17.2 一元二次方程的解法 暑假巩固 2024—2025学年沪科版数学八年级下册

沪科版八年级下册 17.2 一元二次方程的解法 暑假巩固 一、形如为x²=p(p≥0)型方程的解法 1.方程x2＝1的根是（　　） A.1 B.﹣1 C.±1 D.2 2.方程3x2+9＝0的根为（　　） A.3 B.﹣3 C.±3 D.无实数根 3.方程x2+16＝0的根是（　　） A.x＝﹣4 B.x1＝4，x2＝﹣4 C.x1＝x2＝4 D.无实数根 4.方程x2＝2的根是　　． 5.方程x2＝7的解是 　　． 6.用适当方法解方程：2x2＝16． 7.解关于x的方程ax2＝2x2+4． 二、形如(mx＋n)²=p型方程的解法 1.一元二次方程（x+1）2＝16用直接开平方法可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+1＝4，则另一个一元一次方程是（　　） A.x﹣1＝﹣4 B.x﹣1＝4 C.x+1＝﹣4 D.x+1＝4 2.方程（x+6）2﹣9＝0的两个根是（　　） A.x1＝3，x2＝9 B.x1＝﹣3，x2＝9 C.x1＝3，x2＝﹣9 D.x1＝﹣3，x2＝﹣9 3.一元二次方程（x+2024）2＝﹣1根的情况是（　　） A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 4.方程48﹣3（x﹣2）2＝0的解为 　　． 5.方程（x+2）2＝8，则方程的根为 　　． 6.解方程：（x﹣3）2﹣4＝0． 7.解方程：3（x﹣1）2﹣12＝0 三、用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程 1.一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0的解是（　　） A.， B.， C.， D.， 2.老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（　　） A.只有甲 B.甲和丙 C.乙和丙 D.丙和丁 3.如图是嘉淇用配方法解一元二次方程的具体过程，老师说这个解法出现了错误，则开始出现错误的步骤是（　　） A.② B.③ C.④ D.⑤ 4.下面是用配方法解关于x的一元二次方程3x2+x﹣2＝0的具体过程，3x2+2x﹣1＝0． 解：第一步：x2x0 第二步：x2x 第三步：x2x+（）2（）2 第四步：（x）2∴x±∴x1，x2＝﹣1 以下四条语句与上面四步对应：“①移项：方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；②求解：用直接开方法解一元二次方程；③配方：根据完全平方公式，在方程的两边各加上一次项系数一半的平方；④二次项系数化1，方程两边都除以二次项系数”，则第一步，第二步，第三步，第四步应对应的语句分别是 　　． 5.若方程x2﹣4096576＝0的两根为x1＝2024，x2＝﹣2024，则方程x2﹣2x﹣4096575＝0的两根为 　　． 6.解方程：x2﹣4x+1＝0． 7.解方程：x2﹣2x﹣7＝0． 四、利用配方解决最值问题 1.对于多项式，由于，所以有最小值3．已知关于x的多项式的最大值为10，则m的值为（　　） A.1 B. C. D. 2.若p＝x2+y2+2x﹣4y+2028，p的最小值是（　　） A.2028 B.2023 C.2022 D.2020 3.关于x的一元二次方程新定义：若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式取的最大值是（   ） A.2020 B.2021 C.2022 D.2023 4.若x、y均为实数，则代数式x2+y2+4x﹣6y+14的最小值是 　　． 5.代数式﹣x2+10x﹣8的最大值为 　　． 6.对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+α）2的形式．但对于二次三项式x2+2ax﹣8a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣8a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：x2+2ax﹣8a2＝（x2+2ax+a2）﹣a2﹣8a2＝（x+a）2﹣（3a）2＝（x+4a）（x﹣2a）．像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用以上“配方法”解决： （1）分解因式：a2﹣6a﹣16； （2）当a为何值时，二次三项式a2+4a+5有最小值？ 7.阅读下列材料：配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值， 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． 