精品解析：浙江省湖州市长兴县、安吉县、德清县中职三县联考2024-2025学年高一下学期6月期末数学试题

2024学年第二学期三县联考高一数学期末试卷 注意事项： 1.本试卷分问卷和答卷两部分，满分150分，时间120分钟. 2.所有试题均需在答题纸上作答，在试卷和草稿纸上作答无效. 3.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卷上，并涂好准考证号码. 一、单选题（共20小题，1-10小题每小题2分，11-20小题每小题3分，共50分） 1. 若，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线经过两点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 不存在 6. 已知两点，点关于点对称，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 圆的圆心坐标和半径分别为（ ） A. B. C. D. 8. 已知球的大圆面积为，则它的体积是（ ） A. B. C. D. 9. 长方体一个顶点上的三条棱的长分别是3，4，5，且它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（ ） A. B. C. D. 10. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，两次骰子点数之和是6的倍数的概率为（ ） A. B. C. D. 11. 两平行线与之间的距离是（ ） A. B. C. D. 1 12. 已知圆的半径是3，则a的值是（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 或 13. 已知三点在同一条直线上，则实数的值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 14. 设圆锥的轴截面是等腰直角三角形，其侧面展开图扇形的圆心角为（ ） A. B. C. D. 15. 若两个球的表面积之比是1：16，那么这两个球的体积之比是（ ） A. 1：32 B. 1：24 C. 1：64 D. 1：256 16. 已知圆，，则圆与圆的位置关系（ ） A. 相离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 17. 一个正三棱柱的主视图如图所示，则其左视图的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 18. 已知两点和到直线的距离相等，则的值为（ ） A. 0或 B. 或 C. 或 D. 0或 19. 有五条线段长度分别为，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一三角形的概率（ ） A. B. C. D. 20. 为了解人们对环保知识的认知情况，某调查机构对地区随机选取个居民进行了环保知识问卷调查（满分为100分），并根据问卷成绩（不低于60分记为及格）绘制成如图所示的频率分布直方图（分为，，，，，六组），若问卷成绩最后三组频数之和为360，则下面结论中正确的是（ ） A. B. 问卷成绩在内的频率为0.5 C. D. 以样本估计总体，若对地区5000人进行问卷调查，则约有2000人及格 二、填空题（共7小题，每小题4分，共28分） 21. 化简： _______ 22. 已知直线的斜率为3，在轴上的截距为，则此直线的一般方程为_____． 23. 圆上的点到直线的距离的最小值为_____． 24. 已知圆的圆心坐标是，则此圆的半径是_____． 25. 若，则____. 26. 若坐标原点到直线的距离为2，则实数_____． 27. 已知函数的图象恒过定点，则的最小值为______. 三、解答题（共7小题，共72分） 28. （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线和的交点，且与直线平行的直线方程. 29. 已知函数， （1）若，求的取值范围; （2）求在上的最值. 30. 如图所示，一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合体，已知该圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面直径为6米.则 （1）求蒙古包的侧面积； （2）求蒙古包的体积. 31. 已知指数函数的图像经过点， （1）求函数的解析式； （2）若，求的取值范围. 32. 已知圆的方程式分别求满足一下条件的圆的切线方程． （1）经过圆上一点； （2）经过圆外一点. 33. 已知正四棱锥的底面边长为4，高为4. （1）求正四棱锥的体积； （2）求正四棱锥外接球的表面积. 34. 已知直线交轴于点，以点为圆心作圆，且圆过点． （1）求圆的标准方程； （2）若直线，试判断直线与圆的位置关系，并说明理由；若相交，求出弦长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期三县联考高一数学期末试卷 注意事项： 1.