3.1.3 第2课时 组合数的性质及应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂Word课时作业（人教B版2019）

[基础过关] 1．某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名选手参加比赛，种子选手必须在内，那么不同的选法共有(　　) A．26种　 B．84种　　 C．35种　 D．21种 解析：C　[从7名队员中选出3人有C＝＝35(种)选法．] 2．以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体有(　　) A．6个 B．12个 C．18个 D．30个 解析：B　[从6个顶点中任取4个有C＝15(种)取法，其中四点共面的有3种，所以满足题意的四面体有15－3＝12(个)．] 3．某科技小组有6名学生，现从中选出3人去参观展览，至少有一名女生入选的不同选法有16种，则该小组中的女生人数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：A　[设男生人数为x，则女生有(6－x)人．依题意：C－C＝16，即x(x－1)(x－2)＝6×5×4－16×6＝4×3×2，∴x＝4，即女生有2人．] 4．200件产品中有3件次品，任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有(　　) A．C·C　　　　　 B．CC＋CC C．C－C D．C－CC 解析：B　[至少2件次品包含两类：(1)2件次品，3件正品，共CC种，(2)3件次品，2件正品，共CC种，由分类加法计数原理得抽法共有CC＋CC.] 5．(多选)下列关系中能成立的是(　　) A．C＝C B．C＝ C．m！＝ D．A＋mA＝A 解析：BCD　[对于A，令n＝3，m＝1，可得等式C＝C不成立，故A错误； 对于B，由组合数的计算公式知C＝，故B正确； 对于C，由排列数与组合数的定义知＝×＝m！，故C正确； 对于D，A＋mA＝＋＝＝A，故D正确． 故选BCD.] 6．(多选)从7名男生和5名女生中选4人参加夏令营，规定男、女生至少各有1个参中，则不同的选法总数应为(　　) A．CCC B．CC＋CC＋CC C．C－C－C D．CC(C＋CC＋C) 解析：BC　[方法一(直接法)：分三类：3男1女，2男2女，1男3女，所以男、女生至少各有1人参加选法的总数为CC＋CC＋CC. 方法二(间接法)：任选4人的方法数为C，减去其中全部为男生或全部为女生的方法数C＋C，故不同的选法总数应为C－C－C.经检验，A，D不正确，故选BC.] 7．从6男2女共8个学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数学作答) 解析：分两步： 第1步，选出4个，由于选出的人中至少有1名女生，故不同的选法种数为C－C＝55； 第2步，从4人中选出队长、副队人各1人，不同的选法种数为A＝12. 根据分步乘法计数原理知，不同的选法种数为55×12＝660. 答案：660 8．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有________种(用数字作答)． 解析：分两步完成：第一步，将4名大学生按2,1,1分成三组，其分法有种；第二步，将分好的二组分配到个乡镇，其分法有A种．所以满足条件的分配方案有·A＝36(种)． 答案：36 9．从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两同学中至多有一个人参加，则不同选法的种数为________． 解析：法一：(直接法)分两类： 第1类，张、王两同学都不参加，有C＝1(种)选法； 第2类，张，王两同学中只有1人参加，有CC＝8(种)选法． 故共有1＋8＝9(种)选法． 法二：(间接法)：共有C－C＝9(种)不同选法． 答案：9 10．12件产品中有3件次品，9件正品，从中抽取5件． (1)5件中没有次品的取法有多少种？ (2)5件中有2件次品的取法有多少种？ 解：(1)5件中没有次品的取法就是从9件正品中取5件的取法，有C＝126种． (2)第一步，先从3件次品中取2件，有C种取法； 第二步，从9件正品中取3件，有C种取法． 利用分步乘法计数原理，知共有CC＝252 种取法． 11．已知∠AOB的边OA上有5个点，边OB上有6个点，用这些点和O点为顶点，能构成多少个不同的三角形？ 解：法一：以O为三角形顶点，其余两顶点分别在OA和OB上取，能构成C·C＝30个三角形； O不为顶点，又可分两类：第一类， 在OA上取两点，OB上取一点； 第二类，在OA上取一点，OB上取两点． 则能构成C·C＋C·C＝10×6＋5×15＝135个三角形． 因此，能构成不同的三角形共有30＋135＝165(个)； 法二：12个点中任取3个点的取法有C，其中，不能构成三角形的三点有两类；OA上6个点中任取三点或OB上7个点中任取三点，分别有C和C个，因此，能构成不同的三角形共有： C－C－C＝220－20－35＝165(个)． [能力提升] 12．有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其他5人既会划左舷又会划右舷，现要从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷参加划船比赛，则不同的选法共有(　　) A．1 860种　　　　　 B．2 174种 C．2 354种 D．2 651种 解析：B　[设集合A＝，B＝， C＝.先分类，以集合A为基准，被选出划左舷的3个人中，有以下几类情况： ①A中有3人；②A中有2人，C中有1人；③A中有1人，C中有2人；④C中有3人． 第①类情况中，由于划左舷的人已选定，划右舷的人可以在集合B，C中选3人，有C种选法，同理可得第②③④类情况的选法种数．故不同的选法共有CC＋CCC＋CCC＋CCC＝2 174(种)．] 13．“抗击疫情，众志成城”，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴抗击疫情前线，其中这10名医疗专家中有4名是内科专家．问： (1)抽调的6名专家中恰有2名是内科专家的抽调方法有多少种？ (2)至少有2名内科专家的抽调方法有多少种？ (3)至多有2名内科专家的抽调方法有多少种？ 解：(1)分步：首先从4名内科专家中任选2名，有C种选法，再从除内科专家的6人中选取4人，有C种选法，所以共有C·C＝90(种)抽调方法． (2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法． 法一：按选取的内科专家的人数分类： ①选2名内科专家，共有C·C种选法； ②选3名内科专家，共有C·C种选法； ③选4名内科专家，共有C·C种选法． 根据分类加法计数原理，共有C·C＋C·C＋C·C＝185(种)抽调方法． 法二：不考虑是否有内科专家，共有C种选法，考虑选取1名内科专家参加，有C·C种选法；没有内科专家参加，有C种选法，所以共有：C－C·C－C＝185(种)抽调方法． (3)“至多2名” 包括 “没有” “有1名” “有2名” 三种情况，分类解答． ①没有内科专家参加，有C种选法； ②有1名内科专家参加，有C·C种选法； ③有2名内科专家参加，有C·C种选法． 所以共有C＋C·C＋C·C＝115(种)抽调方法． [素养培优] 14．有编号为1,2,3,4的四张不同的卡片，按照下列要求处理，各有几种方法？ (1)甲得2张，乙得2张； (2)平均分成2堆，每堆2张． 解：(1)甲先拿两张卡片，有C＝6(种)；乙再拿时，只有从剩下的两张卡片中取两张，有C＝1(种)，故利用分步乘法计数原理可得CC＝6(种)．可列出所有分法： 甲　　乙 1　2　3　4 1　3　2　4 1　4　2　3 2　3　1　4 2　4　1　3 3　4　1　2 (2)把这四张不同的卡片平均分成2堆，与把这四张不同的卡片平均分给甲、乙二人是不同的．如甲得编号为1、2的两张卡片，乙得编号为3、4的两张卡片，与甲得编号为3、4的两张卡片，乙得编号为1、2的两张卡片是不同的分法，但若编号为1、2的两张看成一堆，编号为3、4的两张看成一堆，上述的两种情况实质是一种平均分成两堆的分法．所以将四张不同卡片平均分组甲、乙两人，每人2张，相当于把四张不同卡片平均分成二堆后，再把每次分得的二堆分给甲、乙两人．设平均分成二堆的方法有x种，则：x·A是将四张不同的卡片平均分给甲、乙两人的分法，由(1)知：CC＝x·A，所以x＝＝3(种)． 学科网（北京）股份有限公司 $$