专题05 有理数的乘法与除法重难点题型专训（4个知识点+8大题型+5大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年六年级数学上册重难点专题提升讲练（沪教版五四制2024）

专题05 有理数的乘法与除法重难点题型专训 （4个知识点+8大题型+5拓展训练+自我检测） 题型一 两个有理数的乘法运算 题型二 多个有理数的乘法运算 题型三 倒数 题型四 有理数的乘法运算律 题型五 有理数的除法运算 题型六 有理数乘除混合计算问题 题型七 有理数的乘法的实际应用 题型八 有理数的除法应用 拓展训练一 有理数乘除法与数轴结合 拓展训练二 有理数乘除法与绝对值结合 拓展训练三 有理数乘除法综合应用 拓展训练四 裂项相消法解决规律计算问题 拓展训练五 有理数乘除法的新定义问题 知识点一：有理数的乘法 有理数乘法法则：（下列法则中a、b为正有理数，c为任意有理数） 两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值两乘数的绝对值的积。任何数同0相乘，都得0。 即：=ab；=ab；=-ab；；=-ab；；。 有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。 多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。 【即时训练】 1．（2025·上海嘉定·模拟预测）计算：（   ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，直接根据有理数的乘法计算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 2．（24-25六年级上·上海宝山·期末）计算： ． 【答案】3 【分析】本题考查的是有理数的乘法运算，先确定符号，再把绝对值相乘即可． 【详解】解：， 故答案为： 知识点二：有理数乘法运算律 乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：。 乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 即：。 乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。 【即时训练】 1．（2025六年级上·上海嘉定·专题练习）计算时，可以使运算简便的是（   ） A．乘法交换律 B．分配律 C．乘法结合律 D．加法结合律 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，掌握乘法分配律是解题的关键．根据题意，运用乘法分配律计算即可． 【详解】解：计算时，可以运用乘法分配律使运算简便， 故选：B ． 2．（24-25六年级上·上海青浦·阶段练习）用一句口诀写出两道乘法算式． （1）二九十八： ， ； （2）七八五十六： ， ． 【答案】 【分析】根据口诀写出乘法算式即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：，； （2）； 故答案为：． 【点睛】本题考查乘法交换律．熟练掌握乘法交换律是解题的关键． 知识点三：倒数 ①倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数。 ②倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。（2）没有倒数。（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然． ③求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。 （1）非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。 【即时训练】 1．（2025·上海闵行·模拟预测）下列各数中，与互为倒数的是（   ） A．2025 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，解题的关键是掌握倒数的定义． 利用倒数的定义进行求解即可． 【详解】解：的倒数为2025， 故选：A． 2．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）的相反数是 ，的倒数为 ． 【答案】 【分析】本题属于较为基础的相反数与倒数的概念填空题，主要考查了相反数与倒数的判断，考生做此类题时一定要认真，细心，抓住细节，防止出错． 根据题意，相反数为相加为0的两个数，倒数为乘积为1的两个数． 据此即可求解． 【详解】解：的相反数是， 的倒数为； 故答案为：，． 知识点四：有理数的除法 ①有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。 有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。除以任何一个不等于的数，都得。 ②有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 【即时训练】 1．（2025·上海虹口·模拟预测）计算的结果等于（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的除法运算，利用除法的运算法则进行计算即可． 【详解】解：； 故选B． 2．（24-25六年级上·上海宝山·期末）如图，把一个蛋糕等分成份，每份中的角是，则为 ． 【答案】24 【分析】本题考查有理数除法运算，根据题意知一个周角是，就是把周角等分成份，利用有理数除法运算求解即可得到答案，掌握有理数的除法运算是解决问题的关键． 【详解】解：一个周角是，把一个蛋糕等分成份，每份中的角是， ， 故答案为：． 【经典例题一 两个有理数的乘法运算】 【例1】（2025·上海宝山·模拟预测）若的运算结果为负数，则□内的数字可以为（   ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，根据有理数的乘法计算法则，分别计算出与四个选项中的数的乘积即可得到答案． 【详解】解：，，，， 四个算式的运算结果中，只有是负数， 故选：A． 1．（24-25六年级上·上海金山·期中）计算机中常用的十六进制是一种逢16进1的计数制，采用数字和字母共16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如下表：例如，用十六进制表示，用十进制表示也就是，则用十六进制表示（   ） 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 十六进制 8 9 A B C D E F 十进制 8 9 10 11 12 13 14 15 A． B．7 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的运算，先求出的值，再转化为十六进制，进行判断即可． 【详解】解：由题意，， ∴； 故选A． 2．（24-25六年级上·上海松江·期中）已知，则 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了新定义运算，有理数的混合运算，解题的关键是理解新定义运算法则． 根据新定义运算法则进行逐步计算即可． 【详解】解：根据新定义运算法则可得， 故答案为：7． 3．（24-25六年级上·上海奉贤·阶段练习）定义关于有理数a，b的新运算：．例如：若，则．若，则的结果 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的运算，根据已知可得，再根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：． 4．（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）用数学猜想解决问题 【探究活动】观察下列算式： 1①，②，③…… （1）由已知等式可猜想第n个等式为： ； （2）求的值，要求写出过程； （3）猜想下列算式的结果（直接写结果） ． 【拓展应用】（4）仿照上面的探究过程写出下列式子的计算结果． ． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，求出相应的式子的值． （1）根据题目中给出的算式，可以写出相应的猜想； （2）根据题目中的算式和所求式子的特点，可以先拆项，然后再计算即可； （3）根据题目中的算式和所求式子的特点，可以先拆项，然后再计算即可； （4）类比（2）式将各加数化为两个分数的差的形式，求和即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【经典例题二 多个有理数的乘法运算】 【例2】（24-25六年级上·上海普陀·期中）在等五个数中，任意三个数的积最小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，根据题意可知要保证这三个数的乘积为负数，那么三个数中负数的个数要为奇数，且这三个数的绝对值越大越好，故选择的三个数为，再根据乘法计算法则求出三个数的乘积即可得到答案． 【详解】解：∵要使三个数的乘积最小， ∴要保证这三个数的乘积为负数， ∴三个数中负数的个数要为奇数，且这三个数的绝对值越大越好， ∴应该选择，即三个数的积最小为， 故选：B． 1．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）对正整数a，表示n个a连乘，如时，，即a的平方，若a的所有因数之积等于a的平方，则称a为完满数，如6的所有因数为1，2，3，6，因为，所以6是一个完满数，则下列数中是完满数的为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，根据新定义列式计算即可，解题的关键是掌握有理数混合运算顺序和运算法则． 【详解】解：A、的因数有、、、、、，且，故不是完满数，故不符合题意； B、14的因数有1、14、2、7，且，故14是完满数，故符合题意； C、16的因数有1、16、2、8、4，且，故16不是完满数，故不符合题意； D、18的因数有1、18、2、9、3、6，且，故18不是完满数，故不符合题意； 故选：B． 2．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）小明有5张写着以下数字的卡片，从中取出3张卡片，把这3张卡片上的数字相乘，最大的积是 ．    【答案】125 【分析】本题考查了有理数的乘法，有理数的混合运算首先弄清运算顺序，先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里边的，同级运算从左到右依次计算，然后利用各种运算法则计算，有时可以利用运算律来简化运算．根据找出、和5三张卡片，乘积最大，求出最大值即可． 【详解】解：， 故答案为：125． 3．