4.3.1 第2课时 等比数列的性质及应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步课件PPT（人教A版2019）

第2课时　等比数列的性质及应用 第四章 数列 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 课时 素养提升 03 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 课程标准 素养解读 1.能在具体问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题． 2．掌握等比数列的有关性质，并能解决一些简单问题. 1.在解决等比数列实际问题中达成数学建模和逻辑推理的核心素养． 2．在运用等比数列性质解题过程中提升数学运算的核心素养. [知识梳理] [知识点一]　推广的等比数列的通项公式　 {an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则an＝　a1qn－1　， an＝　am·qn－m　(m，n∈N*)． [知识点二]　“子数列”性质　 对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为 　等比数列　，首项为　ak＋1　，公比为　q　；若取出所有的k的倍数项组成的数列仍为　等比数列　，首项为　ak　，公比为　qk　. 1.如何推导an＝amqn－m? [提示]　由eq \f(an,am)＝eq \f(a1·qn－1,a1·qm－1)＝qn－m，∴an＝am·qn－m. [知识点三]　等比数列项的运算性质　 ①在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝　ap·aq　.特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝aeq \o\al(2,k). ②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的　积　，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…. [知识点四]　两等比数列合成数列的性质　 若数列{an}，{bn}均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列{can}，{aeq \o\al(2,n)}，{an·bn}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))也为　等比数列　. 2.等比数列{an}的前4项为1,2,4,8，下列判断正确的是________． (1){3an}是等比数列； (2){3＋an}是等比数列； (3)eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等比数列； (4){a2n}是等比数列． [提示]　由定义可判断出(1)(3)(4)正确． [预习自测] 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积．(　　) (2)当q＞1时，{an}为递增数列．(　　) (3)当q＝1时，{an}为常数列．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√ 2．等比数列{an}中，若a2a6＋aeq \o\al(2,4)＝π，则a3a5等于(　　) A.eq \f(π,4)　　　　　　 B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,2) D.eq \f(4π,3) 解析：C　[∵a2a6＝aeq \o\al(2,4)＝a3a5，∴a3a5＝eq \f(π,2).] 3．在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思．今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为________． 解析：设衰分比例为q，则甲、乙、丙各分得eq \f(28,q)石，28石，28q石，∴eq \f(28,q)＋28＋28q＝98，∴q＝2或eq \f(1,2). 又0＜q＜1，∴q＝eq \f(1,2). 答案：eq \f(1,2) 等比数列的性质及应用 [例1]　(1)在等比数列{an}中，an＞0，若a3·a5＝4，则a1a2a3a4a5a6a7＝________. (2)在等比数列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比q为整数，则an＝______. [解析]　(1)因为a3a5＝aeq \o\al(2,4)＝4，又an＞0，所以a4＝2，所以a1a2a3a4a5a6a7＝(a1·a7)·(a2·a6)·(a3·a5)·a4＝aeq \o\al(2,4)·aeq \o\al(2,4)·aeq \o\al(2,4)·a4＝aeq \o\al(7,4)＝27＝128. (2)在等比数列{an}中，由a4a7＝－512，得a3a8＝－512，又a3＋a8＝124，解得a3＝－4，a8＝128或a3＝128，a8＝－4，因为公比q为整数，所以q＝eq \r(5,\f(a8,a3))＝－eq \r(5,\f(128,4))＝－2，故an＝－4×(－2)n－3＝－(－2)n－1. [答案]　(1)128　(2)－(－2)n－1 等比数列的运算 (1)根据已知条件，寻找、列出两个方程，确定a1，q，然后求其他； (2)利用性质巧解，其中m＋n＝k＋l＝2s(m、n、k、l、s∈N*)⇔am·an＝ak·al＝aeq \o\al(2,s). [变式训练] 1．等比数列{an}中，若a12＝4，a18＝8，则a36为(　　) A．32　　　　　　 B．64 C．128 D．256 解析：B　[由等比数列的性质可知，a12，a18，a24，a30，a36成等比数列，且eq \f(a18,a12)＝2＝q6，故a36＝a18·q18＝8×23＝64.] 2．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝(　　) A．4eq \r(2) B．6 C．7 D．5eq \r(2) 解析：D　[∵{an}为等比数列，∴a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9也成等比数列，∴(a4a5a6)2＝(a1a2a3)(a7a8a9)＝5×10，又{an}各项均为正数，∴a4a5a6＝5eq \r(2).] 等比数列的应用问题 [例2]　某人买了一辆价值10万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值． (1)用一个式子表示第n(n∈N*)年这辆车的价值； (2)如果他打算用满3年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？ [解]　(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an， 由题意，得a1＝10，a2＝10×(1－10%)， a3＝10×(1－10%)2，…. 