5.2.2 导数的四则运算法则-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步Word教案（人教A版2019）

5．2.2　导数的四则运算法则 课程标准 素养解读 1.能利用导数的四则运算法则，求简单函数的导数． 2．进一步理解导数的运算与几何意义的综合应用. 1.通过运用导数四则运算法则求解简单的导数问题，培养数学运算的核心素养． 2．通过导数的综合应用，达成逻辑推理和数学运算的核心素养. [情境引入] 上节课学习了五种常见函数y＝c、y＝x、y＝x2、y＝、y＝的导数公式及基本初等函数求导公式和它们的应用．那么导数可以进行四则运算吗？这是我们这节课要研究的问题． [知识梳理] [知识点]　导数的运算法则　 设两个函数f(x)，g(x)可导，则 1．和(差)的导数 符号表示：[f(x)±g(x)]′＝　f′(x)±g′(x)　. 2．积的导数 符号表示：[f(x)g(x)]′＝　f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)　. 特别地，当g(x)＝c(c为常数)时，[cf(x)]′＝　cf′(x)　. 3．商的导数 符号表示： ′＝(g(x)≠0)． [预习自测] 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)和的导数就是导数的和，差的导数就是导数的差．(　　) (2)积的导数就是导数的积，商的导数就是导数的商．(　　) (3)(x2cos x)′＝－2xsin x．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)× 2．函数y＝x3·2x的导函数是(　　) A．y′＝3x2·2x B．y′＝2x3·2x C．y′＝3x2·2x＋2xln 2 D．y′＝3x2·2x＋2x·x3ln 2 解析：D　[y′＝(x3·2x)′＝(x3)′·2x＋x3·(2x)′＝3x2·2x＋2x·x3ln 2.] 3．(1)′＝__________； (2)(xex)′＝　__________. 解析：(1)′＝＝； (2)(xex)′＝ex＋xex＝(1＋x)ex. 答案：(1)　(2)(1＋x)ex 　　　导数四则运算法则的应用 [例1]　求下列函数的导数： (1)y＝x5－x3＋3x＋； (2)y＝(3x5－4x3)(4x5＋3x3)； (3)y＝3＋4. [解]　(1)y′＝′ ＝′－′＋(3x)′＋()′ ＝x4－4x2＋3. (2)法1∶y′＝(3x5－4x3)′(4x5＋3x3)＋(3x5－4x3)(4x5＋3x3)′＝(15x4－12x2)(4x5＋3x3)＋(3x5－4x3)(20x4＋9x2) ＝60x9－48x7＋45x7－36x5＋60x9－80x7＋27x7－36x5 ＝120x9－56x7－72x5. 法2：∵y＝12x10－7x8－12x6， ∴y′＝120x9－56x7－72x5. (3)y′＝(3＋4)′＝(3x)′＋(4x)′ ＝4＋6. 1．多项式的积的导数，通常先展开再求导更简便． 2．含根号的函数求导一般先化为分数指数幂，再求导． [变式训练] 1．求下列函数的导数． (1)y＝x－2＋x2；(2)y＝3xex－2x＋e； (3)y＝；(4)y＝x2－sin cos. 解：(1)y′＝2x－2x－3. (2)y′＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2. (3)y′＝. (4)∵y＝x2－sincos＝x2－sin x， ∴y′＝2x－cos x. 　　　导数四则运算法则在实际生活中的应用 [例2]　日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加，已知将1 t水净化到纯净度为x%所需费用(单位：元)为c(x)＝(80＜x＜100)， 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率： (1) 90%；(2) 98%. [解]　净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数 c′(x)＝′＝ ＝＝. (1)因为c′(90)＝＝52.84，所以净化到纯净度为90%时，净化费用的瞬时变化率是52.84元/吨． (2)因为c′(98)＝＝1 321，所以净化到纯净度为98%时，净化费用的瞬时变化率是1 321元/吨． 明确自变量及相应函数值的实际意义，是解释导数实际意义的前提，审题时要先在这方面下功夫． [变式训练] 2．已知某产品生产成本C与产量q的函数关系式为C＝100＋4q，价格p与产量q的函数关系式为p＝25－q，求： (1)q从1变到3时，利润L关于产品数量q的平均变化率； (2)L′(2)并解释它的实际意义． 解：(1)收入R＝q·p＝q＝25q－q2， 利润L＝R－C＝－(100＋4q) ＝－q2＋21q－100(0＜q≤200). ＝20.5. (2)L′＝－q＋21，L′(2)＝21－＝20.5. L′(2)表示生产数量为2时，产品数量每增加一个，利润增加20.5元． 　　　导数四则运算法则在切线问题中的应用 [例3]　(1)函数y＝3sin x在x＝处的切线斜率为________． (2)已知函数f(x)＝ax2＋ln x的导数为f′(x)． ①求f(1)＋f′(1)； ②若曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围． (1)[解析]　由函数y＝3sin x，得y′＝3cos x， 所以函数在x＝处的切线斜率为3×cos＝. [答案]　 (2)[解]　①由题意，函数的定义域为(0，＋∞)，由f(x)＝ax2＋ln x, 得f′(x)＝2ax＋，所以f(1)＋f′(1)＝3a＋1. ②因为曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x∈(0，＋∞)内导函数f′(x)＝2ax＋存在零点，即f′(x)＝0，所以2ax＋＝0有正实数解，即2ax2＝－1有正实数解，故有a＜0，所以实数a的取值范围是(－∞，0)． 关于函数导数的应用及其解决方法 1．应用：导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用； 2．方法：先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用． [变式训练] 3．设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程． 解：因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1， 所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b. 令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，又f′(1)＝2a， 所以3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3. 令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b，又f′(2)＝－b， 所以12＋4a＋b＝－b，解得a＝－， 则f(x)＝x3－x2－3x＋1，从而f(1)＝－. 又f′(1)＝2×＝－3，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0. [当堂达标] 1．(多选)下列求导运算错误的是(　　) A.′＝1＋ B．(log2x)′＝ C．(3x)′＝3x D．(x2cos x)′＝－2x sin x 解析：ACD　[′＝x′＋′＝1－，故A错误；(log2x)′＝，B正确；(3x)′＝3x·ln 3，故C错误；(x2cos x)′＝2x cos x－x2sin x，故D错误．] 2．曲线y＝x3－3x2＋1在点(1，－1)处的切线方程为(　　) A．y＝3x－4　　　 B．y＝－3x＋2 C．y＝－4x＋3 D．y＝4x－5 解析：B　[∵点(1，－1)在曲线y＝x3－3x2＋1上，该点处切线的斜率为k＝y′|x＝1＝(3x2－6x)|x＝1＝3－6＝－3，∴切线方程为y＋1＝－3(x－1)，即y＝－3x＋2.] 3．某物体做直线运动，其运动规律是s＝t2＋(t的单位是s，s的单位是m)，则它在第4 s末的瞬时速度应该为________． 解析：∵s′＝2t－，∴v＝s′(4)＝8－ ＝7 (m/s)． 答案：7 m/s 4．求下列函数的导数： (1)y＝x3ex；(2)y＝. 解：(1)y′＝(x3ex)′＝(x3)′ex＋x3(ex)′ ＝3x2ex＋x3ex. (2)y′＝′＝ ＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$