4.3.2 独立性检验-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步Word教案（人教B版2019）

4.3.2　独立性检验 课程标准 素养解读 1.通过实例，理解2×2列联表的统计意义 2．通过实例，了解2×2列联表独立性检验及其应用 1.通过2×2列联表统计意义的学习，体会数学抽象的素养 2．借助χ2计算公式进行独立性检验，培养数学运算和数据分析的素养 [情境引入] 一则“双黄连口服液可抑制新冠病毒”消息热传后，引起部分市民抢购．人民日报官微称，抑制不等于预防和治疗，勿自行服用．上海专家称是否有效还在研究中． 问题：如何判断其有效？如何收集数据？收集哪些数据？ [知识梳理] [知识点一]　2×2列联表　 (1)定义：如果随机事件A与B的样本数据整理成如下的表格形式. A 总计 B a b a＋b c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 因为这个表格中，核心数据是中间4个格子，所以这样的表格通常称为2×2列联表． (2)χ2计算公式：χ2＝　　， 其中n＝　a＋b＋c＋d　. [知识点二]　独立性检验　 (1)分类变量X和Y独立：如果这些性质成立， {X＝0}与{Y＝0}独立；{X＝0}与{Y＝1}独立； {X＝1}与{Y＝0}独立；{X＝1}与{Y＝1}独立． 我们就称X与Y独立． (2)独立性检验 ①小概率值α的临界值：对于任何小概率值α，可以找到相应的正实数x0，使得下面的关系成立P(χ2≥xα)＝α，我们称xα为α的临界值．这个临界值可作为判断χ2大小的标准，概率值α越小，临界值xα越大． ②独立性检验：用χ2的取值推断分类变量X与Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验． ③基于小概率值α的检验规则： 当χ2≥x0时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；当χ2<x0时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立．(其中x0为α的临界值) ④应用独立性检验解决实际问题包括的主要环节： a．提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出问题中的解释； b．根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界值x0比较； c．根据经验规则得出推断结论； d．在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律． ⑥独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值： χ 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 独立性检验与反证法有什么相似之处？ 提示：独立性检验的基本思想与反证法的思想的相似之处 反证法 独立性检验 要证明结论A 要确认“两个分类变量有关系” 在A不成立的前提下进行推理 假设该结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系”成立，在该假设下计算χ2 [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)列联表中的数据是两个分类变量的频数．(　　) (2)对事件A与B的独立性检验无关，即两个事件互不影响．(　　) (3)χ2的大小是判断事件A与B是否相关的统计量．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√ 2．下列选项中，哪一个χ2的值可以有95%以上的把握认为“A与B有关系”(　　) A．χ2＝2.700　　　　　 B．χ2＝2.710 C．χ2＝3.765 D．χ2＝5.014 解析：D　[∵5.014>3.841，故D正确．] 3．(一题两空)下面是2×2列联表. y1 y2 合计 x1 a 21 73 x2 2 25 27 合计 b 46 100 则表中a＝________，b＝________. 解析：a＝73－21＝52，b＝a＋2＝52＋2＝54. 答案：52　54 　2×2列联表 [例1]　在调查的480名男生中有38名患有色盲，520名女性中有6名患有色盲，试作出性别与色盲的列联表． [思路点拨]　根据2×2列联表的特点作表． 解：根据题目所给的数据作出如下的列联表： 色盲 性别　 患色盲 不患色盲 总计 男 38 442 480 女 6 514 520 总计 44 956 1 000 分清类别是作列联表的关键步骤，对所给数据要明确属于哪一类．[变式训练] 1．某学校对高三学生作一项调查后发现：在平时的模拟考试中，性格内向的426名学生中有332名在考前心情紧张，性格外向的594名学生中在考前心情紧张的有213名．请作出考前心情紧张与性格的列联表． 解：作表如下： 性格情况 考前心情是否紧张 性格 内向 性格 外向 总计 考前心情紧张 332 213 545 考前心情不紧张 94 381 475 总计 426 594 1 020 　由χ2进行独立性检验 [例2] 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下： 性别 是否需要志愿者 男 女 总计 需要 40 30 70 不需要 160 270 430 总计 200 300 500 (1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例； (2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者帮助与性别有关？ 解：(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此在该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为×100%＝14%. (2)χ2＝≈9.967. 因为9.976>6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关． 独立性检验的具体做法 1．根据实际问题的需要确定允许推断“事件A与B有关系”犯错误的概率的上界α，然后查表确定临界值k. 2．利用公式χ2＝计算随机变量χ2. 3．如果χ2≥χα推断“X与Y有关系”这种推断犯错误的概率不超过α；否则，就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中没有发现足够的证据支持结论“X与Y有关系”． [变式训练] 2．在500人身上试验某种血清预防感冒的作用，把他们一年中的感冒记录与另外500名未用血清的人感记录作比较，结果如表所示．问：能否在犯错误的概率不超过1%的前提下认为该种血清能起到预防感冒的作用. 　　　　感冒情况 使用血清情况　　　　 未感冒 感冒 合计 使用血清 258 242 500 未使用血清 216 284 500 合计 474 526 1 000 解：假设感冒与是否使用该种血清没有关系． 由列联表中的数据，求得 χ2＝≈7.075. χ2＝7.075>6.635，P(χ2≥6.635)＝0.01， 故我们在犯错误的概率不超过1%的前提下，即有99%的把握认为该种血清能起到预防感冒的作用． 　　　独立性检验的综合应用 [例3]　为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查，得到了如下的2×2列联表： 是否喜欢打篮球 性别　　　 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 男生 6 女生 10 合计 48 已知在全班48人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为. (1)请将上面的2×2列联表补充完整(不用写计算过程)； (2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由； (3)现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为X，求X的分布列与均值． [思路点拨]　(1)由古典概型的概率求得2×2列联表． (2)计算χ2，判断P(x2>3.841)＝0.05是否成立． (3)结合超几何分布求解． 解：(1)列联表如下： 是否喜欢打篮球 性别 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 男生 22 6 28 女生 10 10 20 合计 32 16 48 (2)由χ2＝≈4.286. 因为4.286>3.841，所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜爱打篮球与性别有关． (3)喜爱打篮球的女生人数X的可能取值为0,1,2.其概率分别为 P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， 故X的分布列为 X 0 1 2 P X的均值为E(X)＝0＋＋＝1. 1．解决独立性检验问题的基本步骤 2.统计的基本思维模式是归纳，它的特征之一是通过部分数据的性质来推测全部数据的性质．因此，统计推断是可能犯错误的，即从数据上体现的只是统计关系，而不是因果关系． [变式训练] 3．某出租汽车公司决定更换一批小汽车以代替原来的报废出租车，现有A，B两款车型的使用寿命(单位：年)频数表如下： 使用寿命/年 5 6 7 8 合计 A型出租车/辆 10 20 45 25 100 B型出租车/辆 15 35 40 10 100 (1)填写下表，并依据小概率值α＝0.01的独立性检验，分析出租车的使用寿命与汽车车型是否有关联． 车型 使用寿命 合计 不高于6年 不低于7年 A型 B型 合计 (2)司机师傅小李准备在一辆开了4年的A型车和一辆开了4年的B型车中选择，为了尽最大可能实现3年内(含3年)不换车，试通过计算说明他应如何选择． 解：(1)零假设为H0：出租车的使用寿命与汽车车型之间无关联． 根据题目所给数据得到如下2×2列联表： 车型 使用寿命 合计 不高于6年 不低于7年 A型 30 70 100 B型 50 50 100 合计 80 120 200 所以χ2＝≈8.333>6.635＝x0.01. 依据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为出租车的使用寿命与汽车车型有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01. (2)记事件A为“小李选择A型车，3年内(含3年)不换车”，事件B为“小李选择B型车，3年内(含3年)不换车”， 所以P(A)＝＝0.7，P(B)＝＝0.5. 因为P(A)>P(B)，所以小李应选择A型车． [当堂达标] 1．利用独立性检验来考查两个变量A，B是否有关系，当随机变是χ2的值(　　) A．越大，“A与B有关系”成立的可能性越大 B．越大，“A与B有关系”成立的可能性越小 C．越小，“A与B有关系”成立的可能性越大 D．与“A与B有关系”成立的可能性无关 解析：A　[用独立性检验来考查两个分类是否有关系时，算出的随机变量χ2的值越大，说明“A与B有关系”成立的可能性越大，由此可知A正确．故选A.] 2．在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得到“吸烟与患肺癌有关系”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，则下列说法中正确的是(　　) A．100个吸烟者中至少有99人患肺癌 B．1个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有肺癌 C．在100个吸烟者中一定有患有肺癌的人 D．在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有 解析：D　[独立性检验的结论是一个数学统计量，它与实际问题中的确定性是存在差异的．] 3．为了判断高三学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表： 理科 文科 总计 男 13 10 23 女 7 20 27 总计 20 30 50 根据表中数据，得到χ2＝≈4.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为________． 解析：由χ2公式计算得χ2≈4.844>3.841， 故认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为0.05. 答案：0.05 4．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1 671人，经过计算得χ2＝27.63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是________．(填“有关的”或“无关的”) 解析：χ2＝27.63>6.635，有99%以上的把握认为这两个量是有关的． 答案：有关的 5．在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动． (1)根据以上数据建立一个2×2列联表； (2)判断性别与休闲方式是否有关系． 解：(1)列表如下： 休闲方式 性别 看电视 运动 总计 女 43 27 70 男 21 33 54 总计 64 60 124 (2)χ2＝≈6.201， ∵χ2>3.841且χ2<6.635， ∴有95%的把握认为性别与休闲方式有关． 学科网（北京）股份有限公司 $$