第一章空间向量与立体几何章末综合测试-2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何章末综合测试卷 （2025-2026学年第一学期高二数学选择性必修第一册第一章（2019）人教A版） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）． 1．已知向量，且，则（   ） A．5 B．11 C．-5 D．-11 2．已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 3．在三棱锥中，是平面内一点，且，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 4．在平行六面体中，点为棱的中点，点为棱上靠近的三等分点． 若，则的值为（       ） A． B． C． D． 5．已知直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（   ） A． B． C．l与α相交但不垂直 D．或 6．在棱长为4的正方体中，分别为棱的中点，点在棱上，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 7．已知空间中三点，，，则（   ） A．与是共线向量 B．的单位向量是 C．平面ABC的一个法向量是 D．与夹角的余弦值是 8．如图，在正方体中，点P在线段上运动（包含端点），则直线与所成角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在毎小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．已知向量，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．下列结论正确的是（    ） A．已知向量，则向量在上的投影向量为 B．若对空间中任意一点，有，则四点共面 C．若是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D．若直线的方向向量为，平面的法向量，则直线 11．在三棱锥中，，则（    ） A． B．向量与夹角的余弦值为 C．向量是平面的一个法向量 D．与平面所成角的正弦值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题 5 分，共15分．） 12．已知直线，的方向向量分别是，，若，则 ． 13．已知平面的法向量为，直线在平面外，且方向向量，则直线与平面的位置关系为 . 14．已知平行六面体 ，底面是正方形， ， ，则的长度为 . 四、解答题（本大题共5小题， 共 77 分， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15（13分）．设． (1)若，求k； (2)若，求k． 16（15分）．如图所示，平行六面体中，． (1)求； (2)求． 17（15分）．如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且．（请用空间向量法予以证明） (1)求证：平面PBC； (2)求证：平面BDE． 18（17分）．如图，在四棱锥中，平面，，，，点E为的中点． (1)证明：平面； (2)求点B到平面的距离． 19（17分）．如图，在四棱锥中，平面，.    (1)设点M为AB上任意一点，求证：； (2)求直线PB和平面PCD所成角的正弦值; (3)求二面角的余弦值． 第一章 空间向量与立体几何章末综合测试卷（暑期预习检测） （2025-2026学年第一学期高二数学选择性必修第一册第一章（2019）人教A版） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）． 1．已知向量，且，则（   ） A．5 B．11 C．-5 D．-11 答案：C 分析：根据两个向量垂直其数量积为及向量数量积的坐标运算即可得解. 解析：因为，且， 所以，得. 故选：C. 2．已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 答案：C 分析：由投影向量的定义可求得结果. 解析：向量在坐标平面上的投影向量是. 故选：C. 3．在三棱锥中，是平面内一点，且，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 答案：A 分析：根据空间中四点共面的判定方法，列出方程，求出参数值即可； 解析：已知， 因为四点共面，所以，解得. 故选：A. 4．在平行六面体中，点为棱的中点，点为棱上靠近的三等分点．若，则的值为（       ） A． B． C． D． 答案：B 分析：选一组基底，利用空间向量基本定理即可求解. 解析：由题意有，所以 ， 所以，所以， 故选：B. 5．已知直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（   ） A． B． C．l与α相交但不垂直 D．或 答案：A 分析：由和的位置关系即可判断. 解析：，，所以，所以， 故选：A 6．在棱长为4的正方体中，分别为棱的中点，点在棱上，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 答案：C 分析：建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量和，再利用点到平面距离的向量法，可求出结果. 解析：如图，建立空间直角坐标系，因为正方体的棱长为4， 则， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 由，得到，取，得到，所以， 所以点到平面的距离为， 故选：C. 7．已知空间中三点，，，则（   ） A．与是共线向量 B．的单位向量是 C．平面ABC的一个法向量是 D．与夹角的余弦值是 答案：C 分析：A选项，求出，设，无解，A错误；B选项，利用进行求解；C选项，计算出，得到垂直关系，进而得到C正确；D选项，求出，利用夹角余弦公式得到D错误. 解析：A选项，，设， 则，无解，故与不是共线向量，A错误； B选项，的单位向量为，B错误； C选项，由于， ， 与均垂直，又由A知，与不共线， 故平面ABC的一个法向量是，C正确； D选项，，设与夹角为，则，D错误. 故选：C 8．如图，在正方体中，点P在线段上运动（包含端点），则直线与所成角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 答案：B 分析：要求直线所成角，转化为方向向量所成角，建立如图所示空间直角坐标系，所以（），又，设则直线与所成角为，则，结合的范围即可得解. 