4.3.1 第1课时 等比数列的概念-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步课件PPT（人教A版2019）

4．3　等比数列 4．3.1　等比数列的概念 第1课时　等比数列的概念 第四章 数列 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 课时 素养提升 03 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 　 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 课程标准 素养解读 1.通过生活中的实例，理解等比数列的定义和通项公式的意义． 2．体会等比数列与指数函数的关系. 在学习等比数列的定义和通项公式的过程中，提升数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养. [情境引入] 1．两河流域发掘的古巴比伦时期的泥板上记录了下面的数列： 9,92,93，…，910　　　　　① 100,1002,1003，…，10010 ② 5,52,53，…，510 ③ 2．《庄子·天下》中提到：“一尺之锤，日取其半，万世不竭．”如果把“一尺之锤”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，每天得到的“锤”的长度依次是 eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，eq \f(1,8)，eq \f(1,16)，eq \f(1,32)，… ④ 3．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20 min 就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是 2,4,8,16,32,64，… ⑤ 类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？你发现了什么规律？ [知识梳理] [知识点一]　等比数列的概念　 1．等比数列概念 一般地，如果一个数列从第　2　项起，每一项与它的　前　一项的　比　都等于　同一　常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的　公比　，通常用字母q表示(q≠0)． 1.能将定义中的“每一项与前一项的比”理解为“每相邻两项的比”吗？ [提示]　不能 2．等比中项 (1)条件：如果a，G，b成等比数列． (2)结论：那么G叫做a与b的等比中项． (3)满足的关系式是________． 答案：G2＝ab 2.当G2＝ab时，G一定是a，b的等比中项吗？ [提示]　不一定，如数列0,0,5就不是等比数列． [知识点二]　等比数列的通项公式　 1. 等比数列的通项公式 以a1为首项，q为公比的等比数列{an}的通项公式an＝　a1qn－1　. 2．等比数列与指数函数的关系 等比数列的通项公式可整理为an＝eq \f(a1,q)·qn，而y＝eq \f(a1,q)·qx(q≠1)是一个不为0的常数eq \f(a1,q)与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(a1,q)·qn))中的各项的点是函数y＝eq \f(a1,q)·qx的图象上的　孤立　点． 3.除了课本上采用的不完全归纳法，还能用什么方法求数列的通项公式． [提示]　还可以用累乘法． 当n＞2时，eq \f(an,an－1)＝q，eq \f(an－1,an－2)＝q，…，eq \f(a2,a1)＝q， ∴an＝a1·eq \f(a2,a1)·eq \f(a3,a2)·…·eq \f(an－1,an－2)·eq \f(an,an－1)＝a1·qn－1. [预习自测] 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．(　　) (2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．(　　) (3)常数列一定为等比数列．(　　) (4)任何两个数都有等比中项．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．在等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6＝(　　) A．4 B．8 C．16 D．32 解析：C　[由于aeq \o\al(2,4)＝a2·a6，所以a2·a6＝16.] 3．若各项均为正数的等比数列{an}满足a3＝3a1＋2a2，则公比q＝________. 解析：因为a3＝3a1＋2a2，所以a1q2＝3a1＋2a1q.又a1≠0，所以q2－2q－3＝0.又q＞0，解得q＝3. 答案：3 　等比数列的通项公式及应用 [例1]　在等比数列{an}中， (1)已知a1＝4，q＝－2，求a5； (2)已知a2＝10，a5＝80，求an. [解]　(1)由等比数列的通项公式，得a5＝4×(－2)5－1＝64. (2)设等比数列的公比为q，那么eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1q＝10，,a1q4＝80，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(q＝2，,a1＝5.)) 所以an＝a1qn－1＝5×2n－1. 1．等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解． 2．关于a1和q的求法通常有以下两种方法： (1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法． (2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算． [变式训练] 1．等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3，求{an}的通项公式． 解：设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1， 由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)或q＝－2或q＝2， 故an＝(－2)n－1或an＝2n－1. 等比、等差数列的简单综合 [例2]　数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132，求这个数列． [解]　设前三项的公比为q ，后三项的公差为d，则数列的各项依次为eq \f(80,q2)，eq \f(80,q) ,80,80＋d, 80＋2d，于是得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(80,q)＋80＋d＝136，,\f(80,q2)＋80＋2d＝132，))解方程组， 得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(q＝2，,d＝16，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(q＝\f(2,3)，,d＝－64，)) 所以这个数列是20,40,80,96,112，或180,120,80,16，－48. 等比数列中的设项方法与技巧 (1)若三个数成等比数列，可设三个数为a，aq，aq2或eq \f(a,q)，a，aq. (2)若四个数成等比数列，可设为a，aq，aq2，aq3；若四个数均为正(负)数，可设为eq \f(a,q3)，eq \f(a,q)，aq，aq3. [变式训练] 2．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数． 