本试卷分问卷和答卷两部分，满分150分，时间120分钟. 2.所有试题均需在答题纸上作答，在试卷和草稿纸上作答无效. 3.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卷上，并涂好准考证号码. 一、单选题（共20小题，1-10小题每小题2分，11-20小题每小题3分，共50分） 1. 若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数式与对数式之间的转化可知. 【详解】由题可知：，所以. 故选：C 2. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据立方根、平方根和算术平方根的定义分别进行判断即可． 【详解】对A：，若，则，若，则，故A项错误； 对B：若，则，故B项错误； 对C：，故C项正确； 对D：，故D项错误. 故选：C. 3. 已知，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用直线的斜率公式求解即可． 【详解】因为， 则直线的斜率为. 故选：D. 4. 已知直线经过两点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由直线的斜率公式求出直线的斜率，再根据直线的点斜式方程即可求解. 【详解】因为直线经过两点， 所以直线的斜率为， 故直线的方程为，即. 故选：A. 5. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 不存在 【答案】A 【解析】 【分析】分析直线与轴垂直，求出直线的倾斜角即可． 【详解】因为直线与轴垂直， 所以直线的倾斜角为. 故选：A. 6. 已知两点，点关于点对称，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中点坐标公式计算即可. 【详解】由题可知：为两点的中点，所以，即. 故选：D 7. 圆的圆心坐标和半径分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆的标准方程的形式来确定圆心坐标和半径. 【详解】由圆可知圆心坐标为，半径为. 故选：D. 8. 已知球的大圆面积为，则它的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目给定的条件求得球的半径，再根据球的体积公式求解. 【详解】设球的半径为，则球的大圆面积为，所以， 所以球的体积. 故选：D. 9. 长方体一个顶点上的三条棱的长分别是3，4，5，且它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由长方体的三条棱的长求出体对角线的长,体对角线就是球的直径,由此可得球的直径,由球的表面积公式(为球体的半径),可得结论. 【详解】解：因为长方体的一个顶点上的三条棱的长分别是3,4,5, 所以长方体的对角线长为 所以球的半径为 所以球体的表面积为. 故选：C 10. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，两次骰子点数之和是6的倍数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据古典概型问题的概率的计算方法进行计算即可求解. 【详解】因为同时抛掷两枚骰子，所有可能的结果有种， 其中点数之和是6的倍数的有，，，，，，共6种情况， 所以点数和为6的概率. 故选：B. 11. 两平行线与之间的距离是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】先化简方程形式，然后根据两平行线之间的距离公式计算即可. 【详解】两平行线与之间的距离即两平行线与之间的距离， 所以距离为. 故选：A 12. 已知圆的半径是3，则a的值是（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】将圆配方，化为标准式，根据半径是3，列方程可求解. 【详解】圆的方程可化为 ， 因为圆的半径为3， 所以， 解得. 故选：C 13. 已知三点在同一条直线上，则实数的值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据同一直线的斜率相同求解. 【详解】∵点在同一条直线上, ∴斜率， 即， 解得：. 故选：B. 14. 设圆锥的轴截面是等腰直角三角形，其侧面展开图扇形的圆心角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆锥的结构特征，结合圆心角与弧长和半径的关系列式即可求解. 【详解】设圆锥的底面圆半径为，扇形弧长为， 因为圆锥的轴截面是等腰直角三角形，所以圆锥的母线长为， 又因为圆锥侧面展开图的扇形弧长， 扇形圆心角满足， 所以侧面展开图扇形的圆心角为. 故选：D. 15. 