5.3.2 第1课时 函数的极值-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步Word教案（人教A版2019）

5．3.2　函数的极值与最大(小)值 第1课时　函数的极值 课程标准 素养解读 1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件． 2．能利用导数求某些函数的极大值、极小值． 3．体会导数与单调性、极值的关系. 1.在学习函数极值概念的过程中提升直观想象、数学抽象的核心素养． 2．在求函数极值的过程中达成逻辑推理、数学运算的核心素养. [情境引入] 请学生们观察庐山连绵起伏的图片，并思考“山势有什么特点”？这些山高低起伏，形成了很多的“峰点”与“谷点”．诗句“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，也描绘了庐山的连绵起伏的景象，这些“峰点”与“谷点”就是数学上研究的函数的极值． [知识梳理] [知识点一]　极值点与极值　 1．极小值点与极小值 (1)函数特征：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值　都小　，f′(a)＝　0　. (2)导数符号：在点x＝a附近的左侧f′(x)　＜0　，右侧f′(x)　＞0　. (3)结论：　点a　叫做函数y＝f(x)的极小值点，　f(a)　叫做函数y＝f(x)的极小值． 2．极大值点与极大值 (1)函数特征：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值　都大　，f′(b)＝　0　. (2)导数符号：在点x＝b的左侧f′(x)　＞0　，右侧f′(x)　＜0　. (3)结论：　点b　叫做函数y＝f(x)的极大值点，　f(b)　叫做函数y＝f(x)的极大值． 3．极值的定义 (1)　极大值　与　极小值　统称为极值． (2)极值反映了函数在某一点附近的函数值的　大小情况　，刻画的是函数的　局部性质　. 1.函数的极大值一定大于极小值吗？ [提示]　函数的极大值不一定大于极小值． 2．导数为0的点一定是极值点吗？ [提示]　不一定，如f(x)＝x3，f′(0)＝0, 但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．所以，当f′(x0)＝0时，要判断x＝x0是否为f(x)的极值点，还要看f′(x)在x0两侧的符号是否相反． [知识点二]　求可导函数f(x)的极值的步骤　 1．确定函数的定义区间，求导数f′(x)． 2．求f(x)的拐点，即求方程f′(x)＝0的根． 3．利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值． [预习自测] 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)导数值为0的点一定是函数的极值点．(　　) (2)函数的极小值一定小于它的极大值．(　　) (3)函数在定义域内有一个极大值和一个极小值．(　　) (4)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　　) A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点 C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点 解析：C　[设y＝f′(x)的图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f(x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值．] 3．函数f(x)＝x3－3x2＋1的极小值点为______． 解析：由f′(x)＝3x2－6x＝0，解得x＝0或x＝2. 当x变化时，f′(x)的变化情况如下表： x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ∴当x＝2时，f(x)取得极小值． 答案：2 　　　求函数的极值 [例1]　求下列函数的极值点和极值． (1)f(x)＝x3－x2－3x＋3； (2)f(x)＝＋3ln x； (3)f(x)＝x2e－x. [解]　(1)f(x)＝x3－x2－3x＋3的定义域为R，f′(x)＝x2－2x－3. 令f′(x)＝0，得x1＝3，x2＝－1. 当x变化时，f′(x)变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－1,3) 3 (3，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 递增 极大值 递减 极小值－6 递增 因此当x＝－1时，f(x)有极大值，f(－1)＝， 当x＝3时，f(x)有极小值，f(3)＝－6. (2)函数f(x)＝＋3ln x的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－＋＝， 令f′(x)＝0，得x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (0,1) 1 (1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) 递减 极小值3 递增 因此当x＝1时，f(x)有极小值，并且f(1)＝3. (3)函数的定义域为R. f′(x)＝2xe－x－x2e－x＝x(2－x)e－x. 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) 递减 0 递增 4e－2 递减 由上表可以看出，当x＝0时，函数有极小值，且f(0)＝0； 当x＝2时，函数有极大值，且f(2)＝. 函数极值和极值点的求解步骤 (1)确定函数的定义域． (2)求方程f′(x)＝0的根． (3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格． (4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况． 提醒：当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然． [变式训练] 1．求下列函数的极值： (1)f(x)＝(x2－1)3＋1； (2)y＝. 解：(1)f′(x)＝6x(x2－1)2＝6x(x＋1)2(x－1)2. 令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝0，x3＝1. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－1,0) 0 (0,1) 1 (1，＋∞) f′(x) － 0 － 0 ＋ 0 ＋ f(x) ↘ 无极值 ↘ 极小值0 ↗ 无极值 ↗ ∴当x＝0时，f(x)有极小值，f(x)极小值＝0.没有极大值． (2)∵函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，且y′＝， 令y′＝0，得x＝－1或x＝2， ∴当x变化时，y′，y的变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－1,1) (1,2) 2 (2，＋∞) y′ ＋ 0 － ＋ 0 ＋ y ↗ － ↘ ↗ 3  故当x＝－1时，y有极大值－，没有极小值． 　　　含参数的函数求极值 [例2]　已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，当a∈R且a≠时，求函数的极值． [思路点拨]　 [解]　f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex. 令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2. 由a≠，知－2a≠a－2. 以下分两种情况讨论： 若a＞，则－2a＜a－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－2a) －2a (－2a，a－2) a－2 (a－2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ∴f(x)在(－∞，－2a) ，(a－2，＋∞)内是增函数，在(－2a，a－2)内是减函数． ∴函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a；函数f(x)在x＝a－2处取得极小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2. 若a＜，则－2a＞a－2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，a－2) a－2 (a－2，－2a) －2a (－2a，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ∴f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)内是增函数，在(a－2，－2a)内是减函数． ∴函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2；函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a. 求含参数的函数极值的步骤 (1)求函数的定义域； (2)求函数的导数f′(x)； (3)对参数分类讨论判定函数的单调性，判定有无极值点，若有，求出全部的根x0； (4)判断得结论：若导数在x0附近左正右负，则在x0处取得极大值；若左负右正，则取得极小值． [变式训练] 2．若函数f(x)＝x－aln x(a∈R)，求函数f(x)的极值． 解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝1－＝. (1)当a≤0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，函数f(x)无极值． (2)当a＞0时，令f′(x)＝0，解得x＝a. 当0＜x＜a时，f′(x)＜0；当x＞a时，f′(x)＞0. ∴f(x)在x＝a处取得极小值，且f(a)＝a－aln a，无极大值．综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值； 当a＞0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值． 　　　由极值求参数的值或取值范围 [例3]　(1)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＝________，b＝________. (2)已知函数f(x)＝x3－(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m为常数)在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m的取值范围． [思路点拨]　 (1)由f′(1)＝0及f(1)＝10求a，b，注意检验极值的存在条件； (2)f(x)在(1，＋∞)内有两个极值点，等价于f′(x)＝0在(1，＋∞)内有两个不等实根． (1)[解析]　f′(x)＝3x2＋2ax＋b， 依题意得即 解得或 但当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，故f(x)在R上单调递增，不可能在x＝1处取得极值，所以，不符合题意，应舍去． 