解：∵， ∵， ∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)若，则 ；  (2)求代数式的最值； (3)若代数式的最大值为8，求k的值． 五、利用配方构成非负数求值 1.不论x、y为何值，用配方法可说明代数式x2+4y2+6x﹣4y+11的值（　　） A.总不小于1 B.总不小于11 C.可为任何实数 D.可能为负数 2.已知x2﹣4xy+8y2+16y+16＝0，则x2y﹣xy2的值为（　　） A.16 B.﹣16 C.16或﹣16 D.18 3.若a，b，c为△ABC的三边长且a2+b2﹣12a﹣12b+72＝0，则△ABC的形状为（　　）三角形． A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 4.若a，b，c是△ABC的三边，且满足a2+b2+c2﹣6a﹣8b﹣10c+50＝0，则△ABC的周长为 　　． 5.已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣10b+27＝0，则△ABC的周长为 　　． 6.先阅读下面的内容，再解决问题， 已知m2+2m+n2﹣6n+10＝0，求m，n的值． 解：等式可变形为（m2+2m+1）+（n2﹣6n+9）＝0，即（m+1）2+（n﹣3）2＝0， 因为（m+1）2≥0，（n﹣3）2≥0，所以m+1＝0，n﹣3＝0，所以m＝﹣1，n＝3． 像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”． 请你利用配方法，解决下列问题： （1）已知a，b分别是长方形ABCD的长、宽，且满足a2+b2﹣8a﹣6b+25＝0，则长方形ABCD的面积为 　　． （2）求代数式a2﹣10a+30的最小值，并求出此时a的值． （3）请比较多项式2x2+x﹣3与x2+3x﹣7的大小，并说明理由． 7.利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①x2+4x+2＝（x2+4x+4）﹣2＝（x+2）2﹣2， ∵（x+2）2≥0，∴x2+4x+2＝（x+2）2﹣2≥﹣2．因此．代数式x2+4x+2有最小值﹣2； ②﹣x2+2x+3＝﹣（x2﹣2x+1）+4＝﹣（x﹣1）2+4． ∵﹣（x﹣1）2≤0，∴﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4≤4．因此，代数式﹣x2+2x+3有最大值4： 阅读上述材料并完成下列问题： （1）代数式x2﹣4x+2的最小值为 　　；代数式﹣a2﹣4a+2的最大值为 　　． （2）求代数式a2+b2+6b﹣10a+11的最小值； （3）已知△ABC的三条边的长度分别为a、b、c，且满足a2+b2+65＝8a+14b，且c为正整数，求△ABC的周长的最大值． 六、利用公式法解简单的一元二次方程 1.利用公式解可得一元二次方程式2x2﹣4x﹣1＝0的两解为a、b，且a＞b，则a的值为（　　） A. B. C. D. 2.用公式法解方程2x2+5x﹣1＝0，所得解正确的是（　　） A. B. C. D. 3.在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（　　） A.2x2﹣3x﹣1＝0 B.2x2+4x﹣1＝0 C.﹣x2﹣3x+2＝0 D.3x2﹣2x+1＝0 4.下面是小明同学解方程x2﹣5x＝﹣4的过程： ∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣4（第一步）， ∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣4）＝41（第二步）． ∴x，（第三步）． ∴x1，x2（第四步）． 小明是从第 　　步开始出错． 5.方程x2+3x+1＝0的解是：x1＝　　，x2＝　　． 6.利用公式法解方程：x2﹣x﹣3＝0． 7.解方程：x2﹣3x﹣4＝0（用公式法解）． 七、用因式分解法中的提公因式法解一元二次方程 1.一元二次方程x（x﹣1）＝2（x﹣1）的解完全正确的是（　　） A.x＝2 B.x1＝2，x2＝1 C.x1＝﹣2，x2＝1 D.x1＝3，x2＝﹣1 2.方程（x+2）（x﹣3）＝0的解是（　　） A.x＝2 B.x＝﹣3 C.x1＝﹣2，x2＝3 D.x1＝2，x2＝﹣3 3.解方程（x﹣2）2＝3（x﹣2）的适当方法是（　　） A.直接开平方法 B.配方法 C.公式法 D.因式分解法 4.方程x（2x﹣1）＝2x﹣1的解为 　　． 5.如图，图中展示了某位同学解方程的步骤，他是在第 　　步开始出错．（填序号） 6.