4.2.1 随机变量及其与事件的联系&4.2.2 离散型随机变量的分布列-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂Word课时作业（人教B版2019）

[基础过关] 1．(多选题)下列随机变量是离散型随机变量的是(　　) A．连续不断地射击，首次击中目标所需要的射击次数X B．南京长江大桥一天经过的车辆数X C．某型号彩电的寿命X D．连续抛掷两个质地均匀的骰子，所得点数之和X 解析：ABD　[∵B，D中X的取值有限，且可以一一列举出来，故B，D中的X均为离散型随机变量． ∵A中X的取值依次为1,2,3，…，虽然无限，但可一一列举出来，故为离散型随机变量． 而C中X的取值不能一一列举出来， ∴C中的X均不是离散型随机变量．] 2．设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 若随机变量Y＝X－2，则P(Y＝2)等于(　　) A．0.3　　 B．0.4　　　C．0.6　　 D．0.7 解析：A　[由0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1， 得m＝0.3.又P(Y＝2)＝P(X＝4)＝0.3.] 3．某一随机变量ξ的概率分布如下表，且m＋2n＝1.2，则m－的值为(　　) ξ 0 1 2 3 P 0.1 m n 0.1 A.－0.2　 B．0.2　　C．0.1　 D．－0.1 解析：B　[由离散型随机变量分布列的性质可得m＋n＋0.2＝1，又m＋2n＝1.2，解得m＝n＝0.4，可得m－＝0.2.] 4．(2020·渭滨高二检测)设随机变量ξ的分布列为P＝ak(k＝1,2,3,4)，则P等于(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 解析：D　[因为随机变量ξ的分布列为 P＝ak(k＝1,2,3,4)， 所以a＋2a＋3a＋4a＝1，解得a＝0.1， 所以P＝P＋P＝2×0.1＋3×0.1＝.] 5．(多选题)甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，则{ξ＝3}表示的可能结果为(　　) A．甲赢三局　　　　 B．甲赢一局输两局 C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局 解析：BC　[甲赢一局输两局得3分，甲与乙平三局得3分．] 6．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝， k＝1,2，…10，则P(3≤X≤4)＝(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 解析：A　[因为随机变量X的分布列为 P(X＝k)＝，k＝1,2，…10， 所以 ＝＋＋＋…＋ ＝a＝a＝1，解得a＝， 所以P(3≤X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4) ＝＋＝.] 7．设随机变量δ的分布列为P(δ＝k)＝， k＝1,2,3，其中c为常数，则P(0.5<δ<2.5)＝________. 解析：因为随机变量δ的分布列为P(δ＝k)＝，k＝1,2,3，所以＋＋＝1，所以c＝.所以P(0.5<δ<2.5)＝P(δ＝1)＋P(δ＝2)＝ ＋＝c＝. 答案： 8．若离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 2a 3a 5a 则a＝________，P(X≥1)＝________. 解析：由2a＋3a＋5a＝1得a＝. ∴P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝. 答案：　 9．(2020·浙江新高考名校联考)已知离散型随机变量X的分布列如表所示，当＋取最小值时，x＝________. X 1 2 3 P x y 解析：由题意得，x＋y＝(x>0，y>0)， 所以＋＝2(x＋y)·＝ 2≥2×(5＋4)＝18， 当且仅当y＝2x，即x＝，y＝时取等号， 此时＋取得最小值18. 答案： 10．由于研究性学习的需要，中学生李华持续收集了手机“微信运动”团队中特定20名成员每天行走的步数，其中某一天的数据记录如下： 5 860　6 520　7 326　6 798　7 325　8 430 8 215　7 453　7 446　6 754　7 638　6 834 6 460　6 830　9 860　8 753　9 450　9 860 7 290　7 850 对这20个数据按组距为1 000进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计表(设步数为x)． 组别 步数分组 频数 A 5 500≤x<6 500 2 B 6 500≤x<7 500 10 C 7 500≤x<8 500 m D 8 500≤x<9 500 2 E 9 500≤x<10 500 n (1)写出m，n的值； (2)从A，E两个组别的数据中任取2个数据，记这2个数据步数差的绝对值为X，求X的分布列． 解：(1)根据20个数据可得步数在[7 500,8 500)范围的有4个，所以m＝4，步数在[9 500,10 500)范围的有2个，所以n＝2. (2)A，E两个组别共有4个数据：5 860,6 460，9 860，9 860.从中任取两个数据有6种取法，X的可能取值为0,600,3 400,4 000， P(X＝0)＝，P(X＝600)＝， P(X＝3 400)＝＝. P(X＝4 000)＝＝. 可得X的分布列如表所示. X 0 600 3 400 4 000 P 11.若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137,359,567等)． 在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分． (1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”； (2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列． 解：(1)个位数字是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345. (2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C＝84， 随机变量x可能的取值为0，－1,1. P(X＝0)＝＝，P(X＝－1)＝＝， P(X＝1)＝1－－＝. 所以X的分布列为 X 0 －1 1 P [能力提升] 12．已知随机变量X的分布列如表所示. X －2 －1 0 1 2 3 P (1)求随机变量Y＝X2的分布列； (2)若P(Y<x)＝，求实数x的取值范围． 解：(1)由随机变量X的分布列知，Y的可能取值为0,1,4,9， 则P(Y＝0)＝， P(Y＝1)＝＋＝＝， P(Y＝4)＝＋＝＝， P(Y＝9)＝. 可得随机变量Y的分布列如表所示. Y 0 1 4 9 P (2)∵P(Y<x)＝，∴P(Y<x)＝1－P(Y＝9)＝P(Y＝0)＋P(Y＝1)＋P(Y＝4)， ∴实数x的取值范围是(4,9]． 13．袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字． (1)求取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)求随机变量X的分布列． 解：(1)“取出的3个小球上的数字互不相同”记为事件A， 则为“取出的3个小球上有2个数字相同”， ∴P()＝＝，∴P(A)＝1－＝. (2)由题意可知X的可能取值为2,3,4,5. P(X＝2)＝＝＝， P(X＝3)＝＝＝， P(X＝4)＝＝＝， P(X＝5)＝＝＝. 可得X的分布列如表所示. X 2 3 4 5 P [素养培优] 14．一个盒子中装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域均为R的函数：f1(x)＝x，f2(x)＝x2，f3(x)＝x3，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos x，f6(x)＝2. (1)现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到一个新函数，求所得新函数是奇函数的概率； (2)现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写着偶函数的卡片则停止抽取，否则继续抽取，求抽取次数ξ的分布列． 解：(1)六个函数中是奇函数的有f1(x)＝x，f3(x)＝x3，f4(x)＝sin x．由这三个奇函数中的任意两个函数相加均可得一个新的奇函数． 设事件A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的新函数是奇函数．” 由题意知P(A)＝＝. (2)ξ的所有可能取值为1,2,3,4. P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝， P(ξ＝4)＝＝. 故ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 P 学科网（北京）股份有限公司 $$