而当时，经检验知符合题意， 故a，b的值分别为4，－11. [答案]　4　－11 (2)[解]　f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6. 因为函数f(x)在(1，＋∞)内有两个极值点， 所以f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6在(1，＋∞)内与x轴有两个不同的交点，如图所示． 所以解得m＞3. 故实数m的取值范围是(3，＋∞)． 已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点： (1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解； (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性． [变式训练] 3．若x＝2是函数f(x)＝x(x－m)2的极大值点，求函数f(x)的极大值． 解：∵f′(x)＝(x－m)(3x－m)，且f′(2)＝0， ∴(m－2)(m－6)＝0，即m＝2或m＝6. (1)当m＝2时，f′(x)＝(x－2)(3x－2)， 由f′(x)＞0，得x＜或x＞2； 由f′(x)＜0，得＜x＜2. ∴x＝2是f(x)的极小值点，不合题意，故m＝2舍去． (2)当m＝6时，f′(x)＝(x－6)(3x－6)， 由f′(x)＞0，得x＜2或x＞6；由f′(x)＜0，得2＜x＜6. ∴x＝2是f(x)的极大值，∴f(2)＝2×(2－6)2＝32. 即函数f(x)的极大值为32. 　　　函数极值的综合问题 [例4]　已知函数f(x)＝x3－3x＋a(a为实数)，若方程f(x)＝0有三个不同实根，求实数a的取值范围． [思路点拨]　求出函数的极值，要使f(x)＝0有三个不同实根，则应有极大值大于0，极小值小于0，由此可得a的取值范围． [解]　令f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)＝0， 解得x1＝－1，x2＝1. 当x＜－1时，f′(x)＞0；当－1＜x＜1时，f′(x)＜0；当x＞1时，f′(x)＞0. 所以当x＝－1时，f(x)有极大值f(－1)＝2＋a； 当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝－2＋a. 因为方程f(x)＝0有三个不同实根， 所以y＝f(x)的图象与x轴有三个交点，如图． 由已知应有 解得－2＜a＜2，故实数a的取值范围是(－2,2)． 利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便． [变式训练] 4．已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R)． (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)若对任意a∈[3,4]，函数f(x)在R上都有三个零点，求实数b的取值范围． 解：(1)因为f(x)＝－x3＋ax2＋b， 所以f′(x)＝－3x2＋2ax＝－3x. 当a＝0时，f′(x)＝－3x2≤0，函数f(x)没有单调递增区间； 当a＞0时，令f′(x)＞0，即－3x＞0，解得0＜x＜， 故函数f(x)的单调递增区间为； 当a＜0时，令f′(x)＞0，即－3x＞0，解得＜x＜0， 故函数f(x)的单调递增区间为. (2)由(1)知，a∈[3,4]时，函数f(x)的单调递增区间为， 单调递减区间为(－∞，0)和. 所以f(x)极大值＝f＝＋b，f(x)极小值＝f(0)＝b. 由于对任意a∈[3,4]，函数f(x)在R上都有三个零点， 所以即 解得－＜b＜0. 因为对任意a∈[3,4]，b＞－恒成立， 所以b＞max＝－＝－4. 所以实数b的取值范围为(－4,0)． [当堂达标] 1．(多选)下列四个函数中，能在x＝0处取得极值的函数是(　　) A．y＝x3　　　　　 B．y＝x2＋1 C．y＝|x| D．y＝2x 解析：BC　[AD为单调函数，不存在极值．] 2．设函数f (x)＝xex，则(　　) A．x＝1为f (x)的极大值点 B．x＝1为f (x)的极小值点 C．x＝－1为f (x)的极大值点 D．x＝－1为f (x)的极小值点 解析：D　[令f ′(x)＝ex＋x·ex＝(1＋x)ex＝0，得x＝－1.当x＜－1时，f ′(x)＜0；当x＞－1时，f ′(x)＞0.故当x＝－1时，f (x)取得极小值．] 3．若函数f(x)＝在x＝a处有极小值，则实数a等于________． 解析：由函数f(x)＝在x＝a处有极小值，知x＝a是极值点，所以f′(a)＝0，由f′(x)＝，代入a，解得a＝1. 答案：1 4．求函数y＝x＋的极值． 解：y′＝1－＝，令y′＝0，解得x＝±1，而原函数的定义域为{x|x≠0}，∴当x变化时，y′，y的变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－1,0) (0,1) 1 (1，＋∞) y′ ＋ 0 － － 0 ＋ y 单调递增 极大值 单调递减 单调递减 极小值 单调递增 所以当x＝－1时，y极大值＝－2；当x＝1时，y极小值＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $$