5.1.1 变化率问题-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步Word教案（人教A版2019）

5．1　导数的概念及其意义 5．1.1　变化率问题 课程标准 素养解读 1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程． 2．感悟极限的思想. 1.通过学习函数的平均变化率与瞬时变化率的概念，从而达成数学抽象的核心素养． 2．通过对割线与切线的学习提升直观想象的核心素养. [情境引入] 高台跳水运动中，运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋4.8. 如何利用上述函数关系描述运动员从起跳到入水的过程中运动速度的快慢程度呢？这就是这节课我们要学习的变化率问题． [知识梳理] [知识点一]　瞬时速度及瞬时速度与平均速度的关系　 1．瞬时速度：把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度． 2．以高台跳水运动员的速度为例来阐述瞬时速度与平均速度的关系： 引例：在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系：h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11.描述运动员在t＝1时刻附近某一时间段内的平均速度为和求运动员在t＝1时的瞬时速度． (1)取时刻：任取时刻1＋Δt(Δt是时间改变量，可以是　正值　，也可以是　负值　，但不为　0　)； (2)定区间：当Δt＞0时，取时间段　[1,1＋Δt]　 (Δt＜0时，取时间段　[1＋Δt,1]　)； (3)求平均速度：把运动员在时间段[1,1＋Δt]内近似看成匀速直线运动，计算平均速度＝＝－4.9Δt－5； (4)求极限：在＝＝－4.9Δt－5中，当Δt无限趋近于0时，－4.9Δt无限趋近于0，所以无限趋近于－5； (5)求瞬时速度：从物理的角度看，当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度就　无限趋近于　t＝1时的瞬时速度． [知识点二]　切线的斜率　 1．切线的定义(以抛物线f(x)＝x2在点P0(1,1)处的切线为例，如图所示) 当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为抛物线f(x)＝x2在点P0(1,1)处的切线． 　曲线的割线P0P与曲线在P0处的切线有什么关系？ [提示]　当点P无限趋近于点P0时，割线P0P的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的斜率k0. [预习自测] 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)Δx趋近于零时表示Δx＝0.(　　) (2)平均速度与瞬时速度可能相等．(　　) (3)瞬时速度刻画某物体在某时刻变化快慢的情况．(　　) (4)曲线的切线和曲线有交点，这点一定是切点．(　　) (5)若曲线y＝f(x)在x0处的切线的斜率为k，则＝k.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4) ×　(5)× 2．质点运动规律为s(t)＝t2＋3，则从3到3＋Δt的平均速度为(　　) A．6＋Δt　　　　　 B．6＋Δt＋ C．3＋Δt D．9＋Δt 解析：A　[因为Δs＝s(3＋Δt)－s(3)＝6Δt＋(Δt)2，所以＝6＋Δt.] 3．在自由落体运动中，物体位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系式s(t)＝gt2(g取9.8 m/s2)，试估计t＝3 s时物体下落的瞬时速度是　________　. 解析：从3 s到(3＋Δt)s这段时间内位移的增量Δs＝s(3＋Δt)－s(3)＝4.9(3＋Δt)2－4.9×32＝29.4Δt＋4.9(Δt)2，从而＝29.4＋4.9Δt.当Δt趋于0时，趋于29.4 m/s. 答案：29.4 m/s 　　　求运动物体的平均速度 [例1]　已知一物体的运动方程为f(t)＝3t2＋5， 求 (1) f(t)从0.1到0.2的平均速度； (2) f(t)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均速度． [解]　(1)因为f(t)＝3t2＋5， 所以从0.1到0.2的平均速度为 ＝0.9. (2)f(t0＋Δt)－f(t0)＝3(t0＋Δt)2＋5－(3t＋5) ＝3t＋6t0Δt＋3(Δt)2＋5－3t－5 ＝6t0Δt＋3(Δt)2. 函数f(t)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均速度为＝6t0＋3Δt. 1．求运动物体的平均速度的步骤 第一步，求时间的改变量Δx＝x2－x1； 第二步，求函数值的变化量Δy＝f(x2)－f(x1)； 第三步，求平均速度＝. 2．求平均速度的一个关注点 求点x0附近的平均速度，可用求解． [变式训练] 1．如图所示，运动方程y＝f(x)在A，B两点间的平均速度等于(　　) A．1　　　　　　　　 B．－1 C．2 D．－2 解析：B　[平均速度为＝－1.故选B.] 2．已知运动方程y＝f(x)＝2x2的图象上点P(1，2)及邻近点Q(1＋Δx,2＋Δy)，则的值为(　　) A．4 B．4x C．4＋2Δx2 D．4＋2Δx 解析：D　[＝＝4＋2Δx.故选D.] 　 　　求瞬时速度 [例2]　某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度． [思路点拨] [解]　∵＝ ＝＝3＋Δt， ∴ ＝ (3＋Δt)＝3. ∴物体在t＝1处的瞬时变化率为3. 即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s. 1．求运动物体瞬时速度的三个步骤 (1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)． (2)求平均速度＝； (3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于常数v，即为瞬时速度． 2．求(当Δx无限趋近于0时)的极限的方法 (1)在极限表达式中，可把Δx作为一个数来参与运算； (2)求出的表达式后，Δx无限趋近于0只需令Δx＝0，求出结果即可． [变式训练] 3．若一物体运动的位移s与时间t关系如下：(位移单位：m，时间单位：s) s＝ 求：(1)物体的初速度v0； (2)物体在t＝1时的瞬时速度． 解： (1)求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度． 因为物体在t＝0附近的平均变化率为 ＝ ＝3Δt－18， 所以物体在t＝0处的瞬时变化率为 ＝ (3Δt－18)＝－18， 即物体的初速度为－18 m/s. (2)物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率． 因为物体在t＝1附近的平均变化率为 ＝ ＝3Δt－12， 所以物体在t＝1处瞬时变化率为 ＝ (3Δt－12)＝－12， 即物体在t＝1 s时的瞬时速度为－12 m/s. 　　　曲线的割线与切线 [例3]　求曲线y＝在点A处的切线的斜率，并写出切线方程． [解]　令f(x)＝， ∵Δy＝f－f＝－2＝，∴＝， ∴切线的斜率k＝ ＝－4， ∴切线方程为y－2＝－4，即4x＋y－4＝0. 解答此类问题，一般是根据曲线的割线与切线的关系，先求出割线的斜率，再令Δx→0，求得曲线在该点处的切线的斜率． [变式训练] 4．已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则点A处的切线斜率等于(　　) A．2 B．4 C．6＋6Δx＋2(Δx)2 D．6 解析：D　[因为y＝2x3，所以k＝ ＝ ＝ ＝ [2(Δx)2＋6Δx＋6]＝6. 即点A(1,2)处切线的斜率为6.] [当堂达标] 1．一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是(　　) A．－3 B．3 C．6 D．－6 解析：D　[由平均速度和瞬时速度的关系可知，v＝ (－3Δt－6)＝－6.] 2．若曲线y＝2x2－4x＋p与y＝1相切，则p＝________. 解析：由题意得，k＝ ＝ ＝4x－4＝0，解得x＝1，所以切点为(1,1)， 所以2－4＋p＝1，解得p＝3. 答案：3 3．质点按规律s(t)＝at2＋1做直线运动(s单位：m，t单位：s)．若质点在t＝2时的瞬时速度为8 m/s，求a的值． 解：因为Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝[a(2＋Δt)2＋1]－(a×22＋1)＝4aΔt＋a(Δt)2，所以＝4a＋aΔt，所以在t＝2时，瞬时速度为 ＝4a，所以4a＝8，解得a＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $$