5.1.1 第1课时 总体与样本简单随机抽样-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步Word教案（人教B版2019）

5．1　统计 5．1.1　数据的收集 第1课时　总体与样本简单随机抽样 课程标准 素养解读 1.通过实例，了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程 2.掌握两种简单随机抽样方法：抽签法和随机数法 3.会计算样本均值，了解样本与总体的关系 在简单随机抽样的实施过程中，掌握抽签法和随机数法的抽样步骤，发展学生的数据分析素养 [情境引入] 　生活中当遇到决定参加某项活动的人选等问题时，通常用抽签法．你认为抽签法对每个人都公平吗？ 答案：公平． [知识梳理] [知识点一]　总体与样本　 1．总体：所考察问题涉及的对象全体． 2．个体：总体中的　每个对象　叫做个体． 3．样本：抽取的部分对象叫做样本． 4．样本容量：一个样本中包含的个体　数目　叫做样本容量． 5．随机抽样：满足每一个个体　都可能被抽到　且被抽到的机会是　均等　的抽样． [知识点二]　全面调查和抽样调查　 调查方式 普查 抽查 定义 对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查 根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法 相关概念 总体：在一个调查中，把调查对象的全体称为总体个体：组成总体的每一个调查对象称为个体 样本：把从总体中抽取的那部分个体称为样本样本量：样本中包含的个体数称为样本量 [知识点三]　简单随机抽样的概念　 　简单随机抽样的四个特点：①总体个数有限，②逐个抽取，③不放回，④等可能抽样 放回简单随机抽样 不放回简单随机抽样 一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中　逐个　抽取n(1≤n<N)个个体作为样本 如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都　相等　，把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样 如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内　未进入样本的各个个体　被抽到的概率都相等．把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样 简单随机抽样：放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样(除非特殊说明，本章所称的简单随机抽样指不放回简单随机抽样)．通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本 [知识点四]　抽签法　 先把总体中的个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签，并将这些小纸片放在一个　不透明　的盒里，充分搅拌．最后从盒中不放回地抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本．直到抽足样本所需要的个体数． 1.简单随机抽样的适用范围是什么？ 提示：适用于总体中个体个数不多的情形，因为两种方法均有第一步需对总体中的每一个个体编号． [知识点五]　随机数法　 1．定义：先把总体中的个体编号，用随机数工具产生总体范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，并剔除重复的编号，直到抽足样本所需要的个体数． 2．产生随机数的方法：①用随机试验生成随机数，②用信息技术生成随机数． 2.有同学认为：“随机数表只有一张，并且读数时只能按照从左向右的顺序读取，否则产生的随机样本就不同了，对总体的估计就不准确了”，你认为正确吗？ 提示：不正确．随机数表的产生是随机的，读数的顺序也是随机的，不同的样本对总体的估计相差不大． [预习自测] 1．对于简单随机抽样，每个个体被抽到的机会都(　　) A．相等　　　　　　　 B．不相等 C．与先后顺序有关 D．无法确定 解析：A　[简单随机抽样中，每个个体被抽到的机会相等．] 2．