3.2 双曲线 讲义-2025-2026学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

本文围绕双曲线展开，整合双曲线定义、方程、性质等核心知识。承接圆锥曲线基础，为后续深入学习曲线应用奠基。通过概念讲解、例题分析，培养学生数学抽象、逻辑推理等核心素养，引导学生用数学眼光观察、思维思考、语言表达双曲线相关问题。 本设计亮点在于以典型例题强化知识应用。从学生层面看，提升其解决双曲线问题能力；从教师层面看，提供系统教学素材，便于备课；从课堂效果看，能有效突破双曲线知识难点，助力学生掌握重点内容。

双曲线 一、整合教材知识，落实基本能力 1．双曲线的定义:平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．集合P＝，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0． (1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线； (2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线； (3)当2a>|F1F2|时，P点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 顶点 、 、 焦点 、 、 焦距 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 离心率 准线方程 渐近线方程 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝； 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝； a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 平面内到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数的动点的轨迹是双曲线，这个常数即该双曲线的离心率，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线。双曲线上各点到焦点的距离比上到准线的距离为离心率e 3.等轴双曲线与共轭双曲线 ①等轴双曲线：实轴与虚轴等长的双曲线，其标准方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，离心率e＝，渐近线方程为y＝±x． ②共轭双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.它们互为共轭.互为共轭双曲线的方程为: ， 4.直线与双曲线的位置关系 (1). 将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ. ①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点； ②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点； ③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点． (2). 直线与双曲线的相交弦 设直线交双曲线于点两点，则：== 同理可得 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： ， 二、典型例题 1、已知点，，动点满足条件.则动点的轨迹方程为（       ） A． B． C． D． 解：因为，，所以，动点满足条件，所以点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支， 点，，动点满足条件， ，，动点的轨迹方程为.故选：A. 2、双曲线过点，且离心率为，则该双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【解析】，则，，则方程为，将点代入双曲线的方程得，解得，故，因此，双曲线的方程为，故选A． 3、双曲线的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 解：由题得，所以双曲线的焦点在轴上，所以 所以双曲线的渐近线方程为.故选：A 4、直线是双曲线等的一条渐近线，且双曲线的一个顶点到渐近线的距离为，则该双曲线的虚轴长为（ ） A．4 B．8 C． D． 解：线的顶点不妨设为，到渐近线的距离为， 得，又渐近线方程为，得，解得，∴.故选：A. 5、若双曲线和它的共轭双曲线的离心率分别为，，则，应满足的关系是（       ） A． B． C． D． 【详解】由题设知：且，则，所以. 故选：D 6、已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【解析】因为，由双曲线的定义可得， 所以，；因为,由余弦定理可得， 整理可得，所以，即. 故选：A 7、已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为，.若，且在，之间，则（ ） A． B． C． D． 【解析】双曲线中，，所以，设， 因为，所以点为线段的中点，则． 又点在直线，则，解得，所以， 此时，．故选：B． 8、已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率e的最大值为（ ） A. 5 B. C. D. 解：因为P在双曲线的右支上，所以由双曲线的定义可得，又，所以，所以， 根据点P在双曲线的右支上，可得，所以， 又，所以，所以此双曲线的离心率e的最大值为为. 故选：D. 9、已知双曲线C：的左右焦点分别为，，动点在双曲线左支上，点为圆上一点，则的最小值为（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【解析】双曲线焦点为，， 由双曲线的定义可得， 由圆可得， 半径，， 连接，交双曲线于，交圆于，此时 取得最小值，且为， 则的最小值为. 故选：B. 10、已知双曲线的左､右焦点分别为，，过且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为A，若，则此双曲线的渐近线为（ ） A． B． C． D． 【解析】∵，∴， 故三角形是等腰三角形，即，又∵， 过点A作AB⊥x轴于点B，则， 设，，由勾股定理得：，解得：，故，把A点代入双曲线方程，得：，解得：，显然=0，∴，∴双曲线的渐近线为，故选D． 11、已知双曲线的一条渐近线为，则的焦距为________. 解：双曲线渐近线方程为，由题意得，，且一条渐近线方程为，则有（舍去），，所以，，故焦距为． 故答案为：． 12、设双曲线的焦半距为c，直线过两点，若原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为 解：设直线的方程为，即，由题意可知 整理可得，所以，所以，解得或2，又，，即，故 13．设点是曲线右支上一动点，为左焦点，点是圆上一动点，则的最小值是 ． 【解析】由双曲线的方程可得，，则， 设双曲线的右焦点，则， 圆的圆心，半径， 由题意可得， 当且仅当，，三点共线，且在，之间时取等号， 即的最小值为．故答案为：． 14、设双曲线的左右焦点分别为，离心率为为上一点，且，若的面积为，则 . 【解析】不妨取点在第一象限，如下图所示： 根据双曲线定义可得，且； 由离心率为可得，可得，即； 设，则； 由的面积为可得，得； 利用余弦定理可得， 即，整理可得， 即，所以，解得. 故答案为：2 15、已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________． 解析：双曲线的右顶点为A(a,0)，设点M，N在渐近线y＝x， 即bx－ay＝0上，则圆心A到此渐近线的距离d＝＝． 又因为∠MAN＝60°，圆的半径为b，所以b·sin 60°＝， 即＝，所以e＝＝． 答案： 16、已知，分别为双曲线的两个焦点，双曲线上的点到原点的距离为，且，则该双曲线的离心率为_________． A. B. C. D. 【解答】解：设为双曲线的下焦点，为双曲线的上焦点， 如图，因为，所以， 因为，所以，. 由题易知，．因为，所以，则．化简整理得，又，∴ ，即． 17、若双曲线的一个焦点F关于其一条渐近线的对称点P在双曲线上，且直线与圆相切，则双曲线离心率为___________． 【解析】不妨设点在第二象限，设双曲线的左、右焦点分别为、， 则的中点在直线上，且，故，， ∵、分别为、的中点，则， 由双曲线的定义可得，∴， ∴离心率为，故答案为：． 18、已知双曲线的离心率为，实轴长为． 求双曲线的方程；    若直线被双曲线截得的弦长为，求实数的值． 【答案】解：由椭圆，得双曲线的离心率为，实轴长为．∴ ，，解得，，∴ ，∴ 双曲线的方程为． 由题意，设，，联立整理，得， 则，∴ ，， ∴ ，则，解得，故实数的值为． 19、已知双曲线的左焦点为，右顶点为，点是其渐近线上的一点，且以为直径的圆过点，，点为坐标原点． （1）求双曲线的标准方程； （2）当点在轴上方时，过点作轴的垂线与轴相交于点，设直线与双曲线相交于不同的两点、，若，求实数的取值范围． （1）解：，，双曲线的渐近线方程为， 以为直径的圆过点，∴，取点在上，设点，，，∵，则，可得，则点， ，则，，则，∴双曲线的标准方程为． （2）解：由题意可知，设、， 线段中点，联立得， 依题意，即①， 由韦达定理可得，，则，， ，，，∴②， 又③，由①②③得：或． 20、已知双曲线的中心为坐标原点，点在双曲线上，且其两条渐近线相互垂直. (1)求双曲线的标准方程； (2)若过点的直线与双曲线交于，两点，的面积为，求直线的方程. 【解析】（1）因为双曲线的两条渐近线互相垂直， 所以双曲线为等轴双曲线，所以设所求双曲线方程为，， 又双曲线经过点，所以，即， 所以双曲线的方程为，即． （2）根据题意可知直线的斜率存在，又直线过点，所以直线的方程为， 所以原点到直线的距离，联立，得， 所以且，所以，且， 所以， 所以的面积为， 所以，解得，所以， 所以直线的方程为或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 双曲线 一、整合教材知识，落实基本能力 1．双曲线的定义:平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．集合P＝，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0． (1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线； (2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线； (3)当2a>|F1F2|时，P点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 顶点 、 、 焦点 、 、 焦距 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 离心率 准线方程 渐近线方程 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝； 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝； a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 平面内到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数的动点的轨迹是双曲线，这个常数即该双曲线的离心率，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线。双曲线上各点到焦点的距离比上到准线的距离为离心率e 3.等轴双曲线与共轭双曲线 ①等轴双曲线：实轴与虚轴等长的双曲线，其标准方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，离心率e＝，渐近线方程为y＝±x． ②共轭双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.它们互为共轭.互为共轭双曲线的方程为: ， 4.直线与双曲线的位置关系 (1). 将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ. ①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点； ②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点； ③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点． (2). 直线与双曲线的相交弦 设直线交双曲线于点两点，则：== 同理可得 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： ， 二、典型例题 1、已知点，，动点满足条件.则动点的轨迹方程为（       ） A． B． C． D． 2、双曲线过点，且离心率为，则该双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 3、双曲线的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 4、直线是双曲线等的一条渐近线，且双曲线的一个顶点到渐近线的距离为，则该双曲线的虚轴长为（ ） A．4 B．8 C． D． 5、若双曲线和它的共轭双曲线的离心率分别为，，则，应满足的关系是（       ） A． B． C． D． 6、已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 7、已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为，.若，且在，之间，则（ ） A． B． C． D． 8、已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率e的最大值为（ ） A. 5 B. C. D. 9、已知双曲线C：的左右焦点分别为，，动点在双曲线左支上，点为圆上一点，则的最小值为（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 10、已知双曲线的左､右焦点分别为，，过且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为A，若，则此双曲线的渐近线为（ ） A． B． C． D． 11、已知双曲线的一条渐近线为，则的焦距为________. 12、设双曲线的焦半距为c，直线过两点，若原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为 13．设点是曲线右支上一动点，为左焦点，点是圆上一动点，则的最小值是 ． 14、设双曲线的左右焦点分别为，离心率为为上一点，且，若的面积为，则 . 15、已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________． 16、已知，分别为双曲线的两个焦点，双曲线上的点到原点的距离为，且，则该双曲线的离心率为_________． A. B. C. D. 17、若双曲线的一个焦点F关于其一条渐近线的对称点P在双曲线上，且直线与圆相切，则双曲线离心率为___________． 18、已知双曲线的离心率为，实轴长为． 求双曲线的方程；    若直线被双曲线截得的弦长为，求实数的值． 19、已知双曲线的左焦点为，右顶点为，点是其渐近线上的一点，且以为直径的圆过点，，点为坐标原点． （1）求双曲线的标准方程； （2）当点在轴上方时，过点作轴的垂线与轴相交于点，设直线与双曲线相交于不同的两点、，若，求实数的取值范围． 20、已知双曲线的中心为坐标原点，点在双曲线上，且其两条渐近线相互垂直. (1)求双曲线的标准方程； (2)若过点的直线与双曲线交于，两点，的面积为，求直线的方程. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$