解析： 以为建立如图所示空间直角坐标系， 设正方体的棱长为，则，，，， 所以（） ，， 则设直线与所成角为， 则， 由，所以， ，所以， 故选：B 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在毎小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．已知向量，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 答案：BD 分析：根据空间向量数量积的坐标公式计算即可. 解析：因为向量，，， 所以，解得或. 故选：BD. 10．下列结论正确的是（    ） A．已知向量，则向量在上的投影向量为 B．若对空间中任意一点，有，则四点共面 C．若是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D．若直线的方向向量为，平面的法向量，则直线 答案：BC 分析：应用投影向量定义计算求解判断A，应用系数间关系判断四点共面判断B，应用基底的定义判断C，根据空间向量证明线面关系判断D. 解析：对于A，向量在上的投影向量，故A不正确； 对于B，，则四点共面，故B正确； 对于C，是空间的一组基底，不共面，而，则也不共面，也是空间的一组基底，故C正确； 对于D，，因而或在平面内，故D不正确. 故选：BC. 11．在三棱锥中，，则（    ） A． B．向量与夹角的余弦值为 C．向量是平面的一个法向量 D．与平面所成角的正弦值为 答案：ACD 分析：由空间两点间的距离公式判断A ；利用数量积求夹角判断 B ；由数量积为0 判断 C ；求出平面的一个法向量，再由向量求夹角判断D． 解析： ， ，故 A 正确； ， ， ，故 B 错误； ，, ， 是平面的一个法向量，故 C 正确； 与平面 所成角的正弦值为： ，故 D 正确． 故选：ACD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题 5 分，共15分．） 12．已知直线，的方向向量分别是，，若，则 ． 答案：18 分析：由题意可得出，所以，求出，即可得出答案. 解析：因为，所以， 所以，解得：，所以. 故答案为：. 13．已知平面的法向量为，直线在平面外，且方向向量，则直线与平面的位置关系为 . 答案：平行 分析：应用空间向量数量积的坐标运算得，结合已知即可得位置关系. 解析：由题设，又直线在平面外， 所以直线与平面的位置关系为平行. 故答案为：平行 14．已知平行六面体 ，底面是正方形， ， ，则 的长度为 . 答案： 分析：利用向量线性运算，结合几何体特征确定与的线性关系，结合空间向量数量积的运算律及已知条件求的长度. 解析：设， 则， ， ， 所以 . 所以. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题， 共 77 分， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15（13分）．设． (1)若，求k； (2)若，求k． 分析：（1）由空间向量线性运算的坐标表示求得，再由向量共线的坐标表示求参数； （2）根据向量垂直的坐标表示列方程求参数. 解析：（1）由题设， 若，则，可得； （2）若，则，所以. 16（15分）．如图所示，平行六面体中，． (1)求； (2)求． 分析：（1）由两边平方后可得. （2）由（1）得，根据数量积的运算律可得，然后由向量夹角公式求解即可. 解析：（1），又 则 ， 所以． （2）由空间向量的运算法则，可得，- 因为且， 所以 ， - ，- 则． 17（15分）．如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且．（请用空间向量法予以证明） (1)求证：平面PBC； (2)求证：平面BDE． 分析：（1）以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，证明，，原题即得证； （2）设平面BDE的法向量为，证明即得证. 解析：（1）证明：如图，以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 因为，所以，所以， 所以，， 所以， ，即，， 又因为，平面PBC． 所以平面PBC． （2）证明：由（1）可得，，． 设平面BDE的法向量为， 则，即令，得，， 则是平面BDE的一个法向量， 因为，所以， 因为平面BDE，所以平面BDE． 18（17分）．如图，在四棱锥中，平面，，，，点E为的中点． (1)证明：平面； (2)求点B到平面的距离． 分析：（1）法一：取的中点为，连接，，利用中位线性质及梯形性质得四边形为平行四边形，故，然后利用线面平行的判定定理证明即可. 法二：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，，利用数量积的坐标运算得，即可证明． （2）利用点面距的向量公式直接求解即可． 解析：（1）法一：取的中点为，连接，， 则，， 而，，故，， 故四边形为平行四边形，故， 而平面，平面，所以平面． 法二：因为平面，，故建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 从而平面的法向量为，， 因为，所以， 而平面，所以平面． （2）由，平面的法向量为，则， 即点到平面的距离为. 19（17分）．如图，在四棱锥中，平面，.    (1)设点M为AB上任意一点，求证：； (2)求直线PB和平面PCD所成角的正弦值; (3)求二面角的余弦值． 分析：（1）由线面垂直的判定定理和性质定理可得平面，即可证明； （2）求直线PB的方向向量和平面PCD的法向量，利用向量夹角公式求结论； （3）求平面的法向量，利用向量夹角公式求结论； 解析：（1）因为平面平面所以， 又因为，平面， 所以平面，点M为AB上任意一点， 则平面，所以.    （2）因为平面，所以以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，    因为， 所以， 因为， 设平面PCD的法向量为，则， 取，可得，所以， 设直线PB和平面PCD所成角的大小为， 所以， 直线PB和平面PCD所成角的正弦值. （3）平面APD的法向量为, 设二面角的平面角大小为，所以， 因为二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$