5.3.1 第1课时 函数的单调性与导数-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂Word课时作业（人教A版2019）

[基础达标练] 1．函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图，函数y＝f(x)的一个单调递减区间是(　　) A．(x1，x3)　　　　 B．(x2，x4) C．(x4，x6) D．(x5，x6) 解析：B　[由图象可知，当x∈(x1，x2)，(x4，x5)，(x5，x6)时，f′(x)＞0，当x∈(x2，x4)时，f′(x)＜0，∴函数f(x)在(x2，x4)上单调递减，在(x1，x2)，(x4，x5)，(x5，x6)上单调递增，∴函数y＝f(x)的一个单调递减区间是(x2，x4)．] 2．函数f(x)＝的单调递增区间是(　　) A. B．(ln 2，＋∞) C.，(0，＋∞) D．(－∞，0)， 解析：A　[函数f(x)＝，得f′(x)＝，令f′(x)＝＞0，解得x＞，∴函数f(x)＝的单调递增区间是.] 3．已知函数f(x)＝x2＋cos x，f′(x)是函数f(x)的导函数，则f′(x)的图象大致是(　　) 　　 A　　　　B　　　　　C　　　　　D 解析：A　[由函数的解析式可得f′(x)＝x－sin x，所以f′(－x)＝－f′(x)，故f′(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除B，D，又当x＝时，f′＝－sin ＝－1＜0，排除C.] 4．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是(　　) A．y＝sin x B．y＝xe2 C．y＝x3－x D．y＝ln x－x 解析：B　[显然y＝sin x在(0，＋∞)上既有增又有减，故排除A；对于函数y＝xe2，因e2为大于零的常数，不用求导就知y＝xe2在(0，＋∞)内为增函数；对于C，y′＝3x2－1＝3，故函数在，上为增函数，在上为减函数；对于D，y′＝－1(x＞0)，故函数在(1，＋∞)上为减函数，在(0,1)上为增函数．故选B.] 5．(多选)已知函数f(x)的定义域为R，其导函数f′(x)的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R(x1≠x2)，下列结论正确的是(　　) A．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0 B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0 C．f＞ D．f＜ 解析：AD　[由题中图象可知，导函数f′(x)的图象在x轴下方，即f′(x)＜0，且其绝对值越来越小，因此过函数f(x)图象上任一点的切线的斜率为负，并且从左到右切线的倾斜角是越来越大的钝角，由此可得f(x)的大致图象如图所示． A选项表示x1－x2与f(x1)－f(x2)异号，即f(x)图象的割线斜率为负，故A正确；B选项表示x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，即f(x)图象的割线斜率为正，故B不正确；f表示对应的函数值，即图中点B的纵坐标，表示当x＝x1和x＝x2时所对应的函数值的平均值，即图中点A的纵坐标，显然有f＜，故C不正确，D正确．故选AD.] 6．函数y＝2x＋sin x的单调增区间为　__________. 解析：y′＝2＋cos x，cos x∈[－1,1]，∴y′＞0在R上恒成立，所以函数的单调增区间为(－∞，＋∞)． 答案：(－∞，＋∞) 7．已知f(x)满足f(4)＝f(－2)＝1，f′(x)为其导函数，且导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则f(x)＜1的解集是　________. 解析：由f(x)的导函数f′(x)的图象知：f(x)在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，当x≤0时，由f(x)＜1＝f(－2)，得－2＜x≤0，当x＞0时，由f(x)＜1＝f(4)，得0＜x＜4.综上所述：f(x)＜1的解集为(－2，4)． 答案：(－2,4) 8．已知导函数f′(x)的下列信息： 当1＜x＜4时，f′(x)＞0；当x＞4或x＜1时，f′(x)＜0；当x＝4或x＝1时，f′(x)＝0. 试画出函数f(x)图象的大致形状． 