解下列方程： （1）x（2x﹣5）＝4x﹣10； （2）x2+5x+7＝3x+10． 7.解一元二次方程： (1) (2) 八、用因式分解法解x²＋px＋q=0型的一元二次方程 1.下列各数中，是方程x2﹣3x﹣4＝0的根的是（　　） A.2 B.1 C.﹣1 D.﹣4 2.已知三角形的两边长为2和5，第三边满足方程x2﹣7x+12＝0，则三角形的周长为（　　） A.10 B.11 C.10或11 D.以上都不对 3.一元二次方程x2﹣6x+5＝0的解为（　　） A.x1＝1，x2＝5 B.x1＝2，x2＝3 C.x1＝﹣1，x2＝﹣5 D.x1＝﹣2，x2＝﹣3 4.一元二次方程x2﹣8x﹣9＝0的解是 　　． 5.方程x2﹣17x＝﹣72的解为 　　． 6.解方程：x2+4x﹣5＝0． 7.解方程：x2﹣7x﹣8＝0． 九、换元法解一元二次方程 1.关于x的方程的解是，（a，b，m均为常数，a≠0），则方程的解是（    ） A.x1＝2，x2＝-1 B.x1＝4，x2＝1 C.x1＝0，x2＝-3 D.x1＝1，x2＝-2 2.若（a2+b2+1）（a2+b2﹣1）＝15，则a2+b2＝（　　） A.4 B.5 C.±4 D.±5 3.若实数m、n满足（m2+3n2）2﹣4（m2+3n2）﹣12＝0，则m2+3n2的值为（　　） A.2 B.6 C.6或﹣2 D.6或2 4.已知（x2+y2）（x2+y2﹣5）=6，则x2+y2=     ． 5.已知，则的值等于           ． 6.阅读材料：为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，原方程化为y2﹣5y+4＝0． 解得y1＝1，y2＝4 当y＝1时，x2﹣1＝1．∴x2＝2．∴x＝±； 当y＝4时，x2﹣1＝4，∴x2＝5，∴x＝±． ∴原方程的解为x1，x2，x3，x4． 请利用以上知识解决下列问题： 如果（a2+b2﹣1）（a2+b2+3）＝5，求a2+b2的值． 7.[例]解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0． 解：设x﹣1＝y， 则原方程可化为y2﹣5y+4＝0． 解得y1＝1，y2＝4． 当y＝1时，即x﹣1＝1，解得x＝2； 当y＝4时，即x﹣1＝4，解得x＝5． 所以原方程的解为x1＝2，x2＝5． 上述解法称为“整体换元法”． 请运用“整体换元法”解方程：（2x﹣5）2﹣2（2x﹣5）﹣3＝0． 沪科版八年级下册 17.2 一元二次方程的解法 暑假巩固（参考答案） 一、形如为x²=p(p≥0)型方程的解法 1.方程x2＝1的根是（　　） A.1 B.﹣1 C.±1 D.2 【答案】C 【解析】x2＝1， x＝±1， 所以x1＝1，x2＝﹣1． 故选：C． 2.方程3x2+9＝0的根为（　　） A.3 B.﹣3 C.±3 D.无实数根 【答案】D 【解析】∵3x2+9＝0 ∴x2+3＝0 ∴x2＝﹣3 ∵x2≥0 ∴原方程无实数根． 故选D． 3.方程x2+16＝0的根是（　　） A.x＝﹣4 B.x1＝4，x2＝﹣4 C.x1＝x2＝4 D.无实数根 【答案】D 【解析】∵x2+16＝0， ∴x2＝﹣16， 由偶次方的非负性可知，原方程无实数根， 故选：D． 4.方程x2＝2的根是　　． 【答案】± 【解析】x2＝2 解得：x＝±． 故答案为：±． 5.方程x2＝7的解是 　　． 【答案】x1，x2． 【解析】x2＝7， 直接开平方得：x1，x2， 故答案为：x1，x2． 6.用适当方法解方程：2x2＝16． 【答案】解：2x2＝16， x2＝8， ∴，． 7.解关于x的方程ax2＝2x2+4． 【答案】解：∵ax2＝2x2+4， ∴（a﹣2）x2＝4． 分类讨论：①当a≤2时，则a﹣2≤0， ∵x2≥0， ∴（a﹣2）x2≤0， 则（a﹣2）x2＝4不成立，即此时无解； ②当a＞2时，则， ∴，． 综上可知：当a≤2时，无解；当a＞2时，，． 二、形如(mx＋n)²=p型方程的解法 1.一元二次方程（x+1）2＝16用直接开平方法可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+1＝4，则另一个一元一次方程是（　　） A.x﹣1＝﹣4 B.x﹣1＝4 C.x+1＝﹣4 D.x+1＝4 【答案】C 【解析】∵（x+1）2＝16， ∴x+1＝±4， ∴x+1＝4或x+1＝﹣4， 故选：C． 2.方程（x+6）2﹣9＝0的两个根是（　　） A.x1＝3，x2＝9 B.x1＝﹣3，x2＝9 C.x1＝3，x2＝﹣9 D.x1＝﹣3，x2＝﹣9 【答案】D 【解析】∵（x+6）2﹣9＝0， ∴（x+6）2＝9， 则x+6＝±3， ∴x1＝﹣3，x2＝﹣9， 故选：D． 3.