平面向量的线性运算与基本定理、数量积、坐标运算、新定义问题专项训练-2026届高三数学一轮复习

平面向量：平面向量的线性运算与基本定理、数量积、坐标运算、新定义问题专项训练 平面向量：平面向量的线性运算与基本定理、数量积、坐标运算、新定义问题 专项训练 考点一 平面向量的线性运算与基本定理 1．（2025·海南三亚·一模）已知为平行四边形，为的中点，记，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河北·模拟预测）在平行四边形中，是的中点，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·四川成都·期末）设D为所在平面内一点，，则（ ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·甘肃兰州·期末）如图，在中，为线段AB上的一点，且.若，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，在中，为线段上一点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·山东泰安·模拟预测）在平行四边形中，已知，，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·云南昭通·期末）在中，为的中点，设，且，则 ． 8．（24-25高一下·陕西渭南·期末）在中，为边的中点，为边上的点，，交于点.若，则的值为 . 9．（24-25高一下·北京丰台·期末）如图，在中，已知，，，边上的两条中线交于点，则 ， ． 10．（2025·宁夏银川·三模）在直角梯形中，，，，E是的中点，若，则 . 考点二 平面向量的数量积 1．（2025·广东惠州·模拟预测）已知向量，满足，，与的夹角为，则（   ） A．2 B．4 C． D． 2．（2025·云南玉溪·模拟预测）已知向量满足，，则（   ） A．4 B．2 C．1 D． 3．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知正六边形边长为2，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 4．（24-25高三上·山西太原·期末）已知向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·北京大兴·期末）若向量与满足，且，则在上的投影向量的模为（   ） A．2 B．4 C．5 D．8 6．（24-25高三下·山西大同·期末）已知，是单位向量，且．若平面向量满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知为的高，且，则（    ） A． B．2 C． D． 8．（2025·河北·模拟预测·多选）已知，且向量的夹角为，下列说法正确的是（    ） A． B． C．向量和的夹角为 D．若，则 9．（2025·江西新余·模拟预测·多选）已知矩形中，，，，，其中，，，则（   ） A．是定值 B．若，则 C． D． 10．（2025·湖北黄冈·模拟预测·多选）在直角梯形中，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·江苏盐城·期中·多选）已知，与夹角为，若且，则下列说法正确的是（    ） A．当时，在上的投影向量为 B．当时， C．当时， D．的最大值为0 12．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知向量与方向相同，，，则 . 13．（2025·四川巴中·三模）非零向量，满足：，，则与夹角的余弦值为 . 14．（2025·广西柳州·模拟预测）已知与的夹角，则 . 15．（2025·海南·模拟预测）已知平面向量，满足，且，则向量在向量方向上的投影的最小值为 ． 16．（2024·上海·三模）已知向量、满足，，，则 ． 17．（24-25高一下·上海·期中）已知 (1)求与的夹角大小； (2)求在上的数量投影. 18．（24-25高一下·云南丽江·期中）已知，是单位向量，且． (1)若非零向量满足，求的最大值； (2)若向量满足，求的取值范围． 19．（24-25高一下·新疆喀什·期末）回答下列问题 (1)已知平面向量、的夹角为，且为单位向量，，求 (2)已知向量、，满足，，，求向量与的夹角. 20．（24-25高一下·黑龙江黑河·期末）已知平面向量，满足：，，与的夹角为. (1)求； (2)设平面向量，，若，的夹角为锐角，求实数的取值范围. 考点三 平面向量的坐标运算 1．（24-25高三下·云南丽江·阶段练习）已知向量 ，若 ，则 （     ） A．2 B．-2 C．4 D．-4 2．（2025·福建漳州·模拟预测）已知平面内三点，则向量在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·湖南衡阳·期末），，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·陕西西安·模拟预测）已知向量 ，若 ，则 （     ） A．2 B． C．2 或 D．3 5．（24-25高三下·辽宁·期中·多选）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025·吉林·模拟预测·多选）已知向量，，若，则可能为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·陕西汉中·一模·多选）已知向量，，则（    ） A． B． C． D．在方向上的投影向量坐标是 8．（2025·江西·模拟预测·多选）已知向量，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则在方向上的投影向量的坐标为 9．（2025·北京西城·一模）设平面向量，，，且，则使得向量与共线的一组值 ， ． 10．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知向量，若，则 . 11．（2025·安徽六安·模拟预测）若向量，向量满足，则在上的投影向量的坐标为 . 12．（2025·河北衡水·三模）已知向量，，若且，则的最小值为 . 13．（24-25高一下·重庆渝北·期中）已知点，O为坐标原点，为轴上一动点. (1)，求点的坐标； (2)当取最小值时，求向量与的夹角的余弦值. 14．（24-25高一下·广东江门·阶段练习）已知，． (1)若与共线，求的值． (2)若与的夹角为90°，求的值． (3)求向量在向量上投影向量． 15．（24-25高一下·新疆乌鲁木齐·期末）已知向量. (1)求的坐标； (2)求； (3)若，且，求实数的值. 16．（24-25高一下·湖南·期末）设 向量 (1)若 求; (2)若 求 的值; (3)若 求证： // 考点四 平面向量的新定义问题 1．（2025·河南新乡·二模）已知，都是非零向量，定义新运算，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点，，把点绕点沿逆时针方向旋转后得到点，则的坐标为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏·阶段练习）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫作向量在坐标系xOy中的坐标.若，则（    ） A． B．3 C． D．6 4．（24-25高二上·山西晋城·期中·多选）“没有运算的向量只能起到路标作用，有了运算的向量力量无穷”，除了向量线性运算和数量积外常见的还有向量的外积．定义如下，空间向量与的外积是一个向量，其长度等于，其方向满足，，，，且三个向量构成右手系（如图）．在棱长为2的正四面体中，为的中心，下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习·多选）已知单位向量的夹角为，若平面向量，有序实数对称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的“仿射”坐标，记，则下列命题正确的是（    ） A．已知，则 B．已知，则线段的长度为1 C．已知，则 D．已知，则的最大值为 6．（2025·四川成都·三模·多选）对于空间中一组向量，若存在不全为零的实数使得，则称这组向量线性相关，否则称这组向量线性无关.则（   ） A．若，，，则，，线性相关 B．若，，，则，，线性无关 C．若，，线性无关，则，，线性相关 D．对于非零向量，，，若存在实数，使得，则，，线性相关 7．（24-25高三上·湖北·期中）定义：已知平面向量，表示夹角为的两个单位向量，为平面上的一个定点，为平面上任意一点，当时，定义为点的斜坐标.设点的斜坐标为，则 . 8．（24-25高三上·上海·期中）我们称（为正整数）元有序实数组为维向量，为该向量的范数.已知维向量，其中，记范数为奇数的的个数为，则 9．（2025·上海松江·二模）设向量，记.若点为圆：上任意三点，且满足，则的取值范围是 . 10．（24-25高一下·浙江宁波·期末）如图，在中，，，，，，设与交于点，且． (1)求的值； (2)定义平面非零向量之间的一种运算“”：（其中是两非零向量和的夹角）． （ⅰ）若为的中点，求的值； （ⅱ）若，求的值． 11．（24-25高一下·广东汕尾·期末）通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对（）看作一个向量，记作，称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，（），我们定义复向量运算法则：①加法：；②减法：；③数乘：；④数量积：；⑤模：. (1)设，，求和； (2)验证复向量结合律：是否成立； (3)设，集合，，求的最小值；并证明当取最小值时，对于任意的，. 12．（24-25高一下·甘肃庆阳·期末）设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种新运算“”：. (1)已知向量，求； (2)设向量，且，证明：； (3)已知向量，若，求的值. 13．（24-25高一下·黑龙江·期末）法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点．托里拆利确定费马点的方法如下： ①当三个内角均小于时，满足的点为费马点； ②当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点． 请用以上知识解决下面的问题： 已知的内角、、所对的边分别为、、，点为的费马点，且 (1)求角； (2)求； (3)已知在中，若点为平面上任意一点，求的最小值． 14．（24-25高一下·广东江门·期中）1637年，法国数学家笛卡尔发表了《几何学》，在这本书中，笛卡尔提出了著名的笛卡尔坐标系统.笛卡尔坐标系就是直角坐标系和斜坐标系的统称，相交于原点的两条数轴，构成了平面放射坐标系.如两条数轴上的度量单位相等，则称此放射坐标系为笛卡尔坐标系，两条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系，称为笛卡尔直角坐标系，否则称为笛卡尔斜角坐标系，如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. (1)在仿射坐标系中，若，求； (2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； (3)如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$平面向量：平面向量的线性运算与基本定理、数量积、坐标运算、新定义问题专项训练 平面向量：平面向量的线性运算与基本定理、数量积、坐标运算、新定义问题 专项训练 考点一 平面向量的线性运算与基本定理 1．（2025·海南三亚·一模）已知为平行四边形，为的中点，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为为的中点，所以， 所以. 故选：C 2．（2024·河北·模拟预测）在平行四边形中，是的中点，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在平行四边形中，，所以， 因为是的中点，所以，即，， 根据向量的加法法则，， 故选：B. 3．（24-25高一下·四川成都·期末）设D为所在平面内一点，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意可知. 故选：B. 4．（24-25高一下·甘肃兰州·期末）如图，在中，为线段AB上的一点，且.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可得， 所以， ，． 故选：A 5．（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，在中，为线段上一点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因，则， 故， 因三点共线，故设，则， 因，则，解得． 故选：D． 6．（2025·山东泰安·模拟预测）在平行四边形中，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在平行四边形中，有. 已知，， 法一： . 法二：. 故选：D 7．（24-25高一下·云南昭通·期末）在中，为的中点，设，且，则 ． 【答案】 【详解】由于为的中点，故, 故，故， 进而， 故答案为： 8．（24-25高一下·陕西渭南·期末）在中，为边的中点，为边上的点，，交于点.若，则的值为 . 【答案】4 【详解】设， 因为， 所以， 因为，，三点在同一条直线上， 所以，所以， 所以． 故答案为：4. 9．（24-25高一下·北京丰台·期末）如图，在中，已知，，，边上的两条中线交于点，则 ， ． 【答案】 / 【详解】由题可知：， 由边上的两条中线交于点，所以为的重心， ，， ， , ， 所以. 故答案为： ， 10．（2025·宁夏银川·三模）在直角梯形中，，，，E是的中点，若，则 . 【答案】 【详解】， 而，所以，解得. 所以. 故答案为：1. 考点二 平面向量的数量积 1．（2025·广东惠州·模拟预测）已知向量，满足，，与的夹角为，则（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【详解】法一：， 即； 法二 由向量减法的几何意义和已知条件易知，如图， 若，，，，， 则，，故. 故选：C. 2．（2025·云南玉溪·模拟预测）已知向量满足，，则（   ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】D 【详解】因为，， 所以， 可得， 则. 故选：D. 3．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知正六边形边长为2，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】D 【详解】在正六边形中，以点为原点，直线分别为轴建立平面直角坐标系， 则， 对于A，，，，A错误； 对于B，，，B错误； 对于C，，，C错误； 对于D，，在上的投影向量为，D正确. 