4.4 数学归纳法-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步Word教案（人教A版2019）

4.4　数学归纳法* 课程标准 素养解读 1.了解数学归纳法的原理． 2．能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题. 在学习数学归纳法的过程中达成数学抽象、逻辑推理的核心素养. [情境引入] 如图是多米诺骨牌游戏，码放骨牌时， 要保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下．这样，只要推倒第1块骨牌，就可导致第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下，就可导致第3块骨牌倒下；….总之，不论有多少块骨牌，都能全部倒下．根据多米诺骨牌游戏原理，本节我们就来介绍一种重要的证明方法——数学归纳法． [知识梳理] [知识点一]　数学归纳法　 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取　第一个值n0　(n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当　n＝k＋1　时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立． 　数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1? [提示]　不一定．如证明n边形的内角和为(n－2)·180°，第一个值n0＝3. [预习自测] 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．(　　) (2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.(　　) (3)数学归纳法的两个步骤缺一不可．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2．下面四个判断中，正确的是(　　) A．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N*)中，当n＝1时，式子的值为1 B．式子1＋k＋k2＋…＋kn－1(n∈N*)中，当n＝1时，式子的值为1＋k C．式子1＋＋＋…＋(n∈N*)中，当n＝1时，式子的值为1＋＋ D．设f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，则f(k＋1)＝f(k)＋＋＋ 解析：C　[A中，n＝1时，式子＝1＋k；B中，n＝1时，式子＝1；C中，n＝1时，式子＝1＋＋；D中，f(k＋1)＝f(k)＋＋＋－.故正确的是C.] 3．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，计算得f(2)＝，f(4)＞2，f(8)＞，f(16)＞3，f(32)＞，由此推测，当n＞2时，有________． 答案：f(2n)＞ 　 　　用数学归纳法证明等式 [例1]　用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2(其中n∈N*)． [证明]　当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立． 假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2. 那么，当n＝k＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2， 即当n＝k＋1时等式也成立． 综上所述，可知等式对任何n∈N*都成立． 用数学归纳法证明等式的方法 [变式训练] 1．用数学归纳法证明：＋＋…＋ ＝(n∈N*)． 证明：①当n＝1时，＝成立． ②假设当n＝k(n∈N*)时等式成立，即有＋＋…＋＝，则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＝＋＝， 即当n＝k＋1时等式也成立． 由①②可得对于任意的n∈N*等式都成立． 　　　归纳—猜想—证明 [例2]　已知数列，，，…，的前n项和为Sn，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明． [解]　S1＝ ＝ ； S2＝ ＋ ＝ ； S3＝ ＋ ＝ ； S4＝ ＋ ＝ . 可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n＋1. 于是可以猜想Sn＝ . 下面用数学归纳法证明这个猜想． (1)当n＝1时，左边＝S1＝ ，右边＝ ＝ ＝ ，猜想成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时猜想成立， 即 ＋ ＋ ＋… ＋＝ ，则当n＝k＋1时， ＋ ＋ ＋… ＋＋ ＝ ＋＝＝＝， 所以，当n＝k＋1时猜想也成立． 根据(1)和(2)，可知猜想对任意n∈N*都成立． 1．“归纳—猜想—证明”的一般环节 2．“归纳—猜想—证明”的主要题型 ①已知数列的递推公式，求通项或前n项和． ②由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在． ③给出一些简单的命题(n＝1,2,3，…)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题． [变式训练] 2．数列{an}满足Sn＝2n－an(Sn为数列{an}的前n项和)，先计算数列的前4项，再猜想an，并证明． 解：由a1＝2－a1，得a1＝1； 由a1＋a2＝2×2－a2，得a2＝ ； 由a1＋a2＋a3＝2×3－a3，得a3＝ ； 由a1＋a2＋a3＋a4＝2×4－a4，得a4＝ . 猜想an＝ . 下面证明猜想正确： (1)当n＝1时，由上面的计算可知猜想成立． (2)假设当n＝k时猜想成立，则有ak＝ ， 当n＝k＋1时，Sk＋ak＋1＝2(k＋1)－ak＋1， 所以ak＋1＝(2(k＋1)－Sk) ＝k＋1－＝ ， 所以，当n＝k＋1时，等式也成立． 由(1)和(2)可知，an＝ 对任意正整数n都成立． 　　　数学归纳法的综合应用 [例3]　已知{an}为等比数列且an＝2n－1，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，用数学归纳法证明对任意的n∈N*，不等式··…·＞成立． [证明]　由已知条件可得bn＝2n(n∈N*)，∴所证不等式为··…·＞. (1)当n＝1时，左边＝，右边＝，左边＞右边，∴不等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立， 即··…·＞， 则当n＝k＋1时，··…··＞·＝ . 要证当n＝k＋1时，不等式成立，只需证≥，即证≥， 由基本不等式，得＝≥成立， ∴ ≥成立，∴当n＝k＋1时，不等式成立． 由(1)(2)可知，对一切n∈N*，原不等式均成立． 用数学归纳法证明不等式问题时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑证明目标，在凑证明目标时，比较法、综合法、分析法都适用． [变式训练] 3．已知正项数列{an}中，对于一切的n∈N*均有a≤an－an＋1成立． (1)证明：数列{an}中的任意一项都小于1； (2)探究an与的大小关系，并证明你的结论． 证明：(1)由a≤an－an＋1，得an＋1≤an－a. ∵在数列{an}中，an＞0，∴an＋1＞0，∴an－a＞0， ∴0＜an＜1， 故数列{an}中的任何一项都小于1. (2)由(1)知，0＜a1＜1＝，那么a2≤a1－a＝－2＋≤＜，由此猜想an＜. 下面用数学归纳法证明：当n≥2，且n∈N*时猜想正确． ①当n＝2时已证； ②假设当n＝k(k≥2，且k∈N*)时，有ak＜成立， 那么≤，ak＋1≤ak－a＝－2＋＜－2＋＝－＝＜＝，∴当n＝k＋1时，猜想正确． 综上所述，对于一切n∈N*，都有an＜. [当堂达标] 1. 用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1成立时，左边计算所得的项是(　　) A．1　　　　　　　 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3 解析：C　[当n＝1时，左边＝1＋a＋a1＋1＝1＋a＋a2，故C正确．] 2．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则(　　) A．f(n)共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋ B．f(n)共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋ C．f(n)共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋ D．f(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋ 解析：D　[结合f(n)中各项的特征可知，分子均为1，分母为n，n＋1，…，n2的连续自然数，共有n2－n＋1个，且f(2)＝＋＋.] 3．用数学归纳法证明：＋＋…＋＞－.假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________． 解析：从不等式结构看，左边n＝k＋1时，最后一项为，前面的分母的底数是连续的整数，右边n＝k＋1时，式子为－，即不等式为＋＋…＋＞－. 答案：＋＋…＋＞－ 4．用数学归纳法证明：当n≥2，n∈N*时，·…· ＝. 证明：(1)当n＝2时，左边＝1－＝，右边＝＝，∴n＝2时等式成立． (2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时等式成立， 即·…· ＝， 那么当n＝k＋1时，·…· ＝·＝＝. ∴当n＝k＋1时，等式也成立． 根据(1)和(2)知，对任意n≥2，n∈N*，等式都成立． 学科网（北京）股份有限公司 $$