5.2.1 基本初等函数的导数-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂Word课时作业（人教A版2019）

[基础达标练] 1．若函数f(x)＝cos x，则f′＋f的值为(　　) A．0　　 B．－1 C．1　　　D．2 解析：A　[因为f(x)＝cos x，所以f′(x)＝－sin x．所以f′＋f＝－sin ＋cos ＝0.] 2．对任意的x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则此函数解析式为(　　) A．f(x)＝x3　　　　　 B．f(x)＝x4－2 C．f(x)＝x3＋1 D．f(x)＝x4－1 解析：B　[由f′(x)＝4x3知f(x)中含有x4项，然后将x＝1代入选项中验证可得．] 3．直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b的值为(　　) A．2 B．ln 2＋1 C．ln 2－1 D．ln 2 解析：C　[因为y＝ln x的导数y′＝，所以令＝，得x＝2，所以切点为(2，ln 2)．代入直线y＝x＋b，得b＝ln 2－1.] 4．(多选)下列求导过程正确的选项是(　　) A.′＝ B．()′＝ C．(xa)′＝axa－1 D．(logax)′＝ 解析：BC　[由′＝－，可知A错误；由()′＝，可知B正确；由(xa)′＝axa－1，可知C正确；由(logax)′＝，可知D错误，故选BC.] 5．设f1(x)＝sin x，f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2 024(x)＝(　　) A．sin x B．－sin x C．cos x D．－cos x 解析：D　[∵f1(x)＝sin x，∴f1′(x)＝(sin x)′＝cos x， f2(x)＝f1′(x)＝cos x，f3(x)＝f2′(x)＝(cos x)′＝－sin x， f4(x)＝f3′(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f5(x)＝f4′(x)＝(－cos x)′＝sin x， 由此可知：fn＋4(x)＝fn(x)，n∈N，∴f2 024(x)＝f4(x)＝－cos x．] 6．已知f(x)＝2x，则f′＝________. 解析：因为f(x)＝2x，所以f′(x)＝2xln 2，所以f′＝f′(log2e)＝ln 2＝eln 2. 答案： eln 2 7．若曲线y＝在点P(a，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是________． 解析：因为y′＝，所以切线方程为y－＝(x－a)，令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－a，由题意知··a＝2，所以a＝4. 答案：4 8．已知曲线方程为y＝x2，求过A点(3,5)且与曲线相切的直线方程． 解：解法一：设过点A(3,5)与曲线y＝x2相切的直线方程为y－5＝k(x－3)，即y＝kx＋5－3k. 由得x2－kx＋3k－5＝0. Δ＝k2－4(3k－5)＝0，整理得(k－2)(k－10)＝0，∴k＝2或k＝10. 所求的直线方程为2x－y－1＝0或10x－y－25＝0. 解法二：设切点P的坐标为(x0，y0)，由y＝x2，得y′＝2x， ∴＝2x0.由已知kPA＝2x0，即＝2x0. 又y0＝x，代入上式整理，得x0＝1或x0＝5，∴切点坐标为(1,1)，(5,25)． ∴所求直线方程为2x－y－1＝0或10x－y－25＝0. [能力提升练] 9．定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x0叫做函数的“新驻点”，若函数g(x)＝sin x(0＜x＜π)，h(x)＝ln x(x＞0)，φ(x)＝x2(x＞0)的“新驻点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．b＞a＞c 解析：B　[①若g(x)＝sin x，则g′(x)＝cos x，由sin x＝cos x，解得x＝，即a＝＜1.②若h(x)＝ln x，则h′(x)＝，由ln x＝，令r(x)＝ln x－，可知r(1)＜0，r(2)＞0，故1＜b＜2.③若φ(x)＝x2，则φ′(x)＝2x，由x2＝2x，x＞0，得x＝2，故c＝2.综上，c＞b＞a.] 10．记函数y＝f(2)(x)表示对函数y＝f(x)连续两次求导，即先对y＝f(x)求导得y＝f′(x)，再对y＝f′(x)求导得y＝f(2)(x)，下列函数中满足f(2)(x)＝f(x)的是(　　) A．f(x)＝x B．f(x)＝sin x C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln x 解析：C　[A.f′(x)＝1，f(2)(x)＝0≠f(x)；B.f′(x)＝cos x，f(2)(x)＝－sin x≠f(x)； C．f′(x)＝ex，f(2)(x)＝ex＝f(x)；D.f′(x)＝，f(2)(x)＝－≠f(x)．综上可知，只有C满足f(2)(x)＝f(x)，故选C.] 11．若正三角形内切圆的半径为r，则该正三角形的周长C(r)＝6r，面积S(r)＝3r2，发现S′(r)＝C(r)．相应地，若正四面体内切球的半径为r，则该正四面体的表面积S(r)＝24r2.请用类比推理的方法猜测该正四面体的体积V(r)＝________(写出关于r的表达式)． 解析：由题意有V′(r)＝S(r)，因为S(r)＝24r2，所以V′(r)＝24r2，则V(r)＝8r3. 答案：8r3 12．已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l. (1)求使直线l和y＝f(x)相切且以P为切点的直线方程； (2)求使直线l和y＝f(x)相切且切点异于P的直线方程． 解：(1)由f(x)＝x3－3x，得f′(x)＝3x2－3，过点P且以P(1，－2)为切点的直线的斜率f′(1)＝0， ∴所求的直线方程为y＝－2. (2)设过P(1，－2)的直线l与y＝f(x)切于另一点(x0，y0)，则f′(x0)＝3x－3. 又直线过(x0，y0)，P(1，－2)， 故其斜率可表示为＝， 又＝3x－3， 即x－3x0＋2＝3(x－1)(x0－1)， 解得x0＝1(舍去)或x0＝－， 故所求直线的斜率为k＝3×＝－， ∴y－(－2)＝－(x－1)，即9x＋4y－1＝0. [素养培优练] 13．(多选)已知函数f(x)及其导函数f′(x)，若存在x0使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是(　　) A．f(x)＝x2 B．f(x)＝e－x C．f(x)＝ln x D．f(x)＝tan x 解析：AC　[若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，方程显然有解，故A符合要求；若f(x)＝e－x；则f′(x)＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程无解，故B不符合要求；若f(x)＝ln x，则f′(x)＝，令ln x＝，在同一直角坐标系内作出函数y＝ln x与y＝的图象(图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程f(x)＝f′(x)存在实数解，故C符合要求；若f(x)＝tan x，则f′(x)＝′＝，令tan x＝，化简得sin xcos x＝1，变形可得sin 2x＝2，无解，故D不符合要求．故选AC.] 14．已知函数f(x)＝x2 025，则f′＝　________　 解析：∴f(x)＝x2 025，∴f′(x)＝2 025x2 024， ＝2 025×＝1. 答案：1 学科网（北京）股份有限公司 $$