故选：D 4．（24-25高三上·山西太原·期末）已知向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，可得 又 所以解得： 所以 又所以 所以与的夹角为． 故选：C. 5．（24-25高一下·北京大兴·期末）若向量与满足，且，则在上的投影向量的模为（   ） A．2 B．4 C．5 D．8 【答案】C 【详解】由，可得： 因为， 所以. 又因为在上的投影向量为， 所以在上的投影向量的模. 故选：C. 6．（24-25高三下·山西大同·期末）已知，是单位向量，且．若平面向量满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，得，设向量、的夹角为θ， 因为，所以，故． 以O为原点，以方向为x轴正方向建立平面直角坐标系， 使的起点与O重合，终点在第一象限，则，， 设，则，故， 所以，故． 故选：B 7．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知为的高，且，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】 因为为的高，所以 , 故选：A. 8．（2025·河北·模拟预测·多选）已知，且向量的夹角为，下列说法正确的是（    ） A． B． C．向量和的夹角为 D．若，则 【答案】BD 【详解】因为，且向量的夹角为， 对于选项A： ，则A错误； 对于选项B： 要使得，则它们的数量积为0. 即，则B正确； 对于选项C： 因为，则，则C错误； 对于选项D：因为， 所以，解得，则D正确． 故选：． 9．（2025·江西新余·模拟预测·多选）已知矩形中，，，，，其中，，，则（   ） A．是定值 B．若，则 C． D． 【答案】BCD 【详解】当时，与重合，，当时，，与重合， ，故A错误； 当时，，而，故， 则 ，故正确； 取线段的中点，因为，故点在以为圆心、为半径的圆上,与分别交于，且在矩形内（含边上位置）， ，， 当点在处时，取得最大值， ，故正确； ，故正确. 故选：. 10．（2025·湖北黄冈·模拟预测·多选）在直角梯形中，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】 对于A，由，且， 得四边形为平行四边形，因此，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，， 因此，故D正确. 故选：ABD 11．（24-25高一下·江苏盐城·期中·多选）已知，与夹角为，若且，则下列说法正确的是（    ） A．当时，在上的投影向量为 B．当时， C．当时， D．的最大值为0 【答案】BCD 【详解】由题设，是边长为2的等边三角形，且， A：当时，，又，即，故在上的投影向量为，错； B：当时，，即在中边的中线上， 又为等边三角形，故，即，对； C：当时，，则， 所以， 所以，即，又，故（负值舍），对； D：, 由，即①， 所以，要使该值最大，只需最小， 由①得，则，所以，对. 故选：BCD 12．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知向量与方向相同，，，则 . 【答案】 【详解】由，得，而向量与方向相同，， 则，所以. 故答案为：2 13．（2025·四川巴中·三模）非零向量，满足：，，则与夹角的余弦值为 . 【答案】/ 【详解】根据题意，设，，则， 若，，即，且， 则为等腰直角三角形， 则与的夹角为，余弦值为. 故答案为：. 14．（2025·广西柳州·模拟预测）已知与的夹角，则 . 【答案】6 【详解】由与的夹角， 则. 故答案为：6. 15．（2025·海南·模拟预测）已知平面向量，满足，且，则向量在向量方向上的投影的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】因为，所以，所以， 又，所以， 因为向量在向量方向上的投影为 ， 当且仅当时等号成立， 故向量在向量方向上的投影的最小值为. 故答案为：． 16．（2024·上海·三模）已知向量、满足，，，则 ． 【答案】 【详解】由题意有， 解得，所以. 故答案为：. 17．（24-25高一下·上海·期中）已知 (1)求与的夹角大小； (2)求在上的数量投影. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题可知：， 所以 则，， 又，所以夹角为 （2）在上的数量投影为. 18．（24-25高一下·云南丽江·期中）已知，是单位向量，且． (1)若非零向量满足，求的最大值； (2)若向量满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以 ，其中为向量与的夹角， 所以． 又，， 所以， 所以的最大值为． （2）方法一：由，得． 又，且， 不妨令，，，则． 又， 故根据几何关系可知，， 所以的取值范围是． 方法二： 令，，，， 则． 又， 所以点在以点为圆心，半径为的圆上， 如图所示，易知当点，，共线时，取得最值， 最大值为，最小值为， 所以的取值范围是． 19．（24-25高一下·新疆喀什·期末）回答下列问题 (1)已知平面向量、的夹角为，且为单位向量，，求 (2)已知向量、，满足，，，求向量与的夹角. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为为单位向量，， 所以，， 又因为平面向量、的夹角为，所以， 所以. （2）因为，，， 所以，解得， 所以，解得， 又因为，所以. 20．（24-25高一下·黑龙江黑河·期末）已知平面向量，满足：，，与的夹角为. (1)求； (2)设平面向量，，若，的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，，与的夹角为， 所以； （2）因为向量与的夹角为锐角， 所以且与不同向共线. 可得：， 将，，代入上式可得：， 整理得：，可得. 若两向量同向共线，则存在实数，使得，即. 所以，解得. 所以当两向量不同向共线时，. 综合以上两个条件，实数的取值范围是. 考点三 平面向量的坐标运算 1．（24-25高三下·云南丽江·阶段练习）已知向量 ，若 ，则 （     ） A．2 B．-2 C．4 D．-4 【答案】C 【详解】由题可知 ,所以 ,解得 . 故选：C 2．（2025·福建漳州·模拟预测）已知平面内三点，则向量在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以， 所以，， 所以向量在上的投影向量为. 故选：D. 3．（24-25高一下·湖南衡阳·期末），，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，，， 则在上的投影向量是. 故选：B 4．（2025·陕西西安·模拟预测）已知向量 ，若 ，则 （     ） A．2 B． C．2 或 D．3 【答案】C 【详解】因为 ，所以 . 因为 ， 所以 . 因为 ，所以 ， 解得 或 ， 故选 ：C. 5．（24-25高三下·辽宁·期中·多选）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，，故，故B错误； 对于C，，由于，故C错误； 对于D，，故D正确． 故选：AD. 6．（2025·吉林·模拟预测·多选）已知向量，，若，则可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】，以为临边的平行四边形对角线相等， ， ， ，，时，， 故选：ACD． 7．（2025·陕西汉中·一模·多选）已知向量，，则（    ） A． B． C． D．在方向上的投影向量坐标是 【答案】BD 【详解】对于A：，错误； 对于B：，正确； 对于C：，错误； 对于D：在方向上的投影向量坐标是，正确. 故选：BD. 8．（2025·江西·模拟预测·多选）已知向量，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则在方向上的投影向量的坐标为 【答案】AD 【详解】对于A，由，可得，解得，故A正确； 对于B，当时，，故，故B错误； 对于C，，由，可得，解得，故C错误； 对于D，当时，，此时在方向上的投影向量的坐标为 ，故D正确． 故选：AD． 9．（2025·北京西城·一模）设平面向量，，，且，则使得向量与共线的一组值 ， ． 【答案】 （答案不唯一，填也对） （答案不唯一，第一空填，则第二空填，第一空填，则第二空填） 【详解】因为，， 所以，即， 因为，，所以， 又向量与共线，， 所以， 所以， 所以， 所以或， 所以或， 故答案为：；（答；也对） 10．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知向量，若，则 . 【答案】 【详解】由，，得，解得， 因此，即， 所以， 故答案为： 11．（2025·安徽六安·模拟预测）若向量，向量满足，则在上的投影向量的坐标为 . 【答案】 【详解】由，可得，即， 所以在上的投影向量为. 故答案为：. 12．（2025·河北衡水·三模）已知向量，，若且，则的最小值为 . 【答案】 【详解】由题意得，，， 因，则 ，则， 因，则，等号成立时， 故的最小值为. 故答案为： 13．（24-25高一下·重庆渝北·期中）已知点，O为坐标原点，为轴上一动点. (1)，求点的坐标； (2)当取最小值时，求向量与的夹角的余弦值. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）根据题意，设点，又，得， 由，即，解得或， 的坐标为或； （2）由（1）可得：， 当时，取得最小值，此时，， 设与夹角为，则此时. 14．（24-25高一下·广东江门·阶段练习）已知，． (1)若与共线，求的值． (2)若与的夹角为90°，求的值． (3)求向量在向量上投影向量． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【详解】（1）因为，， 所以，， 因为与共线，所以，解得； （2）因为，， 又与的夹角为90°， 则，解得； （3）因为，， 所以，， 所以向量在向量上投影向量为． 15．（24-25高一下·新疆乌鲁木齐·期末）已知向量. (1)求的坐标； (2)求； (3)若，且，求实数的值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）； （2）； （3）已知，因为， 即，所以. 16．（24-25高一下·湖南·期末）设 向量 (1)若 求; (2)若 求 的值; (3)若 求证： // 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）若，则，， 再由，可得 （2）由题意可得， ， ． 结合，可得为第三象限角，故， ； （3）若，则有， ， 故． 考点四 平面向量的新定义问题 1．（2025·河南新乡·二模）已知，都是非零向量，定义新运算，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，则，则或. 当时，未必成立； 当时，. 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 2．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点，，把点绕点沿逆时针方向旋转后得到点，则的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，把点绕点沿逆时针方向旋转后得到 ， 设，则， 解得，即. 故选：C. 3．（24-25高一下·江苏·阶段练习）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫作向量在坐标系xOy中的坐标.若，则（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】C 【详解】依题意，， ，则， 则，故. 故选：C. 4．（24-25高二上·山西晋城·期中·多选）“没有运算的向量只能起到路标作用，有了运算的向量力量无穷”，除了向量线性运算和数量积外常见的还有向量的外积．定义如下，空间向量与的外积是一个向量，其长度等于，其方向满足，，，，且三个向量构成右手系（如图）．在棱长为2的正四面体中，为的中心，下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，根据外积定义可得， 又，A正确； 对于B，，，B正确； 对于C，根据定义可得，长度相等，方向相反， 即，C错误； 对于D，，根据定义得与反向，， 所以，D正确． 故选：ABD. 5．（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习·多选）已知单位向量的夹角为，若平面向量，有序实数对称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的“仿射”坐标，记，则下列命题正确的是（    ） A．已知，则 B．已知，则线段的长度为1 C．已知，则 D．已知，则的最大值为 【答案】ABD 【详解】A：由题设， 所以，对； B：由题设，则，对； C：由题设，错； D：由题设，即， 由，且时取等号， 则，故，即时的最大值为，对. 故选：ABD 6．（2025·四川成都·三模·多选）对于空间中一组向量，若存在不全为零的实数使得，则称这组向量线性相关，否则称这组向量线性无关.则（   ） A．若，，，则，，线性相关 B．若，，，则，，线性无关 C．若，，线性无关，则，，线性相关 D．对于非零向量，，，若存在实数，使得，则，，线性相关 【答案】AB 【详解】若，，， 根据题意，设， 即， 所以，解得，取， 所以，A正确； 若，，， 根据题意，设， 即， 所以，解得， 所以，，线性无关，B正确； 假设，，线性相关， 则存在不全为零的实数使得， 则， 因为，，线性无关，则，得， 与假设矛盾，C错误； 对于非零向量，，，若存在实数，使得， 即， 所以， 但不能确定，，是否线性相关，D错误. 故选：AB 7．（24-25高三上·湖北·期中）定义：已知平面向量，表示夹角为的两个单位向量，为平面上的一个定点，为平面上任意一点，当时，定义为点的斜坐标.设点的斜坐标为，则 . 【答案】 【详解】平面向量，表示夹角为的两个单位向量， 则有， 依题意，，则. 故答案为：. 8．（24-25高三上·上海·期中）我们称（为正整数）元有序实数组为维向量，为该向量的范数.已知维向量，其中，记范数为奇数的的个数为，则 【答案】 【详解】当为偶数时，范数为奇数，则的个数为奇数，则的个数为 根据乘法原理和加法原理可得：， 因① ② 由，故； 当为奇数时，范数为奇数，则的个数为偶数，则的个数为 根据乘法原理和加法原理可得：， 因① ② 由，故. 综上，，故. 故答案为： . 9．（2025·上海松江·二模）设向量，记.若点为圆：上任意三点，且满足，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】将圆化为标准方程，圆心，半径. 因为，所以为圆的直径. 设，. 由. 因为为直径，所以， 则. 令，即，且， 当直线与圆相切时，取得最值. 根据圆心到直线的距离等于半径，可得，解得或， 所以，则的取值范围是. 故答案为：. 10．