第八讲：用配方法求解一元二次方程（暑期预习衔接讲义）（思维导图+知识总结梳理+典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年九年级数学上册（北师大版）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版九年级数学上册 第八讲：用配方法求解一元二次方程 （思维导图+知识总结梳理+典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：直接开平方法 1. 定义：利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程解的方法叫做直接开平方法. 2. 适合用直接开平方法求解的一元二次方程的三种类型 类型 方程的根 x2=p(p ≥ 0) x1= ，x2=－ (x＋m)2=p(p ≥ 0) x1=－m＋ ，x2=－m－ (mx＋n)2=p(p ≥ 0，m ≠ 0) x1=，x2= 知识点02：配方法 1. 定义：通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法. 2. 配方的技巧 (1)若方程的二次项系数为1，则应在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方； (2)若方程的二次项系数不为1，则先将二次项系数化为1，再在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方. 知识点03：利用配方法解决简单的实际问题 一元二次方程是有效刻画实际问题的数学模型，通过列一元二次方程来解决实际问题时，都可以利用配方法或直接开平方法来解方程. 考点1：直接开发法-解一元二次方程 【典型例题】 方程 的正根为（     ） A． B． C． D． 【变式训练1】 方程的解是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】 关于的方程，下列说法正确的是（   ） A．有两个解 B．当 时，有两个解 C．当时，有两个解 D．当时，方程无实根 考点2：配方法-解一元二次方程 【典型例题】 用配方法解方程时，若将方程变形为，则（　　） A．18 B．20 C．19 D．17 【变式训练1】 用配方法解方程时，下列配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】 用配方法解方程时，变形结果正确的是（   ） A． B． C． D． 考点3：配方法的应用 【典型例题】 已知一元二次方程可配成，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】 用配方法解方程时，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】 若一元二次方程 （a，b为常数），化成一般形式为，则a，b的值分别是（    ） A．，1 B．2，1 C．2， D．， 一、单选题 1．用配方法解方程时，配方结果正确的是（　　） A． B． C． D． 2．如图是一个简单的数值运算程序，则输入的的值为（    ） A．2或−2 B．3或−3 C．3或−1 D．−3或1 3．已知关于的方程，（，，均为常数，且）的两个解是和，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．已知甲方程式为，乙方程式为．关于甲、乙两方程式的解的情形，下列叙述何者正确？（   ） A．甲有两个相异的解，乙无解 B．甲有两个相异的解，乙有两个相异的解 C．甲有两个相同的解，乙无解 D．甲有两个相同的解，乙有两个相异的解 5．已知等腰三角形的底边长为4，腰长恰好是关于的一元二次方程的一个根，则的周长为（   ） A．6 B．10 C．14 D．6或14 6．关于的方程，下列说法正确的是（   ） A．当时，有两个解 B．有两个解 C．当时，有两个解 D．当时，方程无实根 7．某数学兴趣小组的四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤（如图），老师看后，发现最后结果是错误的，并说：“错误是从某位同学负责的步骤开始出现的．”则这位同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 8．关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 9．用配方法解下列方程时，配方正确的是（    ） A．方程，可化为 B．方程，可化为 C．方程，可化为 D．方程，可化为 二、填空题 10．关于的方程是一元二次方程，则的值为 ． 11．把方程变形为的形式，其中，为常数，则的值为 ． 12．用配方法解方程，方程可化为，则 ． 13．将一元二次方程化成的形式为 ． 14．若方程有解，则的取值范围是 ． 15．把方程化成的形式，则 ． 16．已知关于x的一元二次方程，则它的解为 ． 17．方程的解为 ． 三、解答题 18．用配方法解方程： (1)． (2)； 19．已知实数a，b满足，解关于x的一元二次方程． 20．把方程配方，得到． ①求m和p的值； ②解这个方程． 21．用配方法完成下列推理过程． 解： ； ；   ； （1）当时，此方程有两个不相等的实数根分别为： ； ； （2）当时，此方程有两个相等的实数根分别为： ； ； （3）当时，请写出此方程根的情况． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版九年级数学上册 第八讲：用配方法求解一元二次方程 （思维导图+知识总结梳理+典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：直接开平方法 1. 定义：利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程解的方法叫做直接开平方法. 2. 适合用直接开平方法求解的一元二次方程的三种类型 类型 方程的根 x2=p(p ≥ 0) x1= ，x2=－ (x＋m)2=p(p ≥ 0) x1=－m＋ ，x2=－m－ (mx＋n)2=p(p ≥ 0，m ≠ 0) x1=，x2= 知识点02：配方法 1. 定义：通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法. 2. 配方的技巧 (1)若方程的二次项系数为1，则应在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方； (2)若方程的二次项系数不为1，则先将二次项系数化为1，再在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方. 知识点03：利用配方法解决简单的实际问题 一元二次方程是有效刻画实际问题的数学模型，通过列一元二次方程来解决实际问题时，都可以利用配方法或直接开平方法来解方程. 考点1：直接开发法-解一元二次方程 【典型例题】 方程 的正根为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，先移项，再利用直接开平方法解答即可求解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】移项得， ∴， ∴方程 的正根为， 故选：． 【变式训练1】 方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键．直接应用开平方法计算即可． 【详解】解：， ， ， ，， 故选：C． 【变式训练2】 关于的方程，下列说法正确的是（   ） A．有两个解 B．当 时，有两个解 C．当时，有两个解 D．当时，方程无实根 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程，分，两种情况，利用直接开方法进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴当时，方程没有实数根； 当时，方程有两个解； 故选B． 考点2：配方法-解一元二次方程 【典型例题】 用配方法解方程时，若将方程变形为，则（　　） A．18 B．20 C．19 D．17 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程－配方法，熟知配方法是解题的关键．通过配方法将方程转化为的形式，确定和的值后求和． 【详解】解：， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式训练1】 用配方法解方程时，下列配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，将方程通过配方法转化为完全平方形式，需正确移项并添加适当的常数项． 【详解】解：移常数项：将移到右边，得， 配方：两边加上一次项系数4的一半的平方（即），得： 即， 故选：D． 【变式训练2】 用配方法解方程时，变形结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】本题考查用配方法解一元二次方程，掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．注意：只有当二次项的系数是1的时候，才是等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方．首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式． 【分析】解：， ， ， ． 故选：D． 考点3：配方法的应用 【典型例题】 已知一元二次方程可配成，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，利用配方法把一元二次方程变形为，所以，，然后求出m、n的值，最后计算它们的和即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴，， 解得， ∴． 故选：C． 【变式训练1】 用配方法解方程时，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查配方法，掌握完全平方公式的性质，等式的性质的知识是解题的关键． 根据完全平方公式的性质，根据等式的性质即可求解． 【详解】解： 移项， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，， 整理得，，即， 故选：A． 【变式训练2】 若一元二次方程 （a，b为常数），化成一般形式为，则a，b的值分别是（    ） A．，1 B．2，1 C．2， D．， 【答案】A 【分析】本题考查配方法的应用，将利用配方法转化为：，即可得出结论． 【详解】解： ∴， ∴； 故选：A． 一、单选题 1．用配方法解方程时，配方结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，按配方的步骤将方程转化为完全平方形式即可． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 2．如图是一个简单的数值运算程序，则输入的的值为（    ） A．2或−2 B．3或−3 C．3或−1 D．−3或1 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于列出一元二次方程． 根据运算程序可知，计算求解即可． 【详解】解：由题意可知 ∴ 解得，． 故选C． 3．已知关于的方程，（，，均为常数，且）的两个解是和，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根据题意把看做一个整体，根据方程的解，可得或，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵关于的方程，（，，均为常数，且）的两个解是和， ∴方程的解满足或， 解得，， 故选：A． 4．已知甲方程式为，乙方程式为．关于甲、乙两方程式的解的情形，下列叙述何者正确？（   ） A．甲有两个相异的解，乙无解 B．甲有两个相异的解，乙有两个相异的解 C．甲有两个相同的解，乙无解 D．甲有两个相同的解，乙有两个相异的解 【答案】A 【分析】本题考查直接开方法解一元二次方程，利用直接开方法以及完全平方的非负性，进行判断即可． 【详解】解：甲方程： 两边开平方得：或， 解得： 或 ． 因此，甲方程有两个相异的解：和． 乙方程： 由于任何实数的平方均为非负数，而右边为负数，故该方程在实数范围内无解． 综上，甲方程有两个相异的解，乙方程无解， 故选A． 5．已知等腰三角形的底边长为4，腰长恰好是关于的一元二次方程的一个根，则的周长为（   ） A．6 B．10 C．14 D．6或14 【答案】C 【分析】通过解一元二次方程求得等腰三角形的两个腰长，然后求该等腰三角形的周长． 本题综合考查了一元二次方程-开平方法、三角形的三边关系、等腰三角形的性质．解答该题时，采用了“分类讨论”的数学思想． 【详解】解：由一元二次方程，得， 解得，或； ∴等腰三角形的两腰长是5或1； ①当等腰三角形的腰长是1时，，构不成三角形，所以不合题意，舍去； ②当等腰三角形的腰长是5时，，，所以能构成三角形， 所以该等腰三角形的周长； 故选：C． 6．关于的方程，下列说法正确的是（   ） A．当时，有两个解 B．有两个解 C．当时，有两个解 D．当时，方程无实根 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，当时，才有意义，那么把原方程两边同时开平方可得，即，当时，无意义，即此时方程无解，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴ ∴当时，有两个解， 当时，无意义，即此时方程无解， 故选：A． 7．某数学兴趣小组的四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤（如图），老师看后，发现最后结果是错误的，并说：“错误是从某位同学负责的步骤开始出现的．”则这位同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先把进行移项，再把二次项系数化1，然后配方，再解出的值，即可作答． 【详解】解：依题意，， 移项得， 整理得， ∴ ∴， ∴ ∴． 观察以及对比，得出错误是从乙同学负责的步骤开始出现的， 故选：B 8．关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据平方的非负性可知，所以可得一元二次方程的两个根是，，所以可知一元二次方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：一元二次方程中， ， ，， 一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 9．用配方法解下列方程时，配方正确的是（    ） A．方程，可化为 B．方程，可化为 C．方程，可化为 D．方程，可化为 【答案】D 【分析】本题考查了配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．根据配方法解一元二次方程的步骤逐项分析即可得出结论． 【详解】解：A、方程，可化为，故此选项配方不正确，不符合题意； B、方程，可化为，故此选项配方不正确，不符合题意； C、方程，可化为，故此选项配方不正确，不符合题意； D、方程，可化为，故此选项配方正确，符合题意； 故选：D． 二、填空题 10．关于的方程是一元二次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，直接开配方法解一元二次方程，根据一元二次方程的定义“只含有一个未知数，并且未知数的最高指数是2的整式方程，且二次项系数不等于0”，即可进行求解． 【详解】解：由题意得，， 解得， 因此， 故答案为：． 11．把方程变形为的形式，其中，为常数，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方 根据配方法解方程的一般步骤进行计算即可． 【详解】解： ， ∴， 故答案为：4． 12．用配方法解方程，方程可化为，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键． 先移项，再等号两边同时加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解： ， ∴， 故答案为：4． 13．将一元二次方程化成的形式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的步骤是解答本题的关键．直接根据配方法的步骤解题即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 故答案为． 14．若方程有解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据完全平方数是非负数得到关于的不等式，解不等式即可求解，掌握完全平方数是非负数是解题的关键． 【详解】解：∵方程有解， ∴， ∴， 故答案为：． 15．把方程化成的形式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程． 将原方程配方，求出、的值，再计算即可． 【详解】解：将配方得， ∴，， ∴， 故答案为：． 16．已知关于x的一元二次方程，则它的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用直接开方法解方程即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 17．方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后直接开平方，求出方程的解即可． 【详解】解：， 移项得：， 开平方得：， ∴，． 故答案为：，． 三、解答题 18．用配方法解方程： (1)． (2)； 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根据配方法解方程即可，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可． （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： 或 ∴，． （2）解：， ， 配方得， ∴ ∴ ∴， ∴，． 19．已知实数a，b满足，解关于x的一元二次方程． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的非负性，二次方的非负性，一元二次方程的解法，根据题意得出，，是解题的关键． 先根据，得出，，得出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 原方程化为 ∴． 20．把方程配方，得到． ①求m和p的值； ②解这个方程． 【答案】①，；②，． 【分析】本题考查解一元二次方程—配方法，解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤： 第一步：将二次项系数化为， 当二次项系数不是时，方程两边同时除以二次项系数； 第二步：将常数项移到方程的另一边，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使其中的三项成为完全平方式； 第三步：配方后将原方程化为的形式，再用直接开平方的方法解方程． ①移项，配方即可得出，，即可得解； ②将的值代入后配方得出，开方得出，即可得解． 【详解】①解：∵， ∴， ∴， 即， ∴，， 解得：，； ②， 配方得：， 开平方得：， 解得：，． 21．用配方法完成下列推理过程． 解： ； ；   ； （1）当时，此方程有两个不相等的实数根分别为： ； ； （2）当时，此方程有两个相等的实数根分别为： ； ； （3）当时，请写出此方程根的情况． 【答案】；；； ；（1）；；（2） ；；（3）此方程无实数根 【分析】利用配方法得，然后分三种情况讨论：（1）当时，（2）当时，（3）当时，分别求解即可． 本题主要考查利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的过程，并进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， ， （1）当时，此方程有两个不相等的实数根分别为： ，； （2）当时，此方程有两个相等的实数根分别为：，； （3）当时，此方程无实数根． 故答案为：；；； ；（1）；；（2） ；． 学科网（北京）股份有限公司 $$