（24-25六年级上·上海青浦·阶段练习）如图，小天有5张写着不同数的卡片，从中抽出2张卡片，使卡片上的数相除，所得到的商最小，最小的商是 ；从中抽出3张卡片，使卡片上的数相乘，所得到的积最大，最大的积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数乘法法则和除法法则的计算； （1）根据两数相除，同号的正，异号得负，正数大于负数抽取计算即可； （2）根据两数相乘，同号的正，异号得负，正数大于负数抽取计算即可． 【详解】解：（1）由题意可得：抽取，，最小的商是， 故答案为：； （2）由题意可得：抽取，，5，最大的乘积是． 故答案为：． 4．（24-25六年级上·上海静安·期中）我们把符号“”读作“n的阶乘”， 规定：其中n为自然数， 当时，；当时，．例如：．又规定：在含有阶乘和加减乘除运算时，应先计算阶乘，再乘除，最后加减，有括号就先算括号里面的．按照上面的定义和运算顺序，计算： (1) (2) (3)用具体数试验一下， 看看等式是否恒成立？ 【答案】(1)120 (2) (3)不恒成立 【分析】本题考查了新定义下的有理数的乘法，理解新定义的运算法则是解题的关键； （1）根据新定义直接计算即可； （2）根据新定义运算法则计算即可； （3）当和时，根据新定义分别算，即可得出结论． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：不恒成立，理由： 当时， ， ，， 不成立， 当时， ， 成立， 综上所述，不恒成立． 【经典例题三 倒数】 【例3】（2025·上海松江·模拟预测）若5的倒数是x，则5x的值是（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了倒数的定义，根据若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，求解即可． 【详解】解：∵5的倒数是x， ∴， 故选：B． 1．（2025·上海宝山·模拟预测）中国古代数学著作《九章算术》最早提到了负数，的倒数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了倒数的定义，根据两个数相乘积是1，则该两个数互为倒数，即可求解． 【详解】解： 的倒数是， 故选：B． 2．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了倒数的概念，熟练掌握基本概念是解题的关键． 先将带分数化为假分数，再将分子分母颠倒位置即可得到答案． 【详解】解：， ∴的倒数是， 故答案为：． 3．（24-25六年级上·上海青浦·期末）将有理数（不等于0和）按以下步骤进行运算： 第一步，求这个数的倒数； 第二步，求第一步所得倒数的相反数； 第三步，求把第二步所得相反数加1． 如，有理数按上述步骤运算，得到的结果是． 现将有理数按上述步骤运算，得到的结果记为，再将按上述步骤运算，得到的结果记为，再将按上述步骤运算，得到的结果记为，如此重复上述过程，……，求的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的倒数、相反数运算以及数字规律探究，解题关键是依据给定运算步骤求出前几项，找出循环规律，再利用规律进行计算． 根据题意得到每3个数作为一个循环，和为，共有675组，即可求出答案． 【详解】解：∵有理数， ∴的倒数是，的相反数是，，即． ∵， ∴的倒数是，的相反数是，，即． ∵， ∴的倒数是，的相反数是，，即． 由此可知计算结果以，，三个数为一个周期循环． 一个周期的和为， ∵， ∴ ． 故答案为：． 4．（24-25六年级上·上海杨浦·阶段练习）阅读以下材料，完成相关的填空和计算． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则____________； (2)计算：； (3)根据以上信息可知_________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的除法以及倒数的定义，解题关键是理解倒数的定义：两个数乘积为1，那么这两个数互为倒数． （1）根据倒数的定义可得出答案； （2）将除法变为乘法，利用乘法的分配律进行计算，然后相加减即可； （3）由倒数的定义得出答案即可． 【详解】（1）解：根据倒数的定义我们知道，若， 则． 故答案为：； （2）原式 ； （3）结合（2），可知， 所以． 故答案为：． 【经典例题四 有理数的乘法运算律】 【例4】（24-25六年级上·上海嘉定·期中）表示小于或等于该数的正整数的积，例如：，则为（   ） A．9989 B．9900 C．9910 D．9920 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘法和乘法运算律，理解的定义是解题关键．根据题意可得，，再代入计算即可． 【详解】解：， ，， ，， 故选：B． 1．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）利用乘法分配律计算时，下列变形中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法．根据乘法分配律进行计算即可． 【详解】． 故选：A． 2．（24-25六年级上·上海青浦·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，用乘法分配律是解题的关键．根据乘法分配律计算即可． 【详解】解：， 故答案为：-1． 3．（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； 【答案】 -3 -5 30 【分析】（1）根据含乘方的有理数混合计算法则求解即可； （2）根据有理数的加减计算法则求解即可； （3）根据有理数乘法的分配律求解即可； （4）根据有理数的减法计算法则求解即可； （5）根据含乘方的有理数混合计算法则求解即可． 【详解】解：（1） ， 故答案为：-3； （2） ， 故答案为：-5； （3） ， 故答案为：30； （4） ， 故答案为：； （5） ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，有理数乘法的运算律，有理数的加减计算，有理数的减法计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 4．（2025六年级上·上海静安·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)10 (2) (3)0 (4) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键． （1）逆用乘法分配律进行计算即可； （2）利用列项进行计算即可； （3）逆用乘法分配律进行计算即可； （4）将变形为，然后再用裂项的方法，进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【经典例题五 有理数的除法运算】 【例5】（2025·上海松江·模拟预测）计算的结果等于（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查有理数的除法，根据除法公式进行计算即可． 【详解】解：； 故选D． 1．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）二进制在计算机科学中有着广泛的应用．计算机内部的所有操作都是基于二进制完成的，包 括数据的存储、传输和处理．此外，二进制还用于数字电路设计、通信技术等领域，所以我们很有必要研究二进制．将十进制中数“65”转换为二进制数为（    ） A．1000001 B．1000011 C．1001111 D．1111111 【答案】A 【分析】本题考查有理数的运算，根据二进制转化为十进制的方法：除以2取余法，进行求解即可． 【详解】解： ， ∴65转换成二进制为； 故选A． 2．（24-25六年级上·上海静安·期末）对非零有理数，定义一种运算，其规则是：，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的除法运算，根据新定义得到，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： 3．（24-25六年级上·上海宝山·期中）已知a，b，c为非零有理数，请解决下列问题： （1）当时， ； （2）若，则的值为 ． 【答案】 1 0或/或0 【分析】本题主要考查了绝对值的性质、有理数的运算，熟练掌握绝对值的性质，是解题的关键． （1）由给出条件和绝对值的性质即可解答； （2）由条件先确定a、b、c的正负情况，再化简绝对值，然后计算代数式的值即可． 【详解】解：（1）当时，． 故答案为：1． （2）∵， ∴a、b、c为两正一负或a、b、c都为负， ①当a、b、c为两正一负时，不防设， ∴； ①当a、b、c都为负时，即， ∴； 综上，该代数式的值为0或． 故答案为：0或． 4．（24-25六年级上·上海静安·期中）在学习了“有理数的乘方”后，小明使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出有理数的“除方”．规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如，等，可以类比有理数的乘方进行运算．小明把记作，把记作． (1)_________；_________； (2)求的值； (3)小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，如，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的乘除运算和幂的形式． （1）根据“有理数的除方”概念计算即可； （2）根据“有理数的除方”概念、幂的形式计算即可； （3）根据已知得出，公式，计算即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：；； （2）解： ； （3）解： ． 【经典例题六 有理数乘除混合计算问题】 【例6】（24-25六年级上·上海闵行·期中）计算的结果是（   ） A．7 B．49 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数乘除混合运算，根据有理数乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故选：B． 1．（24-25六年级上·上海松江·期中）对于有理数x，y，若，则的值是（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘除法，绝对值的计算，正确确定，的正负号，求出绝对值后化简是求解本题的关键．先判断绝对值里面的代数式的正负再计算． 【详解】解：， ，异号． 当，时，则； 当，时，则； 综上，的值是． 故选：B． 2．