解法1：设这四个数依次为a－d，a，a＋d，eq \f(a＋d2,a)， 于是得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－d＋\f(a＋d2,a)＝16，,a＋a＋d＝12，))解方程组，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝4，,d＝4，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝9，,d＝－6.)) 所以当a＝4，d＝4时，所求的四个数为0,4,8,16； 当a＝9，d＝－6时，所求的四个数为15,9,3,1. 故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 解法2：设这四个数依次为eq \f(2a,q)－a，eq \f(a,q)，a，aq, 于是得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(2a,q)－a＋aq＝16，,\f(a,q)＋a＝12，))解方程组，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝8，,q＝2，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝3，,q＝\f(1,3).)) 所以当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0,4,8,16； 当a＝3，q＝eq \f(1,3)时，所求的四个数为15,9,3,1. 故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 等比数列的判断与证明 [例3]　已知数列的前n项和为Sn＝2n＋a，试判断{an}是否为等比数列． [思路点拨]　①如何由求和公式得通项公式？ ②a1是否适合an＝Sn－Sn－1(n≥2)？需要检验吗？ [解]　an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n－1－a＝2n－1(n≥2)． 当n≥2时，eq \f(an＋1,an)＝eq \f(2n,2n－1)＝2； 当n＝1时，eq \f(an＋1,an)＝eq \f(a2,a1)＝eq \f(2,2＋a). 故当a＝－1时，数列{an}成等比数列，其首项为1，公比为2； 当a≠－1时，数列{an}不是等比数列． [母题变式] 1．(变条件)将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“Sn＝2－an”．求证数列{an}是等比数列． [证明]　∵Sn＝2－an，∴Sn＋1＝2－an＋1， ∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an) ＝an－an＋1， ∴an＋1＝eq \f(1,2)an. 又∵S1＝2－a1，∴a1＝1≠0. 又由an＋1＝eq \f(1,2)an知an≠0， ∴eq \f(an＋1,an)＝eq \f(1,2)，∴{an}是等比数列． 2．(变条件，变结论)将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“a1＝1，an＋1＝2an＋1”证明数列{an＋1}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式． [解]　因为an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)． 由a1＝1，知a1＋1≠0，从而an＋1≠0. 所以eq \f(an＋1＋1,an＋1)＝2(n∈N*)，所以数列{an＋1}是等比数列． 所以{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列， 所以an＋1＝2×2n－1＝2n，即an＝2n－1. 判断一个数列{an}是等比数列的方法 (1)定义法：若数列{an}满足eq \f(an＋1,an)＝q(q为常数且不为零)或eq \f(an,an－1)＝q(n≥2，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列． (2)等比中项法：对于数列{an}，若aeq \o\al(2,n＋1)＝anan＋2且an≠0，则数列{an}是等比数列． (3)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列． [变式训练] 3. 在数列{an}中，若an＞0，且an＋1＝2an＋3(n∈N*)． 证明：数列{an＋3}是等比数列． 证明：方法一　定义法　∵an＞0，∴an＋3＞0. 又∵an＋1＝2an＋3，∴eq \f(an＋1＋3,an＋3)＝eq \f(2an＋3＋3,an＋3)＝eq \f(2an＋3,an＋3)＝2. ∴数列{an＋3}是首项为a1＋3，公比为2的等比数列． 方法二　等比中项法　∵an＞0，∴an＋3＞0. 又∵an＋1＝2an＋3，∴an＋2＝4an＋9. ∴(an＋2＋3)(an＋3)＝(4an＋12)(an＋3)＝(2an＋6)2＝(an＋1＋3)2.即an＋3，an＋1＋3，an＋2＋3成等比数列， ∴数列{an＋3}是等比数列． [当堂达标] 1．(多选)下列说法错误的是(　　) A．等比数列中的某一项可以为0 B．等比数列中公比的取值范围是(－∞，＋∞) C．若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1 D．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列 解析：ABD　[根据等比数列的定义可知，AB显然是错误的；对D，当b＝a＝0，c≠0时，虽有b2＝ac，但a，b，c不成等比数列；对C，根据等比数列的定义可知正确．] 2．已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则实数a的取值范围是(　　) A．a≠1　　　　 B．a≠0且a≠1 C．a≠0 D．a≠0或a≠1 解析：B　[由a1≠0，q≠0，得a≠0,1－a≠0，所以a≠0且a≠1.] 3．已知a是1,2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab＝________. 解析：由题意，知a＝eq \f(1＋2,2)＝eq \f(3,2)，即b2＝(－1)×(－16)，b＝±4，∴ab＝±6. 答案：±6 4．已知数列{an}是首项为2，公差为－1的等差数列，令bn＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))an，求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式． 解：依题意，得an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n， 于是bn＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3－n. 而eq \f(bn,bn－1)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3－n,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4－n)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1＝2. 又b1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3－1＝eq \f(1,4)， ∴数列{bn}是首项为eq \f(1,4)，公比为2的等比数列，通项公式为bn＝2n－3. $$