数学九年级上册

暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学 第24章《圆》第8课时切线的判定 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 切线的判定 判定 方法一：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 方法二：若圆心到直线的距离等于半径，则这条直线是圆的切线 图形 辅助线 点A在圆上，连接OA 作OA⊥l，垂足为A(点A在直线l上) 几何语言 ∵半径OA⊥AB， ∴直线AB是⊙O的切线 ∵OA等于半径， ∴直线l是⊙O的切线 知识点1：已知直线过半径外端，证垂直 【例1】(人教九上P98练习改编)如图，已知AB是⊙O的直径，AB＝AC，∠C＝45°. 求证：AC是⊙O 的切线. 知识点2：直线与圆有公共点，连半径，证垂直 【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E.求证：AC是⊙D的切线. 证明： 知识点3：直线与圆无明确的公共点，作垂线段，证半径 【例3】(人教九上P98例1改编)如图，在△ABC中，AB＝AC，O为BC的中点，AB与⊙O相切于点D. 求证：AC是⊙O的切线. 证明： 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 1.如图，是的内接三角形，是的直径，点是的中点，交的延长线于点． 求证：直线与相切； 若的直径是，，求的长． 2.如图，是的内接三角形，是的直径，点是的中点，交的延长线于点． 求证：直线与相切 若的直径是，，求的长． 3.如图，直线经过圆心，并且，与相切于点，是的中点．求证：是的切线．   4.【教材变式】如图，平分，是上任意一点，和相切于点，连接． 求证：与相切； 若，的半径为，求的长． 5.如图，四边形是平行四边形，，是的外接圆．求证：与相切． 6.如图，在中，，点是边的中点，点在边上，经过点且与边相切于点，求证：是的切线．   7.如图，为的直径，点是外一点，与相切于点，与的延长线交于点，，交的延长线于点，连接，． 求证：是的切线； 若，，求的半径． 8.如图，在中，为上一点，以点为圆心，为半径作半圆，与相切于点，过点作交的延长线于点，且． 求证：是半的切线； 若，，求半的半径．  9.如图，的平分线过点，以点为圆心的圆与相切于点，为的直径，连接，． 求证：是的切线； 若，，求的度数． 10.如图，点在的平分线上，与相切于点求证：直线与相切． 11.如图，在半径分别为和的两个同心圆中，大的弦求证：与小相切．  12. 如图，为等腰三角形，是底边的中点，腰与相切于点求证：是的切线． 13.如图，是的直径，为上一点，连接，的角平分线交于点，过作的垂线，交的延长线于点． 求证：与相切； 若，，求的半径． 14.如图，为的直径，为弦，且于，为延长线上一点，平分． 求证：与相切； 连接，若，求的值．  15.如图，在矩形中，为上的一点，为上的一点，且求证：的外接圆与相切．   16.如图，中，，为上一点，以为直径的与相切于点，交于点，，垂足为． 求证：是的切线； 若，，求的长．  17.如图，为正方形的对角线上一点，以点为圆心，长为半径的与相切于点求证：与相切．   18.如图，平分，是上任意一点，和相切于点，连接． 求证：与相切； 若，的半径为，求的长． 19.如图，经过菱形的三个顶点，，，且与相切于点． 求证：为的切线 求的度数．   20.如图，已知点为 的 直径 延长线上的一点，过点作 与相切于点，以点为圆心，线段 的长为半径画弧，交于点，连接 ． 求证：直线 与相切； 若 ， ，求 的长． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学 第24章《圆》第8课时切线的判定 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 切线的判定 判定 方法一：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 方法二：若圆心到直线的距离等于半径，则这条直线是圆的切线 图形 辅助线 点A在圆上，连接OA 作OA⊥l，垂足为A(点A在直线l上) 几何语言 ∵半径OA⊥AB， ∴直线AB是⊙O的切线 ∵OA等于半径， ∴直线l是⊙O的切线 知识点1：已知直线过半径外端，证垂直 【例1】(人教九上P98练习改编)如图，已知AB是⊙O的直径，AB＝AC，∠C＝45°. 求证：AC是⊙O 的切线. 证明：∵ AB＝AC，∠C＝45°， ∴∠B＝∠C＝45°. ∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝90°. ∴直径AB⊥AC. ∴AC是⊙O 的切线.　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点2：直线与圆有公共点，连半径，证垂直 【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E.求证：AC是⊙D的切线. 证明：如图，连接AD. ∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°. ∵AD＝BD， ∴∠BAD＝∠B＝30°. ∴∠ADC＝∠B＋∠BAD＝60°. ∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠C＝90°. ∴DA⊥AC. 又∵DA是⊙D的半径， ∴AC是⊙D的切线.,　 知识点3：直线与圆无明确的公共点，作垂线段，证半径 【例3】(人教九上P98例1改编)如图，在△ABC中，AB＝AC，O为BC的中点，AB与⊙O相切于点D. 求证：AC是⊙O的切线. 证明：如答图，过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA. ∵AB与⊙O相切于点D， ∴OD⊥AB. ∵AB＝AC，O是BC的中点， ∴AO是∠BAC的平分线. ∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径. ∴AC是⊙O的切线., 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 1.如图，是的内接三角形，是的直径，点是的中点，交的延长线于点． 求证：直线与相切； 若的直径是，，求的长． 【答案】证明：连接，如图 点是的中点， ．   ， ， 直线与相切． 解：是的直径，的直径是， ，． ， ．   ， ． 而， 为等腰直角三角形， ， ．   【解析】【分析】连接，如图，先利用垂径定理得到，再根据平行线的性质得到，然后根据切线的判定方法得到结论； 先根据圆周角定理得到，则，再根据平行线的性质得到，则可判断为等腰直角三角形，于是可求出，然后计算即可． 2.如图，是的内接三角形，是的直径，点是的中点，交的延长线于点． 求证：直线与相切 若的直径是，，求的长． 【答案】证明：连接，如图， 点是的中点， ， ， ， 直线与相切； 解：是的直径， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， 的直径是， ， ， ．  【解析】本题考查了切线的判定，垂径定理的推论，圆周角定理，平行线的性质，等腰直角三角形等知识，关键利用相关的定理． 连接，先利用垂径定理的推论得到，再根据平行线的性质得到，然后根据切线的判定方法得到结论； 先根据圆周角定理得到，由，则，再根据平行线的性质得到，则可判断为等腰直角三角形，于是可求出，然后计算即可． 3.如图，直线经过圆心，并且，与相切于点，是的中点．求证：是的切线． 【答案】证明：如解图，过点作于点，连接， 与相切于点， ， ，是的中点， ，， 又， ≌， ，即是的半径， 经过的半径的外端点且垂直于， 是的切线．   4.【教材变式】如图，平分，是上任意一点，和相切于点，连接． 求证：与相切； 若，的半径为，求的长． 【答案】(1)证明：过点D作DF⊥OB于点F，连接DE，证DE＝DF即可；  (2)解：过点E作EM⊥OD于点M，， ∵OD·EM＝OE·DE， ∴， ∴， ∴，∴． 5.如图，四边形是平行四边形，，是的外接圆．求证：与相切． 【答案】证明：连接，，，则， ， ，， ，，与相切．   6.如图，在中，，点是边的中点，点在边上，经过点且与边相切于点，求证：是的切线． 【答案】证明：作，垂足为，连接， ，是的中点， ， ， ， 又， ，即是的平分线， 点在上，与相切于点， ，且是的半径， ，是的半径，是的切线．   7.如图，为的直径，点是外一点，与相切于点，与的延长线交于点，，交的延长线于点，连接，． 求证：是的切线； 若，，求的半径． 【答案】证明：，， ， ， ， ， 是的切线； 由知，是的切线， ， ，， ， 和都是的切线， ，， ， 设的半径为，则，， 则， 解得，， 即的半径是．  【解析】本题考查切线的性质与判定，切线长定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用切线的性质和勾股定理解答． 根据题意可以求得，再根据，从而可以解答本题； 先根据勾股定理求出的长，再根据切线长定理得出，设的半径为，表示出的长度，最后在中利用勾股定理求出即可． 8.如图，在中，为上一点，以点为圆心，为半径作半圆，与相切于点，过点作交的延长线于点，且． 求证：是半的切线； 若，，求半的半径． 【答案】证明：过点  作  于点 ．  为半  切线， ， ， ． ， ， ． ， ，  ， ． ， ，  是半  的半径．      ，  是半  的切线．   是半  的切线， ， ． ，   ． ， ， ， ． 在  中， ， ，    的半径为  ．   9.如图，的平分线过点，以点为圆心的圆与相切于点，为的直径，连接，． 求证：是的切线； 若，，求的度数． 