（24-25高一下·浙江宁波·期末）如图，在中，，，，，，设与交于点，且． (1)求的值； (2)定义平面非零向量之间的一种运算“”：（其中是两非零向量和的夹角）． （ⅰ）若为的中点，求的值； （ⅱ）若，求的值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ） 【详解】（1）因为，， 所以 ， 又三点共线， 所以，即. （2）（ⅰ）因为为的中点，所以， 由（1）知，，则，即为的重心． 建立如图所示的平面直角坐标系，则， 所以， 所以， 所以， 所以. （ⅱ）建立与（ⅰ）相同的平面直角坐标系， 则， 所以， 所以， 所以， 则， 所以 ， 即，所以，即或， 因为，所以，又因为， 所以，则． 11．（24-25高一下·广东汕尾·期末）通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对（）看作一个向量，记作，称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，（），我们定义复向量运算法则：①加法：；②减法：；③数乘：；④数量积：；⑤模：. (1)设，，求和； (2)验证复向量结合律：是否成立； (3)设，集合，，求的最小值；并证明当取最小值时，对于任意的，. 【答案】(1)， (2)成立 (3)2，证明见解析 【详解】（1）因为，， 所以， ， . （2）（法一）设，，，，，，，， ，， 故. 又因为， 故， 所以有成立，即复向量结合律成立. （法二）设，，，，，， 所以， 故，， 因为，， 所以，则复向量结合律成立. （3）由，，不妨设， 则， . （法一）所以， 当且仅当时，等号成立.即的最小值为2. （法二）因为， 所以， ， 当且仅当时，等号成立. 令，则， 当，即时，等号成立，即的最小值为2. 此时，，， ， ， . 命题得证. 12．（24-25高一下·甘肃庆阳·期末）设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种新运算“”：. (1)已知向量，求； (2)设向量，且，证明：； (3)已知向量，若，求的值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）设的夹角为，则， 所以， 所以， 故. （2）设的夹角为， 则， 所以 ， 则， 于是，. （3）由题意，， 则由（2）的公式可得：， 又，则得， 故. 13．（24-25高一下·黑龙江·期末）法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点．托里拆利确定费马点的方法如下： ①当三个内角均小于时，满足的点为费马点； ②当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点． 请用以上知识解决下面的问题： 已知的内角、、所对的边分别为、、，点为的费马点，且 (1)求角； (2)求； (3)已知在中，若点为平面上任意一点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，又， 所以， 因为，则，故， 因为，所以， 又，则，故为等腰直角三角形，所以. （2）由，知， 由费马点定义知，， 设，，，，，， 由得：， 整理得， 则. （3）在中，，， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系， 则、、，设点， 则，， 所以， 则的几何意义是点到点、、的距离之和， 因为，，则为等腰直角三角形，故， 易知，故， 所以，的“费马点”为点，故的最小值为. 14．（24-25高一下·广东江门·期中）1637年，法国数学家笛卡尔发表了《几何学》，在这本书中，笛卡尔提出了著名的笛卡尔坐标系统.笛卡尔坐标系就是直角坐标系和斜坐标系的统称，相交于原点的两条数轴，构成了平面放射坐标系.如两条数轴上的度量单位相等，则称此放射坐标系为笛卡尔坐标系，两条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系，称为笛卡尔直角坐标系，否则称为笛卡尔斜角坐标系，如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. (1)在仿射坐标系中，若，求； (2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； (3)如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值. 【答案】(1)1； (2)； (3). 【详解】（1）由题意可知，、的夹角为， 由平面向量数量积的定义可得， 因为，则， 则， 所以. （2）由，，得，， 且， 所以，，， 则，， 因为与的夹角为，则，解得. 又，，所以； （3）依题意，设、（，），且，，， 因为为的中点，则， 因为为中点，同理可得， 所以， 由题意知，， 则， 在中，依据余弦定理得，所以， 代入上式得，. 在中，由正弦定理， 设，则，且， 所以，， ，为锐角，且， 因为，则， 故当时，取最大值， 则. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$