4.2.3 第2课时 超几何分布-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂Word课时作业（人教B版2019）

[基础过关] 1．(多选题)一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，如下几种变量中不服从超几何分布的是(　　) A．X表示取出的球的最大号码 B．Y表示取出的球的最小号码 C．取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，表示取出的4个球的总得分 D．η表示取出的黑球个数 解析：ABC　[对于A，X的可能取值为4,5,6,7,8,9,10，不是从0开始的连续自然数，故不服从超几何分布；同理BC也不服从；D中η和黑球的个数有关，球根据颜色可以分成固定数目的两类，且η的取值为0,1,2,3,4，故服从超几何分布．] 2．若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则事件{X＝k}中含有的基本事件个数为(　　) A．CC　　　　　 B．CC C．CC D．CC 解析：B　[事件{X＝k}表示从含M件次品的N件产品中，任取n件产品，其中恰有k件次品，则必有n－k件正品，因此事件{X＝k}中含有CC个基本事件．] 3．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 解析：B　[由题意知10件产品中有2件次品，故所求概率为P(X＝1)＝＝.] 4．在16辆公共自行车中有6辆损坏，现从中任意选10辆，用X表示这10辆公共自行车中损坏的辆数，下列概率中等于的是(　　) A．P(X＝2) B．P(X≤2) C．P(X＝4) D．P(X≤4) 解析：C　[X服从超几何分布，故P(X＝k)＝，k＝4.] 5．袋中有6个红球、4个白球，从袋中任取4个球，则至少有2个白球的概率是(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 解析：D　[方法1：设取出的白球个数为离散型随机变量X，则X的所有可能取值为0,1,2,3,4，则P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＋＝＝＝.故至少有2个白球的概率为. 方法2：设A＝“至少有2个白球”，则＝“至多有1个白球”，所以P(A)＝1－P()＝1－－＝1－－＝＝.] 6．一个盒子里装有大小相同的红球、白球共30个，其中白球4个，从中任取两个，则概率为的事件是(　　) A．没有白球 B．至少有一个白球 C．至少有一个红球 D．至多有一个白球 解析：B　[＝＋表示任取的两个球中只有一个白球和两个都是白球的概率，即至少有一个白球的概率．] 7．生产方提供一批50箱的产品，其中有2箱不合格产品．采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品，则该批产品被接收的概率为________． 解析：以50箱为一批产品，从中随机抽取5箱，用X表示“5箱中不合格产品的箱数”，则X服从参数为N＝50，M＝2，n＝5的超几何分布，这批产品被接收的条件是5箱中没有不合格的或只有1箱不合格的，所以被接收的概率为P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝.故该批产品被接收的概率是. 答案： 8．已知某批产品共100件，其中二等品有20件．从中任意抽取2件，ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，试填写下列关于ξ的分布列. ξ＝k 0 1 2 P(ξ＝k) ________ ________ 解析：由题意可知ξ～H(100,2,20)． 则P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝. 答案：　 9．某大学的外文系有一个翻译小组，该小组中会法语不会英语的有1人，英语法语都会的有2人，从该小组任取2人，设X为选出的人中英语法语都会的人数，若P(X>0)＝，则该小组的人数为________． 解析：设该小组的人数为n，由题意得＝，即＝，整理得3n2－23n＋30＝0，n∈N*，解得n＝6. 答案：6 10．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，求取得的次品数X的分布列． 解：由题意知X服从超几何分布． X的所有可能取值为0,1,2，则 P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝.所以X的分布列为 X 0 1 2 P 11.某班同学利用寒假对A小区的居民进行了一次生活习惯是否符合低碳理念的调查，生活习惯符合低碳理念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，这两类人数各占A小区总人数的比例如下表所示： A小区 “低碳族” “非低碳族” 比例 在A小区中随机选择20户，设从中抽取的3户中“非低碳族”的数量为X，求X的分布列． 解：在A小区随机选择的20户中，“非低碳族”有20×＝4(户)，由题意可知，X服从超几何分布． 则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P [能力提升] 12．盒内有大小、形状完全相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分．现从盒内任取3个球． (1)求取出的3个球中至少有1个红球的概率； (2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率； (3)设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列． 解：(1)P＝1－＝. 取出的3个球得分之和恰为1分包含的情况有两种：①1红2白，②2红1黑．(2)记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C，则取出的3个球的得分之和恰为1分的概率为， P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝＋＝. (3)ξ的可能取值为0,1,2,3，ξ服从超几何分布，P(ξ＝k)＝，k＝0,1,2,3. 故P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.所以ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3 P 13.元旦联欢晚会某校师生一块做游戏，数学老师制作了六张卡片放在盒子里，卡片上分别写着六个函数：f1(x)＝x2＋1，f2(x)＝x3，f3(x)＝，f4(x)＝xcos x，f5(x)＝|sin x|，f6(x)＝3－x. (1)现在取两张卡片，记事件A为“所得两个函数的奇偶性相同”，求事件A的概率． (2)从盒中不放回逐一抽取卡片，若取到一张卡片上的函数是奇函数则停止抽取，否则继续进行，记停止时已抽取的次数为ξ，求ξ的分布列． 解：(1)根据题意，知f2(x)，f3(x)，f4(x)是奇函数，f1(x)，f5(x)是偶函数，f6(x)为非奇非偶函数， ∴P(A)＝＝. (2)根据题意，随机变量ξ的所有可能取值为1,2,3,4. P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝， P(ξ＝4)＝＝. 所以ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 P [素养培优] 14．在一次购物抽奖中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品． (1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列； (2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张， ①求顾客乙中奖的概率； ②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列． 解：(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况． P(X＝1)＝＝＝， 则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－＝. 因此X的分布列为 X 0 1 P (2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类事件：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖． 故所求概率P＝＝＝. ②Y的所有可能取值为0,10,20,50,60， 且P(Y＝0)＝＝＝，P(Y＝10)＝＝＝， P(Y＝20)＝＝＝，P(Y＝50)＝＝＝， P(Y＝60)＝＝＝. 因此随机变量Y的分布列为 Y 0 10 20 50 60 P 学科网（北京）股份有限公司 $$