（24-25六年级上·上海静安·期末）如图，按程序框图中的顺序计算，当输入的初始值x为32时，则输出的最后结果为 ． 【答案】128 【分析】本题考查程序流程图与有理数的运算，把32代入流程图，列出算式进行计算，直至最后结果，即可． 【详解】解：， ，输出； 故答案为：128． 3．（24-25六年级上·上海松江·期末）已知有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是．如果，是的差倒数，是的差倒数，……，依次类推，那么的值是 ． 【答案】 【分析】根据差倒数的定义，求出的值，确定数字规律，进而求出的值． 【详解】解： 由题意，得：，，， ∴每四个数一循环，， ∵， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查数字规律探究，有理数的乘法运算．理解并掌握差倒数，是解题的关键． 4．（2025六年级上·上海长宁·专题练习）阅读下面解题过程并解答问题：计算：． 解：原式（第一步） （第二步） 第三步） (1)上面解题过程有两处错误： 第一处是第___________步，错误原因___________； 第二处是第___________步，错误原因是___________； (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)二，没有按同级运算从左至右运算，三，符号弄错 (2)见解析 【分析】此题考查了有理数的乘除运算． （1）根据有理数的乘除运算法则即可进行判断； （2）根据有理数的乘除运算法则写出解答过程即可． 【详解】（1）解：第一处是第二步，错误原因是没有按同级运算从左至右运算， 第二处是第三步，错误原因是符号弄错， 故答案为：二，没有按同级运算从左至右运算，三，符号弄错； （2）解：原式 ． 【经典例题七 有理数的乘法的实际应用】 【例7】（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）小明有4本不同的科技类图书和3本不同的故事类图书，在一次为贫困学校捐书的活动中，他准备捐科技类和故事类图书各一本，他有（　　）种不同的捐法． A．3 B．4 C．7 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了学生乘法的意义知识的掌握情况，根据题意，解答此题，每本科技类图书可分别与3本不同的故事书组合，共有3种组合方法，4本就有种方法，这是解决本题的关键． 【详解】解：（种），所以共有12种不同的捐法． 故选：D． 1．（24-25六年级上·上海松江·期末）全球气候正在变暖，科学家认为，这与大气中二氧化碳等温室气体的浓度变化有关，随着科学知识的逐渐普及，人们已自发地响应“低碳生活”方式，减少碳排放，某小区安装太阳能路灯，每盏灯每年节电200度，若减少1度电相当于减排碳，那么10盏灯一年减排碳量为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法应用，根据每盏灯每年节电200度，若减少1度电相当于减排碳，进行列式计算得出10盏灯一年减排碳量，即可作答． 【详解】解：∵每盏灯每年节电200度，若减少1度电相当于减排碳， ∵ 故答案为： 2．（24-25六年级上·上海松江·阶段练习）一间多媒体教室长15米，宽8米，高4米，要粉刷这间教室的墙壁和天花板（门窗除外）．门窗的面积是23平方米，如果每平方米需花8元涂料费，粉刷这间教室需要涂料费多少钱？ 【答案】粉刷这间教室需要涂料费2248元钱 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，根据题意列出计算式是解题的关键． 根据题意可知教室需要粉刷的总面积为平方米，在乘以每平方米需花8元的涂料费，解答即可． 【详解】解： （元） ∴粉刷这间教室需要涂料费2248元钱． 3．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）在佛山的一个以传统手工艺和自然美景著称的小镇上，有一个专门生产竹制品和陶瓷的工艺合作社．这个合作社计划每天生产200件．但由于工艺的复杂性和市场需求的波动，实际每天的生产量与计划量有所差异．下表是某周每天的生产情况（超产记为正，减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量 (1)由表可知该合作社星期三生产竹制品和陶瓷____________件； (2)由表可知该厂本周生产竹制品和陶瓷多少件？ (3)合作社实行每日计件工资制，每生产一件产品可得60元，若超额完成任务，则超过部分每件奖励15元；少生产一件扣20元，那么合作社成员这一周的工资总额是多少元？ 【答案】(1)195 (2)1408件 (3)84460元 【分析】本题考查了正数和负数、有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （3）根据产品数量算出生产产品的工资，再加上超额部分的奖励，减去少生产部分的总额，即可求解． 【详解】（1）解：（件）， 即该合作社星期三生产竹制品和陶瓷件， 故答案为：； （2）解：（件）， 答：该厂本周生产竹制品和陶瓷件； （3）解：（元）， 超过的部分奖励总额为：（元）， 扣款总额为：（元）， ∴（元）， 答：合作社成员这一周的工资总额是元． 4．（24-25六年级上·上海青浦·期中）我国现行的二代身份证号码是18位数字，由前17位数字本体码和最后1位校验码组成．校验码通过前17位数字根据一定规则计算得出，如果校验码不符合这个规则，那么改号码肯定是假号码，现将前17位数字本体码记为，其中表示第i位置上的身份证号码数字值，按表中的规定分别给出每个位置上的一个对应的值． i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Wi 7 9 10 5 8 4 2 1 6 3 7 9 10 5 8 4 2 Ai 4 4 0 5 2 4 1 9 8 0 0 1 0 1 0 0 1 现以号码为例，先将该号码N的前17位数字本体码填入表中（已填好），依照以下操作步骤计算相应的校验码进行校验： (1)对前17位数字本体码，按下列方式求和，并将和记为S： ． 经计算，可得_____； (2)计算，所得的余数记为Y，那么 _____； (3)查阅下表得到对应的校验码（其中X为罗马数字，用来代替10）： Y值 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 校验码 1 0 X 9 8 7 6 5 4 3 2 所得到的校验码为_____，与号码N中的最后一位进行对比，由此判断号码N是_____（填“真”或“假”）身份证号． 【答案】(1)196 (2)9 (3)3，假 【分析】本题考查有理数四则运算的应用，理解题意并列式计算是解题的关键． （1）根据给出的公式求和即可； （2）根据（1）中求得的S的值计算即可； （3）查询表格中Y值对应的校验码并与号码N中的最后一位进行对比即可辨别该身份证号码的真假． 【详解】（1）解：， 故答案为：196； （2）解：， 故答案为：9； （3）解：经查表，当时，校验码是； ∵号码N中的最后一位是6而不是3， ∴号码N是假身份证号． 故答案为：3，假． 【经典例题八 有理数的除法应用】 【例8】（2025六年级上·上海杨浦·专题练习）小马从A地到B地自驾游，如果驾驶原来的燃油汽车所需油费为108元；驾驶新购买的纯电动汽车所需电费为27元．已知每行驶1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多元，从A地到B地的路程是（    ）千米． A．100 B．150 C．180 D．200 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数除法的实际应用，用原来的燃油汽车所需的油费减去新购买的纯电动汽车的油费，再除以即可得到答案． 【详解】解：千米， ∴从A地到B地的路程是150千米， 故选：B． 1．（2025·上海嘉定·模拟预测）学校团委组织37名团员去西柏坡红色教育基地进行为期两天的参观学习，其中女团员18名，男团员19名．在办理入住时，所有女团员办理完成后，再安排男团员办理．房间价目表如下（说明：客房未住满的房间按原价收费）： 房型 单人间 双人间 三人间 房价（元/天） 120 150 200 （1）所有女团员每天住宿的费用最少为 元； （2）所有男团员每天住宿的费用最少为 元． 【答案】 1200 1300 【分析】本题考查了最优化问题中的费用问题．尽可能安排三人间，剩余人数再用单人间或双人间补足．通过调整三人间的数量，找到总费用最低的组合即可． 【详解】解：（1）单人间120元/人天；双人间75元/人天；三人间元/人天； ， 则要使每天住宿的费用最少，尽量选择三人间， 女团员18名，， 元， 所有女团员每天住宿的费用最少为1200元； 故答案为：1200； （2）男团员19名，余1人， 方案1：6个三人间，1个单人间，元， 方案2：5个三人间，2个双人间，元， ， 所有男团员每天住宿的费用最少为1300元； 故答案为：1300． 2．（2025六年级上·上海嘉定·专题练习）甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两站相对开出，第一次相遇时离A站有90千米，然后各自按原来速度继续行驶，分别到达对方出发站后立即沿原路返回．第二次相遇时离A站的距离占A、B两站间全长的．求A、B两站间的路程． 【答案】两站间的路程是200千米 【分析】本题主要考查了有理数混合运算．根据第一次相遇在距A地90千米的地方，可知甲乙每行驶一个总路程，一辆汽车就行了：（千米），第二次在全程的地方相遇，说明甲在全程的地方，据此列式计算求解即可． 【详解】解：（千米）， 第二次在全程的地方相遇，说明甲在全程的地方， 270米包含甲走了1个全程和1个的全程， 则270米对应的全程百分率为， 即1个全程为（千米）． 答：两站间的路程是200千米． 3．（2025·上海徐汇·模拟预测）如图是两张不同类型火车的车票（“D×××次”表示动车，“G×××次”表示高铁）： (1)已知A、B两地之间的距离为，高铁的平均速度是动车平均速度的倍，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点，那么动车和高铁的平均速度分别是多少时？ (2)高铁出发前，两车在什么时刻相距？ 【答案】(1)动车的平均速度为时，高铁的平均速度为时 (2) 【分析】本题考查了分式方程的应用，有理数除法的应用，理解题意是解题关键． （1）设动车的平均速度为时，则设高铁的平均速度为时，根据题意列分式方程求解即可； （2）根据动车的平均速度求出所需时间，即可求解． 【详解】（1）解：设动车的平均速度为时，则设高铁的平均速度为时． 由题意可得， 解得， 经检验，为方程的解， ∴， 答：动车的平均速度为时，高铁的平均速度为时； （2）解：解：∵高铁出发前，动车的平均速度为h， ∴， 此时的时间为． 4．（24-25六年级上·上海虹口·期中）第33届夏季奥运会2024年在巴黎举办，中国体育代表团取得了金牌榜第一（与美国并列）、奖牌榜第二的佳绩，展示了中国人顽强奋进的精神．