解：当1＜x＜4时，f′(x)＞0，可知f(x)在此区间内单调递增；当x＞4或x＜1时，f′(x)＜0，可知f(x)在这两个区间内单调递减；当x＝4或x＝1时，f′(x)＝0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”．综上，函数f(x)图象的大致形状如图所示． [能力提升练] 9．已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中y＝f(x)的图象大致是(　　) 　　　 A　　　　　　　　　　B 　 　　 　C　　　　　　　　　　D 解析：C　[由函数y＝xf′(x)的图象可知：当x＜－1时，xf′(x)＜0，f′(x)＞0，此时f(x)单调递增；当－1＜x＜0时，xf′(x)＞0，f′(x)＜0，此时f(x)单调递减；当0＜x＜1时，xf′(x)＜0，f′(x)＜0，此时f(x)单调递减；当x＞1时，xf′(x)＞0，f′(x)＞0，此时f(x)单调递增．故选C.] 10．(多选)下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是(　　) A．f(x)＝2x B．f(x)＝sin x－x C．f(x)＝e－x－ex D．f(x)＝－x|x| 解析：BCD　[对于A，f(x)＝2x既不是奇函数也不是偶函数，且单调递增，故A错误；对于B，f(x)的定义域为R，且f(－x)＝sin(－x)＋x＝－(sin x－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，又f′(x)＝cos x－1≤0恒成立，故是减函数，故B正确；对于C，f(x)的定义域为R，且f(－x)＝ex－e－x＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，∵f′(x)＝－e－x－ex＜0，故f(x)是减函数，故C正确；对于D，f(x)的定义域为R，且f(－x)＝x|－x|＝x|x|＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，又f(x)＝－x|x|＝是减函数，故D正确，故选BCD.] 11．函数y＝xsin x＋cos x，x∈(－π，π)的单调增区间是__________． 解析：y′＝xcos x，当－π＜x＜－时，cos x＜0，∴y′＝x cos x＞0；当－＜x＜0时，cos x＞0， ∴y′＝xcos x＜0；当0＜x＜时，cos x＞0， ∴y′＝xcos x＞0；当＜x＜π时，cos x＜0， ∴y′＝xcos x＜0，故函数的单调增区间是和. 答案：， 12．已知函数f(x)＝ex，g(x)＝ln ＋的图象分别与直线y＝m(m＞0)交于A，B两点，求|AB|的最小值． 解：A(ln m，m)，B(，m)，其中，＞ln m，且m＞0，所以|AB|＝－ln m. 令y＝－ln x，x＞0，则y′＝－， 令y′＝0，得x＝. 所以当0＜x＜时，y′＜0，当x＞时，y′＞0，所以y＝－ln x，x＞0在上单调递减，在上单调递增． 所以x＝时，|AB|min＝2＋ln 2. [素养培优练] 13．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2.则f(x)＞2x＋4的解集为(　　) A．(－1,1) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞) 解析：B　[构造函数g(x)＝f(x)－(2x＋4)，则g(－1)＝2－(－2＋4)＝0，又f′(x)＞2，∴g′(x)＝f′(x)－2＞0，∴g(x)是R上的增函数．∴f(x)＞2x＋4⇔g(x)＞0⇔g(x)＞g(－1)，∴x＞－1.] 14．(多选)素数分布问题是研究素数性质的重要课题，德国数学家高斯提出了一个猜想：π(x)≈，其中π(x)表示不大于x的素数的个数，即随着x的增大，π(x)的值近似接近的值．从猜想出发，下列推断正确的是(　　) A．当x很大时，随着x的增大，π(x)的增长速度变慢 B．当x很大时，随着x的增大，π(x)减小 C．当x很大时，在区间(x，x＋n)(n是一个较大常数)内，素数的个数随x的增大而减少 D．因为π(4)＝2，所以π(4)＞ 解析：AC　[设函数f(x)＝，x＞0且x≠1，则f′(x)＝＝－，x＞0且x≠1，fn(x)＝，x＞0且x≠1，当x→＋∞时，f″(x)＜0，所以当x很大时，随着x的增大，π(x)的增长速度变慢，故A正确；函数f(x)＝的图象如图所示： 由图象可得随着x的增大，π(x)并不减小，故B错误；当x很大时，在区间(x，x＋n)(n是一个较大常数)内，函数增长得慢，素数的个数随x的增大而减少，故C正确；≈2.89＞2，故D错误．] 学科网（北京）股份有限公司 $$