5.1.1 变化率问题-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂Word课时作业（人教A版2019）

[基础达标练] 1．一质点的运动方程是s＝5－3t2，则在时间[1,1＋Δt]内相应的平均速度为(　　) A．3Δt＋6　　　　　　　 B．－3Δt＋6 C．3Δt－6 D．－3Δt－6 解析：D　[＝＝－6－3Δt.] 2．甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，治污效果较好的是(　　) A．甲 B．乙 C．相同 D．不确定 解析：B　[由图象知乙的斜率比甲的斜率小，但乙的斜率绝对值大，即变化快．] 3．物体的运动方程是s＝－4t2＋16t，在某一时刻的速度为零，则相应时刻为(　　) A．t＝1 B．t＝2 C．t＝3 D．t＝4 解析：B　[ ＝－8t＋16，令－8t＋16＝0，得t＝2.] 4．已知曲线y＝f(x)＝x2＋2x的一条切线斜率是4，则切点的横坐标为(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：D　[Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)2＋2(x＋Δx)－x2－2x＝x·Δx＋(Δx)2＋2Δx，所以＝x＋Δx＋2，所以k＝ ＝x＋2.设切点坐标为(x0，y0)，由已知x0＋2＝4，所以x0＝2.] 5．(多选)甲工厂八年来某种产品年产量与时间(单位：年)的函数关系如图所示. 现有下列四种说法正确的有(　　) A．前四年该产品产量增长速度越来越快 B．前四年该产品产量增长速度越来越慢 C．第四年后该产品停止生产 D．第四年后该产品年产量保持不变 解析：BD　[设产量与时间的关系为y＝f(x)，由题图可知f(3)－f(2)＜f(2)－f(1)，则前三年该产品产量增长速度越来越慢，故A错误，B正确；由题图可知从第四年开始产品产量不发生变化，且f(4)≠0，故C错误，D正确．故说法正确的有BD.] 6．路灯距离地面8 m，一个身高为1.6 m的人以84 m/min的速度从路灯在地面上的射影点O沿某直线离开路灯，那么人影长度的变化速率为________ m/s. 解析：如图，设S为路灯，人的高度AB，则AB＝1.6 m,84 m/min＝ m/s，t s时人的影子长AC＝h，由直角三角形相似得＝，h＝t m．则人影长度的变化速率为＝＝ m/s. 答案： 7．已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线互相平行，则＝________. 解析：k＝ ＝＝ ＝3x2，因为点P(1,1)为曲线y＝x3上一点，所以曲线y＝x3在点P(1，1)处的切线斜率k＝3.由条件知＝3. 答案：3 8．设质点做直线运动，已知路程s是时间t的函数：s＝3t2＋2t＋1. (1)求从t＝2到t＝2＋Δt的平均速度，并求当Δt＝1，Δt＝0.1时的平均速度； (2)求当t＝2时的瞬时速度． 解：(1)从t＝2到t＝2＋Δt内的平均速度为：＝ ＝ ＝＝14＋3Δt. 当Δt＝1时，平均速度为14＋3×1＝17； 当Δt＝0.1时，平均速度为14＋3×0.1＝14.3. (2)t＝2时的瞬时速度为v＝ ＝ (14＋3Δt)＝14. [能力提升练] 9．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系为(　　) A．v2＝v3＜v1 B．v1＜v2＝v3 C．v1＜v2＜v3 D．v2＜v3＜v1 解析：C　[由题意得，v1＝kOA，v2＝kAB，v3＝kBC，由题图易知kOA＜kAB＜kBC，∴v1＜v2＜v3.] 10．(多选)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f(t)，用－的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．给出下列四个结论，其中错误结论为(　　) A．在[t1，t2]这段时间内，乙企业的污水治理能力比甲企业强 B．在t2时刻，乙企业的污水治理能力比甲企业强 C．在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标 D．甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强 解析：ABD　[－表示区间端点连线斜率的负数，在[t1，t2]这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强，A错误；在t2时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强，B错误；在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，所以都已达标；C正确；甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，甲企业在[t1，t2]这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[t1，t2]的污水治理能力最强，D错误．] 11．函数f(x)＝x2与g(x)＝ln x在区间(1，＋∞)上增长较快的是________． 解析：令y1＝f(x)，y2＝g(x)，在(1，＋∞)上取(a，a＋1)，＝＝2a＋1，＝＝ln，因为a≥1，所以2a＋1≥3，ln≤ln＝ln 2＜1，所以＞，所以函数g(x)＝ln x在区间(1，＋∞)上的增长速度慢于函数f(x)＝x2的增长速度，故增长较快的为f(x)＝x2. 答案：f(x)＝x2 12．柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的，铺路工人铺路时需要对沥青加热使之由固体变成黏稠液体状．如果开始加热后第x小时的沥青温度(单位：℃)为y＝f(x)＝ 求开始加热后第15分钟和第4小时沥青温度变化的瞬时速度，并说明它们的意义． 解：∵15分钟＝0.25小时，且当0≤x≤1时， f(x)＝80x2＋20，∴＝ ＝ ＝＝40＋80Δx. ∴ ＝ (40＋80Δx)＝40. 又当1＜x≤8时，f(x)＝－(x2－2x－244)， ∴当x＝4时， ＝ ＝＝－(6＋Δx)， ＝ ＝－×6＝－. 在第15分钟与第4 h时，沥青温度的瞬时变化率分别为40与－，它说明在第15分钟附近，沥青的温度大约以40 ℃/h的速率上升；在第4 h附近，沥青温度大约以 ℃/h的速率下降． [素养培优练] 13．两个学校W1、W2开展节能活动，活动开始后两学校的用电量W1(t)、W2(t)与时间t(天)的关系如图所示，则一定有(　　) A．W1比W2节能效果好 B．W1的用电量在[0，t0]上的平均变化率比W2的用电量在[0，t0]上的平均变化率大 C．两学校节能效果一样好 D．W1与W2自节能以来用电量总是一样大 解析：A　[由图象可知，对任意的t1∈(0，t0)，曲线W＝W1(t)在t＝t1处的切线比曲线W＝W2(t)在t＝t1处的切线要“陡”，所以W1比W2节能效果好，A正确，C错误； 由图象可知，＜，则W1的用电量在[0，t0]上的平均变化率比W2的用电量在[0，t0]上的平均变化率要小，B选项错误；由于曲线W＝W1(t)和曲线W＝W2(t)不重合，D选项错误．] 14．某堆雪在融化过程中，其体积V(单位：m3)与融化时间t(单位：h)近似满足函数关系：V(t)＝H3(H为常数)，其图象如图所示．记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为(m3/h)．那么t1，t2，t3，t4中，瞬时融化速度等于(m3/h)的时刻是图中的　________　. 解析：由题意，可得平均融化速度为v＝，反映的是v(t)图象与坐标轴交点连线的斜率，观察可知t3处瞬时速度(即切线的斜率)与平均速度一致． 答案：t3 学科网（北京）股份有限公司 $$