一元二次方程（x+2024）2＝﹣1根的情况是（　　） A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 【答案】D 【解析】因为（x+2024）2＝﹣1，且﹣1没有平方根， 所以一元二次方程（x+2024）2＝﹣1没有实数根． 故选：D． 4.方程48﹣3（x﹣2）2＝0的解为 　　． 【答案】x1＝6，x2＝﹣2． 【解析】∵48﹣3（x﹣2）2＝0， ∴（x﹣2）2＝16， ∴x﹣2＝±4， ∴x1＝6，x2＝﹣2． 故答案为：x1＝6，x2＝﹣2． 5.方程（x+2）2＝8，则方程的根为 　　． 【答案】x＝22或x＝﹣22 【解析】（x+2）2＝8， x+2＝2或x+2＝﹣2， x＝22或x＝﹣22， 故答案为：x＝22或x＝﹣22． 6.解方程：（x﹣3）2﹣4＝0． 【答案】解：（x﹣3）2﹣4＝0， 移项得，（x﹣3）2＝4， 开方得，x﹣3＝±2， 故x1＝5，x2＝1． 7.解方程：3（x﹣1）2﹣12＝0 【答案】解：∵3（x﹣1）2﹣12＝0 ∴3（x﹣1）2＝12， 则（x﹣1）2＝4， ∴x﹣1＝±2， 解得x1＝3，x2＝﹣1． 三、用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程 1.一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0的解是（　　） A.， B.， C.， D.， 【答案】A 【解析】∵x2﹣4x﹣8＝0， ∴x2﹣4x＝8， ∴x2﹣4x+4＝12， ∴（x﹣2）2＝12， ∴，x﹣2＝±2 解得：x＝±22， 故选：A． 2.老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（　　） A.只有甲 B.甲和丙 C.乙和丙 D.丙和丁 【答案】B 【解析】由题意知，甲中x2+8x+16＝9+16， 丙中x+4＝±3， ∴甲和丙出现了错误， 故选：B． 3.如图是嘉淇用配方法解一元二次方程的具体过程，老师说这个解法出现了错误，则开始出现错误的步骤是（　　） A.② B.③ C.④ D.⑤ 【答案】A 【解析】x2﹣4x＝1， 方程两边加4得到x2﹣4x+4＝4+1， 所以第②步出现错误． 故选：A． 4.下面是用配方法解关于x的一元二次方程3x2+x﹣2＝0的具体过程，3x2+2x﹣1＝0． 解：第一步：x2x0 第二步：x2x 第三步：x2x+（）2（）2 第四步：（x）2∴x±∴x1，x2＝﹣1 以下四条语句与上面四步对应：“①移项：方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；②求解：用直接开方法解一元二次方程；③配方：根据完全平方公式，在方程的两边各加上一次项系数一半的平方；④二次项系数化1，方程两边都除以二次项系数”，则第一步，第二步，第三步，第四步应对应的语句分别是 　　． 【答案】④①③②． 【解析】3x2+2x﹣1＝0， 把二次项系数化1得：x2x0， 移项得：x2x， 配方得：x2x+（）2（）2，即（x）2， 开方得：x±， 解得：x1，x2＝﹣1， 故第一步，第二步，第三步，第四步应对应的语句分别是④①③②， 故答案为：④①③②． 5.若方程x2﹣4096576＝0的两根为x1＝2024，x2＝﹣2024，则方程x2﹣2x﹣4096575＝0的两根为 　　． 【答案】x1＝2025，x2＝﹣2023． 【解析】x2﹣2x﹣4096575＝0， 则x2﹣2x＝4096575， ∴x2﹣2x+1＝4096575+1， ∴（x﹣1）2＝4096576， ∴x﹣1＝±2024， ∴x1＝2025，x2＝﹣2023， 故答案为：x1＝2025，x2＝﹣2023． 6.解方程：x2﹣4x+1＝0． 【答案】解：x2﹣4x+1＝0 x2﹣4x+4＝3 （x﹣2）2＝3 x﹣2 ∴x1＝2，x2＝2； 7.解方程：x2﹣2x﹣7＝0． 【答案】解：x2﹣2x＝7， x2﹣2x+1＝8 （x﹣1）2＝8， x﹣1＝±2， 所以x1＝1+2，x2＝1﹣2． 四、利用配方解决最值问题 1.对于多项式，由于，所以有最小值3．已知关于x的多项式的最大值为10，则m的值为（　　） A.1 B. C. D. 【答案】B 【解析】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为， ∴， ∴ 故选：B． 2.若p＝x2+y2+2x﹣4y+2028，p的最小值是（　　） A.2028 B.2023 C.2022 D.2020 【答案】B 【解析】由题意得，p＝x2+y2+2x﹣4y+2028 ＝x2+2x+1+y2﹣4y+4+2023 ＝（x+1）2+（y﹣2）2+2023． 又对于任意的x，y都有（x+1）2≥0，（y﹣2）2≥0， ∴（x+1）2+（y﹣2）2+2023≥2023． ∴p≥2023． ∴p的最小值是2023． 故选：B． 3.关于x的一元二次方程新定义：若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式取的最大值是（   ） A.2020 B.2021 C.2022 D.2023 【答案】A 【解析】解：与是“同族二次方程”， ， ，解得：， ， 代数式取的最大值是， 故选：A． 4.若x、y均为实数，则代数式x2+y2+4x﹣6y+14的最小值是 　　． 【答案】1． 【解析】x2+y2+4x﹣6y+14 ＝（x2+4x+4）﹣4+（y2﹣6y+9）﹣9+14 ＝（x+2）2﹣4+（y﹣3）2﹣9+14 ＝（x+2）2+（y﹣3）2+1 当x＝﹣2，y＝3时，方程有最小值1． 故答案为：1． 5.代数式﹣x2+10x﹣8的最大值为 　　． 【答案】17． 【解析】﹣x2+10x﹣8 ＝﹣x2+10x﹣25+25﹣8 ＝﹣（x2﹣10x+25）+17 ＝﹣（x﹣5）2+17， ∵（x﹣5）2≥0， ∴﹣（x﹣5）2≤0， ∴代数式﹣x2+10x﹣8的最大值为17． 故答案为：17． 6.对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+α）2的形式．但对于二次三项式x2+2ax﹣8a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣8a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：x2+2ax﹣8a2＝（x2+2ax+a2）﹣a2﹣8a2＝（x+a）2﹣（3a）2＝（x+4a）（x﹣2a）．像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用以上“配方法”解决： （1）分解因式：a2﹣6a﹣16； （2）当a为何值时，二次三项式a2+4a+5有最小值？ 【答案】解：（1）原式＝a2﹣6a+9﹣25＝（a﹣3）2﹣25＝（a+2）（a﹣8）； （2）原式＝a2+4a+4+1＝（a+2）2+1≥1， 当a+2＝0，即a＝﹣2时，原式有最小值． 7.阅读下列材料：配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值， 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． 解：∵， ∵， ∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)若，则 ；  (2)求代数式的最值； (3)若代数式的最大值为8，求k的值． 【答案】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：2，1 （2）解：∵， ∵， ∴当时，有最小值，无最大值； （3）解：∵， 即：， ∵， ∴，即代数式有最大值， ∵代数式的最大值为8， ∴当时，即，解得：． 五、利用配方构成非负数求值 1.不论x、y为何值，用配方法可说明代数式x2+4y2+6x﹣4y+11的值（　　） A.总不小于1 B.总不小于11 C.可为任何实数 D.可能为负数 【答案】A 【解析】解：∵x2+4y2+6x-4y+11=（x+3）2+（2y-1）2+1， 又∵（x+3）2≥0，（2y-1）2≥0， ∴x2+4y2+6x-4y+11≥1， 故选A． 2.已知x2﹣4xy+8y2+16y+16＝0，则x2y﹣xy2的值为（　　） A.16 B.﹣16 C.16或﹣16 D.18 【答案】B 【解析】x2﹣4xy+8y2+16y+16＝0， x2﹣4xy+4y2+4y2+16y+16＝0， （x﹣2y）2+（2y+4）2＝0， ∴x﹣2y＝0，2y+4＝0， 解得：x＝﹣4，y＝﹣2， ∴x2y﹣xy2＝（﹣4）2×（﹣2）﹣（﹣4）×（﹣2）2＝﹣32+16＝﹣16， 故选：B． 3.若a，b，c为△ABC的三边长且a2+b2﹣12a﹣12b+72＝0，则△ABC的形状为（　　）三角形． A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 【答案】B 【解析】∵a2+b2﹣12a﹣12b+72＝0， ∴（a2﹣12a+36）+（b2﹣12b+36）＝0， 即（a﹣6）2+（b﹣6）2＝0， ∴a＝b＝6， ∴△ABC是等腰三角形， 故选：B． 4.若a，b，c是△ABC的三边，且满足a2+b2+c2﹣6a﹣8b﹣10c+50＝0，则△ABC的周长为 　　． 【答案】12． 【解析】原式＝（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0， ∴a＝3，b＝4，c＝5， ∴a+b+c＝3+4+5＝12， 故答案为：12． 5.已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣10b+27＝0，则△ABC的周长为 　　． 【答案】11． 【解析】由题意，∵2a2+b2﹣4a﹣10b+27＝0， ∴2a2﹣4a+2+b2﹣10b+25＝0． ∴2（a﹣1）2+（b﹣5）2＝0． ∴a﹣1＝0，b﹣5＝0． ∴a＝1，b＝5． 由三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， ∴5﹣1＜c＜5+1． ∴4＜c＜6． 又∵c是正整数， ∴c＝5． ∴△ABC的周长为：1+5+5＝11． 故答案为：11． 6.先阅读下面的内容，再解决问题， 已知m2+2m+n2﹣6n+10＝0，求m，n的值． 解：等式可变形为（m2+2m+1）+（n2﹣6n+9）＝0，即（m+1）2+（n﹣3）2＝0， 因为（m+1）2≥0，（n﹣3）2≥0，所以m+1＝0，n﹣3＝0，所以m＝﹣1，n＝3． 像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”． 请你利用配方法，解决下列问题： （1）已知a，b分别是长方形ABCD的长、宽，且满足a2+b2﹣8a﹣6b+25＝0，则长方形ABCD的面积为 　　． （2）求代数式a2﹣10a+30的最小值，并求出此时a的值． （3）请比较多项式2x2+x﹣3与x2+3x﹣7的大小，并说明理由． 【答案】解：（1）∵a2+b2﹣8a﹣6b+25＝0， ∴（a2﹣8a+16）+（b2﹣6b+9）＝0，即（a﹣4）2+（b﹣3）2＝0． ∵（a﹣4）2≥0，（b﹣3）2≥0， ∴a﹣4＝0，b﹣3＝0， 解得：a＝4，b＝3， ∴长方形ABCD的面积为4×3＝12． 故答案为：12； （2）a2﹣10a+30 ＝a2﹣10a+25+5 ＝（a﹣5）2+5． ∵（a﹣5）2≥0， ∴（a﹣5）2+5≥5， ∴代数式a2﹣10a+30的最小值为5，此时a﹣5＝0，即a＝5； （3）（2x2+x﹣3）﹣（x2+3x﹣7） ＝2x2+x﹣3﹣x2﹣3x+7 ＝x2﹣2x+1+3 ＝（x﹣1）2+3． ∵（x﹣1）2≥0， ∴（x﹣1）2+3＞0， ∴（2x2+x﹣3）﹣（x2+3x﹣7）＞0， ∴2x2+x﹣3＞x2+3x﹣7． 7.利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①x2+4x+2＝（x2+4x+4）﹣2＝（x+2）2﹣2， ∵（x+2）2≥0，∴x2+4x+2＝（x+2）2﹣2≥﹣2．因此．代数式x2+4x+2有最小值﹣2； ②﹣x2+2x+3＝﹣（x2﹣2x+1）+4＝﹣（x﹣1）2+4． ∵﹣（x﹣1）2≤0，∴﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4≤4．因此，代数式﹣x2+2x+3有最大值4： 阅读上述材料并完成下列问题： （1）代数式x2﹣4x+2的最小值为 　　；代数式﹣a2﹣4a+2的最大值为 　　． （2）求代数式a2+b2+6b﹣10a+11的最小值； （3）已知△ABC的三条边的长度分别为a、b、c，且满足a2+b2+65＝8a+14b，且c为正整数，求△ABC的周长的最大值． 【答案】解：（1）∵x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2≥﹣2，﹣a2﹣4a+2＝﹣（a+2）2+6≤6， 故答案为：﹣2，6； （2）∵a2+b2+6b﹣10a+11＝（a﹣5）2+（b+3）2﹣23≥﹣23， ∴代数式a2+b2+6b﹣10a+11的最小值为﹣23； （3）∵a2+b2+65＝8a+14b， ∴a2+b2+65﹣8a﹣14b＝0， ∴a2+b2+65﹣8a﹣14b＝（a﹣4）2+（b﹣7）2＝0， ∴a＝4，b＝7， ∵△ABC的三条边的长度分别为a、b、c，且c为正整数， ∴3＜c＜11， ∴c的最大整数值为10， ∴△ABC的周长的最大值为：10+4+7＝21． 六、利用公式法解简单的一元二次方程 1.利用公式解可得一元二次方程式2x2﹣4x﹣1＝0的两解为a、b，且a＞b，则a的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】2x2﹣4x﹣1＝0， ∴a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣1）＝24＞0， ∴， ∵一元二次方程式2x2﹣4x﹣1＝0的两解为a、b，且a＞b， ∴a的值为． 故选：A． 2.用公式法解方程2x2+5x﹣1＝0，所得解正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】2x2+5x﹣1＝0 ∴a＝2，b＝5，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝25+8＝33＞0， ∴； 故选：A． 3.在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（　　） A.2x2﹣3x﹣1＝0 B.2x2+4x﹣1＝0 C.﹣x2﹣3x+2＝0 D.3x2﹣2x+1＝0 【答案】A 【解析】由题意a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1． 故选：A． 4.下面是小明同学解方程x2﹣5x＝﹣4的过程： ∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣4（第一步）， ∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣4）＝41（第二步）． ∴x，（第三步）． ∴x1，x2（第四步）． 小明是从第 　　步开始出错． 【答案】一． 【解析】原方程化为：x2﹣5x+4＝0， ∴a＝1，b＝﹣5，c＝4． 故答案为：一． 5.方程x2+3x+1＝0的解是：x1＝　　，x2＝　　． 【答案】、． 【解析】∵a＝1、b＝3、c＝1， ∴△＝9﹣4×1×1＝5＞0， 则x， 即x1、x2， 故答案为：、． 6.利用公式法解方程：x2﹣x﹣3＝0． 【答案】解：x2﹣x﹣3＝0， ∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣3， ∴△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）＝13＞0， ∴x， ∴x1，x2． 7.解方程：x2﹣3x﹣4＝0（用公式法解）． 【答案】解：x2﹣3x﹣4＝0， a＝1，b＝﹣3，c＝﹣4， Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣4）＝25， ∴x， 解得x1＝4，x2＝﹣1． 七、用因式分解法中的提公因式法解一元二次方程 1.一元二次方程x（x﹣1）＝2（x﹣1）的解完全正确的是（　　） A.x＝2 B.x1＝2，x2＝1 C.x1＝﹣2，x2＝1 D.x1＝3，x2＝﹣1 【答案】B 【解析】x（x﹣1）＝2（x﹣1） （x﹣1）（x﹣2）＝0， ∴x1＝2，x2＝1． 故选：B． 2.方程（x+2）（x﹣3）＝0的解是（　　） A.x＝2 B.x＝﹣3 C.x1＝﹣2，x2＝3 D.x1＝2，x2＝﹣3 【答案】C 【解析】∵（x+2）（x﹣3）＝0， ∴x+2＝0或x﹣3＝0， 解得：x1＝﹣2，x2＝3， 故选：C． 3.解方程（x﹣2）2＝3（x﹣2）的适当方法是（　　） A.直接开平方法 B.配方法 C.公式法 D.因式分解法 【答案】D 【解析】∵方程（x﹣2）2＝3（x﹣2）， ∴移项得：（x﹣2）2﹣3（x﹣2）＝0， ∴提取公因式得：（x﹣2）（x﹣2﹣3）＝0， ∴解原方程的适当方法是：因式分解法， 故选：D． 4.方程x（2x﹣1）＝2x﹣1的解为 　　． 【答案】x1，x2＝1． 【解析】移项，得x（2x﹣1）﹣（2x﹣1）＝0， 提公因式，得，（2x﹣1）（x﹣1）＝0， 解得2x﹣1＝0，x﹣1＝0， x1，x2＝1． 故答案为x1，x2＝1． 5.如图，图中展示了某位同学解方程的步骤，他是在第 　　步开始出错．（填序号） 【答案】②． 【解析】如图，图中展示了某位同学解方程的步骤，他是在第②步开始出错，错误的原因是等式的两边同时除以（x+4），而x+4可能为0， 故答案为：②． 6.解下列方程： （1）x（2x﹣5）＝4x﹣10； （2）x2+5x+7＝3x+10． 【答案】解：（1）x（2x﹣5）＝4x﹣10， x（2x﹣5）＝2（2x﹣5）， x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0， （2x﹣5）（x﹣2）＝0， ∴2x﹣5＝0，x﹣2＝0， 解得，x2＝2； （2）x2+5x+7＝3x+10， x2+2x﹣3＝0， （x﹣1）（x+3）＝0， ∴x﹣1＝0或x+3＝0， 解得x1＝1，x2＝﹣3． 7.解一元二次方程： (1) (2) 【答案】（1）解： ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 或， ． 八、用因式分解法解x²＋px＋q=0型的一元二次方程 1.下列各数中，是方程x2﹣3x﹣4＝0的根的是（　　） A.2 B.1 C.﹣1 D.﹣4 【答案】C 【解析】x2﹣3x﹣4＝0， （x﹣4）（x+1）＝0， x﹣4＝0或x+1＝0， x1＝4，x2＝﹣1． 故选：C． 2.已知三角形的两边长为2和5，第三边满足方程x2﹣7x+12＝0，则三角形的周长为（　　） A.10 B.11 C.10或11 D.以上都不对 【答案】B 【解析】方程x2﹣7x+12＝0， 分解因式得：（x﹣3）（x﹣4）＝0， 解得：x1＝3，x2＝4， 当x＝3时，2+3＝5，不能构成三角形； 当x＝4时，三角形周长为2+4+5＝11． 故选：B． 3.一元二次方程x2﹣6x+5＝0的解为（　　） A.x1＝1，x2＝5 B.x1＝2，x2＝3 C.x1＝﹣1，x2＝﹣5 D.x1＝﹣2，x2＝﹣3 【答案】A 【解析】x2﹣6x+5＝0 （x﹣1）（x﹣5）＝0， x﹣1＝0或x﹣5＝0， 解得x1＝1，x2＝5， 故选：A． 4.一元二次方程x2﹣8x﹣9＝0的解是 　　． 【答案】x1＝9，x2＝﹣1． 【解析】∵x2﹣8x﹣9＝0， ∴（x﹣9）（x+1）＝0， 则x﹣9＝0或x+1＝0， 解得x1＝9，x2＝﹣1， 故答案为：x1＝9，x2＝﹣1． 5.方程x2﹣17x＝﹣72的解为 　　． 【答案】x1＝8，x2＝9． 【解析】x2﹣17x＝﹣72， x2﹣17x+72＝0 （x﹣8）（x﹣9）＝0， ∴x﹣8＝0或x﹣9＝0， 解得：x1＝8，x2＝9． 故答案为：x1＝8，x2＝9． 6.解方程：x2+4x﹣5＝0． 【答案】解：x2+4x﹣5＝0， （x+5）（x﹣1）＝0， x+5＝0或x﹣1＝0， x1＝﹣5，x2＝1． 7.解方程：x2﹣7x﹣8＝0． 【答案】解：∵x2﹣7x﹣8＝0， ∴（x+1）（x﹣8）＝0， 则x+1＝0或x﹣8＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝8． 九、换元法解一元二次方程 1.关于x的方程的解是，（a，b，m均为常数，a≠0），则方程的解是（    ） A.x1＝2，x2＝-1 B.x1＝4，x2＝1 C.x1＝0，x2＝-3 D.x1＝1，x2＝-2 【答案】D 【解析】方程可变形为， ∵关于x的方程的解是 (a，m，b均为常数，a≠0)， ∴或， 解得：，． 故选D． 2.若（a2+b2+1）（a2+b2﹣1）＝15，则a2+b2＝（　　） A.4 B.5 C.±4 D.±5 【答案】A 【解析】设 a2+b2＝y，则原方程换元为 （y+1）（y﹣1）＝15， ∴y2＝16， 解得：y1＝4，y2＝﹣4， 即 a2+b2＝4或 a2+b2＝﹣4（不合题意，舍去）， ∴a2+b2＝4． 故选：A． 3.若实数m、n满足（m2+3n2）2﹣4（m2+3n2）﹣12＝0，则m2+3n2的值为（　　） A.2 B.6 C.6或﹣2 D.6或2 【答案】B 【解析】设m2+3n2＝y，原方程可化为y2﹣4y﹣12＝0， （y﹣6）（y+2）＝0， 解得y1＝6，y2＝﹣2， ∵m2+3n2≥0 所以m2+3n2的值为6． 故选：B． 4.已知（x2+y2）（x2+y2﹣5）=6，则x2+y2=     ． 【答案】6 【解析】设x2+y2=m，原方程可变形为：m(m﹣5)=6， 即m2﹣5m﹣6=0． ∴(m﹣6)(m+1)=0， 解得m1=6，m2=﹣1． ∵m=x2+y2≥0， ∴x2+y2=6． 故答案为：6． 5.已知，则的值等于           ． 【答案】4 【解析】解：设， ∴， ∴，即， ∴或， ∵的值一定是非负数， ∴． 故答案为：4 6.阅读材料：为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，原方程化为y2﹣5y+4＝0． 解得y1＝1，y2＝4 当y＝1时，x2﹣1＝1．∴x2＝2．∴x＝±； 当y＝4时，x2﹣1＝4，∴x2＝5，∴x＝±． ∴原方程的解为x1，x2，x3，x4． 请利用以上知识解决下列问题： 如果（a2+b2﹣1）（a2+b2+3）＝5，求a2+b2的值． 【答案】解：（a2+b2﹣1）（a2+b2+3）＝5， 设a2+b2＝y， 则原方程化为（y﹣1）（y+3）＝5， 即y2+2y﹣8＝0， （y+4）（y﹣2）＝0， 解得y1＝﹣4，y2＝2， ∵a2+b2不能是负数， ∴a2+b2＝2． 7.[例]解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0． 解：设x﹣1＝y， 则原方程可化为y2﹣5y+4＝0． 解得y1＝1，y2＝4． 当y＝1时，即x﹣1＝1，解得x＝2； 当y＝4时，即x﹣1＝4，解得x＝5． 所以原方程的解为x1＝2，x2＝5． 上述解法称为“整体换元法”． 请运用“整体换元法”解方程：（2x﹣5）2﹣2（2x﹣5）﹣3＝0． 【答案】解：（2x﹣5）2﹣2（2x﹣5）﹣3＝0， 解：设2x﹣5＝y， 则原方程可化为y2﹣2y﹣3＝0， ∴（y﹣3）（y+1）＝0． 解得y1＝3，y2＝﹣1． 当y＝3时，即2x﹣5＝3，解得x＝4； 当y＝﹣1时，即2x﹣5＝﹣1，解得x＝2． 所以原方程的解为：x1＝2，x2＝4． 学科网（北京）股份有限公司 $$