4.1 第2课时 数列的通项与递推公式-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂Word课时作业（人教A版2019）

[基础达标练] 1．数列，，，，…的递推公式可以是(　　) A．an＝(n∈N*) B．an＝(n∈N*) C．an＋1＝an(n∈N*) D．an＋1＝2an(n∈N*) 解析：C　[由题意可知，数列从第二项起，后一项是前一项的，所以递推公式为an＋1＝an(n∈N*)．] 2．在数列{an}中，a1＝，an＝(－1)n·2an－1(n≥2)，则a5＝(　　) A．－　　　　　　　 B. C．－ D. 解析：B　[对n依次取2,3,4,5得a2＝(－1)2·2×＝，a3＝－，a4＝－，a5＝.] 3．数列{an}的前n项和Sn＝，则an＝(　　) A. B. C. D. 解析：B　[当n＝1时a1＝S1＝1，当n≥2时an＝Sn－Sn－1＝－＝，验证，当n＝1时a1满足，故选B.] 4．已知数列{an}的项满足an＋1＝an，而a1＝1，通过计算a2，a3，猜想an＝(　　) A. B. C. D. 解析：B　[a1＝1＝，∵an＋1＝an，∴a2＝＝. 同理a3＝＝.猜想an＝.] 5．(多选)已知数列{an}满足an＋1＝1－(n∈N*)，且a1＝2，则(　　) A．a3＝－1 B．a2 025＝ C．S3＝ D．S2 025＝ 解析：ACD　[由题意a2＝1－＝，a3＝1－＝－1，A正确，S3＝2＋－1＝，C正确；a4＝1－＝2 ，∴数列{an}是周期数列，周期为3.a2 025＝a3×675＝a3＝－1，B错；S2 025＝675×＝，D正确．故选ACD.] 6．数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝________. 解析：由an＋1＝，得an＝1－， ∵a8＝2，∴a7＝1－＝，a6＝1－＝－1， a5＝1－＝2，…， ∴{an}是以3为周期的数列，∴a1＝a7＝. 答案： 7．(多空题)已知数列{an}的通项公式an＝n2－4n－12(n∈N*)，则这个数列的第4项是________；65是这个数列的第________项． 解析：由a4＝42－4×4－12＝－12，得第4项是－12；由an＝n2－4n－12＝65，得n＝11或n＝－7(舍去)，∴65是这个数列的第11项． 答案：－12　11 8．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n＋1，n∈N*，求它的通项公式． 解：当n＝1时，a1＝S1＝0； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n＋1－[2(n－1)2－3(n－1)＋1]＝4n－5. 又当n＝1时，不符合上式， 故an＝ [能力提升练] 9．数列{an}的a1＝1，a＝(n，an)，b＝(an＋1，n＋1)，且a⊥b，则a100＝(　　) A. B．－ C．100 D．－100 解析：D　[因为a⊥b，所以nan＋1＋(n＋1)an＝0，即＝－，所以＝－，＝－，＝－，…，＝－， 所以×××…×＝－×××…×＝－， 所以＝－，又a1＝1，所以a100＝－100，故选D.] 10．(多选)若数列{an}满足an＋1＝a1＝， 则数列{an}中的项的值可能为(　　) A.　　 B. C.　　　 D. 解析：ABC　[数列{an}满足an＋1＝ a1＝，依次取n＝1,2,3,4，…代入计算得a2＝2a1－1＝，a3＝2a2＝，a4＝2a3＝，a5＝2a4－1＝＝a1，因此继续下去会循环，数列{an}是周期为4的周期数列，所有可能取值为，，，，故选ABC.] 11．若数列{an}满足an＋1＝，a1＝2，则数列{an}前2 026项的积等于　________　. 解析：∵an＋1＝，∴an＋2＝＝＝－，∴an＋4＝－＝－＝an. ∵a1＝2，∴a2＝＝＝－3，∴数列{an}是以4为周期的周期数列，且anan＋1an＋2aa＋3＝an·an＋1··＝1，∴{an}的前2 026项的积为a1·a2·a3·a4·…·a2 026＝a1a2×1506＝2×(－3)＝－6. 答案：－6 12．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，求通项an. 解：将an＋1＝两边同时取倒数得＝，则＝＋，即－＝， ∴－＝，－＝，…，－＝， 把以上这(n－1)个式子累加，得－＝. ∵a1＝1，∴an＝(n∈N*)． [素养培优练] 13．(多选)意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1,1,2,3,5,8,13，….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和．后人为了纪念他，就把这一列数称为斐波那契数列．下面关于斐波那契数列{an}说法正确的是(　　) A．a14＝233 B．a2 024是奇数 C．a2 024＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 022 D．a2 020＋a2 024＝3a2 022 解析：BD　[由已知得数列{an}满足递推关系an＋2＝an＋1＋an，a1＝a2＝1， a14＝a13＋a12＝2a12＋a11＝3a11＋2a10＝5a10＋3a9＝8a9＋5a8＝13a8＋8a7＝13×21＋8×13＝377，故A错误；观察数列可知，数列每三项都是奇、奇、偶重复循环，2 024＝674×3＋2，不能被3整除，且a2为奇数， 所以a2 024也为奇数，故B正确； 若选项C正确，又a2 024＝a2 023＋a2 022， 则a2 023＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 021， 同理a2 022＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 020，a2 021＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 019，依此类推， 可得a4＝a1＋a2，显然错误，故C错误； a2 024＝a2 023＋a2 022＝2a2 022＋a2 021， 所以a2 020＋a2 024＝a2 020＋2a2 022＋a2 021＝2a2 022＋(a2 020＋a2 021)＝3a2 022，故D正确．] 14．如图，将正三角形的每一条边三等分，并以每一条边上居中的一条线段为边向外作正三角形，便得到第1条“雪花曲线”(如图(乙)的实线部分)，对第1条“雪花曲线”的边重复上述作法，便得到第2条“雪花曲线”(如图(丙))，这样一直继续下去，得到一系列的“雪花曲线”. 设第n条“雪花曲线”有an条边． (1)写出a1，a2的值． (2)求出数列{an}的递推公式． 解：(1)a1＝12，a2＝48. (2)由“雪花曲线”的作法可知， 第n条“雪花曲线”的每条边都可得到第n＋1条“雪花曲线”的四条边， ∴an＋1＝4an.∴数列{an}的递推公式为an＋1＝4an. 学科网（北京）股份有限公司 $$