【答案】(1)证明：如解图，过点O作OH⊥PB于点H，连接OC， ∵AP为⊙O的切线，且C为切点，∴OC⊥PC． ∵PO为∠APB的平分线， ∴OH＝OC， ∴OH为⊙O的半径． 又∵OH⊥PB， ∴PB是⊙O的切线； ​​​​​​​   (2)解：∠POD＝10°．  10.如图，点在的平分线上，与相切于点求证：直线与相切． 【答案】证明：连接，过点作于点． 切于点， ． 又点在的平分线上， ， 为的半径， 直线与相切．  11.如图，在半径分别为和的两个同心圆中，大的弦求证：与小相切． 【答案】证明：过点作于点，连接， ， 在中，， 等于小的半径，与小相切．   12. 如图，为等腰三角形，是底边的中点，腰与相切于点求证：是的切线． 【答案】证明：如图，过点作，垂足为，连接，． 与相切于点， ． 又为等腰三角形，是底边的中点， 是的平分线． ，即是的半径． 这样，经过的半径的外端，并且垂直于半径，所以与相切．   【解析】根据切线的判定定理，要证明是的切线，只要证明由点向所作的垂线段是的半径就可以了．而是的半径，因此需要证明． 13.如图，是的直径，为上一点，连接，的角平分线交于点，过作的垂线，交的延长线于点． 求证：与相切； 若，，求的半径． 【答案】证明：连接， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为半径， 与相切； 解：连接，， ，，， ，， ， ， ， 为等边三角形， ，即的半径为．  【解析】【分析】 本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径． 连接，根据圆的有关性质及平行线的判定方法可得，再由平行线的性质、垂直的定义以及切线的判定方法可得结论； 连接，，由切线的性质、直角三角形的性质可得，再根据等边三角形的判定与性质可得答案． 14.如图，为的直径，为弦，且于，为延长线上一点，平分． 求证：与相切； 连接，若，求的值． 【答案】(1)证明：连接OC，则OC＝OA， ∴∠OCA＝∠OAC， ∵CD⊥AB于E， ∴∠AEC＝90°， ∵CA平分∠FCE，∴∠ACF＝∠ACE， ∴∠OCF＝∠OCA＋∠ACF＝∠OAC＋∠ACE＝90°， ∴FC⊥OC， ∴FC与⊙O相切；   (2)解：∵OC＝OD，OF⊥CD， ∴∠COF＝∠DOF，∵OD // AC，∴∠DOF＝∠OAC， ∴∠COF＝∠OAC＝∠OCA＝60°， ∴∠F＝30°，∴， ∴，∴．   15.如图，在矩形中，为上的一点，为上的一点，且求证：的外接圆与相切． 【答案】证明：作于点，作于点， 则，四边形是矩形， ， ， ， ，是的直径， ， 的外接圆与相切．   16.如图，中，，为上一点，以为直径的与相切于点，交于点，，垂足为． 求证：是的切线； 若，，求的长． 【答案】(1)证明：连接OF，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵OF＝OC， ∴∠C＝∠OFC， ∴∠OFC＝∠B，∴OF // AB，∵FG⊥AB，∴FG⊥OF， 又∵OF是半径，∴GF是⊙O的切线．   (2)解：连接OF，∵BG＝1，BF＝3，∠BGF＝90°， ∴， ∵⊙O与AB相切于点E，∴OE⊥AB， 又∵AB⊥GF，OF⊥GF，OE＝OF， ∴四边形GFOE是正方形，∴EG＝OF＝OC， 又∵AB＝AC，∴AO＝AE＋BG， 设AE＝x，则AO＝x＋1，在Rt△AOE中，OA2＝OE2＋AE2， ∴，解得，即 AE的长为．   17.如图，为正方形的对角线上一点，以点为圆心，长为半径的与相切于点求证：与相切． 【答案】证明：连接，过点作于点． 与相切于点， ． 在正方形中，平分，，， ，是的半径， 与相切．   18.如图，平分，是上任意一点，和相切于点，连接． 求证：与相切； 若，的半径为，求的长． 【答案】(1)解：过点作于点，连接，证即可；  (2)过点作于点，.，，，，.  19.如图，经过菱形的三个顶点，，，且与相切于点． 求证：为的切线 求的度数． 【答案】证明：如图，连结，，． 是的切线，  ，  ． 四边形是菱形，  ． 又，，  ，  ，即． 又是上一点，  为的切线． 解：连结，由菱形、圆的对称性，得过圆心，即，，三点共线． 四边形是菱形， ， ． ， ，  ． ， ， ， ．   20.如图，已知点为 的 直径 延长线上的一点，过点作 与相切于点，以点为圆心，线段 的长为半径画弧，交于点，连接 ． 求证：直线 与相切； 若 ， ，求 的长． 【答案】证明：连接  ，   与  相切于点，   ， 在  与  中，  ，   ，   ，   是  的半径， 直线  与  相切 ． 解：  ，   ，   ，   ，   ，   ，   ，   ，   ，   ，     ，   ．   【解析】连接  ，根据切线的性质得到  ，根据全等三角形的性质得到  ，根据切线的判定定理即可得到结论； 根据等腰三角形的性质得到  ，根据三角形外角的性质得到  ，根据直角三角形的性质即可得到结论． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$