4.3.2 第2课时 等比数列前n项和的综合应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂Word课时作业（人教A版2019）

[基础达标练] 1．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为(　　) A．10　　　 B．9 C．8 　　　 D．7 解析：C　[设该女子第一天织布x尺，则＝5，解得x＝，所以前n天织布的尺数为(2n－1)，由(2n－1)≥30，得2n≥187，解得n的最小值为8.] 2．某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A，B两种菜可供选择，调查资料表明，凡是在星期一选A种菜的学生，下星期一会有20%改选B种菜；而选B种菜的学生，下星期一会有30%改选A种菜．用an，bn分别表示在第n个星期的星期一选A种菜和选B种菜的学生人数，则an＋1与an的关系可以表示为(　　) A．an＋1＝an＋150 B．an＋1＝an＋200 C．an＋1＝an＋300 D．an＋1＝an＋180 解析：A　[依题意得消去bn，得an＋1＝an＋150.] 3．数列{an}的通项公式an＝，则数列{an}的前5项和S5＝(　　) A. B. C. D. 解析：C　[因为an＝＝1－，所以数列{an}的前5项和S5＝5－＝5－1＋＝.] 4．某电动汽车刚上市，就引起了小胡的关注，小胡2024年5月1日向银行贷款a元用来购买该电动汽车，银行贷款的月利率是t，并按复利计息．若每月月底还银行相同金额的贷款，到2025年4月底全部还清(即用12个月等额还款)，则小胡每个月月底需要还款(　　) A．a(1＋t)12元 B.元 C.元 D.元 解析：C　[设小胡每月月底还款钱数为x元，根据等额本息还款法可得： 第1次还款后欠银行贷款为A1＝a(1＋t)－x， 第2次还款后欠银行贷款为A2＝a(1＋t)2－x(1＋t)－x， …， 第12次还款后欠银行贷款为 A12＝a(1＋t)12－x(1＋t)11－x(1＋t)10－…－x(1＋t)－x＝a(1＋t)12－x[(1＋t)11＋(1＋t)10＋…＋(1＋t)＋1]＝a(1＋t)12－ ＝a(1＋t)12＋， 因为贷款12个月还清，所以A12＝0， 即a(1＋t)12＋＝0， 所以x＝.] 5．(多选)在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则下列说法正确的是(　　) A．此人第六天只走了5里路 B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里 C．此人第二天走的路程比全程的还多1.5里 D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍 解析：BCD　[根据题意此人每天行走的路程成等比数列，设此人第n天走an里路，则{an}是首项为a1，公比为q＝的等比数列． 所以S6＝＝＝378，解得a1＝192. 选项A，a6＝a1q5＝192×()5＝6，故A错误．选项B，由a1＝192，则S6－a1＝378－192＝186，又192－186＝6，故B正确．选项C，a2＝a1q＝192×＝96，而S6＝94.5,96－94.5＝1.5，故C正确．选项D，a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝192×＝336，则后3天走的路程为378－336＝42(里)，而且336÷42＝8，D正确．故选BCD.] 6．某单位拿出一定的经费奖励科研人员，第一名得全部资金的一半多一万元，第二名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得剩下的一半多一万元，到第6名恰好将资金分完，则需要拿出资金　________　万元． 解析：设全部资金和每次发放后资金的剩下额度组成一个数列{an}，则a1为全部资金，第一名领走资金后剩a2，a2＝a1－1，依此类推，an＋1＝an－1，∴an＋1＋2＝(an＋2)，∴{an＋2}是一个等比数列，公比为，首项为a1＋2.∴an＋2＝(a1＋2)·n－1，∴an＝(a1＋2)·n－1－2. ∴第6名领走资金后剩余为a7＝(a1＋2)×6－2＝0.∴a1＝126，即全部资金为126万元． 答案：126 7．《莱茵德纸草书》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把93个面包分给5个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份之和等于中间一份的四分之三，则最小的一份为________个． 解析：设等比数列为{an}，其公比为q，由题意知，S5＝＝93，a1＋a2＝a3，可得a1＋a1q＝a1q2，因为a1≠0，所以，1＋q＝q2，解得q＝2或q＝－(舍去)，当q＝2时，可得＝93，解得a1＝3. 答案：3 8．在等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值． 解：(1)设等差数列{an}的公差为d. 由已知得 解得所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2. (2)由(1)可得bn＝2n＋n， 所以b1＋b2＋b3＋…＋b10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10) ＝＋＝(211－2)＋55 ＝211＋53＝2 101. [能力提升练] 9．我国某西部地区要进行沙漠治理，已知某年(记为第1年)年底该地区有土地1万平方千米，其中70%是沙漠．从第2年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造成绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠．设第n年年底绿洲面积为an万平方千米，则数列{an}的通项公式为(　　) A．an＝－×n－1＋ B．an＝－×n－1 C．an＝－×n＋ D．an＝n＋ 解析：A　[由题意得，an＝(1－4%)an－1＋(1－an－1)×16%＝0.96an－1＋0.16－0.16an－1 ＝0.8an－1＋0.16＝an－1＋， ∴an＝an－1＋(n≥2，n∈N*)， 可变形为an－＝， 又a1－＝1×(1－70%)－＝－， 所以数列是以－为首项，为公比的等比数列， 所以an－＝－×n－1，故an＝－×n－1＋.] 10．(多选)一个弹性小球从100 m高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的再落下．设它第n次着地时，经过的总路程记为Sn，则当n≥2时，下面说法正确的是(　　) A．Sn＜500 B．Sn≤500 C．Sn的最小值为 D．Sn的最大值为400 解析：AC　[由题可知，第一次着地时，S1＝100；第二次着地时，S2＝100＋200×； 第三次着地时，S3＝100＋200×＋200×2；…… 第n次着地后，Sn＝100＋200×＋200×2＋…＋200×n－1， 则Sn＝100＋200 ＝100＋400，显然Sn＜500，又Sn是关于n的增数列，n≥2，故当n＝2时，Sn的最小值为100＋＝. 综上所述，AC正确，故选AC.] 11．如图，在平面上作边长为1的正方形，以所作正方形的一边为斜边向外作等腰直角三角形，然后以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，再以新的正方形的一边为斜边向外作等腰直角三角形，如此这般的作正方形和等腰直角三角形，不断地持续下去，则前n个正方形与前n个等腰直角三角形的面积之和为________________． 解析：设依次所作的第n个正方形的边长为an，第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和为Sn，则第n个等腰直角三角形的腰长为an，且a1＝1.∴第n＋1个正方形的边长为an＋1＝an， ∴＝，Sn＝a＋×2a＝a， ∴＝＝＝2＝2＝，且S1＝a＝×12＝，∴数列{Sn}是以为首项，为公比的等比数列．Sn＝. 答案：Sn＝ 12．某工厂2024年初有资金1 000万元，资金年平均增长率可达到20%，但每年年底要扣除x(x＜200)万元用于奖励优秀职工，剩余资金投入再生产． (1)以第2024年为第一年，设第n年初有资金an万元，用an和x表示an＋1，并证明数列{an－5x}为等比数列； (2)为实现2034年初资金翻两番的目标，求x的最大值(精确到万元)． (参考数据：1.29≈5.160,1.210≈6.192，1.211≈7.430) 解：(1)依题意，an＋1＝an·(1＋0.2)－x，整理得an＋1－5x＝(an－5x)，＝，又a1－5x＝1 000－5x＞0，∴数列{an－5x}是以1 000－5x为首项，为公比的等比数列． (2)由(1)知，an－5x＝(1 000－5x)·n－1，an＝(1 000－5x)·n－1＋5x，∵2034年初资金翻两番∴a11＝(1 000－5x)·10＋5x≥4 000，解得x≤84.4，∴x的最大值是84. [素养培优练] 13．(多选)在边长为3的正方形ABCD中，作它的内接正方形EFGH，且使得∠BEF＝15°，再作正方形EFGH的内接正方形MNPQ，使得∠FMN＝15°，依次进行下去，就形成了如图所示的图案．设第n个正方形的边长为an(其中第1个正方形的边长为a1＝AB，第2个正方形的边长为a2＝EF，……)，第n个直角三角形(阴影部分)的面积为Sn(其中第1个直角三角形AEH的面积为S1，第2个直角三角形EQM的面积为S2，……，则(　　) A．a2＝ B．S1＝ C．数列{an}是公比为的等比数列 D．数列{Sn}的前n项和Tn的取值范围为 解析：AC　[由题意可知AE＝BF＝sin 15°·EF，BF＝AH＝cos 15°·EF， ＝＝， 而sin 15°＝sin 60°cos 45°－cos 60°sin 45°＝，则cos 15°＝， 所以EF＝AB＝，故A正确； 由以上可知AE＝×＝，AH＝×＝， 所以S1＝AE·AH＝××＝，故B错误； 易知△MNF∽△EFB，此后对应三角形均相似， 而相似比为＝＝， 即{an}是首项为3，公比为的等比数列，所以C正确； 同样的{Sn}是首项为，公比为2＝的等比数列， 则Tn＝＝－×n， 显然y＝n单调递减，即n∈， 所以Tn的取值范围为，故D错误．] 14．已知数列{an}的前n项和为Sn，首项a1＝1且an＋1－2an－1＝0，若(－1)nλ≤Sn＋2n对∀n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是　______　. 解析：∵an＋1－2an－1＝0，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，∴数列{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列，∴an＋1＝2n，an＝2n－1.因此Sn＝－n＝2n＋1－2－n. ∴(－1)nλ≤Sn＋2n对∀n∈N*恒成立， 可化为(－1)nλ≤2n＋1＋n－2对∀n∈N*恒成立． 当n为奇数时，－λ≤(2n＋1＋n－2)min， 所以－λ≤3， 即λ≥－3； 当n为偶数时，λ≤(2n＋1＋n－2)min，解得λ≤8. 综上，实数λ的取值范围是[－3,8]． 答案：[－3,8] 学科网（北京）股份有限公司 $$