关于简单随机抽样的特点，有以下几种说法，其中不正确的是(　　) A．要求总体的个数有限 B．从总体中逐个抽取 C．它是一种不放回抽样 D．每个个体被抽到的机会不一样，与先后顺序有关 答案：D 3．在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析，在这个问题中，5 000名居民的阅读时间的全体是 (　　) A．总体 B．个体 C．样本容量 D．从总体中抽取的一个样本 解析：A　[5 000名居民的阅读时间的全体是总体．] 4．用随机数表法对一个容量为500编号为000,001,002，…，499的产品进行抽样检验，抽取一个容量为10的样本，若选定从第12行第5列的数开始向右读数(下面摘取了随机数表中的第11行至第15行)，根据下图，读出的第三个数是(　　) 18 18 07 92 45　44 17 16 58 09　79 83 86 19 62　06 76 50 03 10　55 23 64 05 05 26 62 38 97 75　84 16 07 44 99　83 11 46 32 24　20 14 85 88 45　10 93 72 88 71 23 42 40 64 74　82 97 77 77 81　07 45 32 14 08　32 98 94 07 72　93 85 79 10 75 52 36 28 19 95　50 92 26 11 97　00 56 76 31 38　80 22 02 53 53　86 60 42 04 53 37 85 94 35 12　83 39 50 08 30　42 34 07 96 88　54 42 06 87 98　35 85 29 48 39 A．841 B．114 C．014 D．146 解析：B　[从第12行第5列的数开始向右读数，第一个的编号为389，下一个775,775大于499，故舍去，再下一个841(舍去)，再下一个607(舍去)，再下一个449，再下一个983(舍去)，再下一个114，读出的第三个数是114.] 5．最新高考改革方案已在上海和浙江开始实施，某教育机构为了解我省广大师生对新高考改革方案的看法，对某市部分学校500名师生进行调查，统计结果如下： 赞成改革 不赞成改革 无所谓 教师 120 y 40 学生 x z 130 在全体师生中随机抽取1名“赞成改革”的人是学生的概率为0.3，且z＝2y. (1)现从全部500名师生中用分层抽样的方法抽取50名进行问卷调查，则应抽取“不赞成改革”的教师和学生人数各是多少？ (2)在(1)中所抽取的“不赞成改革”的人中，随机选出3人进行座谈，求至少有1名教师被选出的概率． 解：(1)由题意知＝0.3，所以x＝150，所以y＋z＝60，因为z＝2y，所以y＝20，z＝40，则应抽取“不赞成改革”的教师人数为×20＝2，应抽取“不赞成改革”的学生人数为×40＝4. (2)所抽取的“不赞成改革”的2名教师记为a，b,4名学生记为1,2,3,4，随机选出3人的不同选法有(a，b,1)，(a，b,2)，(a，b,3)，(a，b,4)，(a,1,2)，(a,1,3)，(a,1,4)，(a,2,3)，(a,2,4)，(a,3,4)，(b,1,2)(b,1,3)，(b,1,4)，(b,2,3)，(b,2,4)，(b,3,4)，(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)，共20种， 至少有1名教师的选法有(a，b,1)，(a，b,2)，(a，b,3)，(a，b,4)，(a,1,2)，(a,1,3)，(a,1,4)，(a,2,3)，(a,2,4)，(a,3,4)，(b,1,2)(b,1,3)，(b,1,4)，(b,2,3)，(b,2,4)，(b,3,4)，共16种， 故至少有1名教师被选出的概率p＝＝. 简单随机抽样的判断 [例1]　下列抽取样本的方法是简单随机抽样吗？为什么？ (1)从无限多个个体中抽取50个个体作为样本． (2)箱子里共有100个零件，今从中选取10个零件进行检验，在抽样操作时，从中任意地拿出一个零件进行质量检验后再把它放回箱子里． (3)从50个个体中一次性抽取5个个体作为样本． [思路点拨]　由题目可获取以下主要信息： ①(1)中的个体有“无限多个”； ②(2)在抽样过程中，把所抽的样品又放回； ③(3)中的抽样为“一次性”抽取． 解答本题可先由(1)到(3)逐个判断抽样的特点，再与简单随机抽样的概念相对照得出结论． [解析]　(1)不是简单随机抽样，因为被抽取的样本的总体的个数是无限的而不是有限的． (2)不是简单随机抽样，因为它是有放回地抽样． (3)不是简单随机抽样，因为它是一次性抽取，而不是“逐个”抽取． 可用简单随机抽样抽取样本的依据 (1)总体中的个体之间无明显差异； (2)总体中个体数N有限； (3)抽取的样本个体数n小于总体中的个体数N； (4)逐个不放回地抽取； (5)每个个体被抽到的可能性为. [变式训练] 1．下列问题中最适合用简单随机抽样方法的是(　　) A．某学校有学生1 320人，卫生部门为了了解学生身体发育情况，准备从中抽取一个容量为300的样本 B．为了准备省政协会议，某政协委员计划从1 135个村庄中抽取50个进行收入调查 C．从全班30名学生中，任意选取5名进行家访 D．为了解某地区癌症的发病情况，从该地区的5 000人中抽取200人进行统计 解析：C　[A中不同年级的学生身体发育情况差别较大，B，D的总体容量较大，C的总体容量较小，适宜用简单随机抽样．] 抽签法的应用 [例2]　要从某厂生产的30台机器中随机抽取3台进行测试．请选择合适的抽样方法，写出抽样过程． [思路点拨]　本题总体容量较小，样本容量也较小，可用抽签法． [解析]　第一步：将30台机器编号，号码是01,02，…，30； 第二步：将号码分别写在一张纸条上(纸条完全相同)，揉成团，制成号签； 第三步：将得到的号签放入一个不透明的袋子中，并充分搅匀； 第四步：从袋子中依次抽取3个号签，并记录上面的编号； 第五步：所得号码对应的3台机器就是要抽取的对象． 1．抽签法的适用条件 一个抽样能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是号签是否容易被搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时适宜用抽签法． 2．抽签法的具体步骤 第一步，将总体中的N个个体进行编号(号码可以从1到N)． 第二步，将1～N这N个编号写在形状、大小都相同的号签上． 第三步，将号签放入一个不透明的容器中，并搅拌均匀． 第四步，从容器中每次抽取1个号签，并记录其编号，连续抽取n次． 第五步，从总体中找出与号签上的号码对应的个体，组成样本． [变式训练] 2．为迎接2022年北京冬奥会，奥委会现从报名的某高校30名志愿者中选取6人组成奥运志愿小组，请用抽签法设计抽样方案． 解：(1)将30名志愿者编号，号码分别是1,2，……，30. (2)将号码分别写在外观、质地等无差别的小纸片上作为号签． (3)将小纸片放入一个不透明的盒里，充分搅匀． (4)从盒中不放回地逐个抽取6个号签，使与号签上编号相同的志愿者进入样本． 随机数法及其综合应用 [例3]　某市质监局要检查某公司某个时间段生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取10袋进行检验． (1)利用随机数法抽取样本时，应如何操作？ (2)如果用随机数法生成部分随机数如下所示，据此写出应抽取的袋装牛奶的编号． 162,277,943,949,545,354,821,737,932,354,873,520,964,384,263,491,648,642,175,331,572,455,068,877,047,447,672,172,065,025,834,216,337,663,013,785,916,955,567,199,810,507,175,128,673,580,667. [思路点拨]　利用随机数表法抽取个体时，关键是事先确定以表中的哪个数(哪行哪列)作为起点，以及读数的方向，向左、向右、向上或向下都可以，同时，读数时结合编号特点进行读取，编号为两位，则两位、两位地读取，编号为三位数，则三位、三位地读取，如果出现重号则跳过，接着读取． 解：(1)第一步，将500袋牛奶编号为001,002，……，500. 第二步，用随机数工具产生1～500范围内的随机数． 第三步，把产生的随机数作为抽中的编号，使编号对应的袋装牛奶进入样本． 第四步，重复上述过程，直到产生的不同编号等于样本所需要的数量． (2)应抽取的 袋装牛奶的编号为：162,277,354,384,263,491,175,331,455,068. 1．随机数法的注意点 (1)当总体容量较大，样本容量不大时，可用随机数法抽取样本． (2)用随机数法抽取样本，为了方便，在编号时需统一编号的位数． (3)掌握利用信息技术产生随机数的方法和规则． 