下表是我国参加本届奥运会女篮比赛的12位参赛队员名单和身高等信息： 姓名 李缘 王思雨 武桐桐 杨力维 杨舒予 李梦 张茹 黄思静 罗欣棫 孙梦然 李月汝 韩旭 位置 后卫 后卫 后卫 后卫 后卫 前锋 前锋 前锋 前锋 中锋 中锋 中锋 号码 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 14 15 身高（） 170 175 176 176 183 182 185 192 186 197 201 205 与基准身高的差值（） (1)根据以上信息，最高的队员和最低队员相差多少？ (2)如果以作为队员的基准身高，12位队员总身高超过或不足多少？ (3)求本届奥运会中国女篮队员的平均身高．（计算结果保留整数） 【答案】(1) (2)总身高超过 (3) 【分析】此题主要考查了正负数，有理数的加减法和除法的应用，关键是理解“正”和“负”的意义，根据题意列出算式． （1）找出最高身高和最低身高相减即可； （2）与基准身高的差值求和即可； （3）计算出记录数据的和再除总人数即可． 【详解】（1）解：由题意可知：韩旭身高最高，李缘身高最低， 高度差是：， 答：最高的队员和最低队员相差； （2）解： 所以总身高超过； （3）解：． 答：中国女篮队员的平均身高． 【拓展训练一 有理数乘除法与数轴结合】 1．（24-25六年级上·上海青浦·阶段练习）若有理数，在一条不完整的数轴上的位置如图所示，则下列各式： ①；②；③；④．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据数轴，先判断出以及的大小关系，再逐一判断式子的符号即可． 【详解】解：由图可知：， 则：，故①错误； ，故②正确； ，故③正确； ，故④正确； 综上，正确的有3个； 故选：C． 【点睛】本题考查根据数轴上点的位置，判断式子的符号，有理数加法，乘法，除法运算．熟练掌握数轴上的数从左到右依次增大，是解题的关键． 2．（24-25六年级上·闵行·期末）如图，一条数轴上有点，其中点表示的数分别是-16、9．现以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在点的右边，并且，则点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查两点间的距离，用数轴上的点表示有理数，先求出点表示的数，再根据对称性，求出点表示的数即可． 【详解】解：∵，点表示的数为9， ∴点表示的数为：， ∵以点C为折点，将数轴向右对折，点A的对应点为点， ∴点表示的数为：； 故答案为：． 3．（24-25六年级上·上海静安·期中）如图1，点，，从左到右依次在数轴上：点表示的数为，且．嘉淇将数轴放入画图软件中，如图所示．若以为个单位长度，测得． (1)点表示的数为；点表示的数为_________； (2)求点，，所表示的数的和； (3)若点在数轴上，且，求点所表示的数； (4)如图3，手机视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后点始终在视窗中心．若将数轴的单位长度变为，即变为原来的时，其可视范围就扩大为原来的倍．已知手机屏幕（横向）显示的距离为，当数轴的单位长度变为原来的时，点能出现在屏幕中，直接写出的最小整数值． 【答案】(1)， (2) (3)或 (4) 【分析】本题考查了数轴上两点距离，有理数的加减运算； （1）根据已知可得，结合数轴求得点表示的数，即可求解； （2）根据（1）的结论进行计算即可求解； （3）根据题意得出，进而分点在点的左侧与右侧两种情况讨论，即可求解； （4）根据已知得出，又个单位，进而根据题意得出比值为,即可求解． 【详解】（1）解：∵点表示的数为，以为个单位长度，测得．点在点的左侧， ∴， ∴点表示的数为， ∵，点在点的右侧． ∴点表示的数为 故答案为：，． （2）解：∵点，，所表示的数分别为， ∴点，，所表示的数的和为： （3）解：∵， ∴， ∴点所表示的数为或 （4）解：依题意，，又个单位， ， 依题意，， ∴的最小整数解为： 【拓展训练二 有理数乘除法与绝对值结合】 1．（24-25六年级上·上海宝山·期中）下列说法中，正确的个数是（   ） ①若，则； ②若，则有是负数； ③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是、6、x，若相邻两点的距离相等，则； ④若，，则的值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】①根据绝对值的性质可判定①；根据绝对值的意义得到或或或，然后分情况讨论即可判断②；③根据题意得到或或，然后分情况求解即可判断③；根据题意得到中有两个负数一个正数，然后不妨设，进而代入即可判断④． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵， ∴或或或 当时， ∴是正数； 当时， ∴是正数； 当时， ∴是正数； 当时， ∴是正数，故②错误； ∵A、B、C三点在数轴上对应的数分别是、6、x，若相邻两点的距离相等 ∴或或 ∴或或 解得：或或，故③错误； ∵， ∴中有两个负数一个正数 不妨设 则，故④错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了绝对值的化简、数轴上两点间的距离公式，有理数的运算等知识点．熟记相关结论是解题关键． 2．（24-25六年级上·上海松江·阶段练习）如图，点A，B，C在数轴上表示的数分别为a，b，c，且，则下列结论中：①；②；③；④．其中正确的是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了数轴的特征和应用，以及绝对值的含义和求法，有理数的运算，要熟练掌握．根据图示，可得，，据此逐项判定即可． 【详解】解：由题意可知：， ∵， ∴， ∵， ，故①正确； ∵，， ∴， ，故②正确； ∵，， ∴， ，故③正确； ∵ ，故④错误； 综上分析可知：正确的有①②③． 故答案为：①②③． 3．（24-25六年级上·上海静安·期中）综合与实践 【主题】折纸． 【素材】已知在纸面上有一数轴（如图所示），折叠纸面． 【实践操作】 操作1：在纸面上有如图所示的一数轴，折叠纸面，若数轴上数1表示的点与数表示的点重合，则数轴上数表示的点与数2表示的点重合． 操作2：现打开纸面后，再次折叠．使数轴上数表示的点与数0表示的点重合．数轴上两点折叠后重合，两点折叠后重合． 【实践探索】 (1)在操作2中，数轴上数3表示的点与数_____表示的点重合； (2)若点到原点的距离是5个单位长度，求点表示的数； (3)若数轴上两点之间的距离为20且点表示的数比点表示的数大，现有一只电子蚂蚁从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向射线的方向运动，求当电子蚂蚁所在位置到点的距离为4时，电子蚂蚁所用的时间为多少秒？ 【答案】(1) (2)或1 (3)8秒或12秒 【分析】本题主要考查的是数轴的认识，数轴上两点之间的距离，点的对称性． （1）数轴上数表示的点与数0表示的点关于点对称，再找出数3表示的点关于点的对称点即可； （2）点A到原点的距离是5个单位长度，则点A表示的数为5或，分两种情况讨论，即可得到B点表示的数； （3）分电子蚂蚁所在位置位于点的左侧与右侧两种情况，分别计算即可． 【详解】（1）解：数轴上数表示的点与数0表示的点重合， 折痕处的点表示的数为：， ，， 数轴上数3表示的点与数表示的点重合； 故答案为：； （2）解：点到原点的距离是5个单位长度， 点A表示的数为5或， 点A表示的数为5时， ，， 点A表示的数为时， ，， 点表示的数为：或1； （3）解：当电子蚂蚁所在位置位于点的左侧时， 电子蚂蚁所用的时间为， 当电子蚂蚁所在位置位于点的右侧时， 电子蚂蚁所用的时间为， 即电子蚂蚁所用的时间为8秒或12秒． 【拓展训练三 有理数乘除法综合应用】 1．（24-25六年级上·上海宝山·期末）近年来，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．某汽车生产厂家去年前七个月的新能源汽车销售数据记录如下表，以每月销售10万辆为标准，多于10万辆的部分记为“”，不足10万辆的部分记为“”，刚好10万辆的记为“0”． 时间 一月 二月 三月 四月 五月 六月 七月 与标准数量的差值/万辆                                    (1)该汽车生产厂家这七个月一共销售了多少万辆新能源汽车？ (2)小明家购置的新能源汽车平均每千米耗电千瓦时，该汽车的电池容量为52千瓦时，目前汽车显示还有的电量，小明的爸爸习惯在电量剩余时去充电，请计算该汽车充电前还能行驶多远？ 【答案】(1)万辆 (2) 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数混合运算的实际应用．理解题意，正确列出等式是解题关键． （1）先求出这七个月高于（或低于）10万的标准所销售的数量，再加上七个月按标准销售的数量，即可求解； （2）求出的电量的里程即可． 【详解】（1）解： （万辆）． 答：该汽车生产厂家这七个月一共销售了万辆新能源汽车． （2）解： ． 答：该汽车充电前还能行驶． 2．（24-25六年级上·上海松江·期末）某学校要开展六年级学生的阅读活动，准备购进科技书和文学书两种书籍，已知购进了科技书本，比购进的文学书多少本． (1)求购进了文学书多少本； (2)若科技书的单价和文学书的单价之比是，学校这批购买科技书和文学书共花费元，求科技书和文学书单价分别是多少元； (3)在（）的条件下，学校为增大阅读量，学校准备第二次购进一批同样的科技书和文学书及书签，计划买两本书籍共计本，科技书的数量比文学书的数量少多本，另买个单价为元的书签，学校第二次购买正好赶上书店庆典，推出三种优惠方案： 方案：在该书店购买商品的费用，每满元减元； 方案：在该书店购买一张元的“优惠卡”，所购买的商品一律七折； 方案：在该书店每购买本书籍赠送一个书签，并且消费元以上元以内，元以上的部分返现金，问学校第二次购买，用哪个方案更省钱，请说明理由． 【答案】(1)购进了文学书本； (2)科技书单价是元，文学书单价是元； (3)选择方案更省钱，理由见解析． 【分析】本题考查了有理数乘除法的应用，一元一次方程的应用，掌握相关知识的应用是解题的关键． （）根据题意列出算式，然后根据运算法则即可求解； （）设科技书的单价是元，则文学书的单价是元，根据题意列方程，然后解方程即可； （）设第二次购进文学书本，则购进科技书本，列方程，解得，所以学校第二次购物总费用：（元），然后分别计算三种方案的费用，再比较即可． 【详解】（1）解： （本） 答：购进了文学书本； （2）解：设科技书的单价是元，则文学书的单价是元， 根据题意得，， 解得， 科技书单价：，文学书单价：， 答：科技书单价是元，文学书单价是元； （3）解：设第二次购进文学书本，则购进科技书本， 根据题意得， 解得， ， ∴第二次购进文学书本，第二次购进科技书本， ∴学校第二次购物总费用：（元）， 方案：， ∴（元）； 方案：（元）； 方案：根据题意：书签钱，（元）， 第二次购两种书原价费用（元）， （元）， ∵， ∴选择方案更省钱． 3．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）小实家的新房户型结构平面图如图所示，主卧与次卧是两个面积相等的正方形，阳台是直径与主卧边长相等的半圆（取3，墙体厚度不计）． (1)请算出小实家两个卧室和客厅的面积总和． (2)小实家打算将两个卧室和客厅全部铺上实木地板，卫生间、厨房全部铺上柔光砖，阳台铺木纹砖，铺贴费用如下表： 类别 实木地板 柔光砖 木纹砖 平均费用（元/） 200 90 80 问：小实家铺贴地面的总金额是多少元（结果精确到百位，并用科学记数法表示）？ 【答案】(1)67； (2)15095元 【分析】本题考查有理数混合运算的应用，根据图形列出算式是解决本题的关键． （1）先求出每个卧室的边长，再根据图形求出客厅和卧室的面积之和即可； （2）根据题意列出算式即可求解． 【详解】（1）解：∵主卧与次卧是两个面积相等的正方形， ∴卧室的边长为m， ∴客厅的长为m， ∴两个卧室和客厅的面积总和； （2）解：（元） 【拓展训练四 裂项相消法解决规律计算问题】 1．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）利用裂项技巧计算时，最恰当的方案可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法运算．根据有理数乘法法则进行作答即可． 【详解】解：计算最简便的方法是， 故选：D． 2．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）阅读下列材料： 计算： 解：原式 这种求和方法称为“裂项相消法”，请你参照此法计算： ． 【答案】 【分析】根据例题中的裂项相消法即可解答 【详解】解：依题意得： 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，弄清题中的方法是解本题的关键． 3．（24-25六年级上·上海杨浦·阶段练习）【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_________，是第_________个数； 【方法属示】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 根据上面获得的经验完成下面的计算： （2）； （3）． 【答案】（1），11；（2）；（3） 【分析】本题考查数字变化的规律，能根据题意发现第个数为及巧妙利用裂项相消法是解题的关键． （1）观察所给数列，发现它们的分子都是1，分母是两个连续整数的积，据此可解决问题． （2）根据题中所给示例即可解决问题． （3）将所给算式改写成分母为两个连续整数积的形式，再进行计算即可． 【详解】解：（1）由题知， ； ； ； ； …… 所以第个数为：． 当时，．即第6个数为． 当时，， 所以． 即是第11个数． 故答案为：，11． （2）原式 ． （3）原式 ． 【拓展训练五 有理数乘除法的新定义问题】 1．（24-25六年级上·上海静安·期中）对于有理数，定义运算“@”：． (1)求的值； (2)分别求与的值，并判断运算“@”是否满足结合律． 【答案】(1) (2)，，不满足结合律 【分析】（1）利用新定义得到，然后进行有理数的混合运算； （2）利用新定义计算出，，则可判定运算“@”不满足结合律． 本题考查了有理数混合运算：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【详解】（1）解： ； （2）解：，，即； 而，，即， 所以，所以运算“@”不满足结合律． 2．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）在学习完《有理数》后，小奇对有理数运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：．（a、b不相等） (1) ； (2)求的值； (3)试以和说明，新定义的运算“⊕”满足交换律吗？ 【答案】(1)0 (2) (3)不满足，理由见解析 【分析】本题考查了新定义下的有理数的乘法、加法运算，乘法运算律．理解运算的运算法则是解题的关键． （1）根据，计算求解即可； （2），根据，计算求解即可； （3）由，，，判断作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：0； （2）解：由题意知，， ∴， ∴的值为； （3）解：不满足，理由如下； ， ， ∵， ∴新定义的运算“⊕”不满足交换律． 3．（24-25六年级上·上海闵行·期中）定义新运算：，．例如：，．若，则称有理数，为“开心数对”． 例如：，，，所以2、3就是一对“开心数对”． (1)下列各组数是“开心数对”的是________；（请填序号） ①，；②，；③， (2)计算：； (3)已知两个连续的非零整数都是“开心数对”，计算：． 【答案】(1)①③， (2) (3) 【分析】（1）根据已知新运算公式分别计算，再根据“开心数对”的定义判断即可； （2）根据已知新运算公式，结合有理数混合运算法则，即可计算求值； （3）根据“开心数对”的定义，将代数式变形，再进行计算即可． 【详解】（1）解：①，， ，， ，即，是“开心数对”； ②，， ，， ，即，不是“开心数对”； ③， ，， ，即，是“开心数对”； 故答案为：①③； （2）解： ； （3）解：两个连续的非零整数都是“开心数对”， ． 【点睛】本题考查了新定义下的运算，有理数的混合运算，正确理解“开心数对”的定义，掌握相关运算法则是解题关键． 1．（2025·上海宝山·模拟预测）的倒数是（　　） A． B． C．-20 D．20 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数乘法、倒数的定义等知识点，掌握有理数乘法法则是解题的关键． 先根据有理数乘法法则计算，然后再求倒数即可． 【详解】解：，的倒数是． 故选A． 2．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）若“！”是一种数学运算符号，并且，，，，……，则的值是为（  ） A． B．99！ C．9900 D．2！ 【答案】C 【分析】本题考查学生分析数据，总结、归纳数据规律的能力，关键是找出规律，要求学生要有一定的解题技巧，关键是要理解“！”的运算规律．根据“！”的运算规律计算​即可得出本题的答案． 【详解】解：根据题目的运算规则可得：， 故选：C． 3．（24-25六年级上·上海松江·阶段练习）观察下图，它的计算过程可以解释（    ）这一运算规律．    A．加法交换律 B．乘法结合律 C．乘法交换律 D．乘法分配律 【答案】D 【分析】本题考查了乘法运算律，根据图形得出，即可得解． 【详解】解：由图可得：，故它的计算过程可以解释乘法分配律这一运算过程， 故选：D． 4．（24-25六年级上·上海普陀·期中）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示．若，则下列结论：①②，③，④一定成立的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴上点的表示的数的正负及有理数的加减乘除法的符号法则，解决本题的关键是牢记有理数的加减乘除法则．先画出符合题意的数轴，根据两个数的正负以及加减乘除法法则，对每个选择作出判断，得正确答案即可． 【详解】解：，根据数轴可知， 或 ∴①，正确； ② ，正确； ③ 当时，； 当时，，③错误； ④当时，；当，无意义， 当时，，④错误． 则正确的有2个， 故选：B． 5．（24-25六年级上·上海虹口·阶段练习）小明和小军国庆前商量着来盐城旅游，希望购买的火车票座位能挨着在一起，并且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如下所示，则下列座位号码符合要求的是（　　） 窗口 1 2 过道 3 4 5 窗口 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 … … … A．53，54 B．62，63 C．75，76 D．89，90 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的除法运算的应用，根据图示的规律可知被5除余1的数和能被5整除得座位号靠窗，再逐项分析． 【详解】解：由题图中座位的排序规律可知，被5除余1的数和能被5整除得座位号靠窗． ∵，，53，54都不是被5除余1的数和能被5整除的数 ∴53，54没有靠窗的，所以A不符合题意； ∵，故61被5除余1， ∴61靠窗， ∴62，63之间有过道，不能挨在一起，所以B不符合题意； ∵，故75能被5整除， ∴75，76不在同一行，所以C不符合题意． ∵，故90能被5整除，故90靠窗 ∴89在90的左边， ∴89，90座位挨在一起，所以D项符合条件． 故选：D． 6．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）计算： ； 【答案】 【分析】此题考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算法则求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 7．（24-25六年级上·上海青浦·期中）的绝对值是 ，倒数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，倒数，熟练掌握绝对值，倒数． 利用绝对值，倒数的定义求解即可． 【详解】解：的绝对值是， ， 的倒数是， ∴的倒数是． 故答案为：． 8．（25-26六年级上·上海宝山·阶段练习）口算． （1） （2） （3） （4） （5） （6）      （7） （8） 【答案】 / / 【分析】本题主要考查有理数的加，减，乘，除运算，掌握其运算法则是解题的关键， （1）根据有理数的乘法运算即可求解； （2）根据有理数的除法运算即可求解； （3）根据有理数的加法运算即可求解； （4）根据有理数的除法运算即可求解； （5）根据有理数的除法运算即可求解； （6）根据有理数的乘法运算即可求解； （7）先计算除法，再计算减法即可； （8）根据有理数的乘法运算即可求解． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8） 故答案为：，，，，，，，． 9．（24-25六年级上·上海闵行·期中）新定义：规定“”是一种数学运算符号，且，，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数乘除混合运算，理解新运算的定义是解题关键．根据新运算的定义将所求的式子进行转化，再计算有理数的乘除法即可得． 【详解】解：由题意得： ， 故答案为：． 10．（24-25六年级上·上海静安·期末）我国晋代杰出书法家王羲之所作的《兰亭集序》文章开篇写道“永和九年，岁在癸丑，暮春之初，……”这里的年份和时间，使用了我国古代两种常用的纪年——年号纪年与干支纪年．干支纪年是中国历法上一直使用的，干支是天干和地支的合称，其中天干口诀为：“甲乙丙丁戊己庚辛壬癸”，地支口诀：“子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥”．天干地支依次向后循环滚动，60年一循环，如2025年为乙巳年，2026年为丙午年，2027为丁未年，…2031年为辛亥年，2032年为壬子年…，则2099年是 年． 【答案】己未 【分析】本题考查有理数除法的实际应用，根据题意，列出算式，利用余数进行判断即可． 【详解】解：由题知，因为2025年为乙巳年，且天干每10年一循环，地支每12年一循环， 所以余4，余2， 则2099年对应的天干为“己”，对应的地支为“未”， 所以2099年是己未年． 故答案为：己未 11．（24-25六年级上·上海闵行·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握有理数的乘除运算法则是解题的关键．根据有理数的乘除运算法则计算即可． 【详解】解： ． 12．（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如．求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义运算，有理数混合运算；理解新定义，正确进行运算是解题的关键． （1）根据新定义得，进行有理数混合运算，即可求解； （2）根据新定义进行分步运算，即可求解； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．（24-25六年级上·上海宝山·期末）学习有理数的乘法后，老师给同学们这样两道题目： 计算：（1）．（2）． 有两位同学的解法如下： （1）． （2）． 请参考上述解法，计算下列两题： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)2025 【分析】本题考查有理数的乘法运算律： （1）仿照第一位同学的解法解答； （2）仿照第二位同学的解法解答． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 14．（24-25六年级上·上海杨浦·阶段练习）阅读材料：我们知道有限小数可以化为分数，那么无限循环小数是如何化为分数的呢？观察下面将一个无限循环小数化为分数的过程．…是一个以47为循环节的无限循环小数，将它扩大到100倍，把第一个循环节移到小数点之前，得到：…，发现小数点后仍然是循环节为47的无限循环小数，即小数点后仍是原数，即：．由此可知，所以．根据以上阅读材料，回答下列问题： (1)是以______为循环节的无限循环小数，将化为分数结果为______； (2)将化为分数形式，并写出推导过程； (3)将化为分数结果为______（注：以189为循环节的无限循环小数）． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了把无限循环小数化成分数，正确理解题意是解题的关键． （1）根据材料中方法即可解答； （2）根据材料中方法即可解答； （3）根据材料中方法即可解答． 【详解】（1）解：是以为循环节的无限循环小数， ∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴； （3）解：∵，， ∴． 15．（24-25六年级上·上海虹口·期中）在工厂和生产场所中，安防巡检机器人可以定期巡视设备和生产线，监测设备运行状态、温度和振动等参数，及时发现异常并预防事故发生．某天晚上开始，一台巡检机器人在一条生产线上巡查了7次，为方便记录，规定向右为正，向左为负，巡检路程记录如下：3，，8，，7，▲，（单位：米）已知机器人第七次巡检结束时刚好回到起点． (1)第五次结束时机器人的位置在起点的左边还是右边？距离起点多远？ (2)路程记录中的数据“▲”是多少？ (3)机器人行驶速度为米/分，求第7次巡检结束的时刻（检查均无故障，不需停留维修）． 【答案】(1)在起点位置的右边，距离起点9米处 (2)“▲”为 (3)第7次巡检结束的时间是晚上点 【分析】（1）由，作答即可； （2）由题意知，，进而可得； （3）由题意知，（米），则（分），（小时），（时），然后作答即可． 【详解】（1）解：∵（米）； ∴第五次结束时机器人的位置在起点位置的右边9米处． （2）解：由题意知，， ∴， ∴“▲”是． （3）解：（米）， ∴（分）， ∴（小时）， ∴（时）， ∴第7次巡检结束的时间是晚上点（）． 【点睛】本题考查了正负数的实际应用，有理数的加减混合运算的应用，绝对值，有理数的除法应用．熟练掌握正负数的实际应用，有理数的加减混合运算的应用，绝对值，有理数的除法应用是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 有理数的乘法与除法重难点题型专训 （4个知识点+8大题型+5拓展训练+自我检测） 题型一 两个有理数的乘法运算 题型二 多个有理数的乘法运算 题型三 倒数 题型四 有理数的乘法运算律 题型五 有理数的除法运算 题型六 有理数乘除混合计算问题 题型七 有理数的乘法的实际应用 题型八 有理数的除法应用 拓展训练一 有理数乘除法与数轴结合 拓展训练二 有理数乘除法与绝对值结合 拓展训练三 有理数乘除法综合应用 拓展训练四 裂项相消法解决规律计算问题 拓展训练五 有理数乘除法的新定义问题 知识点一：有理数的乘法 有理数乘法法则：（下列法则中a、b为正有理数，c为任意有理数） 两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值两乘数的绝对值的积。任何数同0相乘，都得0。 即：=ab；=ab；=-ab；；=-ab；；。 有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。 多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。 【即时训练】 1．（2025·上海嘉定·模拟预测）计算：（   ） A． B． C．5 D．6 2．（24-25六年级上·上海宝山·期末）计算： ． 知识点二：有理数乘法运算律 乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：。 乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 即：。 乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。 【即时训练】 1．（2025六年级上·上海嘉定·专题练习）计算时，可以使运算简便的是（   ） A．乘法交换律 B．分配律 C．乘法结合律 D．加法结合律 2．（24-25六年级上·上海青浦·阶段练习）用一句口诀写出两道乘法算式． （1）二九十八： ， ； （2）七八五十六： ， ． 知识点三：倒数 ①倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数。 ②倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。（2）没有倒数。（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然． ③求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。 （1）非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。 【即时训练】 1．（2025·上海闵行·模拟预测）下列各数中，与互为倒数的是（   ） A．2025 B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）的相反数是 ，的倒数为 ． 知识点四：有理数的除法 ①有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。 有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。除以任何一个不等于的数，都得。 ②有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 【即时训练】 1．（2025·上海虹口·模拟预测）计算的结果等于（   ） A． B．3 C． D． 2．（24-25六年级上·上海宝山·期末）如图，把一个蛋糕等分成份，每份中的角是，则为 ． 【经典例题一 两个有理数的乘法运算】 【例1】（2025·上海宝山·模拟预测）若的运算结果为负数，则□内的数字可以为（   ） A．2 B． C．0 D． 1．（24-25六年级上·上海金山·期中）计算机中常用的十六进制是一种逢16进1的计数制，采用数字和字母共16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如下表：例如，用十六进制表示，用十进制表示也就是，则用十六进制表示（   ） 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 十六进制 8 9 A B C D E F 十进制 8 9 10 11 12 13 14 15 A． B．7 C． D． 2．（24-25六年级上·上海松江·期中）已知，则 ． 3．（24-25六年级上·上海奉贤·阶段练习）定义关于有理数a，b的新运算：．例如：若，则．若，则的结果 ． 4．（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）用数学猜想解决问题 【探究活动】观察下列算式： 1①，②，③…… （1）由已知等式可猜想第n个等式为： ； （2）求的值，要求写出过程； （3）猜想下列算式的结果（直接写结果） ． 【拓展应用】（4）仿照上面的探究过程写出下列式子的计算结果． ． 【经典例题二 多个有理数的乘法运算】 【例2】（24-25六年级上·上海普陀·期中）在等五个数中，任意三个数的积最小为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）对正整数a，表示n个a连乘，如时，，即a的平方，若a的所有因数之积等于a的平方，则称a为完满数，如6的所有因数为1，2，3，6，因为，所以6是一个完满数，则下列数中是完满数的为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 2．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）小明有5张写着以下数字的卡片，从中取出3张卡片，把这3张卡片上的数字相乘，最大的积是 ．    3．（24-25六年级上·上海青浦·阶段练习）如图，小天有5张写着不同数的卡片，从中抽出2张卡片，使卡片上的数相除，所得到的商最小，最小的商是 ；从中抽出3张卡片，使卡片上的数相乘，所得到的积最大，最大的积是 ． 4．（24-25六年级上·上海静安·期中）我们把符号“”读作“n的阶乘”， 规定：其中n为自然数， 当时，；当时，．例如：．又规定：在含有阶乘和加减乘除运算时，应先计算阶乘，再乘除，最后加减，有括号就先算括号里面的．按照上面的定义和运算顺序，计算： (1) (2) (3)用具体数试验一下， 看看等式是否恒成立？ 【经典例题三 倒数】 【例3】（2025·上海松江·模拟预测）若5的倒数是x，则5x的值是（    ） A． B．1 C．0 D． 1．（2025·上海宝山·模拟预测）中国古代数学著作《九章算术》最早提到了负数，的倒数是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）的倒数是 ． 3．（24-25六年级上·上海青浦·期末）将有理数（不等于0和）按以下步骤进行运算： 第一步，求这个数的倒数； 第二步，求第一步所得倒数的相反数； 第三步，求把第二步所得相反数加1． 如，有理数按上述步骤运算，得到的结果是． 现将有理数按上述步骤运算，得到的结果记为，再将按上述步骤运算，得到的结果记为，再将按上述步骤运算，得到的结果记为，如此重复上述过程，……，求的值是 ． 4．（24-25六年级上·上海杨浦·阶段练习）阅读以下材料，完成相关的填空和计算． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则____________； (2)计算：； (3)根据以上信息可知_________． 【经典例题四 有理数的乘法运算律】 【例4】（24-25六年级上·上海嘉定·期中）表示小于或等于该数的正整数的积，例如：，则为（   ） A．9989 B．9900 C．9910 D．9920 1．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）利用乘法分配律计算时，下列变形中，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海青浦·期中）计算： ． 3．（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； 4．（2025六年级上·上海静安·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【经典例题五 有理数的除法运算】 【例5】（2025·上海松江·模拟预测）计算的结果等于（   ） A． B． C．2 D．3 1．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）二进制在计算机科学中有着广泛的应用．计算机内部的所有操作都是基于二进制完成的，包 括数据的存储、传输和处理．此外，二进制还用于数字电路设计、通信技术等领域，所以我们很有必要研究二进制．将十进制中数“65”转换为二进制数为（    ） A．1000001 B．1000011 C．1001111 D．1111111 2．（24-25六年级上·上海静安·期末）对非零有理数，定义一种运算，其规则是：，则 ． 3．（24-25六年级上·上海宝山·期中）已知a，b，c为非零有理数，请解决下列问题： （1）当时， ； （2）若，则的值为 ． 4．（24-25六年级上·上海静安·期中）在学习了“有理数的乘方”后，小明使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出有理数的“除方”．规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如，等，可以类比有理数的乘方进行运算．小明把记作，把记作． (1)_________；_________； (2)求的值； (3)小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，如，求的值． 【经典例题六 有理数乘除混合计算问题】 【例6】（24-25六年级上·上海闵行·期中）计算的结果是（   ） A．7 B．49 C． D． 1．（24-25六年级上·上海松江·期中）对于有理数x，y，若，则的值是（   ） A． B． C．1 D．3 2．（24-25六年级上·上海静安·期末）如图，按程序框图中的顺序计算，当输入的初始值x为32时，则输出的最后结果为 ． 3．（24-25六年级上·上海松江·期末）已知有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是．如果，是的差倒数，是的差倒数，……，依次类推，那么的值是 ． 4．（2025六年级上·上海长宁·专题练习）阅读下面解题过程并解答问题：计算：． 解：原式（第一步） （第二步） 第三步） (1)上面解题过程有两处错误： 第一处是第___________步，错误原因___________； 第二处是第___________步，错误原因是___________； (2)请写出正确的解题过程． 【经典例题七 有理数的乘法的实际应用】 【例7】（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）小明有4本不同的科技类图书和3本不同的故事类图书，在一次为贫困学校捐书的活动中，他准备捐科技类和故事类图书各一本，他有（　　）种不同的捐法． A．3 B．4 C．7 D．12 1．（24-25六年级上·上海松江·期末）全球气候正在变暖，科学家认为，这与大气中二氧化碳等温室气体的浓度变化有关，随着科学知识的逐渐普及，人们已自发地响应“低碳生活”方式，减少碳排放，某小区安装太阳能路灯，每盏灯每年节电200度，若减少1度电相当于减排碳，那么10盏灯一年减排碳量为 ． 2．（24-25六年级上·上海松江·阶段练习）一间多媒体教室长15米，宽8米，高4米，要粉刷这间教室的墙壁和天花板（门窗除外）．门窗的面积是23平方米，如果每平方米需花8元涂料费，粉刷这间教室需要涂料费多少钱？ 3．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）在佛山的一个以传统手工艺和自然美景著称的小镇上，有一个专门生产竹制品和陶瓷的工艺合作社．这个合作社计划每天生产200件．但由于工艺的复杂性和市场需求的波动，实际每天的生产量与计划量有所差异．下表是某周每天的生产情况（超产记为正，减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量 (1)由表可知该合作社星期三生产竹制品和陶瓷____________件； (2)由表可知该厂本周生产竹制品和陶瓷多少件？ (3)合作社实行每日计件工资制，每生产一件产品可得60元，若超额完成任务，则超过部分每件奖励15元；少生产一件扣20元，那么合作社成员这一周的工资总额是多少元？ 4．（24-25六年级上·上海青浦·期中）我国现行的二代身份证号码是18位数字，由前17位数字本体码和最后1位校验码组成．校验码通过前17位数字根据一定规则计算得出，如果校验码不符合这个规则，那么改号码肯定是假号码，现将前17位数字本体码记为，其中表示第i位置上的身份证号码数字值，按表中的规定分别给出每个位置上的一个对应的值． i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Wi 7 9 10 5 8 4 2 1 6 3 7 9 10 5 8 4 2 Ai 4 4 0 5 2 4 1 9 8 0 0 1 0 1 0 0 1 现以号码为例，先将该号码N的前17位数字本体码填入表中（已填好），依照以下操作步骤计算相应的校验码进行校验： (1)对前17位数字本体码，按下列方式求和，并将和记为S： ． 经计算，可得_____； (2)计算，所得的余数记为Y，那么 _____； (3)查阅下表得到对应的校验码（其中X为罗马数字，用来代替10）： Y值 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 校验码 1 0 X 9 8 7 6 5 4 3 2 所得到的校验码为_____，与号码N中的最后一位进行对比，由此判断号码N是_____（填“真”或“假”）身份证号． 【经典例题八 有理数的除法应用】 【例8】（2025六年级上·上海杨浦·专题练习）小马从A地到B地自驾游，如果驾驶原来的燃油汽车所需油费为108元；驾驶新购买的纯电动汽车所需电费为27元．已知每行驶1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多元，从A地到B地的路程是（    ）千米． A．100 B．150 C．180 D．200 1．（2025·上海嘉定·模拟预测）学校团委组织37名团员去西柏坡红色教育基地进行为期两天的参观学习，其中女团员18名，男团员19名．在办理入住时，所有女团员办理完成后，再安排男团员办理．房间价目表如下（说明：客房未住满的房间按原价收费）： 房型 单人间 双人间 三人间 房价（元/天） 120 150 200 （1）所有女团员每天住宿的费用最少为 元； （2）所有男团员每天住宿的费用最少为 元． 2．（2025六年级上·上海嘉定·专题练习）甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两站相对开出，第一次相遇时离A站有90千米，然后各自按原来速度继续行驶，分别到达对方出发站后立即沿原路返回．第二次相遇时离A站的距离占A、B两站间全长的．求A、B两站间的路程． 3．（2025·上海徐汇·模拟预测）如图是两张不同类型火车的车票（“D×××次”表示动车，“G×××次”表示高铁）： (1)已知A、B两地之间的距离为，高铁的平均速度是动车平均速度的倍，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点，那么动车和高铁的平均速度分别是多少时？ (2)高铁出发前，两车在什么时刻相距？ 4．（24-25六年级上·上海虹口·期中）第33届夏季奥运会2024年在巴黎举办，中国体育代表团取得了金牌榜第一（与美国并列）、奖牌榜第二的佳绩，展示了中国人顽强奋进的精神．下表是我国参加本届奥运会女篮比赛的12位参赛队员名单和身高等信息： 姓名 李缘 王思雨 武桐桐 杨力维 杨舒予 李梦 张茹 黄思静 罗欣棫 孙梦然 李月汝 韩旭 位置 后卫 后卫 后卫 后卫 后卫 前锋 前锋 前锋 前锋 中锋 中锋 中锋 号码 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 14 15 身高（） 170 175 176 176 183 182 185 192 186 197 201 205 与基准身高的差值（） (1)根据以上信息，最高的队员和最低队员相差多少？ (2)如果以作为队员的基准身高，12位队员总身高超过或不足多少？ (3)求本届奥运会中国女篮队员的平均身高．（计算结果保留整数） 【拓展训练一 有理数乘除法与数轴结合】 1．（24-25六年级上·上海青浦·阶段练习）若有理数，在一条不完整的数轴上的位置如图所示，则下列各式： ①；②；③；④．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25六年级上·闵行·期末）如图，一条数轴上有点，其中点表示的数分别是-16、9．现以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在点的右边，并且，则点表示的数是 ． 3．（24-25六年级上·上海静安·期中）如图1，点，，从左到右依次在数轴上：点表示的数为，且．嘉淇将数轴放入画图软件中，如图所示．若以为个单位长度，测得． (1)点表示的数为；点表示的数为_________； (2)求点，，所表示的数的和； (3)若点在数轴上，且，求点所表示的数； (4)如图3，手机视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后点始终在视窗中心．若将数轴的单位长度变为，即变为原来的时，其可视范围就扩大为原来的倍．已知手机屏幕（横向）显示的距离为，当数轴的单位长度变为原来的时，点能出现在屏幕中，直接写出的最小整数值． 【拓展训练二 有理数乘除法与绝对值结合】 1．（24-25六年级上·上海宝山·期中）下列说法中，正确的个数是（   ） ①若，则； ②若，则有是负数； ③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是、6、x，若相邻两点的距离相等，则； ④若，，则的值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25六年级上·上海松江·阶段练习）如图，点A，B，C在数轴上表示的数分别为a，b，c，且，则下列结论中：①；②；③；④．其中正确的是 ． 3．（24-25六年级上·上海静安·期中）综合与实践 【主题】折纸． 【素材】已知在纸面上有一数轴（如图所示），折叠纸面． 【实践操作】 操作1：在纸面上有如图所示的一数轴，折叠纸面，若数轴上数1表示的点与数表示的点重合，则数轴上数表示的点与数2表示的点重合． 操作2：现打开纸面后，再次折叠．使数轴上数表示的点与数0表示的点重合．数轴上两点折叠后重合，两点折叠后重合． 【实践探索】 (1)在操作2中，数轴上数3表示的点与数_____表示的点重合； (2)若点到原点的距离是5个单位长度，求点表示的数； (3)若数轴上两点之间的距离为20且点表示的数比点表示的数大，现有一只电子蚂蚁从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向射线的方向运动，求当电子蚂蚁所在位置到点的距离为4时，电子蚂蚁所用的时间为多少秒？ 【拓展训练三 有理数乘除法综合应用】 1．（24-25六年级上·上海宝山·期末）近年来，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．某汽车生产厂家去年前七个月的新能源汽车销售数据记录如下表，以每月销售10万辆为标准，多于10万辆的部分记为“”，不足10万辆的部分记为“”，刚好10万辆的记为“0”． 时间 一月 二月 三月 四月 五月 六月 七月 与标准数量的差值/万辆                                    (1)该汽车生产厂家这七个月一共销售了多少万辆新能源汽车？ (2)小明家购置的新能源汽车平均每千米耗电千瓦时，该汽车的电池容量为52千瓦时，目前汽车显示还有的电量，小明的爸爸习惯在电量剩余时去充电，请计算该汽车充电前还能行驶多远？ 2．（24-25六年级上·上海松江·期末）某学校要开展六年级学生的阅读活动，准备购进科技书和文学书两种书籍，已知购进了科技书本，比购进的文学书多少本． (1)求购进了文学书多少本； (2)若科技书的单价和文学书的单价之比是，学校这批购买科技书和文学书共花费元，求科技书和文学书单价分别是多少元； (3)在（）的条件下，学校为增大阅读量，学校准备第二次购进一批同样的科技书和文学书及书签，计划买两本书籍共计本，科技书的数量比文学书的数量少多本，另买个单价为元的书签，学校第二次购买正好赶上书店庆典，推出三种优惠方案： 方案：在该书店购买商品的费用，每满元减元； 方案：在该书店购买一张元的“优惠卡”，所购买的商品一律七折； 方案：在该书店每购买本书籍赠送一个书签，并且消费元以上元以内，元以上的部分返现金，问学校第二次购买，用哪个方案更省钱，请说明理由． 3．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）小实家的新房户型结构平面图如图所示，主卧与次卧是两个面积相等的正方形，阳台是直径与主卧边长相等的半圆（取3，墙体厚度不计）． (1)请算出小实家两个卧室和客厅的面积总和． (2)小实家打算将两个卧室和客厅全部铺上实木地板，卫生间、厨房全部铺上柔光砖，阳台铺木纹砖，铺贴费用如下表： 类别 实木地板 柔光砖 木纹砖 平均费用（元/） 200 90 80 问：小实家铺贴地面的总金额是多少元（结果精确到百位，并用科学记数法表示）？ 【拓展训练四 裂项相消法解决规律计算问题】 1．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）利用裂项技巧计算时，最恰当的方案可以是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）阅读下列材料： 计算： 解：原式 这种求和方法称为“裂项相消法”，请你参照此法计算： ． 3．（24-25六年级上·上海杨浦·阶段练习）【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_________，是第_________个数； 【方法属示】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 根据上面获得的经验完成下面的计算： （2）； （3）． 【拓展训练五 有理数乘除法的新定义问题】 1．（24-25六年级上·上海静安·期中）对于有理数，定义运算“@”：． (1)求的值； (2)分别求与的值，并判断运算“@”是否满足结合律． 2．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）在学习完《有理数》后，小奇对有理数运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：．（a、b不相等） (1) ； (2)求的值； (3)试以和说明，新定义的运算“⊕”满足交换律吗？ 3．（24-25六年级上·上海闵行·期中）定义新运算：，．例如：，．若，则称有理数，为“开心数对”． 例如：，，，所以2、3就是一对“开心数对”． (1)下列各组数是“开心数对”的是________；（请填序号） ①，；②，；③， (2)计算：； (3)已知两个连续的非零整数都是“开心数对”，计算：． 1．（2025·上海宝山·模拟预测）的倒数是（　　） A． B． C．-20 D．20 2．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）若“！”是一种数学运算符号，并且，，，，……，则的值是为（  ） A． B．99！ C．9900 D．2！ 3．（24-25六年级上·上海松江·阶段练习）观察下图，它的计算过程可以解释（    ）这一运算规律．    A．加法交换律 B．乘法结合律 C．乘法交换律 D．乘法分配律 4．（24-25六年级上·上海普陀·期中）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示．若，则下列结论：①②，③，④一定成立的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 或 ∴①，正确； ② ，正确； 5．（24-25六年级上·上海虹口·阶段练习）小明和小军国庆前商量着来盐城旅游，希望购买的火车票座位能挨着在一起，并且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如下所示，则下列座位号码符合要求的是（　　） 窗口 1 2 过道 3 4 5 窗口 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 … … … A．53，54 B．62，63 C．75，76 D．89，90 6．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）计算： ； 7．（24-25六年级上·上海青浦·期中）的绝对值是 ，倒数是 ． 8．（25-26六年级上·上海宝山·阶段练习）口算． （1） （2） （3） （4） （5） （6）      （7） （8） 9．（24-25六年级上·上海闵行·期中）新定义：规定“”是一种数学运算符号，且，，，，，则 ． 10．（24-25六年级上·上海静安·期末）我国晋代杰出书法家王羲之所作的《兰亭集序》文章开篇写道“永和九年，岁在癸丑，暮春之初，……”这里的年份和时间，使用了我国古代两种常用的纪年——年号纪年与干支纪年．干支纪年是中国历法上一直使用的，干支是天干和地支的合称，其中天干口诀为：“甲乙丙丁戊己庚辛壬癸”，地支口诀：“子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥”．天干地支依次向后循环滚动，60年一循环，如2025年为乙巳年，2026年为丙午年，2027为丁未年，…2031年为辛亥年，2032年为壬子年…，则2099年是 年． 11．（24-25六年级上·上海闵行·期末）计算： 12．（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如．求： (1)； (2)． 13．（24-25六年级上·上海宝山·期末）学习有理数的乘法后，老师给同学们这样两道题目： 计算：（1）．（2）． 有两位同学的解法如下： （1）． （2）． 请参考上述解法，计算下列两题： (1)． (2)． 14．（24-25六年级上·上海杨浦·阶段练习）阅读材料：我们知道有限小数可以化为分数，那么无限循环小数是如何化为分数的呢？观察下面将一个无限循环小数化为分数的过程．…是一个以47为循环节的无限循环小数，将它扩大到100倍，把第一个循环节移到小数点之前，得到：…，发现小数点后仍然是循环节为47的无限循环小数，即小数点后仍是原数，即：．由此可知，所以．根据以上阅读材料，回答下列问题： (1)是以______为循环节的无限循环小数，将化为分数结果为______； (2)将化为分数形式，并写出推导过程； (3)将化为分数结果为______（注：以189为循环节的无限循环小数）． 15．（24-25六年级上·上海虹口·期中）在工厂和生产场所中，安防巡检机器人可以定期巡视设备和生产线，监测设备运行状态、温度和振动等参数，及时发现异常并预防事故发生．某天晚上开始，一台巡检机器人在一条生产线上巡查了7次，为方便记录，规定向右为正，向左为负，巡检路程记录如下：3，，8，，7，▲，（单位：米）已知机器人第七次巡检结束时刚好回到起点． (1)第五次结束时机器人的位置在起点的左边还是右边？距离起点多远？ (2)路程记录中的数据“▲”是多少？ (3)机器人行驶速度为米/分，求第7次巡检结束的时刻（检查均无故障，不需停留维修）． 学科网（北京）股份有限公司 $$