若两个球的表面积之比是1：16，那么这两个球的体积之比是（ ） A. 1：32 B. 1：24 C. 1：64 D. 1：256 【答案】C 【解析】 【分析】先根据表面积之比求出半径的关系，再求体积之比. 【详解】设两个球的半径分别为，已知两球的表面积之比为，即， 所以，因此两球的体积之比为. 故选：C. 16. 已知圆，，则圆与圆的位置关系（ ） A. 相离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】D 【解析】 【分析】计算两圆的圆心距，然后与两圆的半径比较可判断. 【详解】圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径为， 所以，所以两圆内切. 故选：D 17. 一个正三棱柱的主视图如图所示，则其左视图的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据正三棱柱的主视图确定正三棱柱的相关棱长，再求出左视图的长和宽，进而计算左视图的面积. 【详解】由正三棱柱的主视图可知：正三棱柱底面正三角形的边长为2，正三棱柱的高为1， 所以底面三角形的高为， 正三棱柱的左视图是一个矩形，矩形的一边长为正三棱柱的高，另一边长为底面正三角形的高 ， 所以其左视图的面积为. 故选：C. 18. 已知两点和到直线的距离相等，则的值为（ ） A. 0或 B. 或 C. 或 D. 0或 【答案】B 【解析】 【分析】分别求解点和点到直线的距离，再根据点和到直线的距离相等建立等式求解即可． 【详解】点到直线的距离， 点到直线的距离， 点和到直线的距离相等， ，即，， ， ，或. 故选：B． 19. 有五条线段长度分别为，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一三角形的概率（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出从长度分别为的五条线段中任取三条的基本事件总数，再求出能够构成三角形的事件数，则答案可求． 【详解】从长度分别为的五条线段中任取三条,基本事件总数为， 能够构成三角形的取法有三种， 由古典概型概率计算公式可得：所取三条线段能构成一个三角形的概率为. 故选：B. 20. 为了解人们对环保知识的认知情况，某调查机构对地区随机选取个居民进行了环保知识问卷调查（满分为100分），并根据问卷成绩（不低于60分记为及格）绘制成如图所示的频率分布直方图（分为，，，，，六组），若问卷成绩最后三组频数之和为360，则下面结论中正确的是（ ） A. B. 问卷成绩在内的频率为0.5 C. D. 以样本估计总体，若对地区5000人进行问卷调查，则约有2000人及格 【答案】A 【解析】 【分析】利用频率之和为1判断C，利用频率分布直方图中频率与频数的关系判断ABD，从而得解.. 【详解】对于C，，解得，故C错误； 对于A，，故A正确； 对于B，问卷成绩在内的频率为，故B错误； 对于D，不低于60分的频率为， 则约有人及格，故D错误. 故选：A. 二、填空题（共7小题，每小题4分，共28分） 21. 化简： _______ 【答案】6 【解析】 【分析】根据指数幂以及对数的运算性质计算即可. 【详解】由题可知：. 故答案为：6 22. 已知直线的斜率为3，在轴上的截距为，则此直线的一般方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据点斜式可得直线方程，然后转为一般方程形式即可. 【详解】由题可知：直线斜率为3，且过点， 所以直线方程为，即. 故答案为： 23. 圆上的点到直线的距离的最小值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】结合圆的方程求出圆心和半径，进而求出圆心到直线的距离，圆上一点到直线的最小距离为圆心到该直线的距离与圆半径之差. 【详解】圆的圆心为，半径为， 因为圆心到直线的距离为， 直线与圆相离，圆上的点到直线的距离最小值，等于圆心到直线的距离减去圆的半径， 所以圆上的点到直线的距离的最小值为. 故答案为：. 24. 已知圆的圆心坐标是，则此圆的半径是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据圆心坐标求出，然后代入，写出圆的标准方程形式可得结果. 【详解】由题可知：圆的圆心坐标为， 所以，则， 即圆的方程为，化为标准式为， 所以圆半径为3. 故答案为：3 25. 若，则____. 【答案】3 【解析】 【分析】由已知求出的值，代入式中即可求解. 【详解】因为， 所以，所以. 故答案为：. 26. 若坐标原点到直线的距离为2，则实数_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式列式即可求解. 【详解】因为坐标原点到直线的距离为2， 即，解得. 故答案为：. 27. 已知函数的图象恒过定点，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数的性质结合已知条件可得，将化为表示，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为函数的图象恒过定点， 则，即， 因为且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 则的最小值为. 