2．随机数表法的抽样步骤 利用随机数表进行抽样时，应按照如下几个步骤： 第一步，将总体中的个体编号(由于需要编号，如果总体中的个体数目太多，采用随机数表法进行抽样就显得不太方便了)．这里所谓的编号，实际上是编数字号码．例如：将100个个体编号成00,01,02，…，99，而不是编号成0,1,2，…，99.此外，将起始号码选为00，而不是01，可使100个个体都可用两位数字号码表示，以便于运用随机数表抽样． 第二步，选定开始的数字．为了保证所选定数字的随机性，应在面对随机数表之前就指出开始数字的横纵位置． 第三步，获取样本号码．从选定的数字开始按一定方向读下去，得到的号码若不在编号中，则跳过；若在编号中，则取出，得到的号码若在前面已经取出，也跳过．如此进行下去，直到取满为止． 第四步，根据选定的号码抽取样本． [变式训练] 3．设某校共有100名教师，为了支援西部教育事业，现要从中随机抽出12名教师组成暑期西部讲师团，请写出利用随机数表法抽取该样本的步骤． 解析：其步骤如下： 第一步，将100名教师进行编号：00,01,02，…，99. 第二步，在随机数表中任取一数作为开始，如从12行第9列开始． 第三步，依次向右读取(两位，两位读取)，可以得到75,84,16,07,44,99,83,11,46,32,24,20.与这12个编号对应的教师组成样本. 1．下面抽样方法是简单随机抽样的是(　　) A．从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本 B．可口可乐公司从仓库中的1 000箱可乐中一次性抽取20箱进行质量检查 C．某连队从200名战士中，挑选出50名最优秀的战士去参加抢险救灾活动 D．从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验(假设10个手机已编好号，对编号随机抽取) 解析：D　[A中，平面直角坐标系中有无数个点，这与要求总体中的个体数有限不相符，故错误；B中，一次性抽取不符合简单随机抽样逐个抽取的特点，故错误；C中，50名战士是最优秀的，不符合简单随机抽样的等可能性，故错误．] 2．在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性(　　) A．与第n次有关，第一次可能性最大 B．与第n次有关，第一次可能性最小 C．与第n次无关，与抽取的第n个样本有关 D．与第n次无关，每次可能性相等 解析：D　[∵在简单随机抽样中，每个个体被抽到的可能性都相等，与第n次无关，∴D正确．] 3．从某年级的500名学生中抽取60名学生进行体重的统计分析，下列说法正确的是(　　) A．500名学生是总体 B．每个学生是个体 C．抽取的60名学生的体重是一个样本 D．抽取的60名学生的体重是样本容量 解析：C　[由题意可知在此简单随机抽样中，总体是500名学生的体重，A错；个体是每个学生的体重，B错；样本容量为60，D错．] 4．某中学高一年级有400人，高二年级有320人，高三年级有280人，用随机数表法在该中学抽取容量为n的样本，若每人被抽到的可能性都为0.2，则n＝　________　. 解析：由题意可知，＝0.2，解得n＝200. 答案：200 5．某大学为了支援西部教育事业，现从报名的18名志愿者中选取6人组成志愿小组，选择合适的抽样方法确定志愿小组成员． 解：因为本题的总体容量较小，样本容量也较小，所以，用抽签法和随机数表法皆可． (1)抽签法 第一步：将18名志愿者编号，号码是01,02，…，18； 第二步：将号码分别写在一张纸条上，揉成团，制成号签； 第三步：将得到的号签放入一个不透明的袋子中，并充分搅匀； 第四步：从袋子中依次抽取6个号签，并记录上面的编号； 第五步：所得号码对应的志愿者就是志愿小组的成员． (2)随机数表法 第一步：将18名志愿者编号，号码是01,02，…，18； 第二步：在随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向．比如，选第8行第29个数“7”，向右读； 第三步：从数“7”开始，向右读，每次读取两位，凡不在01～18中的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，依次可得到12,07,15,13,02,09； 第四步：找出以上号码对应的志愿者就是志愿小组的成员． 学科网（北京）股份有限公司 $$