由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，首项a1＝10，公比q＝1－10%＝0.9， 所以an＝a1·qn－1＝10×0.9n－1. 所以第n年车的价值为an＝10×0.9n－1万元． (2)当他用满3年时，车的价值为a4＝10×0.94－1＝7.29(万元)． 所以用满3年卖掉时，他大概能得7.29万元． 1．等比数列应用题的两种常见类型 (1)数学应用问题：解答数学应用题的核心是建立数学模型，如有关平均增长率、利率(复利)以及数值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型． (2)增长率问题：需要构建的是等比数列模型，利用等比数列的通项公式解决． 2．解决应用题的步骤是 [变式训练] 3．某制糖厂2024年制糖5万吨，如果从2024年起，平均每年的产量比上一年增加20%，那么到哪一年，该糖厂的年制糖量开始超过30万吨？(保留到个位，lg 6≈0.778，lg 1.2≈0.079) 解：记该糖厂每年制糖产量依次为a1，a2，a3，…，an，…. 则依题意可得a1＝5，eq \f(an,an－1)＝1.2(n≥2且n∈N*)， 从而an＝5×1.2n－1，这里an＝30， 故1.2n－1＝6，即n－1＝log1.26＝eq \f(lg 6,lg 1.2)＝eq \f(0.778,0.079)≈9.85.故n＝11. 即从2035年开始，该糖厂年制糖量开始超过30万吨． 由递推公式转化为等比数列求通项 [例3]　已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋n－4. (1)求a1的值； (2)若bn＝an－1，试证明数列{bn}为等比数列． [思路点拨]　(1)把n＝1代入Sn＝2an＋n－4求得a1；(2)先由Sn＝2an＋n－4，利用Sn和an的关系得{an}的递推关系，然后构造出数列{an－1}利用定义证明． [解]　(1)因为Sn＝2an＋n－4， 所以当n＝1时，S1＝2a1＋1－4，解得a1＝3. (2)证明：因为Sn＝2an＋n－4， 所以当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋(n－1)－4， Sn－Sn－1＝(2an＋n－4)－(2an－1＋n－5)， 即an＝2an－1－1， 所以an－1＝2(an－1－1)， 又bn＝an－1，所以bn＝2bn－1，且b1＝a1－1＝2≠0， 所以数列{bn}是以b1＝2为首项，2为公比的等比数列． [母题变式] 将本例条件“Sn＝2an＋n－4”改为“a1＝1，Sn＋1＝4an＋2”，“bn＝an－1”改为“bn＝an＋1－2an”，试证明数列{bn}是等比数列，并求{bn}的通项公式． [证明]　an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2 ＝4an＋1－4an. eq \f(bn＋1,bn)＝eq \f(an＋2－2an＋1,an＋1－2an)＝eq \f(4an＋1－4an－2an＋1,an＋1－2an)＝eq \f(2an＋1－4an,an＋1－2an)＝2. 所以数列{bn}是公比为2的等比数列，首项为a2－2a1. 因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5，所以b1＝a2－2a1＝3. 所以bn＝3×2n－1. 1．已知数列的前n项和或前n项和与通项的关系求通项，常用an与Sn的关系求解． 2．由递推关系an＋1＝Aan＋B(A，B为常数，且A≠0，A≠1)求an时，由待定系数法设an＋1＋λ＝A(an＋λ)，可得λ＝eq \f(B,A－1)，这样就构造了等比数列{an＋λ}． [变式训练] 4．已知a1＝1，aeq \o\al(2,n＋1)＝2aeq \o\al(2,n)＋anan＋1，试证明数列{an}是等比数列，并求{an}的通项公式． 解：由已知，得aeq \o\al(2,n＋1)－anan＋1－2aeq \o\al(2,n)＝0， 所以(an＋1－2an)(an＋1＋an)＝0. 所以an＋1－2an＝0或an＋1＋an＝0， (1)当an＋1－2an＝0时，eq \f(an＋1,an)＝2. 又a1＝1，所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列． 所以an＝2n－1. (2)当an＋1＋an＝0时，eq \f(an＋1,an)＝－1， 又a1＝1，所以数列{an}是首项为1，公比为－1的等比数列， 所以an＝1×(－1)n－1＝(－1)n－1. 综上：an＝2n－1或an＝(－1)n－1. [当堂达标] 1．(多选)已知数列{an}是等比数列，则下列数列中一定是等比数列的是(　　) A．{|an|} B．{an－an＋1} C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(a1,an))) D．{kan} 解析：AC　[当数列{an}为1,1,1,1，…时，数列{an－an＋1}不是等比数列；当k＝0时，数列{kan}不是等比数列，而{|an|}和eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(a1,an)))一定是等比数列．] 2．在流行病学中，基本传染数R0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数. R0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定，假定某种传染病的基本传染数R0＝3，那么感染人数由1个初始感染者增加到2 000人大约需要的传染轮数为(　　) 注：初始感染者传染R0个人为第一轮传染，这R0个人再传染人为第二轮感染． A．5 B．6 C．7 D．8 解析：B　[设经过第n轮传染，感染人数为an, 经过第一轮感染后，a1＝1＋3＝4，经过第二轮感染后，a2＝4＋4×3＝16，于是可以得知经过传染，每一轮感染总人数构成等比数列，所以经过第n轮传染，感染人数为an＝4n，当an≥2 000时，解得n≥6，因此感染人数由1个初始感染者增加到2 000人大约需要的传染轮数为6轮．] 3．已知等比数列{an}的各项均为正数，且a3＝9，则log3a1＋log3a2＋log3a3＋log3a4＋log3a5＝　________　. 解析：因为等比数列{an}的各项均为正数，且a3＝9，所以log3a1＋log3a2＋log3a3＋log3a4＋log3a5＝log3(a1·a2·a3·a4·a5)＝log3(aeq \o\al(5,3))＝log3(95)＝log3(310)＝10. 答案：10 4．已知数列{an}为等比数列． (1)若a1＋a2＋a3＝21，a1a2a3＝216，求an； (2)若a3a5＝18，a4a8＝72，求公比q. 解：(1)∵a1a2a3＝aeq \o\al(3,2)＝216，∴a2＝6，∴a1a3＝36. 又∵a1＋a3＝21－a2＝15， ∴a1，a3是方程x2－15x＋36＝0的两根3和12. 当a1＝3时，q＝eq \f(a2,a1)＝2，an＝3×2n－1； 当a1＝12时，q＝eq \f(1,2)，an＝12×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1. (2)∵a4a8＝a3q·a5q3＝a3a5q4＝18q4＝72， ∴q4＝4，∴q＝±eq \r(2). $$