故答案为：. 三、解答题（共7小题，共72分） 28. （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线和的交点，且与直线平行的直线方程. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）巧设直线方程，然后代点计算即可； （2）求得两直线交点，然后巧设直线方程，最后代点计算即可. 【详解】（1）因为所求直线与直线垂直，所以设所求直线方程为， 因为所求直线经过点，所以，即， 所以所求直线方程为. （2）联立方程，得， 与的交点， 因为所求直线与直线平行，所以设所求直线方程为， 因为所求直线经过点，所以，即. 所以所求直线方程为. 29. 已知函数， （1）若，求的取值范围; （2）求在上的最值. 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）利用对数函数的单调性可求参数的取值范围； （2）利用复合函数单调性的判断方法可判断函数的单调性，故可求相应的最值. 【小问1详解】 因为，故为上的单调增函数， 故即为. 【小问2详解】 因为在上为增函数，故， 而在上为增函数，故在上为增函数， 故的最大值为，最小值为. 30. 如图所示，一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合体，已知该圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面直径为6米.则 （1）求蒙古包的侧面积； （2）求蒙古包的体积. 【答案】（1）平方米 （2）立方米 【解析】 【分析】（1）先计算圆锥的母线，再根据圆锥的侧面积计算公式和圆柱的侧面积计算公式求解. （2）根据圆锥和圆柱的体积公式，即可求解. 【小问1详解】 由题意可知米，米，米， 所以米， 圆锥部分的侧面积为平方米， 圆柱部分的侧面积为平方米， 所以该蒙古包的侧面积为平方米， 【小问2详解】 圆锥部分的体积为立方米, 圆柱部分的体积为立方米, 所以该蒙古包的体积为立方米. 31. 已知指数函数的图像经过点， （1）求函数的解析式； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，设出函数解析式，将已知点的坐标代入，即可求得a的值，继而求得函数解析式； （2）根据题意，结合指数函数的单调性解不等式，即可求解. 【小问1详解】 由题意，设指数函数， 因为指数函数的图像经过点， 所以，解得， 所以函数的解析式为； 【小问2详解】 由（1）知， 又，即， 所以， 又指数函数在定义域R上是单调减函数， 所以，即， 可化为，解得或， 即的取值范围是. 32. 已知圆的方程式分别求满足一下条件的圆的切线方程． （1）经过圆上一点； （2）经过圆外一点. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由切线过和圆心可知，该切线与轴垂直，进而可得直线方程； （2）根据题意，分斜率存在与不存在两种情况讨论，结合相切时圆心到直线的距离等于半径可求出斜率，进而可得直线方程. 【小问1详解】 圆的方程式圆心坐标为， 经过点和圆心的直线与轴垂直， 所以经过圆上点的切线方程为，即. 【小问2详解】 当经过圆外一点的直线斜率不存在时，直线方程为， 该直线与圆心距离为，直线与圆相离，不符合题意舍去， 若斜率存在，设经过点且斜率存在的切线方程为 即， 则圆心到切线的距离， 解得，切线方程为， 整理得或． 33. 已知正四棱锥的底面边长为4，高为4. （1）求正四棱锥的体积； （2）求正四棱锥外接球的表面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）计算底面的面积，然后根据椎体体积公式计算即可； （2）结合图形找到球心，然后建立关系，代值计算即可. 【小问1详解】 对于正四棱锥，底面为正方形，顶点P在底面的投影是底面的中心O， 即OP是正四棱锥的高，底面边长，高， =，，即正四棱锥的体积为 【小问2详解】 正棱锥外接球的球心一定在高上，设球心为，连接， 则， 在中，，即，解得， ，即正四棱锥外接球的表面积为 34. 已知直线交轴于点，以点为圆心作圆，且圆过点． （1）求圆的标准方程； （2）若直线，试判断直线与圆的位置关系，并说明理由；若相交，求出弦长． 【答案】（1） （2）相交，理由见解析， 【解析】 【分析】（1）依据题意得到圆心，然后求得半径，最后得到圆的标准方程； （2）计算圆心到直线的距离与半径作比较可知直线与圆的位置关系，然后根据圆的弦长公式计算即可. 【小问1详解】 在直线中，令，得． 点的坐标为， 圆的半径 圆的标准方程为． 【小问2详解】 圆的半径为，圆心到直线的距离． 圆与直线相交， 